22.1 二次函数的图象和性质 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北黄石·九年级统考期末）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x
C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2
2．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）设点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）对称轴为y轴的二次函数是（ ）
A．y=(x+1)2 B．y=2(x-1)2 C．y=2x2+1 D．y=-(x-1)2
4．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2
6．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）对于抛物线y＝（x﹣1）2﹣3，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．当x＞1时，y＞0
C．抛物线与x轴有两个交点
D．当x＝1时，y有最小值﹣3
7．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(1，0) B．(－1，0) C．(1，2) D．(－1，2)
8．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．0
9．（2022秋·湖北恩施·九年级校考期末）如图，老师出示了小黑板上的题后，小华添加的条件是过点(3，0)；小彬添加的条件是过点(4，3)；小明添加的条件是a＝1；小颖添加的条件是抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人添加的条件中，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）
A．a>0 B．c>0 C．b2-4ac>0 D．a+b+c>0
12．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）如图，当ab＞0时，函数y＝ax2与函数y＝bx+a的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，抛物线）的对称轴是直线，y并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④，其中正确的是（ ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．②③
15．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，将抛物线分别向左、向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
17．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）抛物线上的顶点坐标为 ．
18．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣12t2．飞机着陆后滑行 米才能停下来．
19．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）已知函数的图象与函数的图象恰好有四个交点，则b的取值范围是 ．
20．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期末）当时，二次函数有最大值4，则实数的值为 ．
21．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）已知二次函数（a，c为常数，）经过，且，下列结论：①；②；③若关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当时，二次函数的最大值为c，则．其中一定正确的是 ．（填序号）
22．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）若二次函数中函数与自变量之间的部分对应值如下表
… 0 1 2 3 …
… 2 3 2 …
点、点在该函数图象上，当，，与的大小关系是 ．
23．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）抛物线与x轴的公共点是，，该抛物线的对称轴是直线 ．
三、解答题
24．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 m …
y … 0 4 4 n …
(1)这个二次函数的顶点坐标为___________，解析式中的____________；
(2)表中的___________， ____________；
(3)若，是这个函数图象上的两点，且，则___________（填“或或”）；
(4)写出这个函数的一条性质．
25．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．
(1)求直线的解析式；
(2)如图，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作于点G，求线段的最大值；
(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点Q的坐标．
26．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(2，﹣3)，且与x轴交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线AB下方抛物线上找一点D，求出使得△ABD面积最大时点D的坐标；
(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）已知二次函数的图象与x轴交于两点（1，0）、（4，0）．求这个二次函数的解析式和顶点坐标．
28．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2022·湖北黄石·九年级统考期末）抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标为A______，B______，C______；
(2)连接，，，若，求点P的坐标；
(3)连接，，是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
30．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图1，已知抛物线经过点，且交轴于，两点，交轴于点，已知点，是抛物线在第一象限内的一个动点，于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求的值；
(3)是否存在点，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】形如：，则是的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】A. ，不是二次函数，故该选项不符合题意；
B. y＝+x，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C. y＝x（2x﹣1）=，是二次函数，故该选项符合题意；
D. y＝（x+4）2﹣x2，不是二次函数，故该选项不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而点离直线的距离最近，点离直线最远，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
3．C
【分析】由已知可知对称轴为x＝0，从而确定函数解析式y＝ax2+bx+c中，b＝0，由选项入手即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为y轴，
则函数对称轴为x＝0，
即函数解析式y＝ax2+bx+c中，b＝0，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
4．A
【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．
【详解】解：∵为抛物线的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键．
5．B
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出抛物线的对称轴．
【详解】解：∵，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴为直线是解题的关键．
6．B
【分析】根据二次函数的性质进行逐一求解判断即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的解析式为，
∴二次函数开口向上，故A选项不符合题意；
当时不满足，，故B选项符合题意；
令，则解得或，故C选项不符合题意；
当时，二次函数有最小值-3，故D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7．A
【分析】题中抛物线解析式为一般式，转化为顶点式即可一目了然得到顶点坐标．
【详解】解：可转化为，
与抛物线的顶点式对比，
可以得出，顶点坐标为
故选A．
【点睛】本题考查抛物线的解析式之间互相转化以及顶点坐标的求解，解决本题的关键是熟练个解析式之间的相互转化．
8．C
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a=1或a=-1，然后根据二次函数的定义确定a的值．
【详解】把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1，
而a+1≠0，
所以a的值为1．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意不要掉了a+1≠0．
9．C
【详解】根据图上给出的条件是与x轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是x=2，意思就是抛物线的对称轴是x=2是题目的已知条件，这样可以求出a、b的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确．
解：∵抛物线过(1,0)，对称轴是x=2，
∴，
解得a=1，b= 4，
∴y=x2 4x+3，
当x=3时，y=0，所以小华正确；
当x=4时，y=3，小彬也正确，
∵a=1，
∴小明也正确；
抛物线被x轴截得的线段长为2,已知过点(1,0),则可得另一点为( 1,0)或(3,0)，所以对称轴为y轴或x=2，此时答案不唯一，所以小颖错误.
故选C.
点睛：本题考查二次函数的性质.将对称轴是x=2作为已知条件求出二次函数解析式是解题的关键.
10．C
【分析】①根据函数图象确定a、b、c的正负，即可确定①的正误；②根据对称轴确定b和2a的关系，进而确定②的正误；③根据函数图象确定x=-2的函数值的正负，然后代入抛物线的解析式即可确定③的正误；④当x=-1时，可确定a-b+c＞0，当x=1时，函数值小于0,即a+b+c＜0，可判断④的正误；⑤当x=-1时，y有最大值，然后与x=m时的函数值，列不等式化简即可．
【详解】解：①有抛物线开口方向向下，与y轴相交正半轴
∴a＜0，c＞0
∵抛物线的对称轴为x=-1
∴ ，即b=2a＜0
∴，故①正确；
②∵b=2a
∴b-2a=0，故②错误；
③如图：∵抛物线的对称轴为x=-1，当x=0时，函数值大于0
∴当x=-2时，函数值大于0,
∴4a-2b+c＞0，即4a+c＞2b，故③错误；
④∵由图象可知，抛物线的对称轴为x=-1，此时函数有最大值且函数值大于0
∴当x=-1时，函数值大于0,即a-b+c＞0
∵当x=1时，函数值小于0,
∴当x=1时，函数值小于0,即a+b+c＜0
∴（a+c）2-b2=（a-b+c）（a+b+c）＜0
∴，即④正确；
⑤当x=-1时，函数有最大值y=a-b+c
当x=m时，函数值为y=am2+bm+c
∴a-b+c＞am2+bm+c，即，故⑤正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的性质，灵活运用数形结合思想成为解答本题的关键．
11．D
【详解】解：A、∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，正确，故本选项错误；
B、∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，正确，故本选项错误；
C、∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，正确，故本选项错误；
D、把x=1代入抛物线的解析式得：y=a+b+c＜0，错误，故本选项正确；
故选D．
考点: 二次函数图象与系数的关系．
12．C
【分析】分别根据一次函数和二次函数图像得出a、b的取值，看看是否一致，且ab＞0即可．
【详解】A．根据一次函数得出a＜0，b＞0，根据二次函数得出a＞0，则ab＜0，故本选项错误；
