第5章 导数及其应用——2023-2024学年高二数学苏教版（2019）选修一单元自测练（含解析）
文档属性
| 名称 | 第5章 导数及其应用——2023-2024学年高二数学苏教版（2019）选修一单元自测练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 670.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-26 15:17:24 | ||
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文档简介
第5章 导数及其应用
——2023-2024学年高二数学苏教版（2019）选修一
单元自测练
1.在高台跳水运动中t s时某运动员相对于水面的高度（单位：m）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是( )
A.-3.3 m/s B.-13.1 m/s C.13.1 m/s D.3.3 m/s
2.下列函数组中导函数相同的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
3.已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，其导函数记为，则( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
5.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数在上为减函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
8.定义在上的函数的导函数为，满足，，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知函数，则( ).
A.的极大值为-1
B.的极大值为
C.曲线在点处的切线方程为
D.曲线在点处的切线方程为
10.（多选）已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是( )
A.函数在上为单调递增函数
B.是函数的极小值点
C.函数至多有两个零点
D.时，不等式恒成立
11.已知函数，则函数的极大值为__________________.
12.若定义在R上的函数满足，，则不等式的解集为__________________.
13.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为____________.
14.已知函数有2个不同零点(其中e是自然对数的底数)，则m的取值范围是___________.
15.已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的方程有3个不等实根，求证：.
16.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由，得，当时，，所以高台跳水运动中该运动员在时的瞬时速度是-13.1 m/s.
2.答案：C
解析：由常数函数的导数为0以及，排除A；，，排除B；，故C正确；，，排除D.
3.答案：C
解析：由函数的图象在点处的切线方程是，得，.由，得，则.
4.答案：A
解析：由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数，又为偶函数，所以，，所以.
5.答案：B
解析：，，函数既存在极大值，又存在极小值，导函数有两个不相等的变号零点，，即，解得或.实数m的取值范围是，故选B.
6.答案：B
解析：，.
因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，即，
所以.
设，，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，
所以，故选B.
7.答案：A
解析：由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值，
所以实数a的取值范围是.
故选A.
8.答案：A
解析：令，则，可得，所以是上的奇函数，，当时，，所以，在上单调递增，所以在上单调递增.因为，所以由可得，即.由在上单调递增，可得解得，所以不等式的解集为，故选A.
9.答案：BD
解析：因为，所以，所以当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故A错误，B正确；
因为，，所以曲线在处的切线方程为，即，故C错误，D正确.故选BD.
10.答案：ABC
解析：因为，所以当时，；当时，.因为，所以，则当时，；当时，.所以函数在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则是函数的极小值点，则选项A，B均正确.当时，函数至多有两个零点，当时，函数有一个零点，当时，函数无零点，所以选项C正确.，又在区间上单调递减，所以当时，，又，所以，故选项D错误.故选ABC.
11.答案：
解析：，故，解得，所以，，令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为.
12.答案：
解析：构造函数，则，
函数满足，，故在R上单调递增.
又，，不等式，即，
由在R上单调递增，可知.
13.答案：
解析：由题可知，当时，不等式恒成立，设，则在上是增函数，则在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以，所以.
14.答案：
解析：设则函数有2个不同零点，即函数与有2个不同交点.当时，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，作出函数的大致图象如图所示，根据图象可知，实数m的取值范围是.
15.答案：(1)在上单调递增，在上单调递减.
(2)见解析.
解析：(1)依题意得，.
令，得；
令，得或.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
(2)由(1)可知函数的极小值，极大值.
当时，，当时，，
画出的大致图象如图所示.
方程有3个不等实根等价于直线与函数的图象有3个不同交点，
不妨设，由图象可知.
构造函数，
则.
当时，，
则在上单调递减，.
所以，故，
由(1)知，在上单调递减，所以，
即，又，故.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，
，
，
，
所求切线方程为，即.
（2），
1°当时，若，则，，，
在上无零点，不符合题意.
2°当时，.
令，则，在上单调递增，
，，
（a）若，则，时，
在上恒成立，
在上单调递增，
，在上恒成立，
在上恒成立，
在上单调递增，，
在，上均无零点，不符合题意.
（b）若，则，时，存在，使得.
在上单调递减，在上单调递增.
，，.
（ⅰ）当，即时，在上恒成立，
在上恒成立，
在上单调递增.
，当时，，
在上无零点，不符合题意.
（ⅱ）当，即时，
存在，，使得，
在，上单调递增，在上单调递减.
