高中数学人教A版（2019）必修2 第六章 正余弦定理解答题专项章节综合练习题（答案+解析）

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正弦余弦图像 解答题专项
一、解答题
1．（2023高二上·长沙开学考）已知函数．
（1）若，求在的单调区间；
（2）若在上的最小值为，求实数m的取值范围．
2．（2023高二上·朝阳开学考）已知函数，是的一个零点．
（1）求的值；
（2）请把的解析式化简成的形式；
（3）当时，若曲线与直线有2个公共点，求m的取值范围．
3．已知函数的图象如图所示
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）若函数，满足对任意的恒成立，求实数的取值范围．
4．已知函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）求函数的解析式.
（2）求函数的单调递增区间.
（3）当时，求的取值范围.
5．（2023高一下·资阳期末）已知函数在区间上的最大值为1.
（1）求常数m的值；
（2）当时，求函数的最小值，以及相应x的集合.
6．（2022高一下·广州期中）已知函数，，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有成立，则称函数是D上的P级周期函数，周期为T.
（1）判断函数是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？
（2）已知，是上的P级周期函数，且是上的严格增函数，当时，.求当时，函数的解析式，并求实数P的取值范围；
（3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论.
7．（2023高二下·朝阳期末）设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数唯一确定．
条件①：；
条件②：的最小值为；
条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
（1）求和的值；
（2）设函数，求在区间上的最大值．
8．（2023高一下·房山期末）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值及取得最小值自变量的值.
9．（2023高一下·黔西期末）已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大值和最小值.
10．（2023高一下·番禺期末）已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．
已知函数，____．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间．
11．已知函数，．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，得到的图象，求，的值域．
12．（2023高一下·衢州期末） 已知函数，.
（1）求；
（2）求函数的值域.
13．（2023高一下·浦东期末） 已知，且函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调减区间；
（3）若函数（其中）是上的偶函数，求的值，
14．（2023高一下·金华期末）已知函数.
（1）求函数单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求在的值域.
15．（2023高三下·吉林）已知函数（，，）的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）设，若函数在区间上单调递增，求实数的最大值．
16．（2023高一下·深圳月考）已知函数
（1）求的最小正周期．
（2）若在区间上的最小值为2，求在该区间上的最大值．
17．（2023高一下·洮南期末）已知函数.
（1）求函数的最小正周期及其单调递增区间；
（2）当时，对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
18．（2023高一下·杭州期中）已知函数．
（1）求函数的增区间；
（2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围．
19．（2023高一下·浙江期中）已知函数，，的图象相邻两条对称轴间的距离为，是函数的一个零点．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间.
20．（2023高一下·深圳期中）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间；
（3）若，求的取值范围.
21．（2023·温州模拟）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.
22．（2023高一下·浙江期中）已知函数．
（1）求函数的周期及在上的单调递增区间：
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数根．求实数的取值范围．
23．（2023高一下·安徽期中）设函数．其中．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求实数的值，使函数的值域恰为，并求此时在上的对称中心．
24．（2023高一下·苏州期中）已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间.
25．（2023高一下·湖南期中）已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象，若，求实数x的取值范围.
26．（2023·白山模拟）已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的.
（1）若的最小正周期为，求的图象与y轴距离最近的对称轴方程；
（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围.
27．（2023高一下·承德期中）已知函数的图象的一部分如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值.
28．（2023高一下·苏州期中）如图，一个直径为的水车按逆时针方向每分钟转1.8圈，水车的中心距离水面的高度为，水车上的盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计时，则与时间（单位：）之间的关系为.
（1）求与的函数解析式；
（2）求在一个旋转周期内，盛水筒在水面以上的时长.
29．（2023·江苏会考）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求实数的取值范围.
30．（2021·邢台模拟）已知函数 .
（1）若 ，求 ；
（2）当 时，讨论函数 的零点个数.
答案解析部分
1．【答案】（1）.
令，
解得，
在上的递增区间为，
当时，得到，当时，得到，
故在上的递增区间为和，递减区间为.
（2），得.
在[0，m]上的最小值为-2，故的最小值为，
故，解得.
