2023-2024学年高二数学上学期期中模拟考试
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．直线过点，且方向向量为，则（ ）
A．直线的点斜式方程为
B．直线的斜截式方程为
C．直线的截距式方程为
D．直线的一般式方程为
2．已知直线：过定点，直线：过定点，与相交于点，则（ ）
A．10 B．12 C．13 D．20
3．已知直线，其方程分别为：，：，其中，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．8
4．“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）
A. B．
C． D．
6．已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知：，：，则下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）若在内，则；
（2）当时，与共有两条公切线；
（3）当时，与的公共弦所在直线方程为；
（4），使得与公共弦的斜率为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知椭圆的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为 B．点在圆内
C．圆的半径为5 D．点在圆内
10．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（ ）
A． B．13 C． D．19
11．已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．
C．直线被圆截得的最短弦长为
D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称
12．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）
A．平面
B．到平面的距离为
C．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是
D．平面与平面夹角余弦值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是 .
14．已知，，，若，，，四点共面，则 ．
15．已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则 .
16．若点在曲线：上运动，则的最大值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知两条不同直线：，：．
(1)若，求实数a的值；
(2)若，求实数a的值；并求此时直线与之间的距离．
18．（12分）
设直线l的方程为
(1)求证：不论a为何值，直线必过定点M；
(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值．
19．（12分）
已知圆经过，两点，且圆的圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆相交于，两点，为坐标原点，求.
20．（12分）
设抛物线：的焦点为，是抛物线上横坐标为的点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)设过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的面积
21．（12分）
如图，内接于⊙O，为⊙O的直径，，，，为的中点，且平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
．
22．（12分）
如图，经过点，且中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的弦所在直线交轴于点，且.求证：直线的斜率为定值.2023-2024学年高二数学上学期期中模拟考试
全解全析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．直线过点，且方向向量为，则（ ）
A．直线的点斜式方程为 B．直线的斜截式方程为
C．直线的截距式方程为 D．直线的一般式方程为
【答案】D
【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为2．
因为直线过点，
所以直线的点斜式方程为，
其一般式为．故A错误，D正确；
化为斜截式：，故B错误；
化为截距式：，故C错误.
故选：D
2．已知直线：过定点，直线：过定点，与相交于点，则（ ）
A．10 B．12 C．13 D．20
【答案】C
【详解】由直线过定点，
直线可化为，
令，解得，即直线恒过定点，
又由直线和，满足，
所以，所以，所以.
故选：C.
3．已知直线，其方程分别为：，：，其中，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．8
【答案】D
【详解】∵直线：和：平行，
∴且它们的斜率相等，在轴上的截距不相等，
∴，且，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值是8.
故选：D.
4．“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】直线与圆相交，
显然，推不出，而可推出，故是必要不充分条件.
故选：B.
5．如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为,
所以，
故选:B.
6．已知双曲线的焦点与椭圆：的上、下顶点相同，且经过的焦点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】椭圆：，上、下顶点分别为，，上、下焦点分别为，.
因为双曲线的焦点与的上、下顶点相同，且经过的焦点，
设双曲线方程为，则有，，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
7．已知：，：，则下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）若在内，则；
（2）当时，与共有两条公切线；
（3）当时，与的公共弦所在直线方程为；
（4），使得与公共弦的斜率为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】因为：，：，
所以：，：，
则，，，，则，
由在内，可得，即，故（1）错误；
当时，，，，，
所以，所以两圆相交，共两条公切线，故（2）正确；
当时，：，：，两圆相交
由，得：，即故（3）正确；
公共弦所成直线的斜率为，令，无解，故（4）错误.
故选：B.
8．已知椭圆的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】由题意得，则，，
所以椭圆方程为，因为，所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点，
因为，所以点为线段的中点，设，则，
，所以，所以，
所以，即，
所以，所以直线为，即，
因为M为直线上任意一点，所以的最小值为点到直线的距离，
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为 B．点在圆内C．圆的半径为5 D．点在圆内
【答案】ABC
【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确；
由，得点在圆内，B正确；
由，得点在圆外，D错误.
故选：ABC
10．已知椭圆的焦距是，则m的值可能是（ ）
A． B．13 C． D．19
【答案】BD
【详解】由题知，或，解得或.