B．根据一次函数得出a＞0，b＜0，根据二次函数得出a＞0，则ab＜0，故本选项错误；
C．根据一次函数得出a＜0，b＜0，根据二次函数得出a＜0，则ab＞0，故本选项正确；
D．根据一次函数得出a＜0，b＞0，根据二次函数得出a＜0，则ab＜0，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像和性质的应用，能根据函数图像正确判断a、b的取值范围是解答此题关键．
13．B
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点可得，，的符号及与的关系，从而判断①，由及对称轴可得点坐标，从而判断②③，由时取最小值可判断④．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①错误．
设抛物线对称轴与轴交点为，则，
，
，即点坐标为，
时，，
，②错误．
，
，
，③正确．
时取最小值，
，即，④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
14．D
【分析】根据二次函数的开口方向和与y轴交点可以得到，，再由抛物线顶点坐标为（-1，m），得到，即可判断①；由对称性可知抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），则当时，，即 ，即可判断②；由对称性可知当时，，当时，，即可判断③；当时，，得到，当时，，得到，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在y轴负半轴，
∴，，
∵抛物线顶点坐标为（-1，m），
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴当时，，即 ，故②正确；
∵当时，，
∴当时，，
∴当时，或，故③正确；
∵当时，，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∵，故④错误，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象的性质，尤其是对称性．
15．C
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，即，
∴b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
16．A
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案．
【详解】由抛物线分别向左、向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式是：，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键．
17．(2,-8)
【分析】运用配方法将抛物线化成顶点式，即可求顶点坐标．
【详解】解：利用配方法，
所以顶点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查求抛物线的顶点坐标，掌握求抛物线顶点坐标的方法是解题的关键．
18．75
【分析】将函数解析式配方成顶点式，根据顶点坐标的实际意义解题．
【详解】解：s＝60t﹣12t2
=
当t=2.5时，s取最大值，
即飞机着陆后滑行75 m后才能停下来
故答案为：75．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题关键是理解飞机滑行的最远距离即为函数的最大值．
19．
【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据二次函数的性质确定的范围即可．
【详解】当时，；
当时，；
∴，
∵，解得：，
将，代入，得：，
∴与的图象的交点为，
∵图象顶点坐标为，的最小值为，
图象顶点坐标为，的最小值为，
∵函数的图象与函数的图象恰好有四个交点，
∴的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分段的两个二次函数的性质，图象的交点问题，涉及到分类思想和数形结合思想，化简绝对值得到两个二次函数是解题的关键．
20．或
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，分类讨论，时取最大值．
【详解】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，
，
当时，时对应函数值最大，
将代入得，
解得或（舍，
当时，时对应的函数值最大，
将代入得，
解得（舍或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
21．①②④
【分析】由抛物线过点，则可得，由此等式可分别判断①与②；由抛物线与直线()交点的横坐标为整数的只有、及三个数，而可确定此时满足条件的值只有两个，故可判断③；由抛物线与的交点为，由对称性可得另一个对称点为，结合抛物线的性质可判断④．
【详解】抛物线过点，
，
，
，
，
，
，即m与c异号，
故①正确；
，
，
故②正确；
，
，
，，抛物线的对称轴为直线，
抛物线与直线()交点的横坐标为整数的只有、及三个数，
而当或时，；当时，；
当或时，，不符合题意；
满足条件的值只有两个，故③错误；
由抛物线与的交点为，由对称性可得另一个对称点为，
当时，二次函数的最大值为c，则或，
但，则，
故④正确；
故正确的有①②④；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系等知识，关键是掌握二次函数的图象与性质．
22．/
【分析】根据表格数据判断出对称轴为直线，再根据二次项系数小于0判断出函数图象开口向下，然后根据x的取值范围写出大小关系即可．
【详解】解：由表可知，抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴函数图象开口向下，
∵，，
∴点A比点B离对称轴远，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出对称轴和开口方向是解题的关键．
23．
【分析】根据点与的纵坐标都为0，可判定这两点是一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为，，
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，
则此抛物线的对称轴是直线．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式求解．
24．(1)，
(2)，
(3)
(4)函数最大值为（答案不唯一）
【分析】（1）利用抛物线的对称性可判断顶点，再利用待定系数法求出a值即可；
（2）利用抛物线的对称性，得到对称点，可得结果；
（3）根据抛物线对称轴和开口方向比较即可；
（4）根据最值，增减性，对称性得到性质．
【详解】（1）解：∵二次函数图像经过点，，，
∴二次函数的顶点坐标为，将坐标代入中，
得，解得：，
∴，
故答案为：，；
（2）∵抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，，
∴，
∵抛物线经过，，
∴，
故答案为：3，0；
（3）∵抛物线对称轴为直线，，
∴抛物线开口向下，
∴在时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：＜；
（4）由题意可得：
函数最大值为（或时，y随x的增大而减小，x小于时，y随x的增大而增大；或函数图象关于直线轴对称等，答案不惟一）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
25．(1)直线的解析式为；
(2)的最大值为：；
(3)或．
【分析】（1）先求解A，B，C的坐标，再求解D的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可；
（3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：．
【详解】（1）解：当时，，则，
当时，，
解得，，则，，
∵，
∴抛物线对称轴为直线， 而点D和点C关于直线对称，
∴，
设直线的解析式为，
把，分别代入得 ，
解得 ，
∴直线的解析式为；
（2）记于y轴的交点为，
当时，，则，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过作轴交于，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
当时，有最大值，
∴的最大值为：；
（3）如图，当在的右边，
记直线交y轴于R，，则，
设直线的解析式为，
把、分别代入得 ，
解得 ，
∴直线的解析式为，
当时，，则，
设，而四边形为矩形，
∴，
∴，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
如图，当在的左边，
同理可得：，
解得：，即，
由平移的性质可得：；
综上：或．
【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键．
26．（1）y=x2-2x-3；（2）当D坐标为（，-）时，△ABD的面积最大；（3）存在，M点的坐标为（0，-3）、（4，5）、（-2，5）.
【分析】（1）把交点坐标为（2，-3），（-1，0），（3，0）代入二次函数的表达式，即可求解；
（2）如图，过D点做DF⊥x轴于F，交AB于E，设出D，E点坐标，根据S△ABD=DE×（xA-xB）即可求解；
（3）分情况进行讨论，当AB是为平行四边形的边长时，如图所示，M1、M2为所求点；当AB为平行四边形的对角线时，M3与点C重合，即可求解．
【详解】（1）把交点坐标为（2，-3），（-1，0），（3，0）代入二次函数的表达式得，
，
解得：a=1，b=-2，c=﹣3，
故二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；
（2）如图，过D点做DF⊥x轴于F，交AB于E，
把A（2，-3），B（-1，0）代入一次函数表达式得直线AB的方程为：y=-x-1，
设：D（m，m2-2m-3），E（m，-m-1），
∴DE=-m-1-（m2-2m-3）=-m2+m+2，
S△ABD=DE×（xA-xB）=-（m-）2+，
∴当D坐标为（，-）时，△ABD的面积最大；
（3）当AB是为平行四边形的边长时，
①如图，
∵四边形ANM1B为平行四边形，
∴△ANH≌△BM1G，
则M1的横坐标为：-2，代入二次函数表达式，
解得：M1坐标为（-2，5）；
②如图，
∵四边形ANM2B为平行四边形，
∴△ABG≌△NHM2，
则M2的横坐标为：4，代入二次函数表达式，
解得：M2坐标为（4，5）；
当AB时平行四边形的对角线时，如下图所示，
M3与点C重合，
故M3（0，-3）；
故M点的坐标为：（0，-3）、（4，5）、（-2，5）．
【点睛】主要考查了二次函数与几何图形的综合．难度较大，属于中考压轴题.解此题的关键在于要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来.
27．，
【分析】利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式，求抛物线的顶点坐标．
【详解】解：抛物线与轴交于点，．
所以，
解得．
所以，
因为，
，
所以二次函数图象的顶点坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的顶点坐标，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
28．(1)
(2)13.5
(3)存在，，或
【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式；
（2）过点作轴分别交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值；
（3）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．
【详解】（1）解：∵的坐标为，
∴，
∵，点在轴下方，
∴，
∵将代入抛物线的解析式，
可得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1所示，过点作，交于点，
∵该抛物线的对称轴为，，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
∵将代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3，
∴的最大面积，
∴，
∴四边形的面积的最大值为13.5；
（3）存在，理由如下：
①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形，
∵，令，
∴，
∴；
②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形，
∵，
∴的纵坐标均为3，
令，可得，
解得，
∴．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或．
【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
29．(1)，，
(2)点P的坐标为
(3)存在点P，点P的坐标为
【分析】（1）令解得，，令，解得.
