高中数学人教A版（2019）必修2 第六章 正切图像章节综合练习题（答案+解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
正切图像
一、选择题
1．（2023高二上·西乡县开学考）函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022高二上·张掖开学考）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022高一下·房山期中）函数是（　　）
A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数
4．（2022高一上·太原期末）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是最小正周期为的偶函数
B．是最小正周期为的偶函数
C．是最小正周期为的奇函数
D．是最小正周期为的奇函数
5．（2021高一上·齐齐哈尔期末）在（0，）内，使成立的的取值范围为（　　）
A．（，） B．
C． D．
6．（2021高二上·丰台期中）如图，若直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高三上·河南月考）函数 的最小正周期是（　　）
A．2π B．π C． D．
8．（2021高三上·高邮月考）下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递减的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023高一下·浦东期末） “，”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2023高二下·宁波期末） 已知，则 （　　）
A． B． C． D．
11．（2023高一上·嵩明期末）已知，且，则x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2022高三上·安徽开学考）函数的图象的一个对称中心为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2022·鹤壁模拟）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．6
14．（2022高一下·汉中期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的定义域为R
B．函数的最小正周期为4
C．函数的单调递增区间为，
D．函数图像的对称中心为，
15．（2022·安康三模）已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（　　）
A． B． C． D．8
16．（2022高一下·江西期中）函数的单调递增区间是（　　）
A． B．
C． D．
17．（2022高一上·成都期末）函数的单调递增区间为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
18．（2021高一下·平顶山期末）函数 和 的图象在区间 上交点的横坐标之和为（　　）
A．6 B．4 C．8 D．12
19．函数 定义域为（　　）
A．
B．
C．
D．
20．已知函数 最小正周期为 ，且 的图象过点 ，则方程 所有解的和为（　　）
A． B． C． D．
二、解答题
21．（2023高一上·汉滨期末）已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
22．（2022高一上·通州期末）已知函数.
（1）求函数的定义域，最小正周期；
（2）求函数的单调区间.
23．（2022高三上·朝阳月考）已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
24．（2022高二下·滨州期末）已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
25．（2022高一下·南阳月考）已知函数的最小正周期为2，其图象过点.
（1）求的解析式和对称中心；
（2）请指出函数的图象可由的图象经过怎样的变换得到.
26．（2021高一下·定远期中）已知函数
（1）求该函数的定义域，最小正周期及单调区间；
（2）若，求的值．
27．（2020·南通模拟）如图，墙上有一壁画，最高点 离地面4米，最低点 离地面2米，观察者从距离墙 米，离地面高 米的 处观赏该壁画，设观赏视角
（1）若 问：观察者离墙多远时，视角 最大？
（2）若 当 变化时，求x的取值范围.
28．求函数 在 时的值域.
29．（2019高一上·河东期末）已知函数 ．
（1）求 最小正周期、定义域；
（2）若 ，求x的取值范围．
30．已知函数f（x）=tan（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为2π．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求不等式f（x）＞﹣1的解集．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，，截得，
所以函数的定义域是.
故答案为：A.
【分析】利用正切函数的定义域为可得答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】因为，所以.
故的定义域为.
故答案为：A
【分析】根据正切函数的定义域可得结果.
3．【答案】B
【解析】【解答】由正切函数性质知：的最小正周期为，
定义域关于原点对称且，即为奇函数.
所以是周期为的奇函数.
故答案为：B
【分析】根据诱导公式和函数奇偶性的定义，判断出函数 是奇函数，由正切函数的周期和周期公式求出此函数的周期.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：的最小正周期为，
令，
所以函数的定义域关于原点对称.
又，
所以函数是奇函数.
故答案为：C
【分析】由正切公式的周期公式，代入数值计算出结果，再由奇偶性的定义整理化简即可得出答案。
5．【答案】B
【解析】【解答】画出和直线的图象，
由图象可得，在上解集为。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正切函数的图象，从而求出在（0，）内，使成立的的取值范围。
6．【答案】C
【解析】【解答】设直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，从图中可以看出 ，因为 ， ， ，其中 ， ，所以
故答案为：C
【分析】由已知条件即可得出直线的倾斜角，再由斜率公式结合正切函数的单调性即可得出斜率的大小。
7．【答案】D
【解析】【解答】函数 的图象是由 的图象先向右平移 个单位长度，再把 轴下方的图象翻折到 轴上方得到，故 的最小正周期与 的相同，为 ，
故答案为：D.
