26.1 反比例函数 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数满足：当时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图像与直线都经过点P，且，则实数k=（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在这个函数的图象上 B．这个函数的图象分布在第一、三象限
C．当时，y随x的增大而增大 D．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
4．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）关于反比例函数 ，下列说法中不正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．图象关于直线对称
C．当时，随的增大而增大 D．它的图象位于第一．三象限
5．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点(﹣1，2) B．y随x的增大而减小
C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0
6．（2022·湖北黄石·九年级统考期末）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
8．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）若点A（，-3），B（，1），C（，2）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）．
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
9．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，点A是双曲线y=是在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）如图，点A为反比例函数图象上的一点，过点A作轴于B，点C为x轴上的一个动点，的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
11．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）下列说法正确的个数有（ ）
①方程的两个实数根的和等于1；
②半圆是弧；
③正八边形是中心对称图形；
④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；
⑤如果反比例函数的图象经过点，则这个函数图象位于第二、四象限．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．（2022秋·湖北十堰·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
13．（2022秋·湖北黄石·九年级统考期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，m的值为 ．
14．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期末）若点A（3，m）在反比例函数y＝的图像上，则m的值为 ．
15．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）若点在双曲线上，则代数式的值为 ．
16．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）若反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 ．
17．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形的面积为6，，则k的值为 ．
18．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为 ．
19．（2022秋·湖北荆州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（0，2）和C（2，0），顶点B在x轴上，顶点D在反比例函数y=的图象上，向右平移菱形ABCD，对应得到菱形A′B′C′D′，当这个反比例函数图象经过C′D′的中点E时，点E的坐标是 ．
三、解答题
20．（2022秋·湖北孝感·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点、．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
21．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为顶点作等腰直角三角形，双曲线在第一象限内的图象经过点．设直线的表达式为，回答下列问题：
(1)求双曲线和直线的表达式；
(2)当时，求的取值范围；
(3)求的面积．
22．（2022秋·湖北黄冈·九年级期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点作轴，垂足为，求的面积．
(3)根据所给条件，请直接写出不等式的解集．
23．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点A的横坐标为2.
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)P是x轴正半轴上一点，连接，若，求点P的坐标；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
24．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）如图，已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于、两点．
(1)求k、b的值，并直接写出当时x的取值范围；
(2)点是线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．求的面积S关于n的函数解析式
25．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（k、mn为者数且）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……
探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象．
(1)画出函数图象．
①列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 4 2 1 …
②描点并连线．
(2)观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：①__________，②___________；
(3)理解运用：函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位，其对称中心的坐标为__________．
(4)灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足__________时，．
26．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交于，两点．
(1)写出m、n的值：______，______；
(2)若，请根据图像直接写出x的取值范围______；
(3)若点P是双曲线上一点，求出OP的最小值．
27．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图，一次函数y＝－x＋5与反比例函数的图象交于A（m，4），B（4，n）两点，与坐标轴分别交于M，N两点．
(1)m＝ ，n＝ ，k＝ ；
(2)比较大小：AM BN（填“＞”或“＜”或“＝”）；
(3)关于x的不等式的解集是 ．
28．（2022秋·湖北荆门·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y＝的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE＝3
