课件21张PPT。4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 1.了解圆周角的概念.
2.理解圆周角定理的证明.
3.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想.3.下列命题是真命题的是( )
①垂直弦的直径平分这条弦
②相等的圆心角所对的弧相等
③圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③1.圆心角的定义?答：相等.答:顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系? B圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角的两边和圆是什么关系？A.你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?特征：①角的顶点在圆上.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.②角的两边都与圆相交.探究1.判断下列各图形中的角是不是圆周角.图１图２图３图４图５2、指出图中的圆周角.∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC××√××【巩固练习】说说你的想法,并与同伴交流.提示:注意圆心角与圆周角的位置关系.如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?圆周角和圆心角的关系议一议解:∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B. 即∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?∠ABD = ∠AOD,
∠CBD = ∠COD, ∴ ∠ABC = ∠AOC.提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.ABC3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,∴∠ABC = ∠AOC.●
O圆周角定理:
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视. 即∠ABC= ∠AOC.圆心在角的边圆心在角圆心在角上内外定理：∠AOB=2∠BOC∠ACB=2∠BAC证明： ∠ACB= ∠AOB ∠BAC= ∠BOC例.如图：OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.【例题】1.求圆中角x的度数AOx120° C C D B2. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆
心，C，D为半圆上的两点，∠COD=50°，
则∠CAD=_______.25o【跟踪训练】答案：35° 120°3.判断
（1）顶点在圆上的角叫圆周角.（ ）
（2）圆周角的度数等于所对弧的度数的一半.（ ） ×√（2）如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB=_____，∠ADB=______.4. 计算
（1）半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是_______________.130o50o36o或144°1．（重庆·中考）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°则∠AOC的度数等于（ ）
A.140° B.130°
C.120° D.110°答案:A 2.（潼南·中考）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在⊙O上,∠C=15°,则∠BOC的度数为（ ）
A．15° B. 30°
C. 45° D．60° 答案:B 3.（德化·中考）如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（ ）答案:D A.60°B.50°C.40°D.30°4.（红河·中考）如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°答案:A【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.一 、这节课主要学习了两个知识点：
1、圆周角定义.
2、圆周角定理及其定理应用.
二、方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.
三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用.忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。
——卢梭 课件26张PPT。4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 1.掌握圆周角定理几个推论的内容，会熟练运用推论解决问题.
2．培养学生观察、分析及理解问题的能力.
3．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式.圆周角:顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系? 如图1,圆中一段 对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系?为什么?图2由此你能得出什么结论? 如图2,圆中 那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?探究如图,圆中∠C=∠G, 那么 的大小有什么关系?为什么?由此你又能得出什么结论?圆周角定理的推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.用于找相等的角定理：1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?2.如图(2)，圆周角∠BAC =90o，弦BC经过圆心O吗？为什么？由此你能得出什么结论?议一议用于判断某条弦是否是直径用于构造直角圆周角定理的推论2直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.推论：例1.如图,AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?解析：BD=CD；
理由：如图，连接AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC.
又∵AC=AB，∴BD=CD.【例题】证明：如图，连接AD，AE.
∠DAB=∠AED， ∠EAC= ∠ADE，
∴ ∠AMN=∠ANM，∴AM=AN.
∴△AMN为等腰三角形.例2.如图，⊙O中,D，E分别是 的中点, DE分别交AB和AC于点M，N；求证:△AMN是等腰三角形.∵ D,E分别是 的中点,√×××1.判断题：
（1）在同圆或等圆中等弧所对的圆周角相等. （ ）
（2）相等的圆周角所对的弧也相等. （ ）
（3）90°的角所对的弦是直径. （ ）
（4）同弦所对的圆周角相等. （ ）(3)【跟踪训练】2.填空题:
(1)如图所示,
∠BAC= ,∠DAC= .∠DBC∠BDC(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm,C为⊙O上一点,∠BAC=30°,
则BC= cm. 53.如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1,
⊙O的弦AD交⊙O1于C,则
(1)OC与AD的位置关系是__________________;
(2)OC与BD的位置关系是___________;
(3)若OC=2cm,则BD=______cm.OC垂直平分AD平行4CABO4.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径. E解：连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE所以∠E=30°, ∠ABE=90°.由AB=4得直径AE=8.5.如图，AE是⊙O的直径, △ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高.
求证：AB·AC=AE·AD.AOBCDE证明：连接EC.因为∠ADB=∠ACE=90°，
∠AEC=∠ABD,
故△ACE∽ △ADB,
所以
即AB·AC=AE·AD.定理：圆的内接四边形的对角互补 定理拓展：任何一个外角都等于它的内对角。∠D＋∠B＝180°
∠A＋∠C＝180°∠EAB＝∠BCD
∠FCB＝∠BAD对角外角内对角又一种重要的辅助线如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求证：CE∥DF有两个圆的题目常用的一种辅助线：作公共弦。
此图形是一个考试热门图形。思考：若此题条件和结论不变，只是不给出图形，此题还能这样证明吗？1.圆内接四边形ABCD中，∠A, ∠B, ∠C的度数之比是
1：2：3，则这个四边形最大角的度数是_________
2.四边形ABCD内接于圆，AD∥BC，
若AD=4，BC=6，则四边形ABCD的面积为_______135°25【跟踪训练】1.（衡阳·中考）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70o，∠C=50o， 那么sin∠AEB的值为（ ）答案：D 2.（荆门·中考）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为（ ）答案：B3．（荆州·中考）△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC的外接圆．如图，若弧AB的长为12cm，那么弧AC的长是（ ）
A．10cm B．9cm
C．8cm D．6cm答案：C 【规律方法】圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，
而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化.但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁.如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等.1．要理解好圆周角定理的推论.
2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法.引辅助线的方法：
（1）构造直径上的圆周角.
（2）构造同弧所对的圆周角.
3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一.忍耐之草是苦的，但最终会结出甘甜而柔软的果实。
——辛姆洛克