（2）连接OP，设，则,解得：，（舍）, 点P的坐标为。
（3）在AB的延长线上截取，连接CF，过点B作轴，交CF于点E，连接AE，在中，，，解得，根据，．解得直线CF的解析式为：，一次函数与二次函数联立解得.
【详解】（1），，．
令，
解得：，
∴，，
令，
，
（2）如图，连接OP，
设，
则
解得：，（舍）
∴点P的坐标为
（3）存在点P使得，理由如下：
如图，在AB的延长线上截取，连接，过点B作轴，交于点E，连接，
在中，，
∴，
∵，
∴
∵轴，
∴
∴，
∵，．
∴直线CF的解析式为：，
令，则
∴
∵
∴直线AE的解析式为：，
联立：，
解得：（舍）
∴点P的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，求一次函数解析式，综合运用以上知识是解题的关键．
30．(1)
(2)1或5
(3)存在；P（，）
【分析】（1）将D（1，5），A（－1，0）代入y＝ax2＋bx＋3，即可求解析式；
（2）求出直线BC的解析式为，过点P作PR⊥x轴交BC于点R，则PR＝yP－yR＝＝，再利用△PBC的面积求m的值即可；
（3）当∠PBC＝∠BCO，PB∥OC，此时，P，Q，B重合，不成立，舍去；当∠PBC＝∠CBO时，延长BP交y轴于点H，作CG⊥BP于点G，设H（y，0），由△HGC∽△HOB，可求GB＝OB＝6，则HB＝2CH，求出H（8，0），再求直线BH的解析式为y＝x＋8，联立由，即可求P（，）．
【详解】（1）解：将D（1，5），A（－1，0）代入抛物线的解析式y＝ax2＋bx＋3得，
，
解得，
∴抛物线的解析式；
（2）连接PB、PC，如图所示：
当x=0时，y=3，即C（0，3），
当y=0时，解得，
∴B（6，0），
设直线BC的解析式为，把B、C两点的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
过点P作PR⊥x轴交BC于点R，
则PR＝yP－yR＝＝，
在△OBC中，OC＝3，OB＝6，
由勾股定理得，BC＝，
则S△PBC＝，
又S△PBC＝，
∴ ，
解得，m＝1或5；
（3）存在，P（，）.
∵∠PQB＝∠COB＝90°，
∴要△BPQ与△BOC相似，必有∠PBC＝∠BCO，或∠PBC＝∠CBO，
但当∠PBC＝∠BCO，PB∥OC，
此时，P，Q，B重合，不成立，舍去；
当∠PBC＝∠CBO时，
延长BP交y轴于点H，作CG⊥BP于点G，
则CG＝CO＝3，
设H（y，0），
∵∠HGC＝∠HOB＝90°，
∠GHC＝∠OHB，
∴△HGC∽△HOB，
∴，
∴，
∴CO=CG=3，
∵在和中，
，
∴，
∴GB＝OB＝6，
∴HB＝HG＋GB＝HO＋OB＝2CH，
即y＋6＝2（y－3），
解得，x＝8，
∴H（8，0），
设直线BH的解析式为y＝kx＋8，
则0＝6k＋8，得，
∴直线BH的解析式为y＝x＋8，
由
解得或（舍去），
∴P（，）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北荆州·九年级期末）如图，抛物线与轴交于A，B两点，点D在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将△ABD沿直线AD翻折得到△AB’D，若点B’恰好落在抛物线的对称轴上，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）如图，抛物线C1：y=x2﹣2x（0≤x≤2）交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A2旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，……，如此进行下去，则抛物线C10的解析式是（ ）
A．y=﹣x2+38x﹣360 B．y=﹣x2+34x﹣288
C．y=x2﹣36x+288 D．y=﹣x2+38x+360
3．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
4．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）如图，点在二次函数的图象上，则方程解的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．-0.51 D．2.45
5．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知抛物线与x轴交于两点，，则x为（ ）时，．
A． B．或 C．或 D．
6．（2022秋·湖北黄石·九年级期中）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．③③④ C．①②④ D．①②③④
8．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期末）如图，二次函数（，，是常数，）的图象经过点，其对称轴是直线，直线恰好经过顶点，有下列判断：①当时，随增大而增大；②；③方程的两个根是，；④当时，方程有实数根，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）已知抛物线（a，b，c是常数），，下列四个结论：①若抛物线经过点，则；②若，则方程一定有根；③抛物线与x轴不一定有两个不同的公共点；④点，在抛物线上，若，则当时，．其中，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）关于抛物线．以下结论：①抛物线与x轴总有两个不同的交点；②不论k取何值，抛物线总是经过一个定点；③设抛物线交x轴于A、B两点，若，则；④抛物线的顶点在的图象上．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．②④ D．①②④
11．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个解是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝2，x2＝﹣5
C．x1＝﹣2，x2＝﹣5 D．x1＝2，x2＝5
12．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为(﹣1，m)，图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣3＜x1＜﹣1．下列结论：
①abc＜0； ②4ac﹣b2＜0；③3a+c＞0；④ax2+m＝1﹣bx﹣c无实数根．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．（2022秋·湖北鄂州·九年级期末）抛物线（，，是常数，）的顶点坐标为，其中．下列四个结论：①；②；③关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，则，能确定其正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2022·湖北黄石·九年级统考期末）二次函数（a，c为常数且）经过，且，下列结论：①；②；③若关于x的方程有整数解，则符合条件的p的值有3个；④当时，二次函数的最大值为c，则．其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）如图所示，已知点P是二次函数图象的顶点，若关于x的一元二次方程有实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．m的最大值为-6 B．m的最小值为-6 C．m的最大值为8
D．m的最小值为8
二、填空题
16．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）抛物线交轴于，两点，则长为 ．
17．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）新定义：任意两数m，n，按规定得到一个新数y，称所得新数y为数m，n的“愉悦数”．则当，，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x的值是 ．
18．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期末）如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．
19．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
20．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）关于二次函数（为常数）的结论：
①该函数的图象与轴总有公共点；
②不论为何值，该函数图象必经过一个定点；
③若该函数的图象与轴交于、两点，且，则；
④若时，随的增大而增大，则．其中说法正确的是 ．
21．（2022秋·湖北黄石·九年级统考期末）已知二次函数（a是常数）的图象与x轴没有公共点，且当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
22．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）抛物线y＝3x2－6x＋k与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
23．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）下列关于二次函数y＝x2－2mx＋2m－3（m为常数）的结论：
①该函数的图象与x轴总有两个公共点；
②若x＞1时，y随x的增大而增大，则m＝1；
③无论m为何值，该函数的图象必经过一个定点；
④该函数图象的顶点一定不在直线y＝－2的上方．
其中正确的是 （填写序号）．
24．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是 ．
25．（2022·湖北孝感·九年级期末）若抛物线y＝a x 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），则一元二次方程a x 2＋bx＋c ＝0（a≠0）的根为 ．
三、解答题
26．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期末）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，直线：与抛物线交于，两点，与轴交于点．
(1)则点，，坐标分别为______、______、______；
(2)点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点．
①求的最大值及相应点的坐标；
②在①的条件下，将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线，点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标写出求解过程．
27．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）填表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … …
（2）在平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣4x+3的图象；
（3）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是 ．（直接写出结果）
28．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）抛物线C1：y＝ax2+bx+3交x轴于A(﹣1，0)，B(3，0)，交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线的对称轴l交BC于M，交OB于N，点I为MN的中点．若抛物线上一点P关于点I的中心对称点Q正好落在坐标轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，点G(﹣3，0)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，C2的顶点D始终在线段CG上，抛物线C2与x轴交与EF两点，过点D作DH垂直于x轴于点H，线段DH和EF之间存在怎样的数量关系？判断并说明理由．
29．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程的两个根；
(2)写出随的增大而减小的自变量的取值范围；
(3)若方程有两个不相等的实数根，写出的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】设抛物线对称轴与x轴交于点C，先求出A，B的坐标，得AB的长度，结合折叠的性质及勾股定理求出C的长度，设CD=x，则，由勾股定理得到，求出x，即可得到点D的坐标．
【详解】解：设抛物线对称轴与x轴交于点C，
∵y=0时，得=0，
解得，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4，
∴C（1，0），AC=2，
∴，
由轴对称得AD=BD，
由折叠得D=BD，
∴AD=D，
设CD=x，则，
∵，
∴，
解得x=，
∴D（1，），
故选：B．
．
【点睛】此题考查了抛物线的轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，抛物线与x轴交点坐标，抛物线的性质，熟记折叠的性质及勾股定理的计算公式是解题的关键．
2．D
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道抛物线C10的顶点，即可求得抛物线C10的解析式．
【详解】解：∵y=x2-2x（0≤x≤2），
∴配方可得y=（x-1）2-1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，-1），