(1)求反比例函数与一次函数的解析式．
(2)求△DOC的面积．
(3)根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？
29．（2022秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标(3，1)，点B的坐标为(﹣，m)．
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出使函数值y1＜y2成立的自变量x的取值范围；
（3）求OAB的面积．
参考答案：
1．C
【分析】根据反比例函数的定义即可判断．
【详解】解：A.是正比例函数，故A不符合题意；
B.是二次函数，故B不符合题意；
C. ，y是x的反比例函数，故C符合题意；
D.不是x的反比例函数，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数．
2．B
【分析】设，根据题意，得，结合当时，y随x的增大而减小，判定，计算取舍即可．
【详解】设，根据题意，得，
所以，
解得，
因为当时，y随x的增大而减小，
所以，
所以舍去，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，勾股定理，完全平方公式的应用，熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键．
3．C
【分析】由反比例函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】A、当时，，即点在函数的图象上，故说法正确，不符合题意；
B、，函数的图象分布在第一、三象限，故说法正确，不符合题意；
C、，当时，y随x的增大而减小，故说法错误，符合题意；
D、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是一、三象限角平分线所在的直线及二、四象限角平分线所在的直线，对称中心为原点，故说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟悉反比例函数的图象与性质是关键．
4．C
【分析】根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】解：A、当时，则，所以点在它的图象上，故不符合题意；
B、由反比例函数可知图象关于直线对称，故不符合题意；
C、当时，随的增大而减小，故符合题意；
D、它的图象位于第一、三象限，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
5．B
【分析】根据反比例函数的性质，，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，反比例函数的图象是中心对称图形解答．
【详解】解： A、把点代入反比例函数，得成立，故说法正确，不符合题意；
B、∵，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，故说法错误，符合题意；
C、∵，∴它的图象在第二、四象限，故说法正确，不符合题意；
D、当时，，故当时，，故说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
6．C
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图象时的两点，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
7．B
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函数图象与系数的关系．
8．A
【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解 x1，x2，x3 ，然后直接比较大小即可．
【详解】将A，B，C三点分别代入 y=，可求得
x1=-2，x2=6，x3=3 ，
比较其大小可得：x1故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数中自变量比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像的增减性判别，或者直接代入对应数值求解即可．
9．D
【分析】连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，设A点坐标为（a，），得出OD=AE=，CD=OE=a，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．
【详解】解：如图，连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∴△COD≌△OAE（AAS），
设A点坐标为（a，），得出OD=AE=，CD=OE=a，
∴C点坐标为（-，a），
∵- a=-6，
∴点C在反比例函数y=-图象上．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．
10．D
【分析】连接OA，可得S△ABO= S△ABC = 3根据反比例函数k的几何意义，可求出k的值．
【详解】解：连接OA，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△ABO= S△ABC = 3，
即：= 3，
∴k=6，或k=-6，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k=-6．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，理解反比例函数k的几何意义以及等积变形：同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的关键．
11．B
【分析】根据所学知识对五个命题进行判断即可．
【详解】1、，故方程无实数根，故本命题错误；
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；
3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；
4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；
5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误
综上所述，正确个数为3
故选B
【点睛】本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．
12．C
【分析】设 ，根据矩形的性质，可得 ，再由点E为AC的中点，可得点E的纵坐标为 ，从而得到 ，进而得到 ，再由△AEF的面积为2，可得到△ACF的面积为4，即可求解．
【详解】解：设 ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴ ，
∵点E为AC的中点，
∴点E为BD的中点，
∵B在x轴的正半轴上，
∴点E的纵坐标为 ，
∴ ，
∵点E为AC的中点，
∴ ，
∴ ，
∵△AEF的面积为2，AE=CE，
∴△ACF的面积为4，
即 ，
解得： ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，几何意义，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
13．-2
【分析】由反比例函数的定义可知3-m2=-1，由反比例函数图象在第二、四象限可知m+1＜0．
【详解】∵是反比例函数，
∴3-m2=-1．
解得：m=±2．
∵函数图象在第二、四象限，
∴m+1＜0，解得：m＜-1．
∴m=-2．
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数的定义和性质，掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键．
14．1
【分析】把x=3直接代入求值即可.
【详解】解：因为点A（3，m）在反比例函数y＝的图像上
所以m=1
故答案为1.
【点睛】此题考查了反比例函数的图像上的点，掌握函数图像上点的坐标特征是关键，比较容易，是常考题.
