高中数学人教A版（2019）必修2 第六章 平面向量的运算章节综合练习题（答案+解析）

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平面向量运算
一、选择题
1．（2023高一下·浦东期末） 下列说法正确的是（　　）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反；
B．若，且与的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；
D．若，则与方向相同或相反
2．（2023高一下·洮南期末）下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
3．（2023高一下·金华月考）下列说法中正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点且长度相等的向量，它们的终点相同
C．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上
D．任意两个单位向量都相等
4．下列说法正确的是（）
A．若，则，的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足，且与同向，则
C．若，则与可能是共线向量
D．若零向量与共线，则，，，四点共线
5．（2022高二上·河西期中）在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023高二上·朝阳开学考）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若向量，则的值等于（　　）
A．1 B． C．3 D．
7．在中，是边的中点，是的中点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高一下·闵行期末）下列命题中正确的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则
9．（2023高一下·渭源期末）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．已知中，，，，过点作垂直于点，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023高一下·汕头期末）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设是DE的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2023高一下·安徽月考）已知向量，的位置如图所示，若图中每个小正方形的边长均为1，则（　　）
A． B． C．4 D．
13．（2023高二下·浙江月考）已知均为单位向量且，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
14．（2023高二上·朝阳开学考）已知四面体ABCD中，，，，点M在棱DA上，，N为BC中点，则（　　）
A． B．
C． D．
15．（2023高二上·柳州开学考）在平行四边形ABCD中，＝（　　）
A． B． C． D．
16．（2023·达州模拟）已知向量满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
17．（2022高二上·浙江期中）如图，在平行六面体中，设，则（　　）
A． B．
C． D．
18．（2022高二上·潍坊期中）（　　）
A． B． C． D．
19．（2023高三上·深圳月考）如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（　　）
A． B．
C． D．
20．（2023高二下·保山期末）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
21．（2023高一下·宝山期末）在平行四边形中，，．若，则（　　）
A． B． C． D．
22．（2023高一下·吉林期中）已知AD为的中线，则等于（　　）
A． B．
C． D．
23．（2023高一下·浙江期中）如图所示，F为平行四边形对角线BD上一点，，则（　　）
A． B．
C． D．
24．（2023高一下·庐江期中）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
25．（2023高三下·浙江模拟）在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记，，则（　　）
A． B．
C． D．
26．（2023·昭通模拟）已知正方形的边长为2，，则的值为（　　）
A．-4 B．-3 C．0 D．3
27．（2023·安康模拟）如图，在矩形中，是的中点，若，则（　　）
A． B．1 C． D．2
28．（2023高二上·西乡县开学考）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是（　　）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
29．（2023高一下·苏州期末）如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（　　）
A． B．
C． D．
30．（2022高二上·江西月考）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若则的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】A、 若，只能得到与的长度相等， A错误；
B、 若，且与的方向相同， ，B正确；
C、 只有平面上所有单位向量的起点移到同一点时，其终点在同一个圆上，C错误；
D、 当时，，与方向不一定相同或相反 ，D错误.
故答案为：B
【分析】根据向量的模定义、向量的相等定义、共线向量定义逐一判断选项.
2．【答案】D
【解析】【解答】若 ，则 或 ，故选项A错误；
若，， 此时不存在，故选项B错误；
若，由 ，，不一定得到 ，故选项C错误；
由向量 为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.
故选： D.
【分析】根据向量模相等，可得向量相等或相反可判断A；根据向量共线定理判断B；利用向量平行(或共线)的性质判断C；利用非零向量的单位向量的求解方法求解，可判断D.
3．【答案】A
【解析】【解答】对于A：向量与向量的长度相等，A符合题意；
对于B：两个有共同起点且长度相等的向量，方向可能不同，终点也就不同，B不符合题意；
对于C：向量与是共线向量，只能说明方向相同或者相反，不能推出A，B，C，D四点必在同一直线上，C不符合题意；
对于D：两个单位向量的大小相同，但方向可能不同，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合相反向量的大小关系、相等向量的定义、共线向量的定义、单位向量的定义，进而找出说法正确的选项。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：对于 ，长度相等方向不固定， A不符合题意；
对于 ，向量是不可以比较大小的，B不符合题意；
对于 ，若非零向量 与 共线，四点可以不在一条直线上， D不符合题意；
对于 ，可能共线，C符合题意.
故选C
【分析】根据向量的概念，可判定A 错误；根据向量是不可以比较大小的，可判定 错误；根据共线向量的定义，可判定C正确；根据向量 与 共线，四点可以不在一条直线上， 可判定错误.
5．【答案】C
【解析】【解答】如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC中点，
所以，
所以。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合平行四边形法则和中点的性质，再结合三角形法则、向量共线定理和平面向量基本定理，进而找出与相等的向量。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
则，，，由，得，，求得，.