∴A坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA=AA1，即C2顶点坐标为（3，1），A1（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，-1），A2（6，0）；
C4顶点坐标为（7，1），A3（8，0）；
……，
∴抛物线C10的顶点坐标是（19，1），A8（18，0），A9（20，0）．
抛物线C10的解析式是y=-(x-18)(x-20)=-x2+38x-360．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变化，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，利用数形结合思想解答．
3．B
【分析】逐项分析即可．
【详解】A、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误；
B、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故正确；
C、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误；
D、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键．
4．D
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是-0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间．
【详解】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，-0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x=2.18时，y=-0.51；x=2.68时，y=0.54，
∴当y=0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关．
5．B
【分析】根据可得抛物线开口向上，根据与轴的交点坐标即可判断，当点位于交点两侧时，函数值大于0，即可求解
【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点，，
∴当或时，
故选：B
【点睛】本题考查了根据二次函数与轴的交点求不等式的解集，理解抛物线的图象的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据抛物线的顶点坐标和对称性可得到抛物线与与x轴的另一个交点在点和之间，又开口向下可判断①；根据对称轴方程可得到，进而可判断②；根据顶点坐标公式可判断③；由函数的最大值结合图像可判断④．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为，
∵抛物线与x轴的一个交点在点和之间，
∴抛物线与与x轴的另一个交点在点和之间，又开口向下，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，故③正确；
∵该函数的最大值为，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④错误，
综上，正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数与方程和不等式的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．
7．D
【分析】根据二次函数的图象和性质逐个判断求解即可．
【详解】解：∵对称轴是直线，
∴，即，故④正确；
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴有两个不相等的实数根，
∴，故②正确；
当时，，故③正确；
综上所述，正确的有①②③④，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．
8．A
【分析】由抛物线的开口方向对称轴判断函数的增减性，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象知开口向下，当时，y随x增大而增大，故正确；
②由题意知，抛物线与y轴的交点，对称轴是直线，所以时，则，故正确
③由题意知，抛物线与x轴的另一交点与点关于直线对称，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是，所以方程的两个根是，，故正确；
④由题意知，当时，直线与抛物线有交点，所以，方程有实数根，故正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④．
故选：A．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求抛物线与x轴的两个交点坐标，以及二次函数与方程之间的转换．
9．B
【分析】根据可知抛物线过原点O，将带入抛物线可得，故①正确；若，将代入，可得：，可知是方程的根，故②正确；的，与x轴一定有交点，故③不正确；因为，则，抛物线的对称轴，分析函数单调性即可知④正确．
【详解】解：将带入抛物线可得，联立可得： ，解得：，故①正确；
将代入可得
∵， ，
∴，可知是方程一个根，故②正确；
∵的，与x轴一定有交点，故③不正确；
∵，则，
∴抛物线的对称轴，且函数开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小；即： ，，故④正确；
综上所述：结论正确的有①②④．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的待定系数法，抛物线与x轴的交点问题，二次函数图象的性质．重点要掌握函数图像的性质以及抛物线与x轴交点的问题：当时，有两个交点；当时，有一个交点，当时，没有交点．
10．C
【分析】①计算出△，根据△的值进行判断；②令k=3和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证；③根据两点间的距离公式列出方程解答；④求出顶点坐标，代入即可验证．
【详解】解：∵①△=k2-4×3（k-3）=k2-12k+36=（k-6）2≥0，
∴抛物线交x轴有两个不同的交点或有一个交点，故本选项错误；
②令k=3和k=0，得到方程组：，解得，
将代入y=3x2-kx+k-3得，3-k+k-3=0，与k值无关，
∴不论k取何值，抛物线总是经过一个定点（1，0），故本选项正确；
③∵AB=1，
∴，
解得，k-6=±3，
∴k=9或3，故本选项错误；
④抛物线y=3x2-kx+k-3的顶点坐标为（，），
将x=代入y=-3（x-1）2得，
y=-3（-1）2=，故本选项正确．
综上，正确的有②④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟悉函数与方程的关系、函数的性质是解题的关键．
11．A
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，两交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的解．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣2，0），（5，0），
即自变量为﹣2和5时函数值为0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝5，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，理解函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的解是解题的关键．
12．B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，以及二次函数与一元二次方程的关系逐个进行判断即可．
【详解】解：由图象知，a＞0，c＜0，b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵图象与x轴的两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故②正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，m），图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣3＜x1＜﹣1，
∴﹣1＜x2＜1，＝﹣1，
∴b＝2a，当x＝1是，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴3a+c＞0，故③正确；
一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m的交点，
当1﹣m＜m，即m＞时，
由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m没有交点，
此时一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c无实数根；
当1﹣m＝m，即m＝时，
由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m有一个交点，
此时一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c有两个相等的实数根；
当1﹣m＞m，即m＜时，
由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝1﹣m有两个交点，
此时一元二次方程ax2+m＝1﹣bx﹣c有两个不相等的实数根；
∴④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从图象中获取信息进行准确的分析是解题的关键．
13．B
【分析】根据抛物线的对称性，增减性，函数的性质计算判断即可．
【详解】∵抛物线（，，是常数，）的顶点坐标为，其中．
∴，抛物线开口向下，
∴，
∴；
故①正确；
∴时，函数有最大值m，
∵，
∴直线与抛物线（，，是常数，）无交点，
∴关于的一元二次方程无实数解，
故③正确；
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴且或，
故②错误；
∵点，在抛物线上，且抛物线的对称轴为，
∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
当时，，
∵抛物线开口向下，
∴
故④错误，
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的抛物线的对称性，增减性，函数的性质，抛物线与方程的交点，熟练掌握抛物线的性质和与方程的关系是解题的关键．
14．C
【分析】把代入得，；整理得，由，得 ，即可判断①；由，，根据有理数的加法法则得到，且即可判断②；依题意可知，二次函数的图像的对称轴为，根据轴对称的性质可知抛物线过，方程可化为，因为方程有整数解，借助函数图像，可得整数解为，，0，故符合条件的p值有两个，即可判断③；根据二次函数的对称性可知，函数经过点，结合增减性以及二次函数的最大值为c，即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，
把代入得，，
则，
∴，
∵，
，
故①正确；
∵，
∴，
∴ ，
，
故②正确；
∵二次函数（a，c为常数且）经过，且对称轴 ，
根据轴对称的性质可知抛物线必过，如图，
∵关于x的方程（）可化为：，
方程的整数解有，，0，
当时，，
当时，，
当时，，
∴或
故符合条件的p值有两个，③不正确；
当时，，即函数与y轴交点为，
∵抛物线的对称轴为，
∴函数经过，
∵当时，二次函数的最大值为c，
∴或，
∵，
∴，
故④正确，
综上所述，①②④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系等知识，关键是掌握二次函数的图象与性质．
15．C
【分析】方程化为，因此关于x的一元二次方程有实数根，从函数的角度是二次函数与直线有公共点，观察图象知，，则可求得答案．
【详解】方程化为，
由于关于x的一元二次方程有实数根，
所以二次函数与直线有公共点，
观察图象知，，
解得：，
则的最大值为8，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，注意从函数角度理解一元二次方程是解题的关键，注意数形结合．
16．6
【分析】根据抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，可以令y=0求得点A、B的坐标，从而可以求得AB的长．
【详解】解：∵y=x2-4x-5，
∴y=0时，x2-4x-5=0，
解得，x1=-1，x2=5．
∵抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(5，0)，
∴AB的长为：5-(-1)=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x轴相交时，y=0．
17．2
【分析】根据“愉悦数”的定义，将m、n代入得到一个关于x的方程，然后再求解即可．
【详解】解：当，，且m，n的“愉悦数”＞0
化简得：＞0
∵x是正整数
∴x-1＞0
即：
解得：
∵x是正整数
∴x=2．
故答案是2．
【点睛】本题主要考查运用二次函数解不等式、分式的混合运算等知识点，正确运用二次函数解不等式成为解答本题的关键．
18．或
【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）
而对称轴x＝1
∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）
当＞0时，图象在x轴上方
此时x＜﹣1或x＞3
故答案为x＜﹣1或x＞3．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
