高一上期中模拟卷（1.1-4.2节）（含解析）

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高一上期中模拟卷（含解析）
（1.1-4.2节）
一、选择题
1．若集合，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．“”是“函数在内单调递增”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
3．三个数之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．已知正数满足，则的最小值为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．4
5．为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区阴影部分和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和如图所示当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数，不等式的解集为，则不等式的解集为（　　）
A．或 B．
C． D．或
7．已知函数的定义域为R，为奇函数，且对恒成立．则以下结论：①为偶函数；②；③；④其中正确的为（　　）
A．①②④ B．②③ C．②③④ D．①③④
8．已知，若有三个不同的解，且，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9． 设，且，则（　　）
A． B．
C．的最小值为0 D．的最小值为
10．下列选项中说法错误的是（　　）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数的单调递增区间是
C．设，，则“”是“”的充要条件
D．函数的最小值为
11．以下命题正确的是（　　）
A．函数与函数表示同一个函数
B．，使
C．若，且，则的最小值为
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
12．若是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，且对任意，都有，则下列说法正确的是（　　）
A．一定为正数 B．2是的一个周期
C．若，则 D．若在上单调递增，则
三、填空题
13．已知集合，，若，则实数的取值范围为　 　．
14．已知实数，且，则的最小值为　 　.
15．若指数函数的图象经过点，则　 　；不等式的解集是　 　.
16．设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则
①2是函数的一个周期；
②函数在上是减函数，在上是增函数；
③函数的最大值是1，最小值是0；
④是函数的一个对称轴；
⑤当时，.
其中所有正确命题的序号是　 　.
四、解答题
17．已知集合，.
（1）若求.
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
18．求下列最值：
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，求函数的最大值.
19．设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，的最小值为，且，求证：．
20． 在第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，冬奥会的举办为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇.
某冰雪装备器材生产企业生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算，若年产量于件低于100千件，则这x千件产品的成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品的成本.每千件产品售价为100万元，为了简化运算，我们假设该企业生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
21．已知函数为偶函数.
（1）求出a的值，并写出单调区间；
（2）若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围.
22． 已知的定义域为，对任意都有，当时，
（1）求；
（2）证明：在上是减函数；
（3）解不等式：.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】由|x-2|< 1得 1由(x- 1)(x-4)≥0得x≤1或x≥4，故B={x|x≤1或x≥4}，
则CRB={x|1则，故选项A正确；
A∪B={x|x <3或x≥4}，故选项B错误；
A不是B的子集，选项C错误；
，选项D错误.
故选： A.
【分析】 解不等式求得集合A、B，然后逐项进行判断，可得答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】因为函数在内单调递增，
所以，
因为是的真子集，
所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件。
3．【答案】C
【解析】【解答】，
设，此函数在定义域内是单调递增的，
∵，
∴，
∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，设，再结合幂函数的单调性，进而利用幂函数的单调性判断出a，b，c三个数的大小。
4．【答案】D
【解析】【解答】因为，所以.
又.所以，当且仅当时，等号成立.
故答案为：D
【分析】根据基本不等式得到，求解即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】 设BC=xm(x>0)，则，
则矩形 的面积
当且仅当即x =50时上式取等号.
故当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区BC的长度为50m.
故选： B.
【分析】设BC=xm(x>0)，则，可得矩形的面积S的表达式，再由基本不等式求出面积最小值.
6．【答案】A
【解析】【解答】依题知的根为，，则两根之和为3，两根之积为，
∴即∴可化为，即，解得，或，∴不等式的解集为或.
故答案为：A.
【分析】根据题意得到的根为，，求得的值，再由转化为，结合不等式的解法，即可求解.
7．【答案】A
【解析】【解答】 为奇函数 ，， 关于对称，，
对恒成立 ， 关于对称，
， ① 正确；
由 关于对称得， ② 正确；
由关于对称得 ，由 关于对称得 ，， ③ 错误；
由得周期为， ， ④ 正确；
故答案为：A
【分析】分析题意得 关于和对称，进而分析各选项。
8．【答案】D
【解析】【解答】当时，在上单调递增，函数的取值集合为，
当时，，，当时，，令，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减，
，于是当时，函数的取值集合为，且当时，恒有，
由有三个不同的解，且，得，且，是方程的不等实根，
由得：，则有，而
因此，由对勾函数知函数在上单调递减，
即有，所以的取值范围是.
