课件14张PPT。1.4 角平分线角平分线你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗?已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.而△OPD≌△OPB的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证.老师期望:你能写出规范的证明过程.分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPB，你还记得角平分线上的点有什么性质吗?角平分线上的点到这个角的两边距离相等.你能证明这一结论吗?几何的三种语言定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).进步的标志′你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗?
逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.它是真命题吗?如果是.请你证明它.已知:如图,PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠1=∠2.老师期望:
你能写出规范的证明过程.逆定理逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?尺规作图已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:用尺规作角的平分线.1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..3.作射线OC.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.则射线OC就是∠AOB的平分线.挑战自我如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么关系?老师期望:
你能说出结论并能证明它.梦想成真2.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).回味无穷定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
用尺规作角的平分线.
邻补角的角平分线之间的关系.
如习题1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.你发现了什么？习题2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等. 老师期望:
养成用数学解释生活的习惯. 习题3.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC. 老师期望:
做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去. 结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.知识的升华习题
祝你成功！课件11张PPT。1.4 角平分线角平分线性质 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。请把它转化为“已知…….求证…….”形式已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E
求证：PD=PE证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°
又∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠1=∠2,
在△POD和△POE中
∠PDO=∠PEO,
OP=OP,
∠1=∠2,
∴△POD≌△POE (ASA)
∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)角的平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。 定理的题设和结论分别是什么 ？题设：一个点在角平分线上结论：这个点到这个角两边的距离相等角平分线性质定理: 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D， E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上逆命题：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。角平分线判定定理:由所有到一个角的两边
距离相等的点例1.求证:三角形三条角平分线交于一点.已知:△ABC中，AD、BE、CF分别是三个内角的平分线.求证:AD、BE、CF交于一点.这是在全等三角形中一道常见
的习题，你知道吗，在这个
结论的基础上还能证明MC
平分∠DME，请你试一试.
综合提高F
小结角平分线性质定理、判定定理的证明
真命题的证明：
首先转化“已知….求证….”课件12张PPT。北 师 大? 八 年 级《 数 学 ( 下 ) 》课首
北 师 大 ? 八 年 级 《 数 学 ( 下 ) 》1.4角平分线学习目标、重点、难点三角形三条角平分线位置关系定理的证明。 （1）三角形三条角平分线位置关系定理及其证明；（2）综合运用。 （1）能够理解和证明三角形三条角平分线位置关系定理。
（2）通过例题使学生进一步理解和巩固证明的方法和要求。1、角平分线是怎样定义的？
2、角平分线的性质和判定如何叙述？
3、上节课我们学到了哪些添加辅助线的方法？回顾与思考 三角形的角平分线的性质 三角形的角平分线的性质 三角形两个角的平分线的交点到三角形三边的距离相等，且该交点必在第三个角的平分线上。 三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。 角平分线的判定的应用解题后
归纳证明：过E作EF⊥AD于E
∵DE平分∠ADC，EC⊥DC，EF⊥FD
∴CE=EF
又CE=BF
∴EF=BE，而EF⊥AF，BE⊥AB
∴E在∠DAB的平分线上
即AE平分∠DAB角平分线的判定的应用三角形的角平分线的性质应用 该结论多应用于几何作图，特别是涉及实际问题的作图题。 三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。三角形的角平分线的性质应用 三角形的角平分线的性质应用解：（1）存在这样的点P为∠A、∠B的平分线的交点。（2）这个距离为3 不要忘了 悟 字角平分线的性质和判定是怎样的？