19．或
【分析】直接利用函数图象即可得出结论．
【详解】解：由函数图象可知，二次函数与轴的交点坐标的横坐标为和
函数的图象与轴的交点横坐标为，，
由函数图象可知，二次函数，当或时，函数图象在轴的下方，
二次函数，当或时，函数图象在轴的下方，
不等式的解集为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
20．①②④
【分析】根据根的判别式可判断①；把函数解析化为，可判断②；再，求出该函数的图象与轴的交点，可得到关于m的不等式，可判断③，然后把函数解析式化为顶点式，结合二次函数的性质可判断④
【详解】解：①∵，
∴，
∴该函数的图象与轴总有公共点，故①正确；
②∵，
∴当时，，
即不论为何值，该函数图象必经过定点，故②正确；
③令，，
解得：，
∴该函数的图象与轴的两个交点为，
∴，
∵，
∴，
解得：或，故③错误；
④∵，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵时，随的增大而增大，
∴，解得：，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
21． 2≤a＜4
【分析】先将所给的二次函数整理，再根据图象与x轴没有公共点，得出判别式Δ＜0，从而解得a＜4；然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＜ 2时，y随x的增大而减小，可得a≥ 2，从而得出结论．
【详解】解：y＝（x a 1）（x a＋1） 2a＋9
＝x2 2ax＋a2 2a＋8，
∵图象与x轴没有公共点，
∴Δ＝（ 2a）2 4（a2 2a＋8）＜0，
解得a＜4；
∵抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线开口向上，且当x＜ 2时，y随x的增大而减小，
∴a≥ 2，
∴实数a的取值范围是 2≤a＜4．
故答案为： 2≤a＜4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
22．k≤3
【分析】根据根的判别式求解即可．
【详解】解：∵抛物线y＝3x2－6x＋k与x轴有交点
∴
故答案为：k≤3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是能够根据根的判别式求解．
23．①③④
【分析】根据根的判别式化简可判断①；根据二次函数的增减性及取值范围可判定②；将原函数化简变形可判定③；写出顶点纵坐标，然后化简可判断④．
【详解】解：①，
其中，，，
，
，
，
∴方程一定有两个实数根，即该函数的图象与x轴总有两个公共点，①正确；
②若时，y随x的增大而增大，则
，
∴，②错误；
③，
，
，
，
；
当时，
，
∴无论m为何值，该函数的图象必经过一个定点，③正确；
④顶点纵坐标为：，
∴该函数图象的顶点一定不在直线y＝－2的上方，④正确；
综上可得：正确结果为①③④；
故答案为：①③④．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及与一元二次方程的联系，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．
24．m＜9
【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，可知b2﹣4ac＞0，从而可以求得m的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，
∴（﹣6）2﹣4m＞0，
解得：m＜9，
故答案为：m＜9．
【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数与x轴的交点个数和判别式的关系．抛物线与x轴交点个数由Δ决定：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
25．xl＝5，x2＝1
【分析】根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的两个交点关于直线x=3对称，据此可以求得抛物线与x轴的另一个交点，即可得出一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝3，且与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
又∵抛物线y＝a x 2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标为方程a x 2＋bx＋c＝0的根，
∴方程a x 2＋bx＋c＝0的根为xl＝5，x2＝1．
故答案为：xl＝5，x2＝1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键是掌握抛物线的对称性．
26．(1)，，
(2)①的最大值为，此时点P的坐标为；②或或
【分析】（1）分别令，，即可求解；
（2）①设点P的坐标为，则点Q的坐标为，可得，然后分两种情况：当点P在y轴右侧时，，当点P在y轴左侧时，，结合二次函数的性质，即可求解；②分三种情况讨论：当为对角线时；当为对角线时；当为对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：对于，
当时，，当时，
解得：，
∴点，；
故答案为：，，
（2）解：①设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
当点P在y轴右侧时，，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为；
当点P在y轴左侧时，，
∴，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为；
综上所述，的最大值为，此时点P的坐标为；
②∵将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的对称轴为直线，
∵点为对称轴上一点，
∴点M的横坐标为2，
设点M的坐标为，点N的坐标为，
当为对角线时，
，解得：，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，
，解得：，
∴点M的坐标为；
当为对角线时，
，解得：，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）见解析；（3）x＜1或x＞3
【分析】（1）分别求出x对应的函数值即可；
（2）根据表中数据利用描点法画出函数图象即可；
（3）直接由图象得出结论即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=3，当x=1时，y=1－4+3=0，
当x=2时，y=4－8+3=－1，当x=3时，y=9－12+3=0，
当x=4时，y=16－16+3=3，
填表如下：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
（2）根据表中数据，函数图象如图所示：
（3）根据图象，当x＜1或x＞3时，y＞0，
故答案为：x＜1或x＞3．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，会利用描点法画二次函数图象，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
28．（1）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）点P的坐标为：(，2)或(，2)或(2，3)；（3）EF2=4DH，理由见解析．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线BC的解析式，求得I(1，1)，设P(x，-x2+2x+3)，分Q在x轴上和Q在y轴上两种情况讨论求解即可；
（3）先求得直线CG的解析式为y=x+3，设抛物线C2的顶点D(a，a+3)，则抛物线C2的解析式为y=-(x-a)2+a+3，求得E、F的横坐标，再通过计算即可求解．
【详解】解：（1）把A(﹣1，0)，B(3，0)代入y=ax2+bx+3得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）由 （1）知抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
令x=0，y=3，
∴C(0，3)，
设直线BC的解析式为：y=kx+3，
∴0=3k+3，解得k=-1，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵抛物线的对称轴为，
∴M(1，2)，N(1，0)，
∵点I为MN的中点．
∴I(1，1)，
设P(x，-x2+2x+3)，
当Q在x轴上时，点P、点Q关于点I中心对称，
则，
解得：x=，
∴P(，2)或P(，2)；
当Q在y轴上时，点P、点Q关于点I中心对称，
则，
解得：x=2，
∴P(2，3)；
综上，点P的坐标为：(，2)或(，2)或(2，3)；
（3）EF2=4DH．理由如下：
直线CG经过点C(0，3)，G(-3，0)，
同理可求得直线CG的解析式为y=x+3，
∵抛物线C2的顶点D始终在线段CG上，
∴设D(a，a+3)，
则抛物线C2的解析式为y=-(x-a)2+a+3，
当y=0时，-(x-a)2+a+3=0，
解得：x1=，x2=，
∴EF=，
∴EF2=4(a+3)，
∵DH= a+3，
∴EF2=4DH．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
29．(1)x1＝－1，x2＝3
(2)x≤1
(3)k＞－2
【分析】（1）根据函数与方程的关系，当y＝0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）根据函数的性质可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取值范围；
（3）方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，即函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝k有两个交点，据此即可直接求出k的取值范围．
【详解】（1）解：当y＝0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的两个根，由图可知，
方程的两个根为x1＝－1，x2＝3．
（2）根据函数图象，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
此时，x≤1．
（3）如图：方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，
即函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y＝k有两个交点，
此时，k＞－2．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，充分利用函数图象，直观解答是解题的关键，体现了数形结合思想的优越性．22.3 实际问题与二次函数 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润（元）与降价金额（元）之间的关系是，则获利最多为（）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】
A．点M B．点N C．点P D．点Q
3．（2022秋·湖北省天门市·九年级期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( )
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
4．（2022秋·湖北省天门市·九年级期末）用长的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽为20m，由于持续降雨，水位上升3m，若水面宽为10m，则此时水面距桥面距离的长为 ．
6．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人．当每日销售收入最大时，票价下调 元．
7．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s．
8．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 ，才能停下来．
三、解答题
9．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为x m．
(1)设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)设菜园的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值；
(3)小明计算出菜园的最大面积是600 ，小明计算的对吗？请说明理由．
10．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期末）在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，若设花园平行于墙的一边长为，花园的面积为．
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
满足条件的花园面积能达到吗？若能，求出此时的值，若不能，说明理由；
根据中求得的函数关系式，判断当取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
11．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），
(1)求抛物线的解析式．求支柱EF的长度．
(2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