故答案为：D
【分析】 讨论函数f(x)的性质，求出t的取值范围，再结合方程解的意义把 表示成t的函数，求出函数的值域，可得 的取值范围 .
9．【答案】A,C,D
【解析】【解答】A、由 得，解得 ， A正确；
B、由 得，解得 ，
，和单调递增， ，B错误；
C、 ，当且仅当，即时取等，C正确；
D、 ， 当且仅当，即时取等，D正确.
故答案为：ACD
【分析】A由计算可得；B代入利用函数单调性计算判断；C代入结合基本不等式计算判断；D代入结合基本不等式计算判断.
10．【答案】B,C,D
【解析】【解答】因为函数的定义域为，所以，所以由解得，即函数的定义域为，A符合题意；
取时， ，故在上不是增函数，B不符合题意；
当时，由推不出，所以“”不是“”的充要条件，C不符合题意；
因为，当且仅当时等号成立，显然取不到等号，故不是最小值，故 D不符合题意.
故答案为：BCD
【分析】由抽象函数的定义域的求法，可判定A符合题意；当时，得到 ，可判定B不符合题意；当时，由推不出，可判定C不符合题意；化简函数为，结合基本不等式，可判定D不符合题意.
11．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A，，，
故与不是同一个函数，A不符合题意；
对于B，由幂函数的单调性知，∵，
∴在是增函数，∴，即，B符合题意；
对于C，，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为；C符合题意；
对于选项D，∵函数的定义域为，∴，解得，
故函数的定义域为；D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合同一函数的判断方法，即定义域和对应关系都相同，则两函数相同，从而得出与不是同一个函数；再利用不等式恒成立问题求解方法，则 ，使 ；再利用均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值 ；再结合换元法和指数函数的单调性，进而得出函数函数的定义域，进而找出真命题的选项。
12．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：对于A：取常函数，符合题意，故A错误；
对于B：因为的图像关于直线对称，则，
又因为为偶函数，则，
所以2是的一个周期，故B正确；
对于C：因为对任意，都有，
令，可得；
又因为，令，可得，则，
令，可得，则，
且2是的一个周期，所以，故C正确；
对于D：假设，由选项C可知：
令，可得，则，
令，可得，则，
因为，即，
这与在上单调递增 ，假设不成立，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】对于A：取常函数分析判断；对于B：根据对称性以及偶函数的定义可得；对于C：令，可得，赋值可得，结合函数的性质运算求解；对于D：反证，假设，结合选项C的结论运算求解.
13．【答案】
【解析】【解答】解：因为 ，
若，则，解得；
若，则，解得或；
综上所述：实数的取值范围为 .
故答案为： .
【分析】先求集合B，再分和 两种情况，结合交集运算结果列式求解.
14．【答案】
【解析】【解答】，
，
，
当且仅当时，取等号.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法得出 的最小值 。
15．【答案】；
【解析】【解答】解：设指数函数为(且) ，则解得， ， ；
，又是上的增函数， ，即，解得.
故答案为：；.
【分析】第一空：先求出 指数函数解析式 ，再求；第二空：将转化为，进而求解 .
16．【答案】①②④⑤
【解析】【解答】解： 因为，则，
所以2是函数f(x)的一个周期，故①正确；
当时， ，可知其为单调递增，
因为2是函数f(x)的一个周期，所以当上单调递增；
又因为函数是定义在上的偶函数，且，
可得，则，
当时，则，则；
综上所述： 函数在上是减函数，在上是增函数，故②正确；
由①②可知：函数的最大值是；函数的最小值是；故③不正确；
由②可知：，所以 是函数的一个对称轴 ，故 ④ 正确；
由周期可知： 当时，则，可得，故 ⑤ 正确；
故答案为： ①②④⑤ .
【分析】根据题意可得，进而可得其周期，进而可得，可得对称轴，根据函数性质逐项分析判断.