故选：BD
11．已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点 B．
C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称
【答案】ABD
【详解】直线，恒过点，所以A正确；
圆的圆心坐标为，，，所以B正确；
圆的圆心坐标为，圆的半径为2．
直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，
直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；
当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．
故选：ABD．
12．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）
A．平面
B．到平面的距离为
C．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是
D．平面与平面夹角余弦值为
【答案】ABD
【详解】以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
则，，，，，
则平面，故A正确；向量为平面的法向量，
且，，所以到平面的距离为
，故B正确；
作中点，的中点，的中点，连接，，，，，
则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，
则截面面积为：，故C错误；
平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
设两个平面夹角为，，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是 .
【答案】
【详解】两直线方程联立，得，所以交点为
设与直线垂直的直线方程为，
把代入中，得，
故答案为：
14．已知，，，若，，，四点共面，则 ．
【答案】5
【详解】解：因为，，，且，，，四点共面，
所以，则，解得，
故答案为：5
15．已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则 .
【答案】
【详解】解：椭圆得，，，
设，，则，
，，
，，
，即.
故答案为：
16．若点在曲线：上运动，则的最大值为 .
【答案】/
【详解】曲线方程化为，是以为圆心，3为半径的圆，
表示点与点连线的斜率，不妨设即直线：，
又在圆上运动，故直线与圆有公共点，则，
化简得解得，故的最大值为.
故答案为:.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知两条不同直线：，：．
(1)若，求实数a的值；
(2)若，求实数a的值；并求此时直线与之间的距离．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，得，解得；
（2）当时，有，解得，
∴：，：，即，
∴两直线与的距离为．
18．（12分）设直线l的方程为
(1)求证：不论a为何值，直线必过定点M；
(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
(3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值．
【答案】(1)当不论a为何值，直线恒过定点；
(2)直线l的方程为或.
(3)6
【分析】（1）将原直线方程变形为，由求解；
（2）分截距是否为0两种情况，求得参数，即可得答案.
（3）求出直线在坐标轴上的截距，结合题意确定参数范围，求出的面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）直线l的方程为，
整理可得：，
当时不论a为何值，，
即，，
可证当不论a为何值，直线恒过定点；
（2）当直线过原点时满足条件，此时，解得，
此时直线方程为.
当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为，
故，解得，
可得直线l的方程为：.
综上所述，直线l的方程为或.
（3）由题意知，
令，解得，解得；
令，解得，解得或.
综上有.
∴
，
当且仅当，即时取等号.
∴（为坐标原点）面积的最小值是6，
此时直线方程，即.
19．（12分）已知圆经过，两点，且圆的圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆相交于，两点，为坐标原点，求.
【答案】(1) (2)1
【详解】（1）因为，，所以，线段的中点坐标为，
则的中垂线方程为，即，
故圆的圆心在直线上.
联立方程组，解得，故圆圆心的坐标为，
圆的半径，
则圆的标准方程为.
（2）设，，联立方程组，
整理得，，
则，.
故.
20．（12分）设抛物线：的焦点为，是抛物线上横坐标为的点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)设过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出p值作答.
（2）求出直线的方程，与的方程联立，再求出三角形面积作答.
【详解】（1）抛物线：的准线方程为，依题意，，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，，则直线的方程为，
由消去y得：，解得，，
所以的面积.
21．（12分）如图，内接于⊙O，为⊙O的直径，，，，为的中点，且平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）因为是⊙O的直径，所以，
因为，，所以，
又因为，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为平面ACD，，
所以平面
（2）因为，，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则，，，．
显然，是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则
令，则，
所以，
设二面角所成角为，，
则，
所以二面角的正弦值为
22．（12分）如图，经过点，且中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的弦所在直线交轴于点，且.求证：直线的斜率为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）椭圆的标准方程为：，，即，，将点，代入即可求得和的值，求得椭圆的方程；
（2）联立直线的方程与椭圆方程,可得坐标，进而根据两点斜率公式即可求解.
【详解】（1）由题意可知：焦点在轴上，设椭圆的标准方程为：，
由椭圆的离心率，即，
，
将代入椭圆方程：，解得：，
，，
椭圆的标准方程为：；
（2）由题意可知：直线有斜率，且，设直线方程为，，，，，
，
整理得：，
，故
由韦达定理可知：，
由得：,
故直线方程为
，因此
所以
因此 ，为定值.