12．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
13．（2022秋·湖北鄂州·九年级期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为元/千克（且为正整数）．
(1)若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；
(2)若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值；
(3)市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的的值．
14．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期末）星星服装厂生产A品牌服装，每件成本为68元，零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装件，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装件，服装厂的利润为w元，问x为何值时，w最大？最大值是多少？
(3)零售商到星星服装厂一次性批发A品牌服装x件，若星星服装厂欲获利不低于4320元，请直接写出x的取值范围．
15．（2022秋·湖北黄石·九年级统考期末）农经公司以元千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格（元千克）
日销售量（千克）
(1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式；
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
16．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）我市某竹艺企业设计了一款竹艺品，每件的成本是80元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是150元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)根据下表给出的销售单价计算出相应的销售利润，并填入表中
销售单价（元） 150 130 110 90 …
销售数量 50 150 250 350 …
销售利润（元）
(2)小明认为每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足我们学过的某种函数关系，请你帮他求出y与x之间的函数关系式．
17．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）某商店购进一批成本为每件30元的商品，销售单价为40元时，每天销售量为80件，经调查发现，销售单价每上涨1元，每天销售量减少2件．设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）．
(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
(2)求当销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
(4)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？
18．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于．分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）近似的满足一次函数关系，数据如下表：
销售单价x（元/件） … 40 50 60 …
每天的销售量y（件） … 300 250 200 …
(1)直接写出y与x的函数关系式：_______；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于5000元，请预测今年销售单价的范围是多少？
19．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润W（元）的四组对应值如表：
售价x（元/件） 150 160 170 180
日销售量y（件） 200 180 160 140
日销售纯利润W（元） 8000 8800 9200 9200
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)该商品每件的进价是多少元？当每件的售价为多少元时，日销售纯利润最大？
(3)由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了m元（），且每日固定成本增加了100元，但该店主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于170元/件销售，若此时的日销售纯利润最高为7500元，求m的值．
20．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）绿色生态农场生产并销售某种有机生态水果．经市场调查发现，该生态水果的周销售量（千克）是销售单价（元/千克）的一次函数．其销售单价、周销售量及周销售利润（元）的对应值如表．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）这种有机生态水果的成本为______元/千克；
（2）求该生态水果的周销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式；
（3）若农场按销售单价不低于成本价，且不高于60元/千克销售，则销售单价定为多少，才能使销售该生态水果每周获得的利润（元）最大？最大利润是多少？
销售单价（元/千克） 40 50
周销售量（千克） 180 160
周销售利润（元） 1800 3200
21．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）某商场销售新型电子产品，购进时的价格为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售价格为40元/件时，销售量为200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）求销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）求销售该产品所获利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出商场获得的最大利润．
（3）若商场想获得不低于4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，该商场应如何确定销售价格．
22．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图②所示．
（1）分别求出、与之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共吨，设乙种蔬菜的进货量为吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和（千元）与（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
23．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期中）某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18元．试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售．设每天销售量为y件，销售单价为x元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当销售单价是多少元时，网店每天获利3840元？
（3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元（0＜a≤6）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元，求a的值．
24．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量y1（件）与时间t（天）的关系如图所示；未来40天内，每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y2＝（t为整数）；
（1）求日销售量y1（件）与时间t（天）的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件商品就捐赠a元（a为定值）利润给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，第18天的时候，扣除捐赠后日销售利润为这20天中的最大值，求a的值．
25．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
26．（2022秋·湖北鄂州·九年级期末）如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米 (取，)
27．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）为庆祝新中国成立70周年，国庆期间，北京举办“普天同庆 共筑中国梦”的游园活动，为此，某公园在中央广场处建了一个人工喷泉，如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离．
28．（2022·湖北黄石·九年级统考期末）某城市发生疫情，第x天新增病例y（人）如下表所示：
x 1 2 3 4 … 14 15
y 2 24 46 68 … 288 310
(1)根据图表（y与x满足一次函数，二次函数，反比例函数中的一种），请求出y与x的函数解析式；
(2)由于疫情传染性强，第15天开始新增病例人数模型发生变化，第x天新增病例y（人）满足（m为已知数）．请预计第几天新增病例清零；
(3)为应对本轮疫情，按照每一个新增病例需当天提供一张病床的要求，政府应该在哪一天为新增病例提供的病床最多？最多应该提供多少张病床？
参考答案：
1．D
【分析】利用配方法即可解决问题．
【详解】解：对于抛物线，
，
时，有最大值，最大值为，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用、配方法等知识，解题的关键是熟练掌握配方法，学会利用二次函数的性质解决最值问题．
2．D
【详解】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；
B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；
C、，
假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；
D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；
故选D．
3．D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
4．D
【分析】利用长方形的面积列出二次函数，用配方法求得最大面积可找到框子不可能的面积．
【详解】解：设长方形的长为，则宽为，
则面积，
那么当时，面积有最大值，
∴框子的面积不可能是，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握最值的求法是解题的关键．
5．1m
【分析】根据抛物线在坐标系的位置，设抛物线的解析式为，，可表示出、的坐标，列方程组即可求得．
【详解】解：设抛物线的解析式为不等于，桥拱最高点到水面的距离为．
∵水面宽为20m，水位上升3m，水面宽为10m，
∴，
∴，
解得：，
m，
故答案为：1m
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，正确设出二次函数解析式是解题关键．
6．6
【分析】设总利润为y元，根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出函数关系式，转化为顶点式就可以求出结论．
【详解】解：总利润为y元，票价下调x元，根据题意得
=
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当x=6时，函数胡最大值
∴当每日销售收入最大时，票价下调6元
故答案为6
【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
7．2
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
8．
【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
【详解】解：依题意，该函数关系式化简为，
当时，汽车停下来，滑行了，
故滑行的时间为3秒，最大的滑行距离，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．
9．(1)
(2)，21
(3)小明计算的不对，理由见解析
【分析】(1)先计算宽度的费用(1200-20x) 元，根据长度×单价=1200-20x，变形整理即可．
(2) 根据面积等于长乘宽，得到函数的解析式，并代入计算即可．
(3) 利用二次函数的最值，确定，注意自变量x的范围，重新计算最值，比较判断即可．
【详解】（1）∵总投入为1200元，平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，平行于墙的边长为x m，
∴垂直于墙的总费用为(1200-20x) 元，
∴垂直于墙的总长度为，
∴．
（2）∵矩形的面积等于长乘以宽，
∴S=xy=x()，
∴；
当S=546时，
，
解得，
∵x≤24，
∴x=39舍去，
∴当S＝546时，x＝21．
（3）∵，
∵，
∴当x≤24时，S随x的增大而增大.