【分析】函数 的图象是由 的图象先向右平移 个单位长度，再把 轴下方的图象翻折到 轴上方得到，再利用正切函数的周期公式可得答案。
8．【答案】A
【解析】【解答】 最小正周期为 ，在区间 上 单调递减；
最小正周期为 ，在区间 上单调递减；
最小正周期为 ，在区间 上单调递增；
最小正周期为 ，在区间 上单调递减；
故答案为：A
【分析】根据题意由正弦函数、余弦函数以及正切函数的单调性和周期性，结合绝对值的几何意义，对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】A
【解析】【解答】充分性：，，则，充分性成立，
必要性：若 ，则，，必要性不成立.
故答案为：A
【分析】利用正切函数周期判断充分性和必要性.
10．【答案】B
【解析】【解答】∵已知，并且，
∴的终边在直线上，
故。
故答案为：B
【分析】根据，并且可知的终边在直线上，进而得到的值
11．【答案】B
【解析】【解答】等价于或，
如图所示：
由正切函数图象知，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合绝对值不等式求解方法，所以等价于或，再利用正切函数图象得出x的取值范围。
12．【答案】D
【解析】【解答】由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以为图象的一个对称中心，
故答案为：D
【分析】 由题意利用正切函数的图象的对称性，得出答案.
13．【答案】A
【解析】【解答】解：将函数的图象分别向左平移个单位长度后，
可得
将函数的图象分别向右各平移个单位长度后，
可得，
因为函数与的对称中心重合，所以，
即，解得，
所以的最小值为.
故答案为：A.
【分析】 由两个正切型函数图象的对称轴重合，可得两个图象的相位相差，再结合函数图象平移的“左加右减”原则，即可求得的最小值.
14．【答案】D
【解析】【解答】由得，
所以函数的定义域为，A不符合题意；
函数的最小正周期为，B不符合题意；
由得，
函数的单调递增区间为，，C不符合题意；
由得，
所以函数的对称中心为，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正切型函数的定义域求解方法、最小正周期公式、单调区间求解方法、对称中心求解方法，进而找出结论正确的选项。
15．【答案】A
【解析】【解答】由题可知，是该函数的周期的整数倍，即，解得，又，故其最小值为．
故答案为：A．
【分析】由题意说明平移的单位是周期的整数倍，利用正切函数的周期可求出答案.
16．【答案】A
【解析】【解答】由，可得，
即，所以的单调递增区间是。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合正切型函数的图象判断出其单调性，进而得出正切型函数的单调递增区间。
17．【答案】C
【解析】【解答】解：令，
解得，
所以函数的单调递增区间为，，
故答案为：C
【分析】 由题意，利用正切函数的单调性，求得函数的单调递增区间.
18．【答案】C
【解析】【解答】解： ， ，
令 ，则 ，所以函数 的对称中心为 ，
因为 是由函数 向右平移2个单位得到的，
所以 关于 对称，
故 是函数 和 的对称中心，
画出两函数的图象如图所示：
故两函数有四个交点，设从左到右依次为 ，
根据对称性，则 关于 对称， 也关于 对称，
所以 ，
即函数 和 的图象在区间 上交点的横坐标之和为8.
故答案为：C.
【分析】 因为f (x )和g (x)都关于点(2， 0)对称，区间(-1， 5)也关于 对称，作出图象即可得答案.
19．【答案】C
【解析】【解答】解：由得，
解得，
故答案为：C
【分析】由根式、分式以及对数函数的性质列不等式组，结合三角函数的性质即可求解
20．【答案】A
【解析】【解答】因为 的最小正周期为 ，所以 ，
又因为 的图象过点 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 且此时 ，
所以 ，即 ，
即 ，
又因为 时， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 或 ，解得 或 ，
所以方程 所有解的和为 .
故答案为：A.
【分析】首先由正切函数的周期公式计算出的值，再由点的坐标代入求出的值由此求出函数的解析式再由题意得到整理化简得到，分情况讨论即可得出 当时， 或 ，解得 或 进而得到答案。
21．【答案】（1）解：当时，，对称轴为
因为，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）解：是关于的二次函数，
它的图象的对称轴为直线．
因为在区间上是单调函数，
所以或，
即或，
又，
所以的取值范围是.
