高中数学人教A版（2019）必修2 第六章 正弦定理 解答题专项章节综合练习题（答案+解析）

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正弦定理 解答题专项
一、解答题
1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知，．
（1）求△ABC的面积；
（2）若，求c．
2．（2023高二上·朝阳开学考）在中，．
（1）求；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：AB边上的高为．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分．
3．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
4．已知函数.
（1）若的周期为π，且△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，C，满足，，，求b
（2）若在上恰有两个零点，求的取值范围。
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求A；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
6．如图，在中，，，点D在线段BC上.
（1）若，求AD的长；
（2）若，的面积为，求的值.
7．（2023高二上·西乡县开学考）在锐角中，的对边分别为，且
（1）确定角的大小；
（2）若，且，求边.
8．在ABC中．a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，
（1）求角C：
（2）若，求锐角ABC面积的取值范围．
9．已知的内角的对边分别为，，平分交于点，且．
（1）求；
（2）求的面积．
10．（2023高一下·北流期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上的一点，，且______________，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
11．（2023高二上·梅河口开学考）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且三角形的外接圆半径为．
（1）求C的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为O，且满足，求m的值．
12．（2023高二上·梅河口开学考）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知．
（1）求角B；
（2）若，且，求的周长．
13．（2023·海盐开学考）在中，内角，，的对边分别是，，，且满足B.
（1）求角的值.
（2）sinAsinB=34，c=2，求△ABC的面积．
14．（2023·）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若a=，c=2，的角平分线交BC于D，求AD的长．
15．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）若，，求的值；
（2）若，求角，的大小．
16．（2023高二上·吉林开学考）在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上中线长为，求的面积．
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝2c，，求△ABC的面积．
18．（2023高二上·昆明开学考）在①；②③这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，解三角形.
19．（2023高三上·深圳月考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的面积，求△ABC的周长．
20．（2023高三上·阳江开学考）在中，为的角平分线，且.
（1）若，，求的面积；
（2）若，求边的取值范围.
21．（2023高三上·开远月考）在中，，点D在边上，，且.
（1）若的面积为，求；
（2）设，若，求.
22．在中，角所对的边分别为.
（1）求；
（2）若，过作垂直于交于点为上一点，且，求的最大值.
23．（2023高一下·闵行期末）上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.
（1）当米时，求分隔栏的长；
（2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值.
24．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若，的面积为，求c的值．
25．（2023高一下·炎陵期末）如图，在平面四边形中，，，．
（1）若，求的面积；
（2）若，，求．
26．（2023高一下·上饶期末）设的内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）已知，，点是边上的点，求线段的最小值.
27．如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，求山高.
28．的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
29．（2023高二下·湛江期末）已知在 中， ， 分别是角 所对的边.
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的面积.
30．（2023高一下·苏州期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求边上中线的长.
答案解析部分
1．【答案】（1）由题意得，
则，即，
由余弦定理得，整理得，则，又，
则，所以，则.
（2）由正弦定理得，
所以，
则或(舍去)，所以.
【解析】
【分析】（1）根据面积公式及余弦定理得，由，结合同角三角函数的关系得，即可求出，再代入三角形面积公式，计算求解即可；
（2）由正弦定理求出， 所以.
2．【答案】（1）解：由已知可得：，
∴，而，
∴．
（2）解：选①②：
∵，，
∴；
由正定理得，∴；
故．
【解析】【分析】(1)利用余弦降幂公式和二倍角公式化简；
(2)选①② ，由条件求出角，利用正弦定理求边，再根据三角形内角和定理和面积公式求解.
3．【答案】（1）解：，化简可得，
，，
，
，，
即，又，
则，，则；
（2）由正弦定理可得
因为，所以，则，
所以，故，
所以的取值范围为，．
【解析】【分析】本题是三角恒等变换与正弦定理的综合应用。
(1)先根据两角和的正弦公式和正弦定理化简已知得，即，又则，，则；
（2）由正弦定理和二倍角的余弦公式得
再根据角的范围和的图像求出范围。
4．【答案】（1）解：因为的周期，故=2，又>，故=2，
则，又，则，
解得或A=0（舍），
因为，则，又，
由正弦定理得：
故，故.