17．【答案】（1）解：
当时，，故；
（2）解：若是的充分条件，则，①当时，即，即，符合题意
②当时，即，若，则，
综上，若是的充分条件，则实数的取值范围为.
【解析】【分析】 (1) 由题意可得 ， 结合集合间的运算求解；
(2) 由题意可得 ，， 分 A= 和 A≠ 两种情况，列式求解即可.
18．【答案】（1），则，
，
当，即时等号成立.
（2），
当，即时等号成立.
【解析】【分析】(1)根据题意可得 ， 结合基本不等式运算求解；
（2）根据题意可得 ， 结合基本不等式运算求解.
19．【答案】（1）解：当时，函数，
当时，由得；
当时，由无解；
当时，由得．
综上，不等式的解集为．
（2）证明：因为，
当且仅当时，等号成立，故取到最小值，
所以，即．
所以
，
当且仅当时，即，等号成立，即成立．
20．【答案】（1）解：当0＜x＜100时，，
当x≥100时，，
∴
（2）解：由(1)可知，
当0＜x＜100时，，当x=90时，L(x)取最大值950；
当x≥100时，
，当且仅当即x=105时取等.
综上，当年产量为105千件时，企业所获利润最大为1000万元.
【解析】【分析】(1)根据题意，利用利润公式，分别计算0＜x＜100，x≥100时的利润求解即可；
(2)利用二次函数、基本不等式分别计算0＜x＜100，x≥100时L(x)的最大值即可求解.
21．【答案】（1）解：因为，所以，
由偶函数知，解得；
即，由对勾函数知，
当时，即时函数单调递减，当时，即时函数递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由题意可得，即，
令，；
解一：，则在上有解，即.
若，即，此时，解得，∴；
若，即，此时，解得，此时无解；
综上，；
解二：由得，令，则.
，所以.
解三：由得，令，则，
，所以.
【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义列出方程，根据方程恒成立求出a，由对勾函数性质写出单调区间；
(2)化简不等式换元后转化为 ， ，分别考虑二次不等式有解转化为 或分离参数后转化为 ， 利用 ，也可转化为 ，求函数 的最大值，即可得实数b的取值范围.
22．【答案】（1）解：令x=y=0，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(0)=2f(0)-1，即f(0)=1，
令x=1，y=-1，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(0)=f(1)+f(-1)-1，∵f(1)=0，∴1=0+f(-1)-1，即f(-1)=2.
（2）证明：令x=x1，y=x2-x1，且x1代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(x1+x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1)-1，即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1，
∵当x>0时，f(x)<1，
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1<0，
∴f(x2)∴f(x)在R上是减函数.
（3）解：令x=y=1，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(2)=2f(1)-1=-1，
令x=1，y=2，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(3)=f(1)+f(2)-1=-1-1=-2，
令x=y=2，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(4)=2f(2)-1=-3，
令x=2，y=3，代入f(x+y)=f(x)+f(y)-1可得f(5)=f(2)+f(3)-1=-1-2-1=-4，
f(2x2-3x-2)+2f(x)>4f(2x2-3x-2)+f(x)>4-f(x)=-(-4+f(x))=-(f(5)+f(x))，
即f(2x2-3x-2)+f(x)>-(f(5)+f(x))，
∴f(2x2-3x-2)+f(x)-1>-(f(5)+f(x))-1=-(f(5)+f(x)-1)-2，
即f(2x2-3x-2+x)>-f(x+5)-2，
即f(2x2-3x-2+x)+f(x+5)>-2，
∴f(2x2-3x-2+x)+f(x+5)-1>-3，
即f(2x2-3x-2+x+x+5)>-3，
即f(2x2-x+3)>-3=f(4)，
由(2)得f(x)在R上是减函数，
∴2x2-x+3<4，
解得：即不等式的解集为{x|【解析】【分析】(1)赋值法令x=y=0求解f(0)，令x=1，y=-1求解f(-1)；
(2)令x=x1，y=x2-x1，且x10时，f(x)<1，得f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1<0，即f(x2)(3)赋值法得到f(4)、f(5)，对原式变形，结合函数单调性，得到2x2-x+3<4，求解即可.
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