15．2022
【分析】将点代入双曲线可求出，再代入计算即可．
【详解】解：点在双曲线上，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，求出的值是正确解答的关键．
16．m＜2
【分析】由反比例函数图像经过第二、四象限，得出m﹣2＜0，求出m范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图像经过第二、四象限，
∴m﹣2＜0，
得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于m的不等式，是解题的关键．
17．3
【分析】设点，可得，，从而得到CD=3a，再由．可得点B，从而得到，然后根据，即可求解．
【详解】解∶设点，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，
∴CD=3a，
∵．轴，
∴BC∥y轴，
∴点B，
∴，
∵，四边形间面积为6，
∴，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
18．29
【分析】先根据题意得到，则，，然后利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵点在直线上，也在双曲线上，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：29．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，完全平方公式的变形求值，正确得到，是解题的关键．
19．（，）
【分析】根据顶点A（0，2）和C（2，0），即可得出D点坐标，进而求出k的值，再根据点E是C′D′的中点得出E点的纵坐标，代入反比例函数的解析式，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，
设菱形的边长为a，则AB=BC=AD=a，
∵A（0，2）和C（2，0），
∴OA=2，OB=a-2，
∵AB2=OB2+OA2，
∴a2=（a-2）2+（2）2，解得a=4，
∴AD=4，
∴D（4，2），
∵顶点D在反比例函数y=的图象上，
∴k=4×2=8，
∴y=，
∵D（4，2），点E是C′D′的中点，
∴点E的纵坐标为，
把y=代入y=，得=，
解得x=8，
∴点E的坐标是（8，），
故答案为：（，）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质、菱形的性质以及平移的性质，根据已知得出D点坐标是解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）因为A，B两点是一次函数和反比例函数交点，将A点坐标代入到一次函数解析式中，再将A点坐标代入到反比例函数解析式中求出m和n的值；
（2）的面积等于的面积与的面积之和，分别求出相加，即可解决．
【详解】（1）∵A点是一次函数与反比例函数交点，
∴将A点代入到一次函数解析式中得，
，
∴，
∴，
将A点坐标代入到反比例函数解析式中得，
，
∴反比例函数的解析式为；
（2）由（1）得：
∴
∵一次函数
∴
∵
∴
．
【点睛】本题是一道一次函数与反比例函数交点问题，将的面积转化是解决本题的关键．
21．(1)，
(2)或
(3)5
【分析】（1）由是等腰三角形，先求的点B的坐标，然后利用待定系数法可求得双曲线和直线的解析式；
（2）将解析式联立，解方程组求得双曲线和直线的交点的横坐标，然后根据图象即可确定出x的取值范围；
（3）先求得直线与y轴的交点D的坐标，然后利用求得即可．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，
，．
绕点旋转得到，
点的坐标为，
点的坐标．
双曲线在第一象限内的图象经过点．
．
，
将，代入直线的解析式得，
解得，
直线的解析式为．
（2）解：由，解得或，
，
当时，双曲线位于直线的上方，
的取值范围是：或．
（3）解：令，则，
，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求得双曲线和直线的交点的横坐标是解题的关键．
22．(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为
(2)5
(3)或
【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值即可；
（2）根据，即可求解；
（3）利用图象找出所求不等式的解集即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵反比例函数过，
∴，
∴点坐标，
把A与B代入一次函数解析式得：
，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：∵点，轴，
∴，
根据题意得：；
（3）解：∵由图象得：当或时，反比例函数的图象位于一次函数的图象的下方，
∴的解集为或．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数性质是解本题的关键．
23．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据正比例函数的表达式求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数表达式求出k的值，即可得出反比例函数的表达式；根据A与B关于原点对称，B点横坐标与纵坐标分别与A点横坐标与纵坐标互为相反数；
（2）点P是x轴上一点，设，可根据，列出关于m的方程求解；
（3）根据图象分析，不等式的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的x的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得即，
∴，即，
∴
∵正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点
∴A与B关于原点对称，即
（2）解：点P是x轴上一点，设，
∵，
∴，
解得，
∴因为，
（3）解：由函数图象分析可知，不等式的解集为：或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数与反比例函数的交点，利用坐标求坐标系中的三角形的面积，以及运用数形结合的数学思想解决函数与不等式关系的相关问题，综合性较强．
24．(1)，；当时x的取值范围为或；
(2)，其中
【分析】（1）由点B在反比例函数的图象上，代入可求得c的值，从而可求得点C的坐标；
把B、C两个点的坐标代入中，解方程组即可求得k、b的值；结合函数图象即可求得时x的取值范围；
（2）由（1）可得直线的解析式，由点P在直线上，可得n关于m的代数式；由轴及点D在反比例函数图象上，可求得点D的坐标，从而得到的长度，则可得的面积S关于n的函数解析式．
【详解】（1）解：点B在反比例函数的图象上，
，即，
，
在的图象上，
，
即，
把B、C两个点的坐标代入中，得：，
解得：，
，；
结合函数图象，当时x的取值范围为或；
（2）解：由（1）知，直线的解析式为，
在线段上，
，且，
即，
轴及点D在反比例函数图象上，
，
，
点D的坐标为，