【解析】【分析】(1)将的值代入，通过配方求出二次函数的对称轴，求出函数的最大值和最小值；
(2)通过配方求出二次函数的对称轴，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，列出不等式，通过解三角不等式求出 的取值范围．
22．【答案】（1）解：函数，
正切函数的定义域满足：，
解得：，
函数的定义域为，
最小正周期.
故函数的最小正周期为2
（2）解：由，
可得：.
函数的单调增区间
【解析】【分析】(1)根据正切函数的定义域满足： ，求解可得函数的定义域，再根据，可得最小正周期；
(2)根据正切函数的图象以及性质整体代入求解即可得 函数的单调区间.
23．【答案】（1）解：因为
，
∴最小正周期为，
由，得，
的单调递增区间为；
（2）解：因为，
，
，
当，即时，；
当，即时，．
【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据余弦函数的性质即得；
（2）根据三角函数的性质即得.
24．【答案】（1）解：因为，所以，又，
，，
所以，解得，
（2）解：
，
，，
，即，将两边平方得，
．即，
.
．
【解析】【分析】(1)由已知条件结合同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意由同角三角函数的基本关系式，整理化简计算出答案。
25．【答案】（1）解：由已知得，解得.
将点代入解析式，，可知，
由可知，于是.
令，解得，
于是函数图象的对称中心为.
（2）解：先把函数的图象向右平移个单位得到，再把函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的得到，再把函数的图象横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍得到.
【解析】【分析】 (1)利用函数的周期和点的坐标求出函数 的解析式和对称中心；
(2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换，求出结果.
26．【答案】（1）解：由题意得函数最小正周期，
由得，
由得，
综上，函数的最小正周期是，定义域是，
单调增区间是；
（2）解：由题意①，
，，
则，
由得或，
把代入①得，
把代入①得．
【解析】【分析】(1)根据正切函数的周期公式，定义域和单调区间，在把“
”当成一个整体代入分别求解，再用集合和区间的形式表示出来；
(2)先把所求的式子，利用余弦的倍角和正弦的两角和的公式进行化简后，根据特点需要求tanθ的值，再把条件代入解析式，利用角的关系求出tan2θ，再由正切的倍角公式求出tanθ，代入求值即可.
27．【答案】（1）解：当 时，过C作 的垂线，垂足为D，
则 ，且 ，
由已知观察者离墙 米，且 ，
则 ，
所以， ，
当且仅当 时，取“ ”．
又因为 在 上单调增，所以，当观察者离墙 米时，视角 最大．
（2）解：由题意得， ，又 ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，所以 ，
即 ，解得 或 ，
又因为 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
【解析】【分析】（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根据基本不等式求 最值，最后根据正切函数单调性确定 最大时取法，（2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得 ，再根据a的范围确定 范围，最后解不等式得 的取值范围.
28．【答案】解：∵ ，
∴ ，
，
∴ 时， ，
函数无最大值，
∴所求值域为 ．
故答案为：
【解析】【分析】先求出 的取值范围，再结合二次函数性质得值域．
29．【答案】（1）解：对于函数 ，它的最小正周期为 ，
由 ，求得 ，可得它的定义域为
（2）解： ，即 ，故 ，
求得 ，故x的取值范围为 ，
【解析】【分析】（1）根据正切函数的周期性及定义域，即可求出函数f（x）的最小正周期和定义域；
（2）根据函数值的变化，解不等式，即可求出实数x的取值范围.
30．【答案】解：（Ⅰ）由函数f（x）=tan（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为2π，
可得=2π，∴ω=，f（x）=tan（x﹣）．
令kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，求得2kπ﹣＜x＜2kπ+，
故函数的定义域为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．
（Ⅱ）∵不等式f（x）＞﹣1，即tan（x﹣）＞﹣1，即 kπ﹣＜x﹣＜kπ+，
求得 2kπ﹣＜x＜2kπ+，故不等式的解集为{x|kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z}．
【解析】【分析】（Ⅰ）根据正切函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式，从而求得它的定义域．
（Ⅱ）由条件利用正切函数的图象，解三角不等式，求得x的范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)