课件11张PPT。第二节 直角三角形(二)第一章 三角形的证明用心想一想，马到功成 小明在证明“等边对等角”时，通过作等腰三角形底边的高来证明。过程如下：
已知：在△ABC中， AB=AC．
求证：∠B=∠C．
证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
你同意他的作法吗？ 小颖说：推理过程有问题．他在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．
如图所示：在△ ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等． 小刚说：小颖这里说的∠B是锐角，如果∠B是直角，即如果其中一边所对的角是直角，这两个三角形就是全等的．我认为小明同学的证明无误． 已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2－BC2(勾股定理)．
又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2－B'C'2 (勾股定理)
AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)． 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．直角三角形全等的判定定理判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等． 开拓创新 试一试放开手脚 做一做你能用三角尺平分一个已知角吗? 如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线． 议一议 如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来． 从添加角来说，可以添加∠CBA=∠DAB或∠CAB=∠DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也可以是BC=AD． 议一议 如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来． 若OA=OB，则△ACB≌△BDA． 证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中
∵AO=BO，∠ACB=∠BDA=90°
∠AOC=∠△BOD(对顶角相等)，
∴△ACO≌△BDO(AAS)．
∴AC=BD．又∵AB=AB，
∴△ACB≌△BDA(HL) 如果把刚才添加的条件“OA=OB”改写成“OC=OD”，也可以使△ACB≌△BDA． http://www.bnup.com.cn 如图，在△ABC和△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC=A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．
求证：△ABC≌△A'B'C' ． 用心想一想，马到功成证明：∵CD、C‘D’分别是△ABC和△A'B'C'的高
∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．
在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，
AC=A'C'，CD=C'D'，
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．
∴∠A=∠A'(全等三角形的对应角相等)．
在△ABC和△A'B'C'中，
∠A=∠A' ，AC=A'C' ，∠ACB=∠A'C'B' ，
∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．1．“HL”定理
2. 用三角尺作已知角的平分线，并说明理由．
3．总结：直角三角形全等的判定方法．课堂小结, 畅谈收获：课件16张PPT。直角三角形
直角三角形有哪些性质？ (1)有一个角是直角； (2)两个锐角的和为90°(互余 )； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方
(勾股定理）。反之,一个三角形满足什么条件
才能是直角三角形呢?温故知新(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形； (3)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a2 +b 2=c2 ,
那么这个三角形是直角三角形吗一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?深思熟虑???(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)你想知道这是什么道理吗?据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.你知道吗动手画一画 探究1 分别以下列两组数据为三
角形的边长，画出两个三角形.
（单位：cm）（1） a＝6， b＝8， c＝10；
（2） a＝5， b＝12， c＝13
（3） a＝4， b＝6， c＝8；
（4） a＝6， b＝7， c＝8．观察并说说三角形的形状.问题：（1）先计算、测量，再填表： ==><直角三角形直角三角形钝角三角形锐角三角形（2）请同学们认真观察思考上表中四个三角形的边长与它是
否是直角三角形有什么关系？若三边长满足 ，则该三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足
那么这个三角形是直角三角形.B′C′ 已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a2+b2=c2，求证：∠c=90°AB证明：如图，作△A′B′C′
使∠C′=90°
A′C′=b，B′C′=a
则A′B′2=a2+b2=c2
即A′B′=c
在△ABC和△A′B′C′中，
∵BC=a=B′C′
AC=b=A′C′
AB=c=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′
∴∠C=∠C′=90°CA′ 分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方. 例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形?
(1) a=7，b=25，c=24; (2) a=13，b=11，c=9 解:(1)最长边为25 ∵a2+c2=72+242
=49+576 =625b2=252 =625 ∴a2+c2=b2 ∴以7, 25, 24为边长的三角形是直角三角形.典例剖析数形结合思想 练习1、下面以a,b,c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=6 b=8 c=10 ____ _____ ;(2) a=12 b=8 c=15 ____ _____ ;(3) a=8 b=6 c=5 _____ _____ ;是 不是不是 是∠ C=900∠ B=900(4) a=1 b=2 c= ____ _____ ;练一练解:如图，设每两个结的 距离为a（a>0）,则AC=3a,BC=4a,AB=5a.原来如此 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处. 例 2，已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1（n为大于1的正整数）
试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由解：∵AB2+BC2=（n2-1）2+（2n）2
=n -2n2+1+4n2
=n +2n2+1
=(n2+1)2
=AC2
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角。44解：∵AB2+BC2=（n2-1）2+（2n）2
=n -2n2+1+4n2
=n +2n2+1
=(n2+1)2
=AC2
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角。44先确定AB、BC、AC、
的大小 试一试，我能行
1, 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形。
（1）12 ，16 ，20
（2）12 ，35 ，37
（3）1.5 ，2 ，3.5
先找最长边
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数。例如3 ,4 ,5 ；6, 8, 10； n2-1,2n,n2+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数。你知道吗？运用勾股定理逆定理的步骤有哪些？（1）首先确定最大边（如c）.（2）验证：c2与a2+b2是否具有相等关系.若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形.若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形.勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为一组勾股数.
