高中数学人教A版（2019）必修2 第六章 平面向量基本定理及其坐标表示（二）章节综合练习题（答案+解析）

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平面向量基本定理及其坐标表示（二）
一、选择题
1．已知平面向量，的夹角为，且，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量满足，则（　　）
A． B． C．1 D．2
3．（2023高二上·吉林开学考）已知边长为1的正方形，点为中点，点满足，那么等于（　　）
A．2 B． C． D．
4．已知单位向量的夹角为，且，则（　　）
A． B．6 C．2 D．4
5．（2023高一下·炎陵期末）向量满足，且向量夹角为，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．已知点，，．则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023高一下·莲湖期末）已知向量的模长为2，向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A．8 B．4 C．2 D．1
8．（2023高一下·宁波期末）在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
9．（2023高二下·成都期末）已知等边三角形ABC的边长为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023高一下·余姚期末）已知平面向量，满足，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2023高二下·深圳期中）已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2023高一下·台州期中）如图，在圆中，，点，在圆上，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．（2023高一下·洮南期末）设点M是线段BC的中点，点A在线段BC外，，，则（　　）
A．8 B．4 C．2 D．1
14．已知非零向量满足，则（　　）
A． B． C． D．
15．（2023高二下·河北期末）已知，，，则与夹角的余弦值为（　　）
A．－1 B． C．0 D．1
16．（2023高一下·天河期末）已知中，，，，O为的外心，若，则（　　）
A． B． C． D．
17．（2023高一下·深圳期中）已知单位向量，满足，则，（　　）
A． B． C． D．
18．（2023高一下·深圳期中）已知向量，满足，，若，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
19．（2023高二下·绍兴期末）已知单位向量与互相垂直，且，记与的夹角为，则（　　）
A． B． C． D．
20．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
21．（2023高一下·响水月考）已知，，则的最小值为（　　）.
A．-1 B．1 C．4 D．7
22．（2023高二下·宁波期末）已知平面向量，，当和垂直时，（　　）
A． B．22 C． D．25
23．（2023高一下·洮南期末）已知向量非零.满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
24．已知向量，，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
二、解答题
25．
（1）已知，且，，求.
（2）已知向量，，求与的夹角值.
26．（2023高二上·柳州开学考）已知＝（2，1），||＝2．
（1）若∥，求的坐标；
（2）若（5﹣2）⊥（+），求与的夹角．
27．（2023·海盐开学考）已知平面向量.
（1）若与垂直，求的值；
（2）若向量，若与共线，求.
28．（2023·）如图，在△ABC中，，，，点D，E分别在，上且满足， ，点在线段上．
（1）若，求；
（2）若，且求；
（3）求的最小值．
29．（2023高三上·深圳月考）已知平面向量，.
（1）若，求实数m的值；
（2）若，求；
（3）若，求与夹角的余弦值.
30．已知向量，设函数.
（1）求在上的单调增区间；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】
【解答】解：因为所以.
所以
故答案为：B.
【分析】首先由的坐标求出它的模，再由已知向量夹角，数量积公式求出和的数量积，最后代入向量模的公式即可求解。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，所以，即，由已知，可得.
故答案为：C.
【分析】将两边平方，结合已知条件可得.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：不妨以为基底向量，由题意可知：，
可得，，
所以.
故答案为：C.
【分析】先用表示，再根据题意结合数量积的运算律运算求解.
4．【答案】A
【解析】【解答】解： ， .
故答案为：A.
【分析】根据数量积计算公式先求，再求.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：因为向量满足，且向量的夹角为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件结合平面向量数量积的定义和模长计算公式计算即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：易得，，，则，即向量与的夹角为钝角，因此向量在上的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算先求，以及向量的模和夹角，再根据投影向量公式计算即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：由向量在向量上的投影向量为，可得
故
故答案为：D.
【分析】 根据投影向量的定义可得，再利用向量数量积的公式结合可求出答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】以 为原点，边为轴建立坐标系如图
不妨设，则，，设，，
，
，，
，即在恒成立，，解得，
，是直角三角形.
故答案为：A
【分析】以 为原点，边为轴建立坐标系，设，利用向量的坐标运算来求解.
9．【答案】B
【解析】【解答】，
，
，
.
故选：B.
【分析】画图分析，得到向量之间的夹角，结合平面向量数量积的运算，求出最后值.
10．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，，即15a2-7a·b-2b2=0，
又，且，故，即，解得，
故选：C.
【分析】本题主要考查平面向量的数量积，根据题意得出方程15a2-7a·b-2b2=0，即可求解.
11．【答案】B
【解析】【解答】∵，
∴，
∴
，
解得，（舍去），
故选：B.
【分析】根据，求出，通过倍角公式即可求出.
12．【答案】B
【解析】【解答】取AB的中点D，连接CD，
由圆的几何性质可得CD⊥AB，
故
故选： B.
【分析】取AB的中点D，连接CD，由圆的几何性质可得CD⊥AB，再由向量数量积的几何意义得 ，从而求出答案.
13．【答案】C
【解析】【解答】以为邻边作平行四边形ABCD，则由向量加、减法的几何意义可知，，由 可得，
又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形，
故AC⊥AB.
则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，又 ，
故
故选：C.
【分析】由结合向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则可得，进而得AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，从而得，即可求出答案.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：已知非零向量，且，
，
，
又，
；
又的取值范围是，
故.