（2）解：因为，又因为在上恰有两个零点，
当，所以，故，
解得：，故的取值范围是.
【解析】【分析】本题综合考查函数与解三角形的知识。
（1）利用公式求出的值，再结合已知求出角A，与正弦定理得出b的值；
（2）先由，因为 在上恰有两个零点，所以
5．【答案】（1）解：因为，所以．
又，
所以．
因为，所以．
又，所以．
（2）解：由（1）可知，，所以．
由，得，则，
则．
因为，所以，，
则，故△ABC周长的取值范围为．
【解析】【分析】（1）由三角形的恒等变换可得，可得，从而求得；
（2）由（1）利用正弦定理可得， 因为，所以 ，进而利用正弦函数的性质可得△ABC周长的取值范围为．
6．【答案】（1）解：∵中，，
∴，
∵，∴，
在中，由正弦定理得，
∴，
综上所述，结论是：AD的长为.
（2）解：设，则，∴，
∴，的面积为，
∴，
∴，，
中，由余弦定理得
，
在中，由正弦定理，
即，∴，
中，由正弦定理得，
即，
∴，
∵，
∴，
综上所述，结论是：.
【解析】【分析】(1) 在中 ，利用正弦定理运算求解；
(2) 设， 根据 的面积可得 ，， 在 中， 利用余弦定理可得AC， 在， 中，利用正弦定理分析证明.
7．【答案】（1）解：因为，由正弦定理得，又，
所以，即，因为，所以.
（2）解：由余弦定理，得，
又，由解得或
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化为角得到，结合C的范围可得答案；
（2）由余弦定理得到，再结合解方程组即可.
8．【答案】（1）解：及正弦定理得，
∴，
∴，即，∴，
∵，∴，∵，∴．
（2）解：设外接圆的半径为，由，
得，即，
则，∴．
的面积．
∵，∴，，∴，
∵，，，∴，∴，∴，
∴，∴，即锐角面积的取值范围是．
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；
(2)设外接圆的半径为， 利用正弦定理可得 ，利用正弦定理边化角，利用面积公式结合三角恒等变换可得 ，进而结合正弦函数的有界性运算求解.
9．【答案】（1）解：如图，
因为，所以，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，所以
（2）解：因为平分交于点，且，
所以，即，①
所以，，
所以，，
所以，
因为，所以，得，
因为，所以，
在中由正弦定理得，
得，所以，
所以，
在中由余弦定理得，得，②
由①②解得，
所以的面积为.
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合将变形为，z再结合倍角公式可得到，从而得到B；
（2）利用角平分线定理得，即，结合，可得到，结合三角函数的基本关系可得到，在中由正弦定理算得，从而得到，在中再由余弦定理得到，结合可得到答案.
10．【答案】（1）解：由正弦定理知，，
∵，
代入上式得，
∵，
∴，，
∵，∴.
（2）解：若选①：
由平分得，，
∴，
即．
在中，由余弦定理得，
又，∴，
联立得，
解得，（舍去），
∴．
若选②：
因为，，
，得，
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
∴．
【解析】【分析】(1)首先由正弦定理以及两角和的正弦公式整理化简，计算出cosB的取值，从而得出角B的大小。
(2) 若选①： 由已知条件结合三角形面积公式整理化简计算出a与c的关系，并代入到余弦定理由此计算出ac的取值，结合三角形面积公式计算出结果即可。 若选②： 首先由向量加减运算性质整理化简即可得出a与c的关系，并代入到余弦定理由此计算出ac的取值，结合三角形面积公式代入数值计算出结果即可。
11．【答案】（1）解：在中，，
即，
由余弦定理得，，
即，
即，
即，
在中，，则，
又∵，∴；
（2）解：，
由正弦定理得，∴，
则
，
由余弦定理得，
∴＝；
（3）解：∵，
∴，
sinAsinB≠0，上式两边同时除以2sinAsinB得，
两边同时乘以：，
∴①，
如图，
∵O是△ABC的外心，∴，
∴，
同理，，
代入①式得，
由正弦定理，得，，
代入化简得，
∴．
【解析】【分析】(1)根据题意利用余弦定理边化角可得 ， 进而结合三角恒等变换运算求解；
(2)根据题意利用正弦定理角化边可得 ，结合余弦定理运算求解；
(3)根据题意利用数量积的定义可得 ，结合外接圆的性质可得 ， 再结合正弦定理运算求解.
