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(总课时16)§2.4二次函数应用(2)（最大利润）
一.选择题：
1.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（ ）
A．600元 B．625元 C．650元 D．675元
2.某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（ ）
A．60元 B．50元 C．40元 D．40元或60元
3.某商场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．商场想要获得最大利润，销售单价应定为（ ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．80元
4.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（ ）A．180 B．220 C．190 D．200
5.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（ ）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
二.填空题：
6.某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg水果，则商店平均每天的最高利润为_____元
7.某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，为了投资少而获利大，每个遮阳伞每天应提高__________。
8.服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售，每天可销售(200-x)件，若想获得最大利润，则x应定为_____元．
9.今年三月份王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝等进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，当销售单价是_____元时，王大伯获得利润最大．
10.如图2，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_____.
三.解答题：
11.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= -2x+100．（利润=售价-制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
四.提高题：
12.某种蔬菜每千克售价y1（元）与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克成本y2（元）与销售月份x之间的关系如图2所示，其中图1中的点在同一条线段上，图2中的点在对称轴平行于y轴的同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为(6，1)．
（1）求出y1与x函数关系式；
（2）求出y2与x函数关系式；
（3）设这种蔬菜每千克收益为w元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，w将取得最大值？并求出此最大值．（收益＝售价﹣成本）
图1
图2
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(总课时16)§2.4二次函数应用(2)（最大利润）
【学习目标】探索商品销售中最大利润等问题,运用二次函数的知识求出实际问题的最值.
【学习重难点】运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值．
【导学过程】
一.知识回顾
1.销售利润常用相等关系是:①销售总利润=单件利润×销售量,②利润=售价-成本价.
2.求出下列二次函数的对称轴，顶点坐标及最值:
（1）y=-2(x+2)2+15 （2）y=2x2+4x+12 （3）y=(10-x)(10+2x)
对称轴 直线：x=-2 直线：x=-1 直线：x=2.5
顶点坐标 (-2,15) (-1,10) (2.5,112.5)
最值 x=-2时，y最大值=15 x=-1时，y最小值=10 x=2.5时，y最大值=112.5
3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（B）
A．y=60（300+20x） B．y=（60﹣x）（300+20x） C．y=300（60﹣20x） D．y=（60﹣x）（300﹣20x）
二.探究新知
引例1.服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析:厂家批发单价是多少时,可以获利最多 是多少元？
解：设批发单价下降0.1x元，(0≤x<30)所获利润为y元,那么
（1）批发价为：（13-0.1x）元，销售量为：(5000+500x)件，
（2）销售额为：(5000+500x）（13-0.1x）元，
（3）所获利润为：
y=(5000+500x）（13-0.1x-10）=-50(x-10)2+20000
∵－50＜0，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x=10时，y最大值=20000
答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元．
另解：若设批发单价为x元，则：
单件利润为：(x－10)元；降价后的销售量为：(5000＋×500)件；
销售利润用y元表示，则
y＝(x－10)(5000＋×500)＝－5000(x2－24x＋140)
＝－5000(x－12)2＋20000
∵－5000＜0，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x＝12元时，y最大＝20000元．
答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元．
【归纳】生活因数学而精彩,数学因生活而完美.
①先将实际问题转化为数学问题，②再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，③然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，④有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
引例2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
(2)设宾馆一天的利润为w元，直接写出w与x的函数关系式.
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
解:（1）y=50-0.1x；（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-0.1x）=-0.1x2+34x+8000
（3）∵w=-0.1x2+34x+8000
所以x=170时，w有最大值，而170>160,故当x=160时，利润最大，此时订房数y=50-0.1x=34，
此时的利润为10880元.
三.典例与练习
例1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大 最大值是多少个？
解：设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,则
y=(100+x)(600-5x)=-5(x-10)2+60500
∵-5<0,∴当x=10时，总产量最大，最大产量为60500个.
答：增种10棵橙子树时,总产量最大为60500个.
练习1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润
解：设销售价为x元(x≥30元), 利润为y元,则
y=(x-20)[400-20(x-20)]=-20(x-35)2+4500
∵-20<0,∴当x=35时，在半月内获得最大利润4500元.
答：提高售价5元时，在半月内获得最大利润4500元.
四.课堂小结
※一种解题方法：求“最大利润”和“最高产量”.
解决此类问题的基本思路：①.理解问题;②.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;③.用数学的方式表示出它们之间的关系;④.做数学求解;⑤.检验结果的合理性,拓展等.
※一种数学思想：数形结合
※一种生活态度：生活中处处有数学，数学让生活更美好
五.分层过关
1.抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（D）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
2.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
3.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。(每人单价不得低于600元)你能帮忙计算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额吗？
解：设旅行团的人数为x人，利润为y元，由题意得：
y={800﹣[10（x﹣30）]}x=x（1100﹣10x）
=﹣10x2+1100x=﹣10（x2﹣110x）
=﹣10[（x﹣55）2﹣3025]
=﹣10（x﹣55）2+30250，（x≥30）
4.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）的函数关系是：y=﹣3x+240。
(2)求当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：（2）由题意得：w=（x﹣40）（﹣3x+240）=﹣3x2+360x﹣9600；
w=﹣3x2+360x﹣9600∵a＜0∴抛物线开口向下．
当时，w有最大值．又∵x＜60时，w随x的增大而增大．
∴当x=55元时，w的最大值为1125元．∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．
思考题：
5.某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y1（元)与x(m2)的函数关系图象如图所示，栽花所需费用y2（元)与x(m2)的函数关系式为y2=-0.01x2-20x+30000(0≤x≤1000)．
（1）y1与x的函数关系式:；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元)，W与x的函数关系式为：
，
当x=500时，绿化总费用W的最大值为32500元
∵800-10（x-30）≥600∴x≤50
∴当x=50时，利润y最大，达到30000元．
答：当一个旅游团的人数是50人时，旅行社可以获得最大营业额.