∴当x＝24时，S最大，
此时S＝576＜600，
∴小明计算的不对．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，矩形的性质和面积，熟练把实际问题转化为相应的二次函数问题求解是解题的关键．
10．(1)；见解析；时，最大面积为.
【分析】①已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，根据墙宽得x的取值范围.
②求当y=200时x的值，根据自变量的取值范围回答问题.
③根据函数关系式运用性质求最值.
【详解】解：根据题意得：，
即
当时，即，
解得，
∴花园面积不能达到．
∵的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，
∴当时，随的增大而增大．
∴时，有最大值，
即当时，花园的面积最大，最大面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是先求出解析式再进行计算.
11．(1)抛物线的表达式，支柱EF的长度是5.5米
(2)一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车，利用见解析
【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．再把代入抛物线的解析式求解 可求出支柱MN的长度．
（2）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．
【详解】（1）解：根据题目条件A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为，
将B，C的坐标代入， 得
解得
所以抛物线的表达式．
当 时，
从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5米．
（2）如图，
设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和， 则G点坐标是（7，0）．
过G点作GH垂直AB交抛物线于H，
则．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．
【点睛】本题考查的是待定系数法求抛物线的解析式、点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解本题的关键．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
【详解】（1）依题意，顶点，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得．解之，得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）令，得．
解之，得．
∴．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
13．(1)14
(2)，最大338元，最小240元
(3)
【分析】(1) 售价为元/千克（且为正整数）,则提价元，故销售量为千克，根据题意，列方程计算即可．
(2) 根据日销售额=日售价×日销售量，计算即可．
(3)由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，从而计算可得a值．
【详解】（1）解：设产品售价为元/千克（且为正整数），则提价元，
故销售量为千克，
根据题意，得，
解得，
故该日产品的单价为14元/千克．
（2）解：设售价为元/千克（且为正整数），销售额为元，则提价元，
故销售量为千克，
∴，
∴，
∵，且对称轴右侧，y随x的增大而减小，到对称轴距离越大，函数值越小，且，
∴时，w取得最大值，且最大值为338元，
∴时，w取得最小值，且最小值为240元，
故，w的最大338元，w的最小240元．
（3）解：由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，
∴时，元
∴时，元，
∴时，元，
且，
∴，
∵a是正整数，
∴a的值为．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
14．(1)；
(2)零售商一次性批发A品牌服装件，当x为210件时，w最大，最大值是4410元；
(3)或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润单售价成本数量，分两种情况：当以及当，分别求出利润的最大值，再进行比较即可；
（3）根据题意结合函数性质解不等式即可求出答案．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为：，根据题意得：
解得：，
∴，
当时，由图象可知：，
∴y与x的函数关系式为：；
（2）解：分两种情况：
①当时，
，
∵，图象开口向下，
∴w有最大值，
∴当时，w最大，w最大值为4410元；
②当时，，
∵，w随x的增大而增大，
∴当时，w最大，w最大（元），
∵，
∴x为210时，w最大，
答：零售商一次性批发A品牌服装件，当x为210件时，w最大，最大值是4410元；
（3）解：①当时，，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴函数图象开口向下，
∵获利不低于4320元，
∴；
②当时，，
∴，
解得：，
综上，或．
【点睛】本题考查二次函数的应用，用待定系数法求函数解析式以及解不等式，根据题意找出关系式是解决本题的关键．
15．(1)
(2)销售价格定为40元，日销售利润最大
【分析】（1）根据表中销售价格每增加元千克，日销售量就减少千克，由此即可求出答案；
（2）因为每增加5元千克，日销售量就减少，利用函数解析式，即可求出最大值．
【详解】（1）解：假设与成一次函数关系，设函数关系式为 ，
∴ ，解得：， ，
∴，
检验：当，；当，；当，，符合一次函数解析式，
故函数关系为 ；
（2）解：设日销售利润，
即 ，
∴当时， 有最大值，最大值为，
故这批农产品的销售价格定为元，才能使日销售利润最大．
【点睛】本题主要考查一次函数的实际运用，理解题目表格中的数据之间的关系并找出数据之间的规律是解题的关键．
16．(1)3500，7500，7500，3500
(2)
【分析】（1）根据每天总利润=单件利润×商品每天的销量即可得出每天销售利润；
（2）设销售单价x元/件，则每件利润为x-80元，则销售单价降低150-x元，每天的销售为50 + 5(150-x )件，根据总利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出y关于x的二次函数关系式，解之即可得出结论．
【详解】（1）当x=150时，y=(150-80)×50=3500，
当x=130时，y=(130-80)×150=7500，
当x=110时，y=(110-80)×250=7500，
当x=90时，y=(90-80)×350=3500，
所以填表如下：
销售单价（元） 150 130 110 90 …
销售数量 50 150 250 350 …
销售利润（元） 3500 7500 7500 3500 …
（2）解：由题意得
化简得：
y与x之间的函数关系式：
【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键．
17．(1)y＝－2x＋160
(2)定价为55元时，每天的销售利润有最大值为1250
(3)销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元
(4)70元
【分析】（1）根据题意可得y与x的关系式；
（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；
（3）根据二次函数的关系式和单价的取值范围可得最大利润；
（4）由题意可得：（x-30）（-2x+160）=800，再根据函数的图象可得答案．
【详解】（1）依题意得，y＝80－2（x－40）＝－2x＋160；
（2）由题意得：，
，∴当时，有最大值，此时，，
（3），故当时，随的增大而增大，而，
∴当时，有最大值，此时，，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（4）由题意得：，
解得：，
∴销售单价最多为70元．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
18．(1)
(2)销售单价为65元时，销售利润最大，最大利润为6125元
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式；
（2）列出函数解析式﹐二次函数的性质得到最大值；
（3）根据抛物线的性质得到取值范围．
【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为，
把和代入，
得：，
解得，
∴y关于x的函数解析式为，
故答案是：；
（2）设用W（元）表示每天销售的利润，
则﹐
∵，
∴，
∵开口方向向下，对称轴是直线，
∴当时，W有最大值，为6125，
答：销售单价为65元时，销售利润最大，最大利润为6125元．
（3）当时，，解得，，
由二次函数的图像可知，当时，，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查利用二次函数解决实际问题，利用利润=单个利润×数量列出函数解析式是解决问题的关键．
19．(1)y＝﹣2x+500；
(2)100，175，9250；
(3)m＝10．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，求出进价；由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000，利用函数的性质，求出函数的最大值；
（3）由题意得W＝（﹣2x+500）（x﹣100﹣m）﹣2000﹣100，函数的对称轴为x＝＝175+m，x＝170时，W最大值＝7500，即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数的表达式为y＝kx+b，
将点（150，200）、（160，180）代入上式得
，
解得 ，
故y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+500；
（2）∵日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，
将第一组数值150，200，8000代入上式得，
8000＝200×（150﹣进价）﹣2000，解得：进价＝100（元/件），
由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000＝（﹣2x+500）（x﹣100）﹣2000＝﹣2x2+700x﹣52000，
∵﹣2＜0，故W有最大值，
当x＝＝175（元/件）时，W的最大值为9250（元）；
故答案为100，175，9250；
（3）解：由题意得：W＝（﹣2x+500）（x﹣100﹣m）﹣2000﹣100
＝﹣2x2+（700+2m）x﹣（52100+500m），
∵﹣2＜0，故W有最大值，
函数的对称轴为x＝＝175+m，
当x＜175+m时，W随x的增大而增大，
而x≤170，故当x＝170时，W有最大值，
即x＝170时，W＝﹣2×1702+（700+2m）×170﹣（52100+500m）＝7500，
解得m＝10．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
20．（1）30；（2）；（3）单价定为60元/千克时获得最大利润4200元．
