北京市海淀区师达中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·海淀开学考）截至年月日时，全国冬小麦收获亿亩，进度过七成半，将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·海淀开学考） 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·北京）如图，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·北京）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023九上·海淀开学考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2017八上·仲恺期中）十二边形的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．1800° D．无法计算
7．（2023九上·海淀开学考） 下面的三个问题中都有两个变量：
汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·海淀开学考） 如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9．（2023九上·海淀开学考） 若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10．（2023·北京）分解因式：= .
11．（2023·北京）方程的解为 ．
12．（2023九上·海淀开学考） 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ．
13．（2023·北京）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
14．（2023九上·海淀开学考） 已知二次函数的图象与轴只有一个交点，则 ．
15．（2023九上·海淀开学考）如图，在中，平分，若，，则 ．
16．（2023九上·海淀开学考）如图，点、、在同一条线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，≌，连接，设，，，下面三个结论：；；；正确的序号是 ．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·海淀开学考）计算：．
18．（2023·北京）解不等式组：．
19．（2023·北京）已知，求代数式的值．
20．（2023九上·海淀开学考）二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当时，
求此时二次函数的表达式；
把化为的形式，并写出顶点坐标．
21．（2023九上·海淀开学考）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若且，已知，求的长．
22．（2023九上·海淀开学考）如图，利用长米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出个小长方形，总共用去篱笆米，为了使这个长方形的的面积为平方米，求、边各为多少米．
23．（2023九上·海淀开学考）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．
（1）求该函数的解析式及点的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的值．
24．（2023·北京）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
25．（2023九上·海淀开学考）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡上的点处．腾空点到地面的距离为，坡高为，着陆坡的坡度即为：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点，．
（1）求这段抛物线表示的二次函数表达式；
（2）在空中飞行过程中，求运动员到坡面竖直方向上的最大距离；
（3）落点与坡顶之间的距离为
26．（2022九上·门头沟期末）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．
（1）当时，如果，直接写出，的值；
（2）当，时，总有，求t的取值范围．
27．（2023九上·海淀开学考）在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍为正整数，那么称点为点的倍关联点．
（1）当点的坐标为时，
①如果点的倍关联点在轴上，那么点的坐标是 ；如果点的倍关联点在轴上，那么点的坐标是 ；
②如果点是点的倍关联点，且，，则满足条件的点有 个；
（2）如果点的坐标为，，，若在线段上存在的倍关联点，直接写出的取值范围．
28．（2023九上·海淀开学考）已知正方形和一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图，当点在正方形内部时：
依题意补全图；
求证：；
（2）如图，当点在正方形外部时，连接，取中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】根据科学记数法的定义，239000000=2.39108
故选：B
【分析】根据科学记数法来改写成的形式。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A：图中等腰三角形是轴对称图形，可以沿底边上的高对折，两边图形可重合；
B：图中平行四边形不是轴对称图形，找不到一条直线沿着它对折使两边图形可重合；
C：图中正方形是轴对称图形，可以找到四条直线沿着它对折使两边图形可重合；
D：图中圆是轴对称图形，可以沿任一直径对折使两边图形可重合。
故选：B
【分析】根据轴对称图形的定义判定，找不到对称轴的就不是轴对称图形。
3．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，
∴2∠BOC+∠AOB+∠COD=180°，
∵，
∴∠BOC+∠AOB+∠COD=126°，
∴=54°，
故答案为：C
【分析】根据直角即可结合题意即可得到2∠BOC+∠AOB+∠COD=180°，进而根据题意即可求解。
4．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴a＞1，-a＜-1，
∴，
