高中数学人教A版（2019）必修2 第六章 平面向量的应用章节综合练习题（答案+解析）

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平面向量应用
一、选择题
1．（2021高一下·渭滨期末）已知为三角形所在平面内一点，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2021·咸阳模拟）渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头 出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为 ，东水流速度的大小为 .设速度 与速度 的夹角为 ，北岸的点 在码头 的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（　　）
A．在 东侧 B．在 西侧
C．恰好与 重合 D．无法确定
3．（2023高一下·成都期末）已知点O是的内心，，，则（　　）
A． B． C．2 D．
4．（2023高一下·深圳月考）如图，在矩形ABCD中，，E为AD上一点，，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
5．（2023高一下·浙江期中）已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江模拟）在三角形中，和分别是边上的高和中线，则（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
7．（2023高一下·南山月考）设M为内一点，且，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·太原期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（　　）
A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心
9．（2022高二上·营口开学考）已知角A，B，C是（非直角三角形）的三个内角，，且，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·昌吉模拟）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（　　）
A．－1 B．1 C．－3 D．3
11．（2022高三上·包头期末）已知分别是的边 的中点，且，，，则下列结论中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2021高一下·齐齐哈尔期中）已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有 则λ等于（　　）
A． B． C． D．
13．（2020高二上·双峰月考）已知正三角形 的边长为 ，平面 内的动点 满足 ， ，则 的最大值是（　　）
A． B． C． D．
14．（2020高一下·大兴期末）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，点P在线段AC上运动，则| + |的取值范围是（　　）
A．[3，4] B． C．[6，8] D．
15．（2020高一下·潮州期中）已知 ， ， ， ，则 的取值范围是（　　）
A． B．[0，2] C． D．[0，1]
16．（2018高二上·西安月考）一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，则船实际航程为（　　）
A．2 km B．6 km C．2 km D．8 km
17．已知力F1=i+2j+3k，F2=﹣2i+3j﹣k，F3=3i﹣4j+5k，若F1、F2、F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1（1，﹣2，1）移到点M2（3，1，2），则合力所做的功为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
18．（2017高一上·武汉期末）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（　　）
A．6 B．2 C．2 D．2
19．已知两个力 F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为（　　）
A．5N B．5N C．10N D．5N
20．在中，，，点满足，，则的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．1
21．（2022·眉山模拟）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知，，，.根据物理学知识得，则（　　）
A．28m B．20m C．31m D．22m
22．（2021高二下·丽水期末）已知平面向量 满足 ， ， ，且对于任意的 ，恒有 ，若 ，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
23．（2022高一下·农安月考） 为平面上的一定点， 是平面上不共线的三个动点，动点 满足 ，则 的轨迹一定过 的（　　）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
24．（2021高一下·温州期中）点P是正三角形外接圆圆O上的动点，正三角形的边长为6，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、解答题
25．（2023高一下·响水月考）如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．
（1） 若，求的值；
（2）若，求的值．
26．（2020高二上·玉溪期中）已知向量 ，设函数 .
（1）当 时，求 的值；
（2）求使 的 的取值构成的集合.
27．（2019高一下·深圳期中）如图所示，在 中， ，记 ， ，求证： .
28．（2018高二上·惠来期中）已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知 内角 的对边分别为 ，且 ，若向量 与 共线，求 的值．
29．（2018高一上·佛山期末）如图，已知矩形 ， ， ，点 为矩形内一点，且 ，设 .
（1）当 时，求 的值；
（2）求 的最大值.
30．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是BC、DC的中点，G为 BF、DE的交点，若 ， ．
（1）试用 ， 表示 ；
（2）求 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】如图所示，
由得：为三角形的重心，是中线的交点，
且，所以，，底边为，
所以，
故答案为：B
【分析】根据题意得为三角形的重心，，从而得出
2．【答案】A
【解析】【解答】解：建立如图如示的坐标系，
由题意可得 ，
所以 ，
说明船有 轴正方向的速度，即向东的速度，
所以该游船航行到达北岸的位置应在 东侧，
故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件建立坐标系，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用三角形法则结合向量的坐标运算，进而求出向量 的坐标，再利用向量的定义，得出船有 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到达北岸的位置应在 东侧。
3．【答案】D
【解析】【解答】如图，连接AO并延长交BC于点D，连接CO，
∵O是△ABC的内心，
∴AD为∠A的角平分线，根据角平分线定理有， 所以
∵A，O，D共线，∴可设=t+(1-t)，
则
又
所以
故选择：D.
【分析】内心可转化为角平分线条件，根据角平分线定理有，所以.由向量共线定理=t+(1-t)得到，因此 .
