高中数学人教A版（2019）必修2 第六章 平面向量基本定理及其坐标表示（一）章节综合练习题（答案+解析）

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平面向量基本定理及其坐标表示
一、选择题
1．（2023高三上·广州月考）在中，为的重心，满足，则（　　）
A． B． C．0 D．-1
2．（2023高一下·黔西期末）如图，在中 ，2BD=CD，E为AC中点，AD和BE相交于点F，那么AF：DF=（　　）.
A．2 B． C．3 D．4
3．（2022高一下·如皋月考）若向量，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·九龙期末）在空间直角坐标系中，若，，则点B的坐标为（　　）
A．（3，1，﹣2） B．（-3，1，2）
C．（-3，1，-2） D．（3，-1，2）
5．（2021高一下·湖州期中）已知点，则向量（　　）
A． B． C． D．
6．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；②若向量 满足 ，则 ③若 ， ， ， 是不共线的四点，则“ ”是“四边形 为平行四边形”的充要条件；④ 的充要条件是 且 .其中正确说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知向量满足，则（　　）
A． B． C．3 D．4
8．（2023高三上·深圳月考）已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2023高一下·海南期末）已知向量，，且，则（　　）
A．3 B．5 C． D．25
10．（2023高一下·海南期末）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．48
11．（2023高一下·荔湾期末）已知向量，，若与垂直，则等于（　　）
A．1 B．0 C． D．
12．（2023高一下·马鞍山期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
13．（2023高一下·绍兴月考）已知向量，，则（　　）
A． B． C． D．
14．（2023高一下·炎陵期末）已知与共线，且向量与向量垂直，则（　　）
A． B． C． D．
15．（2023高二下·湛江期末）已知，，且，则（　　）
A．， B．， C．， D．，
16．（2023·北京卷）已知向量满足，则（　　）
A． B． C．0 D．1
17．（2023高一下·杭州期中） 已知是边长为正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
18．（2023高三上·光明期中）已知向量．若不超过5，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
19．（2023高一下·吉林期中）已知为单位向量，，向量的夹角为，则在上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
20．（2023高一下·安徽月考）已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．（
21．已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
22．（2023高二上·吉林开学考）已知单位向量满足，则与夹角的大小为（　　）
A． B． C． D．
23．（2023高一下·河南月考）不共线的平面向量，满足，，则平面向量，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
24．（2023高一下·嘉兴期末）如图，在中，，分别在上，且，点为的中点，则下列各值中最小的为（　　）
A． B． C． D．
25．（2023高一下·绍兴期末）均为单位向量，且它们的夹角为45°，设，满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
26．（2023高一下·余姚期末）已知平面向量，满足，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
27．已知平面向量，的夹角为，且，，则（　　）
A． B． C． D．
28．（2023·）已知向量，，若是在上的投影向量，则（　　）
A． B． C． D．
29．（2023高一下·保山期末）如图所示，在矩形中，，点为的中点，且，则等于（　　）
A． B． C． D．
30．（2023高二下·安徽月考）正多边形具有对称美的特点，很多建筑设计都围绕着这一特点展开.已知某公园的平面设计图如图所示，是边长为2的等边三角形，四边形，，都是正方形，则（　　）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：因为 为的重心 ，则
又因为在中，，
所以，
则，可得.
故答案为：A.
【分析】根据重心的性质可知，根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：因为△ABC中，2BD=CD，E为AC的中点，AD和BE相交于点F，
设：，
，
所以，解得：，
所以，
所以，即，
所以，
所以AF：DF=3，
故选C.
【分析】利用平面向量基本定理的推论求解。
3．【答案】C
【解析】【解答】由向量，，则。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算得出向量的坐标。
4．【答案】C
【解析】【解答】设，，
，
所以，，，解得：，，，
即。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示和中点坐标公式得出点B的坐标。
5．【答案】A
【解析】【解答】
，
，
。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合向量的坐标表示，得出向量
的坐标。
6．【答案】B
【解析】【解答】对于①，因为向量可以平移，所以相等向量的坐标相同，所以①正确；
对于②，若向量 满足 ，因为方向向量不确定，所以 不一定正确，故②错误；
对于③， ， ， ， 是不共线的四点，若“ ”，由平行四边形判定定理“一组对边平行且相等，则四边形为平行四边形”可知“四边形 为平行四边形”；若“四边形 为平行四边形”，由平行四边形性质可知“对边平行且相等”，所以“ ”，即“ ”是“四边形 为平行四边形”的充要条件，故③正确；
对于④，若 ，则 且 ；若 且 ，则 或 ，故④错误.
综上可知，正确的为①③
故选：B
【分析】根据平面向量定义及共线的条件，充分必要条件的判断，可判断四个选项.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得 ， .
故答案为：A.
【分析】先求出，再根据向量模长公式求.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为为，，，
故答案为：B.
【分析】利用向量坐标运算法则直接求解即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】已知，，
由于则，解得，
所以，，可得.
故答案为：B.
【分析】首先根据向量垂直坐标表示求出的坐标，进一步求出，利用向量模的坐标表示可得结果.