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质结合题意即可求解。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意
解得m=4
故选：A
【分析】根据根和判别式的关系，计算时的m值。
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（12﹣2） 180°=1800°．
故选C．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°列式计算即可得解．
7．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】根据题意，图中两变量是一次函数关系：
汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程随着行驶时间的增加而减小，故可以用该图表示；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量随着放水时间的增加而减小，故可以用该图表示；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积随着一边长的增加可能变大可能变小，是二次函数的关系，应为抛物线，故不可以用该图表示．
综上，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
故选：A
【分析】根据题中给出的两个变量的增减性可以判断是否符合题意；也可以找出它们之间的函数关系式，看是否如图中是一次函数，前一个方法更简便。
8．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】根据题意，当x=-5或3，y=m
即对称轴是x=-1
代入（1，0）得a+b+2=0
解得
顶点纵坐标
当
函数的开口向下，对称轴为x=-1，顶点为（-1，），抛物线经过点（）和点（0，2）
如图
当，的图象，
∴当
y=k与二次函数的图象实线部分只有一个交点
当
y=k与二次函数的图象实线部分有个两交点。
综上，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，
则的取值范围是
故选：C
【分析】根据给定的x和y值，判定出对称轴是x=-1的直线，找到关系式，代入（1，0）得到联立的方程组，可求出函数解析式；根据解析式，可根据函数性质画出图象，找出关键点坐标，再结合图象找到直线与该二次函数图象有两个公共点时的k值范围。
9．【答案】x≠-2
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】 代数式有意义 ，则x+20
即
故填：
【分析】根据代数式有意义的条件，分式的分母不能为0，可以确定x的取值范围。
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，进而即可求解。
11．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
故答案为：x=1
【分析】根据题意直接解分式方程即可求解。
12．【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】由题意，代入（-4，2）到函数解析式
得-4k=2
解得k=
函数解析式为
代入（m，-2），
解得m=4
故填：4
【分析】根据给定的A点坐标，求出函数解析式；再代入点B的坐标，可求m值。
13．【答案】460
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：460
【分析】根据题意运用样本估计总体的知识即可求解。
14．【答案】±2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】根据题意，二次函数的判别式
解得
解得
故填：
【分析】根据二次函数判别式与根的关系，函数图象与x轴有一个交点，说明判别式为0，根据此等量关系求出b值。
15．【答案】1
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】根据题意，AD平分，且DEAB
三角形ACD底边AC上的高=DE=1(角平分线上的点到角两边的距离相等)
故填：1
【分析】从问题入手，要求三角形ACD的面积，底边AC是已知的，要找到它的高；题中没有直接给高，但给出角平分线，我们想到角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，得知高和DE相等，至此整理思路，面积可求。
16．【答案】①②③
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】
；
观察图形，根据已知条件，线段AC可以向上平移，至C点和D点重合，与E点构成直角三角形，
此时，c为斜边，AC即a+b为直角边，
故正确
；
在直角三角形BCD中，
根据已知全等的条件，DC=AB=a，BC=b
BD=
故正确
≌
在中，
即
即
故正确
综上， ①②③ 都正确
故填： ①②③
【分析】根据三角形的三边关系和勾股定理可判定 ①②正确；在③中，根据勾股定理找到等式，再结合完全平方公式，找到不等式关系 。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】掌握二次根式化简、负整数次幂等的运算；含有根式的加减混合运算，要先化简找到同类根式，然后合并同类根式。
18．【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
19．【答案】解：原式，
由可得，
将代入原式可得，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将原式化为，进而代入即可求解。
20．【答案】（1）解：二次函数的对称轴是直线，即直线
（2）解：二次函数的图象经过点，
，
，
此时二次函数的表达式为；
，
顶点坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】 (1) 对于二次函数的一般式，对称轴是，代入给定函数的系数进行计算即可； (2)代入A的坐标，可直接求得a值，写出函数解析式； 用配方法可以把二次函数的一般式改写成顶点式。
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】 (1) 先由已知条件证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等证明是矩形； (2) 由勾股定理求AC，先根据已知的AB用勾股定理求出一直角边AE，再根据已知的线段的数量关系求出另一直角边EC，由此可求出AC.