【解析】【分析】(1)首先利用二倍角公式及辅助角公式将化简，再利用正弦函数的单调性求解即可；
（2）转化为的最小值为， 由可得．
2．【答案】（1）解：由题设．
所以．
因为，所以．
所以．
所以．
（2）解：由（Ⅰ）
．
（3）解：因为，所以．
于是，当且仅当，即时，取得最大值1；
当且仅当，即时，取得最小值．
又，即时，．
所以m的取值范围是．
【解析】【分析】(1)由题意得 ，再根据三角函数性质和 ，求的值 ；
(2)代入得解析式，再利用三角恒等变化化简；
(3)由 ，得 ，结合正弦函数的性质，求曲线与直线有2个公共点时m的取值范围．
3．【答案】（1）解：由图可知：，所以，所以由图易得，
则，又，则，则
所以，所以．
令，解得，
所以的单调递增区间为
（2）解：由题．当时，．
因为对任意的恒成立，
则，即所以
【解析】【分析】 (1)由图得到， ，得到，结合 ，求得 ，再利用三角函数性质求解单调区间；
(2)易得，由对任意的恒成立，得到，求解实数的取值范围．
4．【答案】（1）由函数的图象知，
，所以，解得；
由函数图象过点，得，则，
因为，所以，
所以函数的解析式为；
（2）由函数的解析式，
令；
解得；
所以的单调递增区间为
（3）当时，，则，
所以，
则的取值范围是.
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用五点法求解析式；
(2) 以 为整体，结合正弦函数单调性运算求解；
(3) 以 为整体，结合正弦函数有界性运算求解.
5．【答案】（1）解：
，因为，所以，
所以当即时，函数取得最大值，
于是有，解得；
（2）解：由（1）得，
当时，函数的最小值为，
此时，解得
即时取最小值，
所以所求集合为.
【解析】【分析】（1）先利用余弦二倍角公式及两角和的正弦公式化简函数，再根据的范围求函数的最大值，然后让最大值等于1求解m的值即可；
（2）当时，根据正弦函数性质求的最小值及取到最小值时的值.
6．【答案】（1）解：依题意，函数定义域是R，
，
即，成立，
所以函数是R上的周期为1的2级递减周期函数.
（2）解：因，是上的P级周期函数，则，即，
而当时，，当时，，，
当时，，则，
当时，，则，
……
当时，，则，
并且有：当时，，当时，，当时，，……，
当时，，
因是上的严格增函数，则有，解得，
所以当时，，且.
（3）解：假定存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，
即，恒有成立，则，恒有成立，
即，恒有成立，当时，，则，，
于是得，，要使恒成立，则有，
当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，
此时恒成立，则，即，
当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，
所以存在，符合题意，其中满足.
【解析】【分析】（1） 根据题意，化简，进而得到是R上的周期为1的2级递减周期函数；
（2） 根据题意得到，根据三角函数的性质，分类讨论，即可求得数的解析式，并求实数P的取值范围；
（3） 根据题意转化为，恒有成立，要使恒成立，得到，分和，两种情况讨论，即可求解.
7．【答案】（1）解：选①③．
因为，
由，得．
因为的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以．
所以．
因为，所以．
选②③．
因为，
由的最小值为，得．
因为的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以．
所以．
因为，所以．
注：选①②不成立，理由如下．
因为，
由，得．由的最小值为，得．
无法确定的值，故函数不是唯一确定．
故选①②不成立.
（2）解：由（1）可知．
．
因为，所以．
所以当，即时，
在区间上取得最大值．
【解析】【分析】（1）由条件①可得m=1，由条件②可得m=1，由条件③可得ω=1，故选择①②不能确定ω使f(x)唯一确定；
（2）根据（1）的结果求解g(x)，求解区间上的最大值即可.
8．【答案】（1）解：，
故最小正周期为
（2）解：由于，则，
注意到在上满足，上，
于是要求的最小值只用考虑的情况，
由在上单调递减，，
于是在上递减，
故时，即，取到最小值.
【解析】【分析】 (1)根据正、余弦二倍角公式，辅助角公式化简 ，然后根据三角函数的周期公式，即可求解出 的最小正周期；
(2)根据正弦函数的单调区间，结合进行求解，即可得 的最小值及取得最小值自变量的值.
9．【答案】（1）解：因为 ，
所以的最小正周期为.
（2）解：因为，所以，则，即，
当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值2；
所以的最大值是2，最小值是.
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简解析式，进而求最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质求最值.
10．【答案】（1）解：若选①因为
所以，又函数为奇函数，
则，结合，则有，
所以.
若选②则
则又，则时，；
所以.
若选③，
又，则时，.
所以.
（2）解：令
得
所以的单调递增区间为
又时，令得令得
所以函数在上的单调递增区间为和.
