21.1 一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，是一元二次方程的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022秋·湖北黄冈·九年级期末）关于的方程是一元二次方程，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
4．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
5．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）将方程化成一元二次方程的一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，5 B．2， C．，5 D．，
6．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
7．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）若2是关于x的方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2
8．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知是关于的一元二次方程的解，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
二、填空题
10．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）方程为一元二次方程，则实数 ．
11．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）把方程化成一般形式是 ．
12．（2022秋·湖北黄石·九年级统考期末）将方程化为一般形式是 ．
13．（2022秋·湖北鄂州·九年级期末）若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
14．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为 ．
15．（2022秋·湖北黄石·九年级统考期末）若m是关于x的方程的解，则代数式的值是 ．
16．（2022秋·湖北恩施·九年级期末）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣１，若我们规定一个新数“i”，使其满足（即方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，．从而对任意正整数n，我们可得到，同理可得，，，那么，的值为 ．
17．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知关于x的方程x2＋3x＋k＝0的一个根是－1，则k的值是 ．
三、解答题
18．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）已知3是一元二次方程x2-2x+a=0的一个根，求a的值和方程的另一个根.
19．（2022秋·湖北鄂州·九年级期末）化简求值：已知a是方程 x2＋3x－2＝0的一个根，求代数式 的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】当时，方程不是一元二次方程，所以A不符合题意；
因为不是整式方程，所以B不符合题意；
因为符合一元二次方程的定义，所以C符合题意；
因为不是一元方程，所以D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程．
2．B
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：①即是一元二次方程；
②是二元二次方程；
③是一元二次方程；
④是一元三次方程；
⑤即是一元二次方程；
所以是一元二次方程的有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
3．A
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴且，
解得：．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
4．C
【分析】将代入中，求出的值，再根据，即可确定的值．
【详解】将代入中
解得
∵这是关于的一元二次方程
∴
解得
故
故答案为：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．
5．B
【分析】将化为一般形式进行判断即可．
【详解】解：∵化为一元二次方程的一般形式，
∴一次项系数、常数项分别是2，，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般形式是：，a，b，c是常数，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，解题的关键是正确进行变形．
6．C
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，得到，两边同时除以，得到，即可求出的值．
【详解】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是掌握一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．B
【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，掌握理解一元二次方程的根的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键．
8．C
【分析】将代入方程求解．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解
∴，即
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解概念，正确代入计算是解题关键．
9．A
【分析】根据一元二次方程解的定义把x=1代入x2+mx+2=0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：把x＝1代入方程x2+mx+2＝0得1+m+2＝0，
解得m＝﹣3．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
10．2
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．
【详解】解：∵方程为一元二次方程，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握理解一元二次方程的定义．
11．
【分析】一元二次方程的一般形式是：（是常数，且），首先将方程左边按多项式乘多项式的规则进行展开后再进行合并同类项即可．
【详解】解：
去括号得：，
移项、合并同类项得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（是常数，且），特别要注意的情况．
12．
【分析】去括号，移项，再合并同类项即可．
【详解】解：，
，
，
∴
即方程化为一般形式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键．
13．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于的方程即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
，
，
．
故答案为：2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，还考查了二次根式有意义的条件．
14．
【分析】把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
15．3
【分析】先由方程的解的含义，得出m2 3m 1＝0，变形得m2 3m＝1，再将要求的代数式提取公因式 2，然后将m2 3m＝1代入，计算即可．
【详解】解：∵m是关于x的方程x2 3x 1＝0的解，
∴m2 3m 1＝0，
∴m2 3m＝1，
∴6m 2m2＋5
＝ 2（m2 3m）＋5
＝ 2×1＋5
＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．
16．i
【分析】根据题意可知，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝（﹣1） i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4 i＝i，i6＝i5 i＝﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．
【详解】解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝（﹣1） i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4 i＝i，i6＝i5 i＝﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵＝505…1，
∴i+i2+i3+i4+…+i2020+i2021＝i，
故答案为：i．
【点睛】本题考查了规律型数字的变化和一元二次方程的根，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．
17．2
【分析】将代入x2＋3x＋k＝0中，即可求出k的值．
【详解】解：将代入x2＋3x＋k＝0中
可得：
解得
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
18．a=-3；另一个根为-1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=3代入x2-2x+a=0可求出a的值，然后把a的值代入方程得到x2-2x-3=0，再利用因式分解法解方程即可得到方程的另一根．