12．【答案】（1）解：由题意，
即，
因为，所以，，
所以；
（2）解：由题意，则，
由余弦定理，
即，得，
所以三角形的周长.
【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，即可得结果；
(2)先利用面积公式可得 ， 进而结合余弦定理运算求解.
13．【答案】（1）解： ，由正弦定理得，化简得，又，，又，
（2）解：由(1)知， ，，又 ，， .
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理即可求角的值.
(2)利用正弦定理结合(1)可得ab=43，再利用面积公式求解.
14．【答案】（1）解：，由正弦定理可得：，
而，
故，因为，所以，又，所以，
（2）解：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由可得，，解得：
【解析】【分析】(1)先利用切化弦结合正弦定理可得 ， 再利用三角恒等变换运算求解；
(2)先利用余弦定理可得 ， 再根据 结合面积公式运算求解.
15．【答案】（1）解：因为，，，
由余弦定理可得；
（2）解：因为，所以，
由余弦定理可得：，
所以，即，
所以，
因为，
可得，
所以
【解析】【分析】 (1)结合条件利用余弦定理求的值 ；
(2)由结合余弦定理得到 ，进而求解.
16．【答案】（1）解：，
由正弦定理得，所以，所以，
因为，所以；
（2）解：由（1）得因为边上中线长为，
设中点为，所以，
所以，即，
所以，又因为，所以，解得，
所以．
【解析】【分析】(1)根据题意利用正弦定理可得 ，再结合余弦定理可得 ；
(2)根据中线可得 ， 根据题意利用数量积的运算律运算求解.
17．【答案】（1）解：由正弦定理，得bsinA＝asinB，得，
又∵B为△ABC的一个内角，∴B∈（0，π），∴或；
（2）解：∵△ABC为锐角三角形：，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，所以24＝4c2+c2﹣2c2，
得（负值舍去），．∴．
【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，进而可求或；
（2）由已知结合余弦定理可求得，，然后结合三角形面积公式求解即可．
18．【答案】选择① ： ，
由正弦定理得，
，
求得，，，
求得；
选择 ② ： ，
由正弦定理得，
，
求得，
或，
当时，；
当时，；
选择 ③ ： ，
由正弦定理得，
，
求得，
，，.
【解析】【分析】选择①：利用正弦定理求得 ，再根据 得 ，进而求，再利用正弦定理求边；
选择②：利用正弦定理求出或，分别讨论求，利用正弦定理求边；
选择③：利用正弦定理求出，进而求，再利用正弦定理求边.
19．【答案】（1）解：因为，所以由正弦定理可得到，
又因为，所以，
故，得到，又因为，所以．
（2）解：因为，△ABC的面积，
所以，得到，
在△ABC中，由余弦定理得，
所以，故△ABC的周长为．
【解析】【分析】 (1)利用正弦定理化边为角可得 ，再结合角A的范围可求出角A的大小；
(2)根据三角形的面积公式求出c，再利用余弦定理求出a，进而求出 △ABC的周长．
20．【答案】（1）解：因为，
所以，
得：，
解得，
所以.
（2）解：设，，
由得
，
即，
所以，
又在中，
所以，
得，
因为且，
得，
则，
所以，
即边的取值范围为.
【解析】【分析】 (1)因为，结合面积公式可得，进而可得结果；
(2)因为，利用面积公式可得，结合余弦定理可得，结合函数求取值范围.