如：3、4、5；5、12、13…学有所得 作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4 B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15 D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三角形是直角三角形。
4， 在△ABC中，BC=6,AC=5,BC边上中线长为4，则S△ABC=____ 5，已知：在△ABC中，AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm
AD是BC边上的高，求AD的长。BACD152520课件27张PPT。直角三角形 如图，在高为２米，坡角为30°的楼梯表面铺毯，地毯长度约为多米？２米看谁算的快？2.房梁的一部分如图所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB, B1C1⊥AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多少？B1C1呢？ 老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可. 复习提问：
1、直角三角形的角有哪些性质？ 一般性质：
直角三角形的角具有一般三角形的所有性质.特殊性质：直角三角形两锐角互余.2、直角三角形的边有哪些性质？ 一般性质：直角三角形的边具有一般三角
形的所有性质. 特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐
角等于30，那么它所对的直角
边等于斜边的一半. 勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理∵ (a+b)2 = c2 + 4?ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2ab∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为(a+b)2c2 +4?ab/2∵ c2= 4?ab/2 +(b-a)2 c2 =2ab+b2-2ab+a2 c2 =a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为c24?ab/2+(b- a)2
回忆
利用拼图来验证勾股定理：美国第十七任总统AndrewJohnson的证法3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？ 老师提示:对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决. 已知：在△ABC中， ∠ C=900， AD是BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为E，
求证：AC2=AE2-BE2解后反思证明线段的平方和或差，常常考虑运用勾股定理，若无直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形，以便运用勾股定理。勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。命题: 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 提问：这个命题的条件是什么？结论是什么？请你根据条件和结论写出已知和求证. 已知：如图（1），在△ABC中，AB2+AC2=BC2.
求证：△ABC是直角三角形. 证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°,A′B′=AB,A′C′=AC（如图（2））,则A′B′2+A′C′2=B′C′2（勾股定理）. ∵AB2+AC2=BC2 , A′B′=AB,A′C′=AC, ∴BC2=B′C′2. ∴BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠A==∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).
因此，△ABC是直角三角形. 1.在△ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm ，
求证：AB=AC 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么
这个三角形是直角三角形．
．
1、一个三角形的三边之比为 ∶ ∶ ,
这个三角形的形状是( )
2、已知：线段a∶b∶c的值如下，则能够组成直角三角形的是（ ）
(A)3∶4∶6 (B)5∶12∶13
(C)1∶2∶4 (4)1∶3∶5
能够满足a2+b2=c2的三个数据我们称之为勾股数。
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。命题: 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。． 观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系? 勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．在前面的学习中还有类似的命题吗? 1.两直线平行，内错角相等. 与内错角相等，两直线平行. 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的
直角边就等于斜边的一半 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么
这条直角边所对的锐角等于30° 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗? 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
巩固练习：
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab=0，那么a=0,b=0.
提问：一个命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？
定理与逆定理一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.你还能举出一些例子吗?想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.我们已经学习了一些互逆定理，如勾股定理及其逆定理、“两直线平行，内错角相等与“内错角相等，两直线平行”等.请你再举出一些互逆定理的例子.
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是
另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆
命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对
于逆命题来说，另一个就为原命题．互逆命题原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!! 大胆尝试，练一练！说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，同旁内角互补；
(3)如果ab=0，那么a=0 b=0解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真命题．
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0．原命题是假命题，而逆命题
是真命题．1.了解了勾股定理及逆定理的证明方法; 2.了解了逆命题的概念，会识别两个互逆命题，
知道原命题成立，其逆命题不一定成立; 3.了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理
都有逆定理.