【详解】解：设方程的另一个根为m，则
解得：
∴方程的另一个根为
∴a=-13=-3.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
19．
【分析】将代数式化简成，从已知求得的值，代入求解即可．
【详解】解：代数式，
∵a是方程的一个根，
∴，
∴．
【点睛】本题考查分式化简求值以及一元二次方程，结合已知条件化简代数式是解题的关键．21.2 解一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）将一元二次方程配方后得（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）方程的两个根是（ ）
A．， B．
C． D．，
3．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，；若，则x为（ ）
A．0或2 B．1或﹣1 C．1或2 D．﹣1或2
4．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．（2022·湖北黄石·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．，且 C．，且 D．
6．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）定义新运算“※”：对于实数m、n、p、q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
二、填空题
7．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
8．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）一元二次方程的根 ．
9．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）已知a、b是一元二次方程的两个根，则代数式的值等于 ．
10．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）若是方程的两个根，则多项式的值为 ．
11．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）已知方程的两根分别为和，则的值等于 ．
三、解答题
12．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）解方程：x（x﹣4）＝2﹣8x．
13．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）【项目学习】“我们把多项式及叫做完全平方式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】
利用配方法解决下列问题：
(1)当___________时，代数式有最小值，最小值为 ___________．
(2)当x取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？
【拓展提高】
(3)当x，y何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？
(4)如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为，试比较与的大小，并说明理由．
14．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）解方程．
15．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）已知关于的方程．
(1)若该方程有两实数根，求实数的取值范围；
(2)若该方程的根为整数，求正整数的值及方程的根．
16．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围.
17．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）解方程：
18．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）解方程：（用两种方法解）
19．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）解下列方程：
(1) ；
(2)．
20．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）计算（化简与解方程）：
(1)；
(2)．
21．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）用适当的方法解方程：x2－4x－12＝0
22．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程有两个实数根，求m的范围；
(2)若方程的两个实数根为、，且，求m的值．
23．（2022·湖北黄石·九年级统考期末）阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：已知实数a，b满足：，且，则______，______；
(2)间接应用：在（1）条件下，求的值；
(3)拓展应用：已知实数x，y满足：，且，求的值．
24．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使此方程两个实数根的平方和等于2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
25．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
26．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值．
27．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知，关于x的一元二次方程．
(1)k取何值时，此方程有两个不相等的实数根？
(2)如果此方程的一个根为，求k的值和另一个根．
参考答案：
1．C
【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数-4的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
【详解】解：x2-4x=-2，
x2-4x+4=-2+4，
（x-2）2=2．
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法在解一元二次方程中的应用，解题关键是熟练掌握配方法的基本步骤．
2．A
【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：方程即的两个根为，，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法步骤是解答的关键．
3．D
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．
【详解】解：当（x-1）2x2时，方程为（x-1）2=1，
开方得：x-1=1或x-1=-1，
解得：x=0（不合题意，舍去）或x=2；
当（x-1）2＞x2时，方程为x2=1，
开方得：x=-1或x=1（不合题意，舍去），
综上，x=-1或2，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．B
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴一元二次方程有两个相等的实数根，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
5．C
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=42-4（k-1）×1＞0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．
【详解】解：由题意得，
k-1≠0且△=42-4（k-1）×1＞0，
解得：k＜5且k≠1．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：解题的关键是掌握当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
7．
【分析】直接根据判别式判断即可得出答案．
【详解】由题意可知：，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解与判别式之间的关系．
8．，
【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】解：
移项得，，
因式分解得，，
∴或，
解得，，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和步骤．
9．2
【分析】利用根与系数关系，可得，，代入即可求得代数式的值．
【详解】是一元二次方程的两个根，
，，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，关键是根与系数的关系的运用．
10．-1
【分析】根据根与系数的关系得到把变形得到然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，
则，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为，则，．掌握这一定理是解题的关键．
11．-2
【分析】由方程的两根分别为和，利用一元二次方程根与系数之间的关系即可得出．
【详解】解：方程的两根分别为和，
．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，熟记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
12．，
