18.1 勾股定理
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18.1 勾股定理
各位尊敬的领导、老师：
大家好！
今天我说课的课题是《勾股定理》
一、教材分析
（一）本节内容在全书和章节的地位
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（人教版）八年级下册第十八章第一节“勾股定理”第一课时。勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，将数和形密切联系起来，它是解决直角三角形的主要依据之一，在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和观察分析问题的能力；通过实际分析，拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较，理解勾股定理，以便于正确的进行运用。
（二）三维教学目标
【知识与能力目标】
⒈理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够灵活运用勾股定理及其计算；
⒉通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
【过程与方法目标】在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
【情感态度与价值观】通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
（三）教学重点、难点
【教学重点】勾股定理的证明与运用
【教学难点】用面积法等方法证明勾股定理
二、教法与学法分析
【教法分析】针对初二年级学生的认知结构和心理特征，本节课采用“引导探索法”，采用教师启学生由浅到深，由特殊到一般的提出问题，引导学生自主探究，合作交流。基本的教学程序是“创设情景-动手操作-归纳验证-问题解决-课堂小结-布置作业”六个方面。
【学法分析】新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”，因此教师要有组织、有目的、有针对性的引导学生并参入到学习活动中，鼓励学生采用自主探索，合作交流的研讨式学习方式，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力，使学生真正成为学习的主人。
三、教学过程设计
（一）创设情景
多媒体课件演示FLASH小动画片：
（虚构）三国时，张飞攻城时，探得城墙高8米护城河宽6米，要建多长的梯子呢？张飞建了9米的梯子，结果失败了。那么，到底要建多高的梯子呢？
【设计意图】：问题的设计有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，老师要注意引导学生将实际问题转化为数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，求第三边？”的问题。学生会感到一些困难，从而老师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了。这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，学习数学是为更好“服务于生活”。
（二）动手操作
1、毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传他在朋友家用地砖铺成的地面上发现了直角三角形三条边的某种数量关系，看下图你能发现什么？有一些什么图形？
2、出示课本P72图18.1-1：
观察图中的等腰直角三角形ABC有什么性质？
【设计意图】：让学生怀着兴趣来学习，通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望，培养学生的观察能力和思考能力。
学生可能考虑到各种不同的思考方法，老师要给予肯定,并鼓励学生用语言进行描述，引导学生发现两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，从而让学生通过正方形的面积之间的关系发现：对于等腰直角三角形，其两直角边的平方和等于斜边的平方，即当∠C=90°，AC=BC时，则AC2+BC2=AB2。这样做有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。
3、紧接着让学生思考：上述是在等腰直角三角形中的情况，那么在一般情况下的直角三角形中，是否也存在这一结论呢？于是再利用多媒体投影出P73图18.1-2（一般直角三角形）。
每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积，看看能得出什么结论？
A的面积 B的面积 C的面积
A′的面积 B′的面积 C′的面积
【设计意图】：渗透从特殊到一般的数学思想。为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在互相欣赏、争辩、互助中得到提高
学生可以很容易求出正方形A和B的面积，但是求正方形C的面积有一些困难，这时可让学生在预先准备的方格纸上画出图形，再剪一剪、拼一拼，或提示学生（以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角）（把正方形分割成几个容易计算的图形）。通过小组合作、交流后，学生就能够发现：对于一般的以整数为边长的直角三角形也存在两直角边的平方和等于斜边的平方。通过学生的动手操作、合作交流，来获取知识，这样设计有利于突破难点，也让学生体会到观察、猜想、归纳的数学思想及学习过程，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
4、再出示下图，让学生先猜猜正方形C的面积，再运用刚才的方法来求，看看猜的结果与现实是否相符。
A的面积 B的面积 C的面积
5、让学生随意画出一个直角三角形，量出它的两条直角边的长度，再尝试猜想它的斜边的长度，再用尺子测量出斜边的长度，进行验证。
【设计意图】：让学生初步验证自己的猜想，让他们在实践中体验成功的喜悦。
6、猜想Rt△ABC中两直角边长a , b与斜边长c的关系
（三）归纳验证
1、是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明，
中国古代的数学家赵爽就是用下面的方法来证明的：
把边长为a,b 的两个正方形连在一起，它的面积是多少？（a2+b2）
你能把他分割拼成以c为边长的正方形吗？
2、让学生运用完全平方公式分析验证定理
【设计意图】：让学生动手进行了画图、剪图、拼图，还有测量、计算等活动，使学生从中体会到数形结合和从特殊到一般的数学思想，而且这一过程也有利于培养学生严谨、科学的学习态度。
3、介绍勾股定理并学习定理的变式。
【设计意图】：对学生进行爱国主义教育，激励学生奋发向上；定理的变式为后面的练习打下基础。
（四）问题解决
⒈让学生解决开始上课前所提出的问题，张飞到底要建多高的梯子呢？
设计意图：前后呼应，让学生体会到成功的快乐。
⒉尝试练习：在Rt △ABC中， ∠C＝ 90°
(1)、已知a=5,b=3,求c.