，
；
的面积S关于n的函数解析式为，其中．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，求函数表达式等知识，有一定的综合性，注意数形结合．
25．(1)见解析
(2)①图象是中心对称图形；②当时，y随着x的增大而减小
(3)左；1；
(4)
【分析】（1）将x=-5，-3，-2，0，1，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性解答该函数图象的两条不同类型的特征；
（3）结合图象即可得出结论；
（4）结合图象可得出结论．
【详解】（1）解：①列表：
x … -5 -3 -2 0 1 3 …
y … -1 -2 -4 4 2 1 …
②描点并连线．
（2）解：观察图象，
①图象是中心对称图形；
②当x＞-1时，y随着x的增大减小．
故答案为：图象是中心对称图形；当x＞-1时，y随着x的增大减小．
（3）解：函数的图象是由函数y=的图象向左平移1个单位，其对称中心的坐标为（-1，0）．
故答案为：左；1；（-1，0）．
（4）解：函数+2的图由函数的图象向上平移2个单位得到，因此根据函数的图象可知，当x满足-1＜x≤3时，函数的函数值y≥1，则函数的函数值．
故答案为：-1＜x≤3．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键．
26．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）将点代入，即可求得，将点代入即可求得的值，
（2）根据函数图象，即可求得出x的取值范围；
（3）根据题意可知当点在上时，最小，联立，求得点的坐标，进而求得的长OP的最小值．
【详解】（1）解：∵在上，
∴
将点代入，则
故答案为：
（2）解：∵，
∴时，或
（3）根据题意可知当点在上时，最小，
联立，
解得
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数结合，求反比例函数解析式，解一元二次方程，数形结合是解题的关键．
27．(1)1；1；4
(2)=
(3)x<0或1【分析】（1）把点A，B坐标代入直线可求出m，n的值，再把A或点B坐标代入可求出k的值；
（2）根据两点间距离公式求出AM和BN的值，再比较大小即可；
（3）根据反比例函数的图象在直线的下方可求出x的取值范围．
【详解】（1）把A（m，4）代入得，
解得，；
把B（4，n）代入得，
；
∴A（1，4），B（4，1）
把A（1，4）代入得，
∴
故答案为：1，1，4；
（2）对于，当时，，即；当时，
∴
∵A（1，4），B（4，1）
∴，
∴
故答案为：=；
（3）∵一次函数y＝－x＋5与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，1）两点，
当反比例函数的图象在直线的下方时，，
所以，关于x的不等式的解集是x<0或1故答案为：x<0或1【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
28．(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为
(2)8
(3)或
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；
（2）根据求得即可；
（3）观察函数图象即可求解．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
点在反比例函数上，且，
，代入求得：，
点的坐标为．
、两点在直线上，则，解得，
一次函数的关系式为；
（2）解：连接、．
把代入，解得，
即，则，
；
（3）解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
29．（1），；（2）x＜﹣或0＜x＜3；（3）
【分析】（1）将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；
（2）根据图象直接得出答案；
（3）求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：（1）将A（3，1）代入反比例函数得，
k＝3×1＝3，
∴反比例函数解析式为；
把点B（，m）代入反比例函数关系式得，
m＝﹣2，
∴点B（，﹣2），
把A（3，1），B（，﹣2）代入一次函数y1＝ax+b得，
解得a＝，b＝﹣1，
∴一次函数的关系式为
答：一次函数的关系式为，反比例函数解析式为；
（2）由图象知，当x＜或0＜x＜3时，y1＜y2；
（3）一次函数与y轴的交点D（0，﹣1），
∴OD＝1，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.26.2 实际问题与反比例函数 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北黄石·九年级统考期末）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从100℃降到50℃所用的时间是（ ）
A．7分钟 B．13分钟 C．20分钟 D．27分钟
2．（2022秋·湖北荆州·九年级期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·湖北天门市·九年级期末）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积的函数关系如图所示，已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应( )
A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于
4．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，与的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于的时间为
D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
6．（2022秋·湖北宜昌·九年级期末）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据，在下列函数中，符合表格中所给数据的是：（ ）
（单位：度） … 100 250 400 500 …
（单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 …
A．y=x B．y= C．y=﹣x+ D．y=
7．（2022秋·湖北武汉·九年级期末）反比例函数y＝图象上A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，m取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞
二、填空题
8．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．则当时，二氧化碳的密度为 ．
9．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为 ．
