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(总课时19)§2.6二次函数复习(2)
【学习目标】掌握二次函数“两个变换”，“三个应用”，“三种思想”.
【学习重难点】能用二次函数解决实际问题及简单的综合运用。
【导学过程】
一.知识回顾
1.两个变换--平移变换与对折变换
（1）平称变换：只要两个二次函数的a相同，就可以通过平移使它们重合.
练习1.抛物线y=-1.5x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为:
y=-1.5(x+3)2-4。
方法：抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同.把抛物线y＝ax2向左（右），向上（下）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移规律：左加右减；上加下减.
（2）对折变换：
对折规律：沿x轴，纵变横不变；沿y轴，横变纵不变.
y=ax2+bx+c 沿x轴对折 -y=ax2+bx+c；y=ax2+bx+c 沿y轴对折 y=ax2-bx+c
练习2.将y=2x2-4x+3关于y轴对折后的解析式为：y=2x2+4x+3
2.三个应用
（1）最大面积的应用：
练习3.如图1所示,李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD,用篱笆围成的另外三边总长为24m,当BC的长为12m时,矩形的面积最大为72m2.
（2）最大利润的应用
练习4.服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ A ）A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
（3）几何综合应用
练习5.如图2，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx﹣2的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．①这个二次函数的表达式是y=x2-x-2；
②点P是直线BC下方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△BCP的面积最大？若存在，直接写出点P的坐标(1.5,-2.5)；若不存在，说明理由；
③点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以B、C、
M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标
Q1(-2,0),Q2(-2-,0),Q3(1,0),Q4(5,0)；若不存在，说明理由．
3.三个思想
（1）数形结合思想
练习6.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的位置如图3所示，则点P(a，bc)在第三象限．
（2）分类讨论思想
练习7.如图4，已知二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴的一个交点为
A(4，0)，与y轴交于点B.
①则二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋3：点B的坐标(0，3)．
②在x轴上是否存在点P，使得△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：②存在．假设在x轴上存在点P，使得△PAB是等腰三角形．分三种情况：
a.当AB为底边时，设点P(x，0)，则可得x2＋32＝(4－x)2，
解得x＝0.875，∴点P的坐标为（0.875，0）
b.当BP为底边时，AP＝AB＝＝5，∴点P的坐标为(－1，0)或(9，0)；
c.当AP为底边时，易知点P的坐标为(－4，0)．
∴在x轴上存在满足条件点P的坐标为（0.875，0）或(－1，0)或(9，0)或(－4，0)．
（3）方程思想
练习8.已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
①求此抛物线的表达式；
②如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
解:①把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c
得方程组：，解得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x﹣3；
②把x＝﹣2代入y＝﹣x2＋2x﹣3得y＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），所以需将抛物线向上平移4个单位．
二.课堂小结
1.二次函数是中考重要内容之一，所蕴涵内容远不止所列；
2.熟悉本章内容：“一个概念”，“一个性质”，“两种关系”，“两种变”，“三个应用”，“三种思想”.
【一个概念】二次函数概念； 【一个性质】二次函数图象与性质；
【两种关系】①抛物线的位置与二次函数各项系数的关系，②二次函数与一元二次方程的关系；
【两种变换】①平移变换，②对折变换；
【三个应用】①最大面积的应用，②最大利润的应用，③几何综合的应用；
【三种思想】①数形结合思想，②分类讨论思想，③方程思想.