21．【答案】（1）解：因为，即，
又因为，，所以.
在中，由余弦定理得，
即，解得.
（2）解：在中，，因为，则，
又，由正弦定理，有，
所以.
在中，，，
由正弦定理得，，即，
化简得
因为，所以
，，
所以或，
解得或.
【解析】【分析】 (1) 先利用面积公式可得 ，再利用余弦定理运算求解；
(2)在、 中，利用正弦定理整理得 ，运算求解即可.
22．【答案】（1）解：因为，
所以，
又，所以，
因为，，所以，
又，解得，
因为，所以.
（2）解：
由已知可设，
在中，则由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，所以.
在中，由余弦定理，得，
，
当时，的长度取得最大值.
【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角化简得，结合 及 求 的值 ；
(2) 由已知设，在中由正余定理正定理得，再在中利用余定理求的最大值.
23．【答案】（1）解：因为，所以，
在中，，，
由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
所以的长为米；
（2）解：因为，，
设，，则，
在中，由正弦定理得，
所有，
则
，
当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米.
【解析】【分析】(1)先求出 ， 在中 ，利用余弦定理求 ；
(2)在中设 ，利用正弦定理求出 ，再根据三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得 ，当时求得种植区三角面积的最大值.
24．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理得，
又，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
（2）解：因为的面积为，
所以，所以，
由余弦定理得，
所以．
所以，与联立，得．
【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角得，结合三角恒等变换推出，求解得；
（2）由面积公式得，再根据余弦定理得，进而求解即可.
25．【答案】（1）解：因为，，，由余弦定理得，
所以，即，解得，
所以．
（2）解：设，
在中，由正弦定理得，所以①，
在中，，，
则，即②
由①②得：，即，∴，
整理得，所以．
【解析】【分析】（1）根据题意由余弦定理求得，再根据三角形面积公式计算即可；
（2）设，在，利用正弦定理可知①，在，根据正弦定理可得②，结合①②化简整理可得，即可求得的值.
26．【答案】（1）解：由得，，
∵，∴，
∴，
又由正弦定理，得，
即，
∴，
∵，∴，即，
∵，∴，∴，
∵，∴.
（2）解：由已知及余弦定理可得，，.
∵边为最大边，∴角为最大角，
而，∴角为锐角，为锐角三角形，
∴最小时为边上的高，
∵，
∴，∴，
∴的最小值为.
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；
(2)利用余弦定理求得 ，分析可知 最小时为边上的高， 结合面积公式运算求解.
27．【答案】在中，，，所以．
在中，，，从而，
由正弦定理得，，因此．
在中，，，得．
【解析】【分析】在中，易得，在中，根据正弦定理求得，最后在，求出即可.
28．【答案】（1）由，可得，
所以，
即，，，所以 或；
（2）因为为锐角三角形，所以，
由正弦定理，得 ，
因为为锐角三角形，所以 所以 ，所以 ，所以，
所以，则周长的取值范围为.
【解析】【分析】（1）由可得，利用两角和差公式化简即可求得，从而求；
（2）由为锐角三角形，求得，再由正弦定理结合三角函数恒变换求得，最后根据为锐角三角形求出角B的取值范围，从而求周长的的取值范围.
29．【答案】（1） 解：∵ ， A∈(0，π)，
∴A∈(0，)，
∴，，
（2）解： ∵ ，
∴，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=，
由，得，
则.
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sinA，tanA，再由求解即可；
(2)先求得cosB，再结合sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，得sinC，利用得a=2，最后代入三角形的面积公式得答案.
30．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，又，
所以，
（2）解：由可得，
所以，，
所以或，
所以或，
若，则，
又，所以，
设的中点为，
所以边上中线的长为，
若，则，为等边三角形，
因为，所以，
设的中点为，
所以边上中线的长为.
【解析】【分析】(1)先利用正弦定理把已知条件化简成，整理得，由余弦定理可.
(2)利用正弦定理化边为角，结合二倍角公式可得，由（1）中角A可得或，分别计算三条边即可求解.
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