10．【答案】A
【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系，则，
设，，则，
所以，
所以，即，
所以，，
所以，
又因为，所以当时，取得最小值为.
故答案为：A.
【分析】建立平面直角坐标系，设，，即可得到，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.
11．【答案】C
【解析】【解答】由题意可知： ，
因为 与垂直， 则，解得.
故答案为：C.
【分析】根据复数的坐标运算可得，再利用向量垂直的坐标表示求解.
12．【答案】D
【解析】【解答】A、不能做基底，选项错误；
B、，共线不能做基底，选项错误；
C、，，不共线的非零向量，可以做基底；
D、，共线不能做基底，选项错误.
故选：C.
【分析】根据非零不共线的向量才能做基底，依次判断即可.
13．【答案】D
【解析】【解答】解：A.∵，1
∴，，故A错误；
B.∵，∴，故B错误；
C.∵，
∴与不平行，故C错误；
D.∵，∴，故D正确．
故选：D．
【分析】 根据给定条件，利用向量的坐标运算判断AB选项；利用共线向量的坐标表示判断C选项；利用垂直关系的坐标表示判断D选项．
14．【答案】B
【解析】【解答】解：由与共线，可得①，再由向量与向量垂直，可得②，由①②可得，故.
故答案为：B.
【分析】根据向量共线和向量垂直的坐标表示求出，即可求得的值.
15．【答案】B
【解析】【解答】解：因为，，所以，，又因为，故存在实数，使得，所以解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量坐标运算先求，以及，再根据，故存在实数，满足，列方程组求解即可.
16．【答案】B
【解析】【解答】 ，
，，
，，
.
故答案为：B
【分析】利用向量的坐标运算分别求出向量，再根据向量模长公式进而求解.
17．【答案】A
【解析】【解答】如图建立平面直角坐标系，则，
设，可得，
所以，
当是，取到最大值4；当是，取到最小值；
所以的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解.
18．【答案】A
【解析】【解答】因为，所以，，即，解得.
故答案为：A
【分析】根据题意，求得，结合题意和向量的模长公式，列出不等式，即可求解.
19．【答案】B
【解析】【解答】 在上的投影为， 在上的投影向量为.
故答案为：B
【分析】先求 在上的投影，再求 在上的投影向量.
20．【答案】C
【解析】【解答】解： ，
，
解得，
，，
方向的单位向量，在上的投影为，
在上的投影向量为.
故选：C
【分析】先求出 方向的单位向量 ，和在上的投影，再求 在上的投影向量为.
21．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ， 则，即，
所以 在方向上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】根据向量的线性运算的几何意义可得，进而结合投影向量的定义运算求解.
22．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可知：，
因为 ，解得，
则，
且，所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合数量积的运算可得，代入夹角公式运算求解即可.
23．【答案】D
【解析】【解答】解：因为，则 ，可得，
又因为，则，
所以，
因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合向量垂直可得，再结合平面向量的夹角公式运算求解.
24．【答案】D
【解析】【解答】由题意可得：，
，
，
对A：；
对B：
因为，则，可得，
即；
对C：
因为，则，可得，
即；
对D：，
因为，则，可得，
即；
综上所述：最小的.
故答案为：D.
【分析】以为基底向量表示，根据题意结合数量积的运算律分析判断.
25．【答案】C
【解析】【解答】解：以所在直线为x轴，垂直于所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，
∵，
∴在平面中所对应的点在以为圆心，为半径的圆上运动，
满足，
又∵，
∴在平面中所对应的点满足：，
∴在平面中所对应的点的运动轨迹为直线x-y-1=0，
∴当A、B、O三点共线时，取得最小值，
最小值为：.
故选：C.
【分析】首先以所在直线为x轴，垂直于所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据已知条件先求出A、B对应的运动轨迹，可知当A、B、O三点共线时，取得最小值，求解即可.
26．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，，即15a2-7a·b-2b2=0，
又，且，故，即，解得，
故选：C.
【分析】本题主要考查平面向量的数量积，根据题意得出方程15a2-7a·b-2b2=0，即可求解.
27．【答案】B
【解析】
【解答】解：因为所以.
所以
故答案为：B.
【分析】首先由的坐标求出它的模，再由已知向量夹角，数量积公式求出和的数量积，最后代入向量模的公式即可求解。
28．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得，
可知在上的投影向量，所以 .
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解.
29．【答案】B
【解析】【解答】解： 以A为原点，分别以AB，AD所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系：
设，则A (0，0)，C(4，m)，D(0，m)，E(2，0)，
故，，
由 可得，解得，
故
即
故答案为：B.
【分析】 以A为原点，分别以AB，AD所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系，求出的坐标，利用向量垂直的坐标表示可求出m的值，再根据向量模的定义可得答案.
30．【答案】B
【解析】【解答】以I为原点，IH所在直线为x轴，IB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
过F作FM⊥BC的延长线于点M，
则，故FM=1，，
则
故，
即
故选：B.
【分析】以I为原点，IH所在直线为x轴，IB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出所需点和向量的坐标，再利用向量数量积的坐标运算，可求出答案.
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