故答案为：C.
【分析】建立平面直角坐标系，求向量，，坐标，根据坐标运算求出 ，进而求.
7．【答案】D
【解析】【解答】解： 是边的中点，，又 是的中点， ， ， ， .
故答案为：D.
【分析】根据平面向量的加法和平行四边形法则求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：A、 ， A错误；B、 B正确；
CD、 说明两个向量长度相同，方向不一定相同， 也只能说明两个向量长度相同，方向不一定相同，CD错误.
故答案为：B.
【分析】A向量与向量加减还是向量；B根据向量数量积计算；CD向量相等向量的模和方向都要相等.
9．【答案】A
【解析】【解答】连接PO，
，
，
，
因为P是动点，O是正六边形的中心，
所以，
所以，
故选：A.
【分析】连接PO，进行向量转换，化简后可知，要求的取值范围，也就是求出PO的范围，再根据P是动点，O是正六边形的中心，得出PO的范围，求得的取值范围.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示： 过点作垂直于点，则
设 ， ，，
则
解得，
故
故答案为：B.
【分析】由题意设 ，再根据列出关于m的方程，求解可得m的值，可得答案.
11．【答案】C
【解析】【解答】∵D、E分别AC、BC的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选：C.
【分析】根据三角形中位线表示出，根据向量表示方法表示，进而利用三角形法则表示 .
12．【答案】D
【解析】【解答】利用平行四边形法则画如下图：
故选：D
【分析】利用平行四边形法则画图分析。
13．【答案】B
【解析】【解答】解：将式子两边平方：
因此：
即投影向量为，
故答案为：B
【分析】根据向量的模长，结合向量的数量积运算率可得，进而求投影向量.
14．【答案】C
【解析】【解答】解： ，，N为BC中点，，.
故答案为：C.
【分析】结合平行四边形法则和向量减法运算法则求解.
15．【答案】C
【解析】【解答】解：设与交点为，．
故答案为：Ｃ.
【分析】设与交点为，结合平行四边形性质化简判断.
16．【答案】A
【解析】【解答】如下图所示：
圆的半径为1，设，因为，所以点在圆上，
则，由图可知，，即的最大值为.
故答案为：A
【分析】由向量的运算作出图形进行分析，再由圆的对称性得出的最大值.
17．【答案】B
【解析】【解答】连接，如图所示：
.
故答案为：B
【分析】根据空间向量线性运算求解即可得答案.
18．【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：D
【分析】利用向量的运算法则求解可得答案.
19．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论.
20．【答案】D
【解析】【解答】解：A、，由图形可知：与是相反向量，故A错误；
B、
由已知易得：（如图）AC=AE=EC，AD平分∠EAC，点H是EC的中点，AH= AD，
所以，故B错误；
C、由图形可得：，
，
所以，故C错误；
D、
由图知：，，
所以，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据正六边形的特点，利用向量的线性运算，数量积公式，平行四边形法则等即可求解。
21．【答案】D
【解析】【解答】由题意可得，
所以 ， ，
所以 ，
故选：D
【分析】利用平面向量的线性运算求出m，n即可.
22．【答案】D
【解析】【解答】由题意得 .
故答案为：D
【分析】利用平面向量线性运算进行计算。
23．【答案】A
【解析】【解答】 如图所示，根据平行四边形，所以，
利用平行四边形法则得出
由 ， 则，
再利用三角形法则，得出，
所以，。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合平行四边形的结构特征、平行四边形法则、三角形法则和平面向量基本定理，进而得出。
24．【答案】C
【解析】【解答】因为，所以到定点的距离相等，
所以为的外心，由，则，取的中点，
则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故答案为：C.
【分析】到定点的距离相等，得为的外心，由，得，可得是的重心，由，得，即，同理，即可得答案.
25．【答案】C
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】利用向量的三角形法则，结合向量的线性运算，即可得答案.
26．【答案】D
【解析】【解答】由于，所以是线段的中点，
所以
.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合向量共线独立和中点的性质，再结合三角形法则和数量积的运算法则，进而得出 的值 。
27．【答案】C
【解析】【解答】，∴，，∴，
故答案为：C．
【分析】由向量的三角形法则得出，进而得到.
28．【答案】A
【解析】【解答】解：因为 ，
所以与共线，又与有公共点B，所以A，B，D三点共线.
故答案为：A.
【分析】直接利用向量共线定理可得答案.
29．【答案】B
【解析】【解答】解：设则
也可以，
所以解得代入上式可得
故答案为：B
【分析】利用平面向量基本定理和向量的线性运算用两种不同的方式表示，对应系数分别相等即可求解.
30．【答案】B
【解析】【解答】因为，且四点共面，
所以，所以，
故答案为：B.
【分析】根据空间向量的四点共面定理，即可求解出 的值 .
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