三.分层过关
1.若将抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得到的抛物线的顶点坐标是（B）A.（4，0） B.（2，0） C.（0，2） D.（0，4）
2.烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”，特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=-2.5t2+30t+1，礼炮点火升空后会在最高点处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为（A）
A. 91米 B. 90米 C. 81米 D. 80米
3.将抛物线y=2x2-12x+16沿x轴对折后，所得抛物线的解析式是（ B）
A. y=-2x2-12x+16 B.y=-2x2+12x-16 C. y=-2x2+12x-19 D. y=-2x2+12x-20
4.若函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2，b），则k＝4.5，b＝12．
5.两数和为10，则它们的乘积最大是25，此时两数分别为5,5．
6.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
解：y=（x－50）[50＋5（100－x）]=－5x2＋800x－27500
∴y=－5x2＋800x－27500=－5(x-80)2＋4500
∵a=－5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80时，最大利润为4500元．
7.如图4，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（0.5，2.5）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式y=2x2﹣8x+6；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；
若不存在，请说明理由；
（3）直接写出 PAC为直角三角形时点P的坐标（3，5）或（3.5，5.5）．
解：（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
=-2n2+9n-4=-2(n-2.25)2+6.125，∵PC＞0，∴当n=2.25时，线段PC最大值为6.125；
思考题：
8.如图5是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③4b+c＜0；④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）_②③⑤_．
图1
图2
图3
图4
图4
图5
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(总课时19)§2.6二次函数复习(2)
一.选择题：
1.如果将一个二次函数图像沿着坐标轴向左平移3个单位，向下平移4个单位后得到的是y=2（x-6）2+4，则原函数解析式是（ A ）
A.y=2（x-9）2+8 B.y=2（x-6）2 C.y=2（x-3）2+8 D.y=2（x-9）2+8
2.当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（D）
A. B. C. D.
3.y＝2x2+x-1沿着y轴对折后，得到的抛物线的解析式为（ B ）
A．y＝﹣2x2+x-1 B．y＝2x2-x-1 C．y＝﹣2x2+x+1 D．y＝2x2+x+1
4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：
①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是(C)
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④
5.服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（A）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
二.填空题：
6.如图1，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为6.
7.如图2，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是③④．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．
8.如图3，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．
9.如图4，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2，－2)，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为12
三.解答题：
10.如图，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.
(1)请直接写出y与x之间函数关系式y＝－0.5x2＋3x；
(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．
解：(2)y＝－x2＋3x＝－ (x－3)2＋4.5，
∵a＝－＜0，∴y有最大值，当x＝3时，y有最大值，为4.5.
11.商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
（1）若商场每天要盈利1200元，每件应降价20元？
（2）设每件降价x元，每天盈利y元，每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
解：（2）根据题意得到：
即：
当x=15元时，有最大值y=1250，每件降价15元时商场每天的盈利达到最大1250元．
四.提高题：
12.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）写出抛物线和直线l的解析式y＝﹣x2+3x+4，y＝﹣x﹣1.
（2）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶
点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
解：存在。点M的坐标为：（，）或（，）
或（4，﹣5）或（﹣4，3）．
图1
图4
图3
图2
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(总课时19)§2.6二次函数复习(2)
一.选择题：
1.如果将一个二次函数图像沿着坐标轴向左平移3个单位，向下平移4个单位后得到的是y=2（x-6）2+4，则原函数解析式是（ ）
A.y=2（x-9）2+8 B.y=2（x-6）2 C.y=2（x-3）2+8 D.y=2（x-9）2+8
2.当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
3.y＝2x2+x-1沿着y轴对折后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+x-1 B．y＝2x2-x-1 C．y＝﹣2x2+x+1 D．y＝2x2+x+1
4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论：
①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0．则其中正确结论的序号是( )
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④
5.服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
二.填空题：
6.如图1，P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为_____.
7.如图2，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．
8.如图3，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_________________________．
9.如图4，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2，－2)，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为_____.
三.解答题：
10.如图，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.
(1)请直接写出y与x之间函数关系式_______________；
(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．
11.商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
（1）若商场每天要盈利1200元，每件应降价_____元？
（2）设每件降价x元，每天盈利y元，每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
四.提高题：
12.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）写出抛物线和直线l的解析式_________________________.
（2）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶
点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
图1
图4
图3
图2
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(总课时19)§2.6二次函数复习(2)
【学习目标】掌握二次函数“两个变换”，“三个应用”，“三种思想”.
