第4章 数列——2023-2024学年高二数学苏教版（2019）选修一单元自测练（含解析）

第4章 数列
——2023-2024学年高二数学苏教版（2019）选修一
单元自测练
1.等差数列中，，则的值为( ).
A.-20 B.-10 C.10 D.20
2.数列的一个通项公式是( ).
A. B. C. D.
3.设是等差数列的前n项和，若，则( ).
A. B. C. D.
4.在等差数列中，首项，公差，是其前n项和，若，则( ).
A.15 B.16 C.17 D.18
5.在等比数列中，若，，则的前4项和为( ).
A.81 B.120 C.168 D.192
6.在等比数列中，，，则( )
A.512 B.1024 C.512或-512 D.1024或-1024
7.记为等比数列的前n项和，若，，则( )
A.120 B.85 C.-85 D.-120
8.已知首项为2的等比数列的前n项和为，且，，则的值为( )
A.6 B.14 C.30 D.62
9.（多选）已知数列是等差数列，前n项和为，且，下列结论中正确的是( ).
A.最小 B. C. D.
10.（多选）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
11.在等比数列中，设前n项和为，若，，则公比___________.
12.设数列的前n项和为，且，则数列的前20项和为__________.
13.已知数列是公差的等差数列，的前n项和为，，，则__________.
14.若数列满足，则称为“梦想数列”.已知数列为“梦想数列”，且，则的通项公式____________.
15.已知数列的前n项和，为单调递增的等比数列，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
16.已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4.
(1)求数列的通项公式；
(2)设(，)，求数列的前n项和.
答案以及解析
1.答案：B
解析：在等差数列中，因为，所以，则.故选B.
2.答案：A
解析：先写出9，99，999，9999，…的通项是，则数列2，22，222，2222，…的通项公式是.故选A.
3.答案：A
解析：法一：由等差数列的求和公式可得，，化简得，所以.故选A.
法二：由于等差数列中，，也成等差数列，即，因为，代入得，因为，，成等差数列，所以，即，所以.故选A.
4.答案：B
解析：由得，将代入得.因为，所以，即.故选B.
5.答案：B
解析：由已知，，得，，故.
6.答案：A
解析：设等比数列的公比为q，所以，所以.故选A.
7.答案：C
解析：法一：设等比数列的公比为，由题意易知，则，化简整理得.所以.故选C.
法二：易知，，，，……为等比数列，所以，解得或.当时，由，解得；当时，结合得，化简可得，不成立，舍去.所以，故选C.
8.答案：B
解析：设数列的公比为q，若，则，与题中条件矛盾，故.，，则.由在定义域上单调递增，在上单调递减，结合图象可得有唯一解，，故选B.
9.答案：BCD
解析：D：设等差数列的公差为d，由有，即，所以，则D正确.
A：，无法判断其是否有最小值，故A错误.
B：，故B正确.
C：，所以，故C正确.故选BCD.
10.答案：AD
解析：A项，且，而和异号.如果，，则，，结合知每一项都大于1，这与矛盾，所以必定是，，即，，，故A项正确；
B项，从前面的求解过程知，，说明是单调递减的正项等比数列，且，所以，那么，故B项错误；
C项，是正项数列，没有最大值，故C项错误；
D项，从前面的分析过程可知前9项均大于1，从起全部在上，所以的最大值为，故D项正确.
11.答案：3
解析：，，两式相减得，.
12.答案：210
解析：因为数列满足，所以数列是等差数列，则，故，所以数列的前20项和为.
13.答案：120
解析：已知数列是公差的等差数列，则，由等差数列的求和公式可得，所以，则有解得，，则，因此.
14.答案：
解析：由可得，故是公比为的等比数列，
由数列为“梦想数列”，得是以为首项，3为公比的等比数列，所以，则.
15.答案：(1)，
(2)
解析：(1)当时，，
当时，，符合上式，
所以.
因为为等比数列，所以，解得.
设的公比为q，则，，而，
由得，解得或.
因为单调递增，所以，
从而.
(2)因为，
所以
.
16.答案：(1)
(2)
解析：(1)设的公差为d，
由已知得解得，，
故.
(2)由(1)可得，
.
当时，上式两边同时乘q可得，
上述两式相减，可得
，
所以；
当时，.
综上所述，
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