4．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则
设，
因为 ，
所以，
所以4a-9=0，
解得，
因为 ，
所以，
则，
故选：D
【分析】建立恰当的平面直角坐标系，将向量坐标化，并根据向量的垂直关系解得a，再根据向量的线性关系，列出关于λ，μ的方程组，解之即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】连接，，取中点，连接，
则，，
是边长为6正六边形，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，，
为边长为6等边三角形，，
.
故答案为：D
【分析】利用 分析求解。
6．【答案】C
【解析】【解答】由余弦定理得，设，则，，因为，所以，即， 所以，其中，解得，即， 又，所以，故选C.
【分析】将作为基底，用基底表示和，根据数量积的规则计算即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】如图所示，
∵点M是△ABC所在平面内一点，且满足，
以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，，
则，则所求两三角形的面积比等于这两三角形高的比，
所以．
故答案为：A
【分析】作出图形，利用两个三角形的面积比等于两三角形高的比转化为，可求出答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设中点为，因为，
所以，即，
因为有公共点，
所以，三点共线，即在的中线，
同理可得在的三条中线上，即为的重心；
因为，
所以，点为的外接圆圆心，即为的外心
综上，点依次是的重心，外心.
故答案为：A
【分析】设中点为，由，化简得到，得到三点共线，即在的中线，同理可得在的三条中线上，即为的重心，结合，即可求解.
9．【答案】C
【解析】【解答】取BC的中点M，连接GM，因为.
所以点G是的重心，所以.
以M为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，不妨设，，
因为，所以可设，则.
因为，，
则.
因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】取BC的中点M，连接GM，由，得点G是的重心，，再以M为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，设，根据，求得，，代入计算即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】以为原点，为轴的正方形建立平面直角坐标系，
则，设，
，
所以当时，取得最小值.
故答案为：C
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示，结合三角函数的知识求得正确答案.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：对于A选项，，A正确，不符合题意.
对于B选项，，B错误，符合题意
对于C选项，，C正确，不符合题意.
对于D选项，
，D正确，不符合题意.
故答案为：B
【分析】利用向量加法、减法、数乘运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 A,B,D 三点共线，且对任一点C，有，且m+n=1，
又 ，所以，解得，所以C正确.
故答案选：C.
【分析】由三点共线的性质定理易得，直接求解即可.
13．【答案】B
【解析】【解答】由已知易得 ，以 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，
则 设 由已知 ，得 ，又
，它表示圆 上点 与点 距离平方的 ， ，
故答案为：B．
【分析】由已知易得 ，以 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，则设 再利用向量的模的坐标表示结合已知条件得出，再利用向量相等的坐标表示求出点M的坐标，再利用向量的坐标表示结合向量的模与数量积的关系式和数量积的坐标表示，再结合 的 几何意义，得出它表示圆 上点 与点 距离平方的 ，从而结合 的几何意义求出 的最大值
14．【答案】D
【解析】【解答】解：以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，
OA所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：
可得B（﹣3，0），C（3，0），由|AC|＝5，可得A（0，4），
直线AC的方程为 ，即4x+3y＝12，
可设P（m，n），（0≤n≤4），即有m＝ ，
则
当 ，可得 的最小值为
，
当n＝4时，可得 的最大值8，
则 的取值范围是 .
故答案为：D.
【分析】以BC的中点O为坐标原点，BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，分别求得B，C，A的坐标，可得直线AC的方程，设P（m，n），（0≤n≤4），即有m＝ ，再由向量的运算和模的公式，可得n的函数，结合二次函数的最值求法，可得所求范围.
15．【答案】A
【解析】【解答】设 ，因为 ，所以以 、 所在的直线为横轴、纵轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为 ，所以 ，
因此 ，因为 ，
即点 .
设 , ，因为 ，
所以 ，所以点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
而 表示圆 上的点到原点的距离，
圆心 到原点的距离为 ，显然原点在圆C上，
由圆的几何意义可知，最大距离等于 ，最小距离为0，
故答案为：A
【分析】根据已知平面向量互相垂直建立直角坐标系，然后根据平面向量坐标表示公式，结合圆的几何性质进行求解即可.
16．【答案】B
【解析】【解答】解：设船的速度为 ，水的速度为 ，则船的实际航行速度为 ，于是有
=
=12
=
船实际航程为 =6。
故答案为：B。
【分析】先由已知把船的速度和水的速度设为向量，表示出船的实际航行速度，再利用向量的运算，即可求出船实际航程.