10．（2022秋·湖北荆州·九年级期末）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为 ．
11．（2022秋·湖北荆门·九年级期末）如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴 于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为 ．
三、解答题
12．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期末）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示．
(1)求密度关于体积的函数解析式；
(2)当时，求该气体的密度．
13．（2022秋·湖北宜昌·九年级统考期末）小伟根据杠杆原理（阻力×阻力臂＝动力×动力臂）用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1500牛顿和0.6米．
(1)动力F与动力臂有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的，则动力臂至少要加长多少米？
14．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
(1)求v关于t的函数解析式；
(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发，他能否在当天11点前到达B地？说明理由．
15．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级期末）如图，在直角坐标系中，已知点B(4,0)，等边三角形OAB的顶点A在反比例函数的图象上
(1)求反比例函数的表达式．
(2)把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O′ A′ B′ 当这个函数图象经过△O′ A′ B′ 一边的中点时，求a 的值．
16．（2022秋·湖北襄阳·九年级统考期末）有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小彤探究的过程，请补充完整：
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 8 …
y … m 0 ﹣1 3 2 …
则m的值为 ；
(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
(4)观察图象，写出该函数的一条性质 ；
(5)若函数y＝的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为 ；
17．（2022秋·湖北咸宁·九年级期末）崇阳县白霓镇回头岭村近年大力打造乡村旅游文化品牌，农村特色美食、农家乐、采摘园、观光养殖场等初具规模，2021年仅桑葚采摘园收入6万元，2022年桑葚产量比2021年增加了1000千克，且每千克价格比2021年上涨了3元，故收入比2021年提高了．已知2021年每千克价格不低于14元
(1)求2022年桑葚每千克的价格；
(2)村委会计划扩大桑葚采摘园的规模，将今年收入的投入扩建，已知新建采摘园每亩资金不低于1200元，那么最多可以将桑葚采摘园的面积扩大多少？
18．（2022秋·湖北鄂州·九年级期末）阅读与应用：同学们，你们已经知道()2，即2b2所以2b2当且仅当时取等号．
阅读：若、为实数，且，，，，当且仅当时取等号．
阅读：若函数为常数由阅读结论可知：，即当即，时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题：已知一个矩形的面积为，其中一边长为，则另一边长为，周长为，当______时，矩形周长的最小值为______．
问题：若函数，则______时，函数的最小值为______．
问题3：建造一个容积为立方米，深米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米元和元，设池长为米，水池总造价为元，求当为多少时，水池总造价最低？最低是多少？
19．（2022秋·湖北随州·九年级期末）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：
类型 占地面积 可供使用幢数 造价（万元）
A 15 18 1.5
B 20 30 2.1
(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
20．（2022秋·湖北宜昌·九年级期末）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这一函数的解析式．
(2)当气体的体积为时，气压是多少
(3)当气球内的气压大于时，气球会将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少
21．（2022秋·湖北恩施·九年级期末）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线交AB，BC分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
参考答案：
1．A
【分析】首先求出反比例函数的解析式，然后把y＝50代入反比例解析式求得x后，减去7即可求得时间．
【详解】解：设反比例函数关系式为：y＝，
将（7，100）代入y＝得，，解得k＝700，
∴y＝，
将y＝50代入y＝，解得x＝14；
∴水温从100℃降到50℃所用的时间是14﹣7＝7分钟，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用题，解题关键是求出反比例函数解析式．
2．B
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当m一定时，与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
3．C
【分析】根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点，将点代入反函数解析式即可求得的值，从而得出函数解析式，再根据的范围即可得出答案．
【详解】函数图象是双曲线的一条分支，且过点
则
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确识图是解题的关键．
4．C
【详解】解：由草坪面积为100m2，可知x、y存在关系y=，
然后根据两边长均不小于5m，可得x≥5、y≥5，则x≤20，
故选 ：C．
5．D
【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出一次函数的解析式，结合图像，逐项判断即可
【详解】根据题意：设药物释放完毕后与的函数关系式为，
结合图像可知经过点（，）
与的函数关系式为
设药物释放过程中与的函数关系式为
结合图像当时药物释放完毕代入到中，则，故选项A正确，
设正比例函数为，将（，1）代入得：，解得，则正比例函数解析式为，故选项B正确，
当空气中含药量大于等于时，有，解得，结合图像，即，故选项C正确，