【学习重难点】能用二次函数解决实际问题及简单的综合运用。
【导学过程】
一.知识回顾
1.两个变换--平移变换与对折变换
（1）平称变换：只要两个二次函数的a相同，就可以通过平移使它们重合.
练习1.抛物线y=-1.5x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为:
_______________________.
方法：抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同.把抛物线y＝ax2向左（右），向上（下）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移规律：左___右___；上___下___.
（2）对折变换：
对折规律：沿x轴，纵变横不变；沿y轴，横变纵不变.
y=ax2+bx+c 沿x轴对折 -y=ax2+bx+c；y=ax2+bx+c 沿y轴对折 y=ax2-bx+c
练习2.将y=2x2-4x+3关于y轴对折后的解析式为：____________.
2.三个应用
（1）最大面积的应用：
练习3.如图1所示,李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD,用篱笆围成的另外三边总长为24m,当BC的长为___m时,矩形的面积最大为___m2.
（2）最大利润的应用
练习4.服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
（3）几何综合应用
练习5.如图2，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx﹣2的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．①这个二次函数的表达式是____________；
②点P是直线BC下方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△BCP的面积最大？若存在，直接写出点P的坐标_________；若不存在，说明理由；
③点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以B、C、
M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标
_____________________________________；若不存在，说明理由．
3.三个思想
（1）数形结合思想
练习6.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的位置如图3所示，则点P(a，bc)在第___象限．
（2）分类讨论思想
练习7.如图4，已知二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴的一个交点为
A(4，0)，与y轴交于点B.
①则二次函数的表达式为_______________：点B的坐标_________．
②在x轴上是否存在点P，使得△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：②存在．假设在x轴上存在点P，使得△PAB是等腰三角形．分三种情况：
a.当AB为底边时，设点P(x，0)，则可得_______________，
解得x____________∴点P的坐标为____________
b.当BP为底边时，AP＝AB＝_________，∴点P的坐标为_______________；
c.当AP为底边时，易知点P的坐标为____________．
∴在x轴上存在满足条件点P的坐标为__________________________________________．
（3）方程思想
练习8.已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
①求此抛物线的表达式；
②如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
二.课堂小结
1.二次函数是中考重要内容之一，所蕴涵内容远不止所列；
2.熟悉本章内容：“一个概念”，“一个性质”，“两种关系”，“两种变”，“三个应用”，“三种思想”.
【一个概念】二次函数概念； 【一个性质】二次函数图象与性质；
【两种关系】①抛物线的位置与二次函数各项系数的关系，②二次函数与一元二次方程的关系；
【两种变换】①平移变换，②对折变换；
【三个应用】①最大面积的应用，②最大利润的应用，③几何综合的应用；
【三种思想】①数形结合思想，②分类讨论思想，③方程思想.
三.分层过关
1.若将抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得到的抛物线的顶点坐标是（ ）A.（4，0） B.（2，0） C.（0，2） D.（0，4）
2.烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”，特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=-2.5t2+30t+1，礼炮点火升空后会在最高点处引爆，则这种礼炮能上升的最大高度为（A）
A. 91米 B. 90米 C. 81米 D. 80米
3.将抛物线y=2x2-12x+16沿x轴对折后，所得抛物线的解析式是（ ）
A. y=-2x2-12x+16 B.y=-2x2+12x-16 C. y=-2x2+12x-19 D. y=-2x2+12x-20
4.若函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2，b），则k＝＿＿，b＝＿＿．
5.两数和为10，则它们的乘积最大是_______，此时两数分别为________．
6.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
7.如图4，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（0.5，2.5）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式_______________；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；
若不存在，请说明理由；
（3）直接写出 PAC为直角三角形时点P的坐标_____________________．
思考题：
8.如图5是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③4b+c＜0；④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______________．
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图2
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图4
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