【分析】将原方程整理后再运用配方法，再开方，得到两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：x（x﹣4）＝2﹣8x
整理为：
方程两边都加上4，得，
∴
∴
∴，
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解答本题的关键．
13．(1)1， ；
(2)时，4；
(3)，，16；
(4)，见解析．
【分析】（1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可；
（2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可；
（3）将配方成，即可解答；
（4）求出，利用，得到，即．
【详解】（1）解：
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是．
故答案为：1；
（2）解：，
因为，所以，
因此，当时，代数式有最小值，最小值是4．
（3）解：
因为，，所以，
因此，当，时，即，时，代数式有最小值，最小值是16．
（4）解：，，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查配方法，解题的关键是理解题意，掌握配方法的原则．
14．
【分析】根据直接开平方法即可得方程的解．
【详解】解：，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
15．(1)a≤3
(2)a＝2时，x＝0或2；a＝3时，x1＝x2＝1
【分析】（1）根据根的判别式求出b2-4ac≥0，再求出不等式的解集即可；
（2）根据a的分为a≤3和a为正整数得出a=1或2或3，分别代入方程，再逐个判断即可．
【详解】（1）∵△＝b2－4ac＝（－2）2－4×1×（a－2）＝12－4a≥0，
解得：a≤3，
∴a的取值范围是a≤3；
（2）由（1）知a≤3，又∵a正整数，
∴a＝1或 2或3，
当a＝1时，△＝8，方程的根为无理数，舍去；
当a＝2时，方程为x2－2x＝0，此时，x＝0或2；
当a＝3时，方程为x2－2x＋1＝0，此时，x1＝x2＝1，
综上所述：a＝2时，x＝0或2；a＝3时，x1＝x2＝1
【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据根的判别式求出a的范围是解此题的关键．
16．（1）见解析；（2）
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【详解】（1），
∵，
∴方程总有实数根；
（2）∵，
∴，，
∵方程有一个根为负数，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
17．
【分析】根据公式法求解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，，
，
．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式．确定的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定、、的值．
18．，
【分析】方法一：配方法；方法二：直接用求根公式求解即可．
【详解】解：方法一：
解得，
∴方程的解为，；
方法二：
，
解得，
∴方程的解为，；
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握解一元二次方程的方法．
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）先移项得，再利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）解：，
，
或，
∴，．
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．(1)
(2)，
【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】（1）
；
（2），
，
，
或，
，．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．x1＝6，x2＝－2
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
∴x-6=0或x+2=0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】
（1）由根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
（2）由方程根的定义可把化为关于的方程，则可求得的值．
【详解】（1）
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，即，解得；
（2）、是方程的两个实数根，
，，
，
，
即，解得或，
又，
．
【点睛】本题主要考查根的定义及根的判别式，由根的判别式求得的取值范围是解题的关键．
23．(1)7，1
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得：a，b是方程的两个不相等的实数根，模仿例题即可得出答案；
（2）先化简原式，再根据（1）的值代入计算即可；
（3）令，，则，，再模仿例题解决问题即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：a，b是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知：，，
故答案为：7，1
（2）由（1）得，
∴（取正）
（3）令，，则，，
∵，
∴，即，
∴a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题．
24．(1)且
(2)不存在实数a使此方程两个实数根的平方和等于2，理由见解析
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，由此求出a的取值．
（2）利用根与系数的关系，化简，即，根据根与系数的关系即可得到关于a的方程，解得a的值，再判断a是否符合满足方程根的判别式．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴且，
∴，
∴且；
（2）∵此方程两个实数根的平方和等于2，设方程两根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴解得，
∵且，
∴不存在实数a使此方程两个实数根的平方和等于2．
【点睛】本题主要考查了根的判别式与根与系数关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根的判别式求出a的取值范围，此题难度不大．
25．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
解得；
（2）由根与系数的关系可得：，
由可得
即，化简可得：
解得，
又∵
∴
【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的基础知识．
26．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识并灵活应用是解题的关键．
27．(1)且时，方程有两个不相等的实数根
(2)，另一个根为
【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式计算解答；
（2）把代入原方程，解得k的值．再根据一元二次方程根与系数的关系求得另一个根．
【详解】（1）解：∵，，，
∴．
解得
所以，当且时，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入原方程得：，解得：．
设另一个根为，则
即
所以方程的另一个根为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识点是解题的关键．21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北黄石·九年级统考期末）冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有3只动物被感染，后来经过两轮感染后共有363只动物被感染，若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·湖北十堰·九年级期末）新冠肺炎传染性很强，曾有人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染人，经过两天传染后人患上新冠肺炎，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物 20 件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）
A．=20 B．n（n﹣1）=20 C．=20 D．n（n+1）=20
4．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）腾龙百货的某种商品原价256元，连续两次降价a%后售价为196元．下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）某商品原价100元，经连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·湖北荆州·九年级期末）某景点今年三月份接待游客25万人次，五月份接待游客61万人次，设该景点今年三月份到五月份接待游客人次平均增长率为x（x>0），则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从六月份的500万元，连续两个月降至380万元，设平均下降率为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）某超市一月份的营业额为25万元，三月份时因新冠疫情下降到16万元，若平均每月下降率为x，则由题意列方程应为（ ）
A．25（1+x）2＝16 B．25（1﹣x）2＝16