当空气中含药量降低到时，即，解得，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数，不等式的实际应用，以及识图和理解能力，解题关键是利用图像的信息求出函数解析式．
6．B
【分析】根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，依此即可求解；
【详解】根据表格数据可得，100×1=250×0.4=400×0.25=500×0.2=100，
所以近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，
所以y关于x的函数关系式是y=．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，关键是掌握反比例函数形如（k≠0）．
7．D
【分析】直接利用反比例函数的性质得出1﹣2m＜0，进而求出答案．
【详解】解：反比例函数y＝图象上A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，
∴1﹣2m＜0，
解得：m＞．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数增减性的性质，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
8．1.1
【分析】观察函数图像，根据函数图像上点的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征，即可求出当V＝9时的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将（5，1.98）代入表达式中得，
∴反比例函数的解析式为，
当V＝9时，，
∴当V＝9m3时，气体的密度是1.1kg/m3，
故答案为：1.1．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键．
9．
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，可证四边形DEBF是矩形，可得DF＝BE，DE＝BF，在Rt△DFC中，由勾股定理可求DE＝1，DF＝3，由反比例函数的性质可求k的值．
【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∵∠DEB＝90°，AD∥BC，
∴∠EBC＝90°，且∠DEB＝90°，DF⊥BC，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DF＝BE，DE＝BF，
∵点C的横坐标为5，BE＝3DE，
∴BC＝CD＝5，DF＝3DE，CF＝5﹣DE，
∵CD2＝DF2+CF2，
∴25＝9DE2+(5﹣DE)2，
∴DE＝1，
∴DF＝BE＝3，
设点C(5，m)，点D(1，m+3)，
∵反比例函数y＝图象过点C，D，
∴5m＝1×(m+3)，
∴m＝，
∴点C(5，)，
∴k＝5×＝，
故答案为
【点睛】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．
10．
【分析】根据反比例函数图象的对称性得到圆的面积=4×17π=68π，再计算出圆的半径=2，然后利用勾股定理得到(4a)2+a2=(2)2，解得a=2或-2（舍去），则P点坐标为(8，2)，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求得k.
【详解】解：∵图中阴影部分的面积为17π，
∴圆的面积=4×17π=68π，
∴圆的半径=2，
∵P(4a，a)在圆上，
∴(4a)2+a2=(2)2，解得a=2或 2(舍去)，
∴P点坐标为(8，2)，
把P(8，2)代入y=得k=8×2=16，
∴反比例函数的解析式为y=.
故答案为：y=.
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的对称性.
11．12
【详解】解：设点A的坐标为（a，），则点B的坐标为（，），
∵AB∥x轴，AC=2CD，
∴∠BAC=∠ODC，
∵∠ACB=∠DCO，
∴△ACB∽△DCO，
∴，
∵OD=a，则AB=2a，
∴点B的横坐标是3a，
∴3a=，
解得：k=12.
故答案为12.
12．(1)
(2)1
【分析】（1）用待定系数法即可完成；
（2）把V=10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度．
【详解】（1）设密度关于体积的函数解析式为，
把点A的坐标代入上式中得：，
解得：k=10，
∴．
（2）当时，（）．
即此时该气体的密度为1．
【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，由图像求得反比例函数解析式是关键．
13．(1)；至少需要600N；
(2)动力臂至少要加长0.75米
【分析】（1）直接利用：阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出F与l之间的关系，然后代入数值计算即可解答；
（2）直接利用动力F不超过题（1）中所用力的，进而得出l的值．
【详解】（1）解：据杠杆原理得：Fl=1500×0.6
则F关于l的函数解析式为：
当=1.5时，（N）；
（2）解：当时，，=2.25（米）
2.25-1.5=0.75（米）
对于函数，当>0时，越大，F越小，因此，若要动力不超过400N，则动力臂至少要加长0.75米．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题的关键．
14．(1)
(2)方方不能在当天11点前到达B地，理由见解析
【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）8点至11点时间长为3小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．
【详解】（1）解：∵，且全程速度限定为不超过120千米/小时．
∴v关于t的函数解析式为；
（2）解：方方不能在当天11点前到达B地，理由如下：
∵8点至11点时间长为3小时，
将t=3代入，得：
v=160>120，超速了．
故方方不能在当天11点前到达B地．
【点睛】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题属于中档题．
15．（1）；（2）的值为1或3；
【详解】（1）如图1，过点A作于点C.
是等边三角形，
，.
，
.
，.
把点（2，）的坐标代入，得.
.
（2）（Ⅰ）如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E.
由题意得，.
在中，，，.
.
把代入．得.
.
（Ⅱ）如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H.
由题意得，.
在中，.
把代入，得.
.
综上,的值为1或3.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数及分类讨论等知识.掌握待定系数法是解答（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键.