(2)、已知a=8,c=10,求b.
(3)、已知c=7,b=5,求a。
【设计意图】：运用勾股定理进行简单的练习，让学生巩固与应用新知识。
其中（1）是对勾股定理的直接应用（2）（3）是对勾股定理变式的运用。
3、巩固练习:
练习1：在Rt △ABC中， ∠B＝90°
已知a=5,b=10,则c＝（ ）。
练习2：在Rt △ABC中，∠A＝ 90°,
已知a=20,c＝10,则b＝（ ）.
【设计意图】：学生在应用勾股定理时很容易教条化把c当成斜边，练习1、2针对这种情况让学生认识到斜边要通过看图来确认。
（五）课堂小结
小组成员从内容、数学思想方法、获取知识的途径进行小结.
【设计意图】：通过小结为学生创造交流的空间，引导学生对知识进行整理和分析。
（六）扩展练习
(1) 在Rt △ABC中，有两边长分别为3、4，求第三边的长。
(2)一根旗杆在离地面9M处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12M处，旗杆折断之前有多高？
【设计意图】：（1）中没有指明谁是直角，不知谁是斜边，让学生考虑：①所求的边的斜边②长的边为斜边。（2）让学生进一步体会定理与实际生活的联系。
（七）布置作业
1、上网搜索有关勾股定理的信息，收集有关勾股定理的证明方法。
2、课本P77~78习题18.1中的第1、3题。
【设计意图】：巩固所学内容，给学生留有继续学习的空间和兴趣。
以上内容，我从“说教材”，“说学情”、“说教法”、“说学法”、“说教学过程”上来说明这堂课“教什么”和“怎么教”，也阐述了“为什么这样教”，希望各位领导和老师对本次说课提出宝贵的意见，谢谢！
C
B
A
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各位尊敬的领导、老师：
大家好！
今天我说课的课题是《勾股定理》
一、教材分析
（一）本节内容在全书和章节的地位
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（人教版）八年级下册第十八章第一节“勾股定理”第一课时。勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，将数和形密切联系起来，它是解决直角三角形的主要依据之一，在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和观察分析问题的能力；通过实际分析，拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较，理解勾股定理，以便于正确的进行运用。
（二）三维教学目标
【知识与能力目标】
⒈理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够灵活运用勾股定理及其计算；
⒉通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
【过程与方法目标】在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
【情感态度与价值观】通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
（三）教学重点、难点
【教学重点】勾股定理的证明与运用
【教学难点】用面积法等方法证明勾股定理
二、教法与学法分析
【教法分析】针对初二年级学生的认知结构和心理特征，本节课采用“引导探索法”，采用教师启学生由浅到深，由特殊到一般的提出问题，引导学生自主探究，合作交流。基本的教学程序是“创设情景-动手操作-归纳验证-问题解决-课堂小结-布置作业”六个方面。
【学法分析】新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”，因此教师要有组织、有目的、有针对性的引导学生并参入到学习活动中，鼓励学生采用自主探索，合作交流的研讨式学习方式，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力，使学生真正成为学习的主人。
三、教学过程设计
（一）创设情景
多媒体课件演示FLASH小动画片：
（虚构）三国时，张飞攻城时，探得城墙高8米护城河宽6米，要建多长的梯子呢？张飞建了9米的梯子，结果失败了。那么，到底要建多高的梯子呢？
【设计意图】：问题的设计有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，老师要注意引导学生将实际问题转化为数学问题，也就是“已知一直角三角形的两边，求第三边？”的问题。学生会感到一些困难，从而老师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了。这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，学习数学是为更好“服务于生活”。
（二）动手操作
1、毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传他在朋友家用地砖铺成的地面上发现了直角三角形三条边的某种数量关系，看下图你能发现什么？有一些什么图形？
2、出示课本P72图18.1-1：
