河南省洛阳市宜阳县复兴高级中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学模拟试卷（含答案）

复兴高级中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学模拟试卷
一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1．设，，且，则等于　　
A． B．1 C． D．2
2．已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为　　
A． B．1 C．3 D．2
3．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为　　
A．6 B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则　　
A． B． C．2 D．4
5．已知直线，，则“”是“”的　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图，空间四边形中，，，，点
在线段上，且，点为的中点，则　　
A． B．
C． D．
7．已知空间向量,，则向量在向量上的投影向量是　　
A．，2， B．，2， C．，0， D．，0，
8．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点，，动点满足，当、、不共线时，面积的最大值是　　
A．4 B．2 C． D．
二．多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是　)
A． B． C． D．
10．下列利用方向向量、法向量判断线线、线面、面面位置关系的结论中，正确的是　　
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，3，，，，，则
B．直线的方向向量，，，平面的法向量是，4，，则
C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
11．已知直线与曲线有且仅有1个公共点，则的取值可能是 )
A． B． C．1 D．
12．如图：在三棱柱中，底面为正三角形，且，，则下列说法正确的是　　
A．直线与底面所成角的余弦值为
B．设中点为，则线段的长度的最小值为
C．平面与平面夹角的余弦值为
D．直线与平面所成角的余弦值的最大值为
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如图，在正四面体中，，分别为，的中点，是线段上一点，且，若，则的值为 　　．
14．设点和，在直线上找一点，使的取值最小，则这个最小值为 　　．
15．已知一个等腰三角形的一个顶点是，底边的一个端点，底边另一个端点的轨迹方程是 　　．
16．对任意实数，直线被圆截得的线段长恒为4，若动点在圆上，则点到原点距离的最小值为 　　．
四．解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知三个顶点的坐标分别为，，．求：
（1）过点且与直线平行的直线方程；
（2）中，边上的高所在直线的方程．
18．如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．
19．平面直角坐标系中，直线，设圆经过，，圆心在上．
（1）求圆的标准方程；
（2）设圆上存在点，满足过点向圆作两条切线，，切点为，，四边形的面积为10，求实数的取值范围．
20．已知直线方程为．
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程．
21．如图，过点的直线与圆相交于、两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为．
（1）当点坐标为时，求直线的方程；
（2）求四边形面积的最大值．
22．直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C B C A C D ACD AC ABD ABC
三、填空题
13、 14、 15、 16、3
四、解答题
17、【解答】解：（1）因为，，
所以直线的斜率为，则过点，且与直线平行的直线方程为，即．
（2）因为直线的斜率为，
所以中边上的高所在直线的斜率为，
又高所在直线过点，所以高所在直线的方程为，
即．
18、【解答】证明：平面，平面，，
，，，
，
又，，，
同理可得：，又，
平面．
解：取中点，过作平面的垂线，交于，
，，
，，，，
以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，0，，，0，，，，，
，，，，0，，，，，
设平面的法向量为，，，则，
，令可得，1，，
．
设直线与平面所成的角为，则．
直线与平面所成的角的正弦值为．
19、【解答】解：（1）设圆的标准方程为，
因为圆经过，，圆心在上，
所以有，解得，
即圆的标准方程；
（2）四边形的面积10，而四边形是由两个全等的直角三角形组成，如图：
的面积为5，即，
又，，，
动点的轨迹为以为圆心，以5为半径的圆，
即点在圆，
又点在圆上，圆与圆有公共点，
，即，解得．
实数的取值范围为，．
20、【解答】（1）证明：直线方程为，
可化为，
对任意都成立，所以，解得，
所以直线恒过定点；
（2）解：点到直线的距离最大，
可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，
即．，
的斜率为：，可得，解得．
（3）解：若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，直线方程为，，
则，，，
，
当且仅当时取等号，面积的最小值为4．
此时直线的方程为．
21、【解答】解：（1）当时，直线的斜率为，
与垂直，直线的斜率为，
直线的方程为，即．
（2）当直线与轴垂直时，，，
四边形的面积，
当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即，
则直线方程为，即，
点到直线的距离为，
，，
则四边形面积，
令（当时，四边形不存在），
，，
四边形面积的最大值为．
22、【解答】解：（1）证明：取的中点，连接，，连接交于，
再连接，
，且是的中点，则是的中点，，，
又平面，平面，平面，
同理可得，平面，又，
平面平面，平面，
（2）在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系，
又，为中点，为中点，为中点．
故，2，，，0，，，0，，，0，，，1，，
则，，，，0，，，1，，
设，，是平面的法向量，则有：，，
即，令，则，，
所以，
设直线与平面的夹角为，则，
（3），0，，则，0，，，1，，
设平面的法向量为，，，则有，，
即，令，则，，故，
设平面与平面的夹角为，
所以．