16．(1)x≠3；(2)；(3)详见解析；(4)当x>3时y随x的增大而减小等(答案不唯一)；(5)<<
【分析】（1）分式有意义,分母不等于零,
（2）将x=-1代入即可,
（3）图像见详解,
（4）根据增减性即可得出结论,见详解,
（5）在图像中找到满足<3<<的三个点比较纵坐标即可得到结论.
【详解】解：(1)因为分式有意义,分母不等于零，所以x-3≠0，即x≠3；
(2)将x=-1代入，解得 m=；
(3)如图所示；
(4)当x>3时y随x的增大而减小(答案不唯一)；
(5)当x＜3时，y＜1，当x>3时，y＞1且y随x的增大而减小，所以<<
【点睛】本题考查了反比例函数的简单应用,中等难度,熟悉反比例函数图像和性质是解题关键.
17．(1)2022年桑葚每千克的价格为18元；
(2)最多可以将桑葚采摘园的面积扩大亩．
【分析】（1）设2022年桑葚每千克的价格为x元，根据题意列得分式方程，解方程即可得解；
（2）设可以将桑葚采摘园的面积扩大m亩，新建采摘园每亩资金为t元，求得m关于t的反比例函数，利用函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设2022年桑葚每千克的价格为x元，则2021年桑葚每千克的价格为元，2021年桑葚产量为千克，2022年桑葚产量为千克，
由题意得，
解得，
经检验，，都是分式方程的解，
∵2021年每千克价格不低于14元，
∴，
∴，
∴应舍去，只取，
答：2022年桑葚每千克的价格为18元；
（2）解：设可以将桑葚采摘园的面积扩大m亩，新建采摘园每亩资金为t元，
则，其中，
∵m是t的反比例函数，且，
∴m随t的增大而减少，
∴当时，m有最大值，最大值为，
答：最多可以将桑葚采摘园的面积扩大亩．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是正确找出题中的数量关系，列出方程或函数关系式．
18．问题1：2，8；问题2：4，7；问题3：当时，水池总造价最低，最低为元．
【分析】问题1：根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解；
问题2：先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解；
问题3：根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解．
【详解】解：问题1：∵，
∴，
∴当即（不合题意舍去），时，函数有最小值；
当2，矩形周长的最小值为8；
故答案为：2，8；
问题：∵，
∴，
∴由阅读2结论可知，，即，
∴当即，
∴，（不合题意舍去），
∴当时，函数的最小值为7；
故答案为：4，7；
问题3：∵根据题意得长方体的宽为米，
∴，
∵，
∴当，即（不合题意舍去），时，函数的最小值为，
∴当时，水池总造价最低，最低为元．
答：当时，水池总造价最低，最低为元．
【点睛】此题主要考查反比例函数，函数最值的确定方法，涉及到的知识点有二次根式、矩形的周长、立方体的体积等，读懂材料是解本题的关键，难点是理解和运用材料得到的结论解决问题．
19．(1)当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱
(2)每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低
【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；
（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．
【详解】（1）解：设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．
依题意得：，
解得6≤x≤9.17，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9有四种方案；
设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，
∵﹣0.6＜0，
∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），
∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；
（2）解：由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），
当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，
∵>0，故有最小值，
当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），
当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，
当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），
∵240＜250，
故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，
∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，
∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），
故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．
【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．
20．（1） ；（2）60KPa；（3）
【分析】（1）设，A（0.5,120）在反比例函数上，即可求得反比例函数解析式；
（2）把V=1代入（1）中的函数关系式求P即可；
（3）依题意P≤150，即，解不等式即可．
【详解】（1）设，
∵A（0.5,120）在反比例函数上
∴
∴k＝60
∴；
故答案为：
（2）当V＝1m3时，=60（KPa）；
故答案为：60KPa
（3）当P＞150KPa时，气球将爆炸，
∴P≤150，
∴，
解得V0.4（m3）．
故答案为：为了安全起见，气体的体积应不小于0.4（m3）．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，将实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
21．（1）；（2）点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.
【分析】（1）求出OA=BC=2，将y=2代入求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案.
（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标.
【详解】（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2.
将y=2代入3得：x=2，∴M（2，2）.
把M的坐标代入得：k=4，
∴反比例函数的解析式是；
（2）.
∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，
∴.
∵AM=2，
∴OP=4.
∴点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.