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(总课时16)§2.4二次函数应用(2)（最大利润）
一.选择题：
1.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（B）
A．600元 B．625元 C．650元 D．675元
2.某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出，若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出．以每次提高20元的这种方法变化下去，为了投资少而收入最多，每张床位每晚应提高（A）
A．60元 B．50元 C．40元 D．40元或60元
3.某商场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．商场想要获得最大利润，销售单价应定为（ C ）
A．50元 B．60元 C．70元 D．80元
4.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图1所示．则最大利润是（D）A．180 B．220 C．190 D．200
5.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（A）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
二.填空题：
6.某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg水果，则商店平均每天的最高利润为180元
7.某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，为了投资少而获利大，每个遮阳伞每天应提高4元或6元。
8.服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售，每天可销售(200-x)件，若想获得最大利润，则x应定为150元．
9.今年三月份王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝等进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，当销售单价是20元时，王大伯获得利润最大．
10.如图2，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为0.5米
三.解答题：
11.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= -2x+100．（利润=售价-制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）z=（x-18）y=（x-18）（-2x+100）=-2x2+136x-1800，
∴z与x之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1800（x＞18）；
（2）由z=350，得350=-2x2+136x-1800，解这个方程得x1=25，x2=43所以，销售单价定为25元或43元，
将z=-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512（x＞18），
答；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元.
四.提高题：
12.某种蔬菜每千克售价y1（元）与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克成本y2（元）与销售月份x之间的关系如图2所示，其中图1中的点在同一条线段上，图2中的点在对称轴平行于y轴的同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为(6，1)．
（1）求出y1与x函数关系式；
（2）求出y2与x函数关系式；
（3）设这种蔬菜每千克收益为w元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，w将取得最大值？并求出此最大值．（收益＝售价﹣成本）
解：（1）设y1＝kx+b，∵直线经过（3，5）、（6，3），，解得：，
∴y1＝﹣x+7（3≤x≤6，且x为整数），
（2）设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得：4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝，∴y2＝（x﹣6）2+1，
（3）由题意得：w＝y1﹣y2＝﹣x+7﹣[（x﹣6）2+1]＝﹣（x﹣5）2+，
当x＝5时，w最大值＝．故5月出售这种蔬菜，每千克收益最大．
图1
图2
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(总课时16)§2.4二次函数应用(2)（最大利润）
【学习目标】探索商品销售中最大利润等问题,运用二次函数的知识求出实际问题的最值.
【学习重难点】运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值．
【导学过程】
一.知识回顾
1.销售利润常用相等关系是:①销售总利润=单件利润×销售量,②利润=售价-成本价.
2.求出下列二次函数的对称轴，顶点坐标及最值:
（1）y=-2(x+2)2+15 （2）y=2x2+4x+12 （3）y=(10-x)(10+2x)
对称轴 ________ ___________ ____________
顶点坐标 ___________ ____________ ____________
最值 ____________ ____________ ____________
3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y=60（300+20x） B．y=（60﹣x）（300+20x） C．y=300（60﹣20x） D．y=（60﹣x）（300﹣20x）
二.探究新知
引例1.服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析:厂家批发单价是多少时,可以获利最多 是多少元？
解：设批发单价下降0.1x元，(0≤x<30)所获利润为y元,那么
（1）批发价为：____________元，销售量为：____________件，
（2）销售额为：________________________元，
（3）所获利润为：
____________________________________________________________
∵－50＜0，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x=________时，y最大值=________
答：当批发单价是____元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是________元．
另解：若设批发单价为x元，则：[]
单件利润为：________元；降价后的销售量为：________________________件；
销售利润用y元表示，则
∵－5000＜0，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x＝____元时，y最大＝________元．
答：当批发单价是____元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是_________元．
【归纳】生活因数学而精彩,数学因生活而完美.
①先将实际问题转化为数学问题，②再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，③然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，④有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
引例2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
(2)设宾馆一天的利润为w元，直接写出w与x的函数关系式.
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
三.典例与练习
例1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大 最大值是多少个？
练习1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润
四.课堂小结
※一种解题方法：求“最大利润”和“最高产量”.
解决此类问题的基本思路：①.理解问题;②.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;③.用数学的方式表示出它们之间的关系;④.做数学求解;⑤.检验结果的合理性,拓展等.
※一种数学思想：数形结合
※一种生活态度：生活中处处有数学，数学让生活更美好
五.分层过关
1.抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
2.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
3.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元。(每人单价不得低于600元)你能帮忙计算一下，当一个旅游团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额吗？
4.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）的函数关系是：____________。
(2)求当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
思考题：
5.某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y1（元)与x(m2)的函数关系图象如图所示，栽花所需费用y2（元)与x(m2)的函数关系式为y2=-0.01x2-20x+30000(0≤x≤1000)．
（1）y1与x的函数关系式:______________________________________；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元)，W与x的函数关系式为：
___________________________________________，
当x=____时，绿化总费用W的最大值为________元
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