17．【答案】C
【解析】【解答】解析：∵F=F1+F2+F3=（1，2，3）+（﹣2，3，﹣1）+（3，﹣4，5）=（2，1，7），
=（2，3，1），
∴F =（2，1，7） （2，3，1）=4+3+7=14．
故选C．
【分析】先求出合力的坐标及的坐标，代入合力做功的计算公式进行运算．
18．【答案】D
【解析】【解答】解：∵F32=F12+F22﹣2F1F2cos（180°﹣60°）=28，
∴ ，
故选D
【分析】三个力处于平衡状态，则两力的合力与第三个力大小相等，方向相反，把三个力化到同一个三角形中，又知角的值，在任意三角形中用余弦定理求得结果，最后不要忽略开方运算．
19．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知：对应向量如图
由于α=60°，∴F2的大小为|F合| sin60°=10×=5．
故选A．
【分析】此题考查的是向量在物理中的应用．在解答时，影响根据信息画出平行四边形，结合已知向量的大小和向量间的夹角，通过运算或直接解直角三角形进行问题的解答即可．
20．【答案】A
【解析】【解答】解： ， ，
，
，
，
当 时， 取得最小值为 ，
的最小值为 ，
故答案为：A
【分析】利用向量的数量积求得 ，再由，结合二次函数的性质，即可求解.
21．【答案】D
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以∽，
所以，所以，
因为，，
所以，
设，分别为的中点，
因为，
所以，
所以为的中点，
因为，，所以，
所以，
所以，
所以
故答案为：D
【分析】由，所以，则可得，可求得，，分别为的中点，则由已知可得为的中点，再结合已知的数据可求得结果
22．【答案】A
【解析】【解答】设 ，
如图，其中
由对于任意的 ，恒有 ，即 ，
所以当 重合时满足条件，故
以 为原点， 作为 轴，过 作 的垂线为 轴，如图所示
所以 ，又 ，不妨设
由 ，所以
所以 ，
令 ，则 ，
由 ，所以
则 ，所以
故答案为：A
【分析】 设 ，対于任意的 ，恒有，数形结合可得OA⊥AC，设 ，由，可求出，再结合三角函数知识求取值范围即可.
23．【答案】D
【解析】【解答】解：因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，
则+的方向为∠BAC的平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，所以λ(+)的方向与+的方向相同.
而 ，
所以点P在上移动，所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
故选：D
【分析】根据向量的线性运算，结合已知条件，即可判断点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
24．【答案】C
【解析】【解答】因为，
又因为正三角形的边长为，所以，
所以，
所以，
当同向时，此时取最大值为，
当反向时，此时取最小值为，
综上可知，的取值范围是，
故答案为：C.
【分析】先将 变形为 ，然后根据 同向和反向时求解出的最值，由此确定出的取值范围.
25．【答案】（1）解：如图，
因为，所以，
因为三点共线，所以①
又，所以②
由①②可得，
（2）解：设，
所以，解得
所以.
又，所以，
即·
【解析】【分析】（1）本题主要利用向量共线定理的推论求解。已知，转化为用向量来表示向量，然后利用E、O、C三点共线，A、O、D三点共线（系数之和等于1），得到关于x、y方程组，解方程组求得x、y。
（2）利用平面向量基本定理，用向量表示向量，利用已知等式，得到的比值关系，进而得到的比值关系。
26．【答案】（1）解：由于 ，所以 .
.
（2）解：
，
由 得 ，
所以 ，
， ，
所以不等式 的解集为 .
【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件列方程，求得的值，由此求得 的值；
（2）化简 的解析式，解三角不等式求得不等 式 的解集 。
27．【答案】证明：因为在 中， ，记 ， ，
，
，
所以 .
【解析】【分析】先由已知图形，根据向量的线性运算法则，得到 ， ，再利用 代入计算，即可得结果.
28．【答案】解：（Ⅰ）
∴ 的最小值为 ，最小正周期为
（Ⅱ）∵ ， 即
∵ ， ，∴ ，∴
∵ 共线，∴ ．
由正弦定理 ， 得 ①
∵ ，由余弦定理，得 ， ②
解方程组①②，得 ．
【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数解析式由此得出函数的周期以及最小值。
（2）根据f(C)=0得出 ，再根据C的范围得出C的大小，再利用两个向量共线的性质以及正弦定理得出 ，再利用余弦定理综合得出a,b的值。
29．【答案】（1）解：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， .
当 时， ，则 ， .
∴
（2）解：由三角函数的定义可设 ，
则 ， ， ，
从而 ，
∴
∵
∴ 时， 取得的最大值为2
【解析】【分析】（1）根据题干选择A点为原点建立平面直角坐标系，写出各个点的坐标。最后根据向量积的运算性质得出答案。
（2）根据三角函数的定义设出P点的坐标，再得出各个有向线段的坐标，最后注意角的取值范围。利用三角函数的性质求解。
30．【答案】（1）解：由题意若 ， ．
推出： = + = ，
= =﹣ ，
E、F分别是BC，DC的中点，G为 BF、DE的交点，
所以G为△BCD的重心，∴ ，
= = ．
（2）解：若 ， ．
= =﹣ ，
= ．
∴ =
=
=
= =2．
【解析】【分析】（1）利用向量的加法以及三角形的重心坐标关系推出结果即可．（2）表示出向量，利用数量积化简求解即可．
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