C．16（1+x）2＝25 D．25[1+（1﹣x）+（1﹣x）2]＝16
10．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期中）如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长米，宽米）场地，被条宽度相等的绿化带分为总面积为平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）如果设绿化带的宽度为米，由题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022秋·湖北鄂州·九年级期末）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·湖北孝感·九年级期末）若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20=0的根，则△ABC的周长是（ ）
A．9 B．10 C．9或10 D．7或10
14．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设AB长为xm，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
16．（2022秋·湖北孝感·九年级期末）为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“(两次打折数相同)优惠活动，已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x折，则有
A． B．
C． D．
17．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）一次足球联赛实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
18．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）若一个人患了流感，经过两轮传染后共有36个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了 个人，按照这样的传染速度，三轮传染后共有 个人患了流感．
19．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为
20．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 ．
21．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期末）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 队参加比赛
三、解答题
22．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basicreproductionnumber．更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数．例如：有1人感染新型冠状病毒，若R0＝3.50，则经两轮传染后感染新型冠状病毒的人数为：1+1×3.50+1×3.50×3.50≈17（人）．时下人心惶惶的新型冠状病毒的基本传染数据估计为3.30到5.40之间．请解答下列问题：
（1）若现有10人感染新型冠状病毒，则经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数大约在什么范围内（直接写出结果，结果保留整数）？
（2）最近，新型冠状病毒变异出德尔塔毒株，德尔塔变异病毒的R0值极高．若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染．
①求德尔塔变异病毒的R0值；
②国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低．例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值为：R0（1﹣40%）＝0.6R0．若有1人感染德尔塔变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？
23．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）参加一次商品交易会的两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
24．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）用一根长的绳子能否围成一个面积为的矩形？若能，请求出该矩形的长和宽；若不能，请说明理由．
25．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）小明家新房客厅背景墙是一幅八骏图，原图（如图1）长宽分别是40分米和16分米，为了更美观，现在原图的四周用等宽的木条进行装裱（如图2），装裱后面积增加116平方分米，求木条的宽度．
26．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）凌云文具店从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如表：（注：利润销售价进货价）
类别 价格 款钥匙扣 款钥匙扣
进货价（元/件）
销售价（元/件）
(1)该文具店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该文具店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
(3)文具店打算把款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售件．经调查发现，每降价元，平均每天可多售件，将销售价定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元？
27．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？
28．（2022秋·湖北宜昌·九年级期中）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？
（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加．求a的值．
参考答案：
1．B
【分析】由题意易得第一轮后被感染的动物的数量为（3+3x）只，第二轮后被感染的动物的数量为只，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：所列方程为，
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题是解题的关键．
2．D
【分析】根据两天后共有128人患上流感，列出方程求解即可．
【详解】解：依题意得2+2x+x（2+2x）=128，
解得x1=7，x2=-9（不合题意，舍去）．
故x值为7．
故选：D．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
3．B
【详解】解：设有n人参加聚会，
则每人送出（n﹣1）件礼物，
由题意得：n（n﹣1）=20．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
4．B
【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．A
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
6．A
【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为81元”可得答案．
【详解】解：由题意得：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
7．D
【分析】根据题意直接列出方程即可．
【详解】设该景点今年三月份到五月份接待游客人次平均增长率为x（x>0），
则根据题意可列方程．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出数量关系列出等式是解答本题的关键．
8．A
【分析】根据六月份的生产总值×（1-平均下降率）2=四月份的生产总值，可列出方程．
【详解】解：依题意，得：500（1﹣x）2＝380．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．解题关键是明确若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
9．B
【分析】根据三月份营业额＝一月份的营业额×（1﹣平均每月下降率）2，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵一月份的营业额为25万元，平均每月下降率为x，
∴二月份的营业额为25×（1﹣x）万元，
∴三月份营业额为25×（1﹣x）×（1﹣x），
∴可列方程为25（1﹣x）2＝16，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
10．C
【分析】根据题意可得种植花苗的部分可以合成长，宽的矩形，从而即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，
种植花苗的部分可以合成长，宽的矩形，
根据题意得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
11．B
【分析】由绿化带的宽度，可得出六块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形，结合活动场所的总面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：绿化带的宽度为米，