【解析】【分析】 (1)对①：先求出函数解析式，利用奇函数的定义即可；对②：直接利用题中条件建立方程，求解即可；对③：利用零点定义建立方程，求解即可.
(2)先求出函数在R上的单调增区间，再对进行赋值，即可求出
11．【答案】（1）解：由题，周期，
令，
得，
所以的单调递增区间是.
（2）解：由已知可得，.
因为，所以.
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
所以，，所以，
所以所求值域为.
【解析】【分析】 (1)利用辅助角公式化简可得 ，再根据正弦函数的周期性和单调性， 即可求出 的最小正周期和单调递增区间；
(2) 由已知可得， ，然后利用辅助角公式化简可得 .根据正弦函数的单调性即可求出 的值域．
12．【答案】（1）解：因为，
所以.
（2）解：
令，因为，所以，则，
令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以，
所以函数的值域.
【解析】【分析】(1)把代入函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可求出.
(2)利用诱导公式和二倍角公式先化简，再利用换元法转化成二次型函数在求值域即可.
13．【答案】（1）解：因为，
所以
.
故的最小止周期为.
（2）解：由，得，
所以函数的单调减区间为.
（3）解：因为，
因为是上的偶函数，
所以，即，
又，所以或.
【解析】【分析】 (1)向量乘法结合三角变换先化简得，再求周期；
(2)结合正弦函数的单调区间函数的单调减区间；
(3) 结合三角函数的奇偶性求解 .
14．【答案】（1）.
由.
得到.
所以函数单调递增区间为.
（2）
.
所以函数在的值域为.
【解析】【分析】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，可求出函数单调递增区间；
(2)利用三角函数的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得 在的值域.
15．【答案】（1）解：由图象得，，所以，
由，所以，所以，
由图象经过点，代入得，
由得，
所以.
（2）解：由题意，
因为函数在区间上单调递增，且，
所以，解得，所以的最大值为.
【解析】【分析】（1）根据图像得，，再代入点坐标 求的解析式 ；
（2）先求出函数，在利用正弦函数单调性实数的最大值。
16．【答案】（1）解：由已知得，
最小正周期为
（2）解：当时，，
的最小值为
，
在该区间上的最大值为，
当，即时可以取到．
【解析】【分析】（1）先进行三角恒等变换化简得f(x)，再代入周期公式计算即可；
（2）由得，进而由f(x)的最小值易得m=2，再求最大值即可.
17．【答案】（1）解：
，
函数的定义域为，
最小正周期，
由，，
得，，
由，，
得，，
所以的单调递增区间为，，.
（2）解：因为，
所以时，.
由题易知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
①当时，显然成立；
②当时，只需，
所以，
综上，实数m的取值范围是.
【解析】【分析】(1)利用余弦的二倍角公式和辅助角公式化简f (x)解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性可求出函数的最小正周期及其单调递增区间；
(2)由得求出f (x)的最大值，转化为二次函数恒成立问题求解可得实数m的取值范围.
18．【答案】（1）解：因为，
所以，
即，
令，，
得，，
所以函数的增区间为，
（2）解：方程在上有且有一个解，
即函数与函数在上只有一个交点，
因为，
所以，
由（1），可知函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
所以或．
【解析】【分析】（1）先对函数f(x)进行三角恒等变换，化简得，再写出单调区间即可；
（2）根据正弦函数的单调性与最值，数形结合，可得答案.
19．【答案】（1）解：由已知可得，，所以，.
又，所以有，所以.
因为，所以，
所以，
（2）解：由可得，
，
所以，的单调递增区间为，.
当时，；
当时，；
当时，.
综上所述，函数在上的单调递增区间为，
【解析】【分析】（1）由题意得，，又，求出，，写出函数的解析式即可；
（2）先写出函数的单调递增区间，取，求出满足 的范围即可。
20．【答案】（1）解：由图知函数的最小正周期，所以，
又，所以.
因为，所以，
所以
（2）解：令，解得；
令，解得；
所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为
（3）解：当，即，
可得，解得，
所以的取值范围为
【解析】【分析】(1)由已知先求出函数的周期，进而可求，然后结合五点作图法可求，进而可求出函数的解析式；
(2)利用正弦函数的单调性即可求解出函数的单调区间；
(3)由已知不等式结合正弦函数的性质即可求解出 的取值范围.
21．【答案】（1）解：由，得，
因为函数在区间上恰有3个零点，
于是，解得，而为正整数，因此，
所以.
（2）解：由（1）知，，
由，得，即有，
因此，
由，解得，
所以函数的单调减区间为.