，，当时，，
在上存在一个零点，
即在上存在一个零点，
，当时，，
在上存在一个零点，即在上存在一个零点.
综上，a的取值范围是.
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——2023-2024学年高二数学苏教版（2019）选修一
单元自测练
1.在高台跳水运动中t s时某运动员相对于水面的高度（单位：m）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是( )
A.-3.3 m/s B.-13.1 m/s C.13.1 m/s D.3.3 m/s
2.下列函数组中导函数相同的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
3.已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，其导函数记为，则( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
5.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数在上为减函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
8.定义在上的函数的导函数为，满足，，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知函数，则( ).
A.的极大值为-1
B.的极大值为
C.曲线在点处的切线方程为
D.曲线在点处的切线方程为
10.（多选）已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是( )
A.函数在上为单调递增函数
B.是函数的极小值点
C.函数至多有两个零点
D.时，不等式恒成立
11.已知函数，则函数的极大值为__________________.
12.若定义在R上的函数满足，，则不等式的解集为__________________.
13.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为____________.
14.已知函数有2个不同零点(其中e是自然对数的底数)，则m的取值范围是___________.
15.已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于x的方程有3个不等实根，求证：.
16.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由，得，当时，，所以高台跳水运动中该运动员在时的瞬时速度是-13.1 m/s.
2.答案：C
解析：由常数函数的导数为0以及，排除A；，，排除B；，故C正确；，，排除D.
3.答案：C
解析：由函数的图象在点处的切线方程是，得，.由，得，则.
4.答案：A
解析：由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数，又为偶函数，所以，，所以.
5.答案：B
解析：，，函数既存在极大值，又存在极小值，导函数有两个不相等的变号零点，，即，解得或.实数m的取值范围是，故选B.
6.答案：B
解析：，.
因为函数在上为减函数，
所以在上恒成立，即，
所以.
设，，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，
所以，故选B.
7.答案：A
解析：由题意可得，且，这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也是最小值，
所以实数a的取值范围是.
故选A.
8.答案：A
解析：令，则，可得，所以是上的奇函数，，当时，，所以，在上单调递增，所以在上单调递增.因为，所以由可得，即.由在上单调递增，可得解得，所以不等式的解集为，故选A.
9.答案：BD
解析：因为，所以，所以当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故A错误，B正确；
因为，，所以曲线在处的切线方程为，即，故C错误，D正确.故选BD.
10.答案：ABC
解析：因为，所以当时，；当时，.因为，所以，则当时，；当时，.所以函数在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则是函数的极小值点，则选项A，B均正确.当时，函数至多有两个零点，当时，函数有一个零点，当时，函数无零点，所以选项C正确.，又在区间上单调递减，所以当时，，又，所以，故选项D错误.故选ABC.
11.答案：
解析：，故，解得，所以，，令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为.
12.答案：
解析：构造函数，则，
函数满足，，故在R上单调递增.
又，，不等式，即，
由在R上单调递增，可知.
13.答案：
解析：由题可知，当时，不等式恒成立，设，则在上是增函数，则在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以，所以.
14.答案：
解析：设则函数有2个不同零点，即函数与有2个不同交点.当时，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，作出函数的大致图象如图所示，根据图象可知，实数m的取值范围是.
15.答案：(1)在上单调递增，在上单调递减.
(2)见解析.
解析：(1)依题意得，.
令，得；
令，得或.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
(2)由(1)可知函数的极小值，极大值.
当时，，当时，，
画出的大致图象如图所示.
方程有3个不等实根等价于直线与函数的图象有3个不同交点，
不妨设，由图象可知.
构造函数，
则.
当时，，
则在上单调递减，.
所以，故，
由(1)知，在上单调递减，所以，
即，又，故.
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，
，
，
，
所求切线方程为，即.
（2），
1°当时，若，则，，，
在上无零点，不符合题意.
2°当时，.
令，则，在上单调递增，
，，
（a）若，则，时，
在上恒成立，
在上单调递增，
，在上恒成立，
在上恒成立，
在上单调递增，，
在，上均无零点，不符合题意.
（b）若，则，时，存在，使得.
在上单调递减，在上单调递增.
，，.
（ⅰ）当，即时，在上恒成立，
在上恒成立，
在上单调递增.
，当时，，
在上无零点，不符合题意.
（ⅱ）当，即时，
存在，，使得，
在，上单调递增，在上单调递减.
，，当时，，
在上存在一个零点，
即在上存在一个零点，
，当时，，
在上存在一个零点，即在上存在一个零点.
综上，a的取值范围是.
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