六块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形．
根据题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．C
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为，由题意得
，
故选：C．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．
13．A
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝5，再根据三角形三边的关系可判断△ABC的第三边长为4，然后计算△ABC的周长．
【详解】解：∵x2﹣9x+20=0，
∴（x 4）（x 5）＝0，
∴x 4＝0或x 5＝0，
∴x1＝4，x2＝5，
∵2＋3=5，
∴△ABC的第三边长为4，
∴△ABC的周长为2＋3＋4＝9．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程 因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
14．A
【分析】设AB=x米，则BC=（20-3x+2）米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设AB=x米，则BC=（20-3x+2）米=（22-3x）米，
依题意，得：x（22-3x）=40，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．B
【分析】设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），根据两数之积为132，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），
依题意，得：x（x﹣1）＝132，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
16．C
【分析】设该店春装原本打x折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设该店春装原本打x折，
依题意，得：500（）2＝320．
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．B
【分析】设应邀请了x支球队参加联赛，根据“计划安排15场比赛，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设应邀请了x支球队参加联赛，根据题意得：
．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
18． 5 216
【分析】①设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
②根据①中所求数据，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数即可．
【详解】①解：设平均一人传染了x人，根据题意可得：
，
解得：，，（不符合题意舍去）
∴每轮传染中平均一个人传染了5个人；
②经过三轮传染后患上流感的人数为：（人）．
∴经过三轮传染后共有216人患流感；
故答案为：5；216．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
19．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
，
解得，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．10%．
【分析】设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是1000（1+x），五月份的产量是1000（1+x）2，据此列方程解答即可．
【详解】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得：
1000（1+x）2＝1210，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．
故答案为：10%．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
21．10
【详解】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数=45场，依此等量关系列出方程求解即可．
解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：=45，
整理，得：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不合题意舍去），
所以，这次有10队参加比赛．
答：这次有10队参加比赛．
本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．
22．（1） 人；（2）①8；②
【分析】（1）根据题意得： ，经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数为 ，再由基本传染数据估计为3.30到5.40之间，可求出最大值和最小值，即可求解；
（2）①设德尔塔变异病毒的 值为 ，根据题意，列出方程，即可求解；
②设全民接种率应该达到 ，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得： ，经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数为 ，
∴感染新型冠状病毒的人数最小值人，
感染新型冠状病毒的人数最大值人，
答：感染新型冠状病毒的人数大约在 人；
（2）①设德尔塔变异病毒的 值为 ，根据题意得：
，即 ，
解得： （舍去），
答：德尔塔变异病毒的R0值为8；
②设全民接种率应该达到 ，根据题意得：
，
整理得： ，即 ，
解得：，
∵ ，
∴ ，
答：全民接种率至少应该达到 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
23．10．
【详解】试题分析：设共有x家公司参加商品交易会，就可以得出有份合同，根据总共有45份合同建立方程，求出其解即可．
试题解析：设共有x家公司参加商品交易会，由题意得：，解得：，（舍去）．
答：共有10家公司参加商品交易会．
考点：一元二次方程的应用．
24．不能；理由见解析
【分析】设围成矩形的长为，则宽为，根据矩形面积公式得到一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式得出此方程无实数根，进而得出结论．
【详解】设围成矩形的长为，则宽为，
由题意得：，
整理得，，
，
此方程无实数根，
不能围成面积为的矩形．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等是实数根；，方程无实数根．
25．1分米
【分析】设木条的宽为x分米，然后根据题意列一元二次方程解答即可．
【详解】解：设木条的宽为x分米．由题意可列方程：
解得：，
因为x为正数．所以x＝1．
答：木条的宽为1分米．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系、列出一元二次方程成为解答本题的关键．
26．(1)购进款钥匙扣件，款钥匙扣件
(2)当购进件款钥匙扣，件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元．
(3)将销售价定为每件元或元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元
【分析】（1）设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，利用总价单价数量，结合该网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用平均每天销售款钥匙扣获得的总利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
依题意得：，
解得：．
答：购进款钥匙扣件，款钥匙扣件．
（2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进件款钥匙扣，件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元．
（3）设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件元或元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
27．销售单价应定为元
【分析】设销售单价应定为x元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，利用日销售利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设销售单价应定为x元，则每个的销售利润为元，每天可售出＝个，
依题意得：，
整理得：，
，
解得：．
日销售利润要达到1200元，且减少库存，应取，
答：销售单价应定为80元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，注意符合实际问题的取值．
28．（1）每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．（2）a的值为8．
【分析】（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：（1）设每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是x、y元，根据题意列方程组得，，
解得，，
答：每份“堂食”小面价格是7元，“生食”小面的价格是5元．
（2）根据题意得，，
解得，（舍去），，
答：a的值为8．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程．