【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出的范围，再结合正弦函数的零点列出不等式求解即可；
（2）根据（1）求出函数的解析式，进而求出，再利用正切函数的单调性求解单调区间即可.
22．【答案】（1）解：
周期为
所以递增区间是；
（2）解：
因为方程在上有两个不同的实数根，
.
【解析】【分析】 (1)根据二倍角公式和辅助角公式化简函数后，利用周期公式和单调递增区间求解出即可；
(2)根据方程有两个不同的实数根求解值域，即可求出实数的取值范围．
23．【答案】（1）解：由题设，
所以，最小正周期.
（2）解：当，则，故，
所以，故时满足的值域恰为，
此时，令，，则，，
所以在上的对称中心为，.
【解析】【分析】(1)利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式整理得 ，从而由正弦型函数求其最小正周期；
( 2 )利用正型弦函数的单调性可求得 ，利用使函数f(x)的值域为 ， 可求得m的值，从而可求出 在上的对称中心．
24．【答案】（1）解：由，
整理得：，
由于相邻两对称轴间的距离为，
故函数的最小正周期为π，故．
所以；
（2）解：由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），
得到函数，
令，，
即，，
所以的单调递减区间为，.
【解析】【分析】(1)先用二倍角公式，辅助角公式化简f(x)，再根据周期确定，即得 的解析式；
(2)根据变换规律得到g(x)，再根据y=sin x的单调区间即可求出 的单调递减区间.
25．【答案】（1）解：由图象可得，，，
所以，，
所以，.
又在处取得最大值，
由“五点法”可知，
所以.
又，所以，
所以，.
（2）解：将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），
得到的图象；
将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到的图象；
将图象向右平移个单位后得到函数的图象，
所以.
由可知，，
所以.
根据正弦函数的图象可得，或，
所以，或，
所以，实数x的取值范围为，.
【解析】【分析】（1）由图象可求得，，即可得出，所以.根据“五点法”，可推得，即可得出答案；
（2）由已知可得，.然后得出，根据正弦函数的图象，即可得出答案.
26．【答案】（1）解：由，得，
所以，
令，，解得，，
取，得，取，得，
因为，所以与y轴距离最近的对称轴方程为.
（2）解：由已知得，
令，，解得，.
因为在上有且仅有一个零点，所以
所以.
因为，所以，解得，，所以，
解得，
即的取值范围为.
【解析】【分析】（1）由题意得， 令，解得，取 ，可得结论；
（2）利用整体代换求得零点，再根据已知区间确定范围即可.
27．【答案】（1）解：由函数的图象，
可得，，即，所以，可得，
又因为，即，可得，
又由，所以，
所以函数的解析式为.
（2）解：由题意，函数
.
因为，所以，
所以当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值.
【解析】【分析】（1）由函数的图象，求得，，得到，再由，求得，即可得到函数的解析式；
（2）化简得到函数，结合三角函数的性质，即可求解.
28．【答案】（1）解：依题意，， ，即，则，
由给定的图形知，，又，即有，
所以与的函数解析式是；
（2）解：令，即
所以，解得，
所以水车在一个旋转周期内，盛水筒在水面以上的时长为．
【解析】【分析】(1)结合图形，可确定 与的函数解析式；
(2) 令 ，利用正弦函数的性质可求出t的范围，进而得盛水筒在水面以上的时长.
29．【答案】（1）解：，最小正周期.
（2）解：，即，
设，，，
当时，即，整理得到，
，当且仅当，即时等号成立，故；
当时，不等式恒成立；
当时，即，整理得到，
，当且仅当，即时等号成立，故.
综上所述：，即
【解析】【分析】（1）确定，再计算周期即可.
（2）设 ，，考虑，，三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.
30．【答案】（1）解： ， ，
.
（2）解：当 时， ， ，且 在 上单调递增，
由 得： 或 .
当 时，方程 只有1个解， 的零点个数为1；
当 时，方程 与 各有1个解，且这2个解不相等， 的零点个数为2；
当 时，方程 只有1个解， 的零点个数为1.
综上所述：当 时， 的零点个数为1；当 时， 的零点个数为2.
【解析】【分析】(1)首先由整体思想结合两角和的正切公式代入数值计算出的值，然后再由两角和公式代入数值计算出的值即可。
(2)根据题意由正切函数的单调性即可得出函数的单调性，再令整理即可求出或，利用m的取值范围结合方程与零点之间的关系即可得出函数g(x)的零点个数。
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