观察图中的等腰直角三角形ABC有什么性质？
【设计意图】：让学生怀着兴趣来学习，通过问题激发学生好奇、探究和主动学习的欲望，培养学生的观察能力和思考能力。
学生可能考虑到各种不同的思考方法，老师要给予肯定,并鼓励学生用语言进行描述，引导学生发现两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，从而让学生通过正方形的面积之间的关系发现：对于等腰直角三角形，其两直角边的平方和等于斜边的平方，即当∠C=90°，AC=BC时，则AC2+BC2=AB2。这样做有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。
3、紧接着让学生思考：上述是在等腰直角三角形中的情况，那么在一般情况下的直角三角形中，是否也存在这一结论呢？于是再利用多媒体投影出P73图18.1-2（一般直角三角形）。
每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积，看看能得出什么结论？
A的面积 B的面积 C的面积
A′的面积 B′的面积 C′的面积
【设计意图】：渗透从特殊到一般的数学思想。为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在互相欣赏、争辩、互助中得到提高
学生可以很容易求出正方形A和B的面积，但是求正方形C的面积有一些困难，这时可让学生在预先准备的方格纸上画出图形，再剪一剪、拼一拼，或提示学生（以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角）（把正方形分割成几个容易计算的图形）。通过小组合作、交流后，学生就能够发现：对于一般的以整数为边长的直角三角形也存在两直角边的平方和等于斜边的平方。通过学生的动手操作、合作交流，来获取知识，这样设计有利于突破难点，也让学生体会到观察、猜想、归纳的数学思想及学习过程，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
4、再出示下图，让学生先猜猜正方形C的面积，再运用刚才的方法来求，看看猜的结果与现实是否相符。
A的面积 B的面积 C的面积
5、让学生随意画出一个直角三角形，量出它的两条直角边的长度，再尝试猜想它的斜边的长度，再用尺子测量出斜边的长度，进行验证。
【设计意图】：让学生初步验证自己的猜想，让他们在实践中体验成功的喜悦。
6、猜想Rt△ABC中两直角边长a , b与斜边长c的关系
（三）归纳验证
1、是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明，
中国古代的数学家赵爽就是用下面的方法来证明的：
把边长为a,b 的两个正方形连在一起，它的面积是多少？（a2+b2）
你能把他分割拼成以c为边长的正方形吗？
2、让学生运用完全平方公式分析验证定理
【设计意图】：让学生动手进行了画图、剪图、拼图，还有测量、计算等活动，使学生从中体会到数形结合和从特殊到一般的数学思想，而且这一过程也有利于培养学生严谨、科学的学习态度。
3、介绍勾股定理并学习定理的变式。
【设计意图】：对学生进行爱国主义教育，激励学生奋发向上；定理的变式为后面的练习打下基础。
（四）问题解决
⒈让学生解决开始上课前所提出的问题，张飞到底要建多高的梯子呢？
设计意图：前后呼应，让学生体会到成功的快乐。
⒉尝试练习：在Rt △ABC中， ∠C＝ 90°
(1)、已知a=5,b=3,求c.
(2)、已知a=8,c=10,求b.
(3)、已知c=7,b=5,求a。
【设计意图】：运用勾股定理进行简单的练习，让学生巩固与应用新知识。
其中（1）是对勾股定理的直接应用（2）（3）是对勾股定理变式的运用。
3、巩固练习:
练习1：在Rt △ABC中， ∠B＝90°
已知a=5,b=10,则c＝（ ）。
练习2：在Rt △ABC中，∠A＝ 90°,
已知a=20,c＝10,则b＝（ ）.
【设计意图】：学生在应用勾股定理时很容易教条化把c当成斜边，练习1、2针对这种情况让学生认识到斜边要通过看图来确认。
（五）课堂小结
小组成员从内容、数学思想方法、获取知识的途径进行小结.
【设计意图】：通过小结为学生创造交流的空间，引导学生对知识进行整理和分析。
（六）扩展练习
(1) 在Rt △ABC中，有两边长分别为3、4，求第三边的长。
(2)一根旗杆在离地面9M处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12M处，旗杆折断之前有多高？
【设计意图】：（1）中没有指明谁是直角，不知谁是斜边，让学生考虑：①所求的边的斜边②长的边为斜边。（2）让学生进一步体会定理与实际生活的联系。
（七）布置作业
1、上网搜索有关勾股定理的信息，收集有关勾股定理的证明方法。
2、课本P77~78习题18.1中的第1、3题。
【设计意图】：巩固所学内容，给学生留有继续学习的空间和兴趣。
以上内容，我从“说教材”，“说学情”、“说教法”、“说学法”、“说教学过程”上来说明这堂课“教什么”和“怎么教”，也阐述了“为什么这样教”，希望各位领导和老师对本次说课提出宝贵的意见，谢谢！
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