【分析】（1）根据题意设有机生态水果的成本为m元/千克，进而依据周销售利润建立等量关系求解即可；
（2）根据题意设，依题意代入图表数据求出k、b，进而即可求得函数关系式；
（3）根据题意得，进而分析计算即可得出单价定为60元/千克时获得最大利润4200元．
【详解】解：（1）有机生态水果的成本为m元/千克，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：30 ；
（2）设 依题意得：
解得
∴
（3）依题意得
∵∴当时，
即单价定为60元/千克时获得最大利润4200元．
【点睛】本题考查一元一次方程与函数的综合运用，熟练掌握并待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
21．（1）y=－20x+1000；（2）W=－20x2+1400x－20000；4500元；（3）30至34之间．
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，就可多售出20件，可知当销售单价为x元时，降低了（40－x）元，则比200件多销售20（40－x）件，则此时销售量为200+20（40－x）；
（2）根据“利润=销售量×单件利润”列式即可得利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，将一般式整理成顶点式，可知函数开口方向向下，顶点是最高点，即x=35时，商场获得最大利润；
（3）依题意列式：W≤4000，且y≥320，解方程组即可得解．
【详解】（1）依题意，得y=200+20（40－x）=－20x+1000
则销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：y=－20x+1000
（2）W=y（x－20）=（x－20）（－20x+1000）
整理得W=－20x2+1400x－20000=－20（x－35）2+4500
则当x=35时，商场获得最大利润4500元
（3）依题意，得
解①式得30≤x≤40
解②式得x≤34
故不等式组的解为30≤x≤34
即商场的确定的售价在30至34之间即可．
【点睛】本题考查了二次函数最值，解一元二次方程不等式等知识点，根据题目条件列出对应关系式是本题的难点，属于常考题．
22．（1），；（2）①，当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元；②乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内
【分析】（1）分别设一次函数解析式与二次函数解析式的一般式，再利用待定系数法求解即可；
（2）①根据，利用配方法求得二次函数的最值即可解题；
②令①中千元，解析式化为一般式，求得与轴的两个交点，结合二次函数图象与性质解题，从中选择符合题意的范围即可．
【详解】（1）由题意得，设
，
根据题意得，设，由图知，抛物线经过点，代入得，
；
（2）①设乙种蔬菜的进货量为吨，
当，利润之和最大
（元）
答：当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元．
②
当时，即，
令
解得，，
因为抛物线开口向下，所以，
答：乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、二次函数与一元二次方程综合，涉及一次函数解析式、二次函数解析式、配方法求最值、二次函数与轴的交点，一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
23．（1）y＝﹣10x+600（30≤x≤38）；（2）36元；（3）3.6
【分析】（1）根据原销售件数减去减少的件数即为所求；
（2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
（3）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解．
【详解】解：（1）由题意得，y＝250﹣10（x﹣35）＝﹣10x+600；
即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+600（30≤x≤38）；
（2）根据题意得，（﹣10x+600）（x﹣20）＝3840，
解得：x1＝36，x2＝44，
∵30≤x≤38，
∴x＝36，
答：当销售单价是36元时，网店每天获利3840元；
（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W，
根据题意得，W＝（﹣10x+600）（x﹣20﹣a）＝﹣10x2+（800+10a）x﹣600（20+a），
∵对称轴x＝40+a，
∵30≤x≤38，∵0＜a≤6
∴40＜a+40≤43
∴x＝40+a时，
每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元，
（﹣10（40+a）+600）（40+a﹣20﹣a）＝3300
（200﹣5a）（20﹣a）＝3300
整理得a2﹣80a+280＝0
解得a1＝40﹣2≈3.6，a2＝40+2（舍去）．
答：a的值为3.6．
【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键在于利用函数的增减性来解答．
24．（1）y＝﹣2t+96；（2）第14天时，销售利润最大，为578元；（3）a＝2．
【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；
（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值．
【详解】解：（1）设一次函数为y＝kt+b，
将（30，36）和（10，76）代入一次函数y＝kt+b中，
有
解得：．
故所求函数解析式为y＝﹣2t+96；
（2）设前20天日销售利润为W1元，后20天日销售利润为W2元．
由W1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）
＝（﹣2t+96）（t+5）
＝﹣t2+14t+480
＝﹣（t﹣14）2+578，
∵1≤t≤20，
∴当t＝14时，W1有最大值578（元）．
由W2＝（﹣2t+96）（﹣t+40﹣20）
＝（﹣2t+96）（﹣t+20）
＝t2﹣88t+1920
＝（t﹣44）2﹣16．
∵21≤t≤40，此函数对称轴是t＝44，
∴函数W2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．
∴当t＝21时，W2有最大值为（21﹣44）2﹣16＝529﹣16＝513（元）．
∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；
（3）由题意得：W＝（﹣2t+96）（t+25﹣20﹣a）（1≤t≤20），配方得：
W＝﹣ [t﹣2（a+7）]2+2（a﹣17）2（1≤t≤20）
∵a为定值，而t＝18时，W最大，
∴2（a+7）＝18，解得：a＝2
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．
25．（1）；（2）70；（3）该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式；
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为（），根据题意得：，解得：，
故y与x的函数关系式为；
（2）根据题意得：（﹣x+150）（x﹣20）=4000，解得，（不合题意，舍去），
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：==，
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225，
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．
26．(1); (2)17米．
【分析】（1）易得第一次落地时抛物线的顶点，可设所求的函数解析式为顶点式，把（0，1）代入即可求得所求的函数解析式；
（2）易得第二次落地时的抛物线的二次项的系数与第一次落地时抛物线的二次项系数相同，顶点的纵坐标为第一个函数顶点纵坐标的一半，用顶点式设出所求的函数解析式，把C坐标代入后求得第二次落地时的抛物线解析式，让函数值等于0可得D的横坐标，减去OB的距离即为跑的距离．
【详解】（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a（x-6）2+4．
由已知：当x=0时y=1．即1=36a+4，
∴a=-．
∴表达式为y=-（x-6）2+4=；
（2）由题意得：0=-（x-6）2+4
解得：x1=4+6≈13，x2=-4+6＜0（舍去），
∴点C坐标为（13，0）．
设第二次落地的抛物线为y=-（x-k）2+2．
将C点坐标代入得：0=-（13-k）2+2．
解得：k1=13-2＜13（舍去），k2=13+2≈18．
∴y=-（x-18）2+2．
0=-（x-18）2+2．
x1=18-2（舍去），x2=18+2≈23，
∴BD=23-6=17（米）．
答：运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑17米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用；判断出两个二次函数的顶点坐标是解题的关键；用到的知识点为：若二次函数的形状相同，则两个二次函数的二次项系数相同．
27．水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m．
【分析】如图，建立以所在直线为轴、所在直线为轴的直角坐标系，根据顶点设其解析式为，把代入求得的值，据此可得其函数解析式；求得时的值可得答案．
【详解】如图，以BC所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，
由题意知，抛物线的顶点P的坐标为(1,3.6)、点A(0,2)，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3.6，
将点A(0,2)代入，得：a+3.6＝2，
解得：a＝﹣1.6，
则抛物线的解析式为y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6，
当y＝0时，有﹣1.6（x﹣1）2+3.6＝0，
解得：x＝﹣0.5（舍）或x＝2.5，
∴BC＝2.5，
答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解．
28．(1)
(2)预计第46天新增病例清零
(3)政府应该在第30天提供的病床最多，最多应该提供1280张
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）中解析式求出第15天的人数，进而得出m的值，令中，解方程即可求得；
（3）分和两种情况分别求出y的最大值，进而求解即可．
【详解】（1）y是x的一次函数，设，把，代入，
得：，解得．
∴解析式为；
（2）由（1）知，当时，，
将代入，解得：．
∴，
由题意，则，解得：或，
∵，
∴预计第46天新增病例清零；
（3）由题意得，
①当时，第15天时新增确诊病例最多，，
②当时，的对称轴为直线，
当和时，y取最大，此时，
∵，
∴政府应该在第30天提供的病床最多，最多应该提供1280张．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数和一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