故答案为：C.
【分析】利用向量的数量积的运算法则化简得的余弦值，再根据的范围可确定其角度，从而得出答案.
15．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，又 ， ，，.
故答案为：A.
【分析】对 两边平方结合求 与夹角 .
16．【答案】D
【解析】【解答】根据题意可知，，
因为0为的外心，
所以根据外心的性质可知，O到三角形三个顶点的距离相等，
从点O分别作AB、AC垂线，
故，
所以，
因为，
所以，
两边同乘，
所以，
所以，
又因为，
所以，
两边同乘，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
【分析】由外心的性质入手，可知O是三角形三条垂直平分线的交点，作出辅助线，利用垂直的性质，化简向量的数量积，从而求出.
17．【答案】B
【解析】【解答】由单位向量，满足 ，得，
即，解得，
又
故 ，
【分析】 根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，以及平面向量的夹角公式，即可求解出答案.
18．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，
即，
即，
解得，
所以，
故选：C.
【分析】根据，结合条件，代入数据，计算即可得答案.
19．【答案】D
【解析】【解答】 由题意得 ，，
.
故答案为：D
【分析】利用平面向量数量积和向量模长的公式求夹角。
20．【答案】A
【解析】【解答】解：∵与 的夹角为钝角，
∴，且与不共线，
∴，
∴解得且.
故选：A.
【分析】根据与 的夹角为钝角，可知，且与不共线，由此可求出 的取值范围 .
21．【答案】B
【解析】【解答】因为，所以
所以当时，取得最小值1，所以的最小值是1，
故答案是：B
【分析】要求的最小值，只需求的最小值，由已知可得，当时，取得最小值1，所以的最小值是1.
22．【答案】D
【解析】【解答】∵，
∴，
又∵，
∴，即，解得m=-15，
∴，
∴
∴，
故选：D
【分析】利用向量垂直求参数m，再利用数量积的坐标运算求值即可。
23．【答案】B
【解析】【解答】由 得，即，
设向量与的夹角为，向量在向量方向的投影为，
故，又 ，则，
故选：B
【分析】根据题意结合数量积的运算以及投影向量的定义求解可得答案.
24．【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】首先求出和，再根据向量垂直与数量积的关系可求出的值.
25．【答案】（1）因为 ， 则或，则，
所以 .
（2）因为
则，且，所以.
【解析】【分析】(1)根据向量共线可得或，结合数量积的定义运算求解；
(2)根据数量积和模长公式结合向量夹角的计算公式分析求解.
26．【答案】（1）解：∵＝（2，1），由∥，可设＝（2λ，λ），
再根据||＝2＝，求得λ＝±2，
∴＝（4，2）或（﹣4，﹣2）．
（2）解：若（5﹣2）⊥（+），
则（5﹣2） （+）＝5+3·﹣2＝25+3·﹣40＝0，
∴·＝5．
设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，则×2×cosθ＝5，求得cosθ＝，∴θ＝．
【解析】【分析】 (1)根据向量平行设＝（2λ，λ）， 结合模长公式求解λ即可；
(2)根据向量数量积运算得（5﹣2） （+）＝0，求得·＝5，进而求与夹角 .
27．【答案】（1）解： 与 ，又与垂直，
，解得；
（2）解： 与 ，又 与共线，，解得，，.
【解析】【分析】(1)先求出向量 与 的坐标，再利用向量垂直数量积为0计算求的值；
(2)先向量 与 的坐标，再利用向量共线的坐标运算求的值，进而求.
28．【答案】（1）解：点在线段上，则，使得，t>0，
则，又，，
故，根据题干可知：，，于是
（2）解：，由，，且，
故，又由，，，代入数据可得t=1 ，故.
（3）解：取中点，
则，由，于是，
由，，故为等边三角形，故，根据中位线可知，//，于是，在中根据余弦定理可得，
为锐角，又，故过作的高线时，垂足点落在线段上，由题意垂足点为时，最小.最小值为
，，
在中，根据余弦定理可求得，
即，故的最小值为.
【解析】【分析】(1)设 ，使得，t>0， 结合向量的线性运算可得 ， 列式求解即可；
(2)根据向量垂直可得 ，结合（1）中结论运算求解；
(3)根据题意分析可知 过作的高线 ， 垂足点为时，最小 ，进而根据数量积的运算律结合余弦定理运算求解.
29．【答案】（1）解：因为，所以，解得：.
（2）解：因为，所以，解得：.
所以，，
则.
（3）解：当时，，所以，
所以，
则与夹角的余弦值是.
【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标公式即可求得答案；
（2）根据向量垂直的坐标公式及向量的模运算可得答案；
（3）先求出的坐标，再由向量的数量积坐标公式运算即可得出结论.
30．【答案】（1）解：，
当时，则.
由，可得，
故函数在上的单调增区间为.
（2）解：当时，则，
故当，即时，函数的最大值为，
当，即时，函数的最小值为0，
所以在上的最大值为1，
由于对任意恒成立，故，
故的取值范围为.
【解析】【分析】(1)根据数量积的坐标运算先求，结合二倍角公式和两角和的正弦公式化简，再利用正弦函数的单调性求在上的单调增区间；
(2)根据x范围，先求得的最值，再求 的最大值，进而得到的取值范围.
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