22．【答案】解：设为米，则为米，
解得：，
当时
不合题意，舍去
当时
．
答：米，米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意设未知数，分别表示出长方形场地的长和宽，根据面积列等式；再解一元二次方程，注意得到的根要看是否都符合题意，不符合题意的舍去。
23．【答案】（1）解：把点，代入得：，，
解得：，，
该函数的解析式为，
由题意知点的纵坐标为，
当时，
解得：，
；
（2）由知：当时，，
因为当时，函数的值大于函数的值且小于，
所以当过点时满足题意，
代入得：，
解得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】 (1)用待定系数法求一次函数的解析式，然后再根据题意4是图象上C点的纵坐标，代入求出C的横坐标；(2)在上一问的基础上，我们得知C点坐标（3，4），结合题意，y=x+1符合题中对y=kx+b的要求；函数经过C点，代入坐标即可求出n值。
24．【答案】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数，
∴，；
（2）甲组
（3）170；172
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】 （2）解：甲组身高的平均数为 ，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为 ，
乙组身高的方差为 ，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
（3）解：168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义结合题意即可求解；
（2）先分别计算出甲组和乙组的平均数，进而即可计算方差，再比较大小即可求解；
（3）先根据题意求出168，168，172的平均数，进而结合题意即可求解。
25．【答案】（1）解：为，
，
设二次函数表达式为，
把，，代入得，解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）如图，作轴分别交抛物线和于、两点，
坡高为，着陆坡的坡度即为：，
，即，
设线段的关系式为，则，解得：
所以线段的关系式为，
设，则，
则，
，
当时，的最大值为．
运动员到坡面竖直方向上的最大距离是米；
（3）50
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解： (3)根据题意，求P点坐标
解得（不符题意舍去）
将代入
得y=30
又C（0，60）
m
故填：50
【分析】 (1)已知图象上三点坐标，用待定系数法求二次函数的解析式；(2)在已知二次函数解析式的基础上，求出BC的解析式，设最大距离时的横坐标为a，分别计算出x=a时的抛物线和直线的y值（纵坐标），运动员到坡面竖直方向上的距离即为y值（纵坐标）之差 ，根据这个差值的解析式的性质，来找最大值；(3)根据两函数解析式求出交点P的坐标，再根据平面直角坐标系内两点间距离公式进行计算。
26．【答案】（1）解：，
（2）解：根据题意可知，当时，，
∵，
∴图象开口向下，满足，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为，
∴
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，图象开口向下，，，
∴解得，
∴．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）解：根据题意，当时，，
∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，且，
∴，
【分析】（1）利用轴对称的性质求解即可；
（2）设抛物线对称轴为，则点关于对称轴对称的点为，再根据题意可得，求出，即可得到。
27．【答案】（1）或；或；
（2）或
【知识点】定义新运算；三角形的综合；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】 解：(1) 根据题意， P1 (0，1) 的2倍关联点在y轴上，设坐标为（0，a）
故第一空填：（0，3）或（0，-1）
P1 (0，1) 的2倍关联点在x轴上，设坐标为（b，0）
故第二空填：或
P1 (0，1) 的k倍关联点Q在y=-2上，
P1到y=-2的最小距离是3，最大距离是5
设坐标为（x，-2）
Q点坐标为（0，-2）、（，-2），（4，-2）、（-，-2）
故第三空填：4
(2)P2 (1，1) 到原点的距离是
它的所有2倍关联点以P2为圆心，半径为的圆上，
根据M、N的坐标分析，M是x轴上一点，N在M的左上方45°方向上，且距离是，
如图：
当NM位于N1M1位置时，图中P点即题中P2
即
解得
当NM位于N2M2位置时，
即N2到y轴的距离是，N2
则M2的坐标
当NM位于N1M1位置至N2M2位置时，NM上有P的2倍关联点，
同理，
当NM位于N3M3位置时，
即
解得
当NM位于N4M4位置时，
即N4到y轴的距离是，N4
则M4的坐标
当NM位于N3M3位置至N4M4位置时，NM上有P的2倍关联点，
综上，
故答案为：或（原答案书写不够规范，还有上一问答案我存异，请审核回复一下，谢谢）
【分析】 (1) 根据题中对K倍关联点的定义进行计算即可；根据P1到Q的距离范围，求出可能的坐标，共4个，即有4个符合条件的关联点；(2)根据OP2的长度，找到2倍关联点的位置，再根据MN坐标解决问题。考核三角形综合，利用图形解决问题。
28．【答案】（1）解：①如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
证明：由旋转得，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
（2）解：，
证明：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，取中点，连接，，
由旋转得，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
延长到点，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】 (1) 按要求补全图形即可；从问题入手，证明线段所在三角形全等， 根据这一思路，由旋转性质得到证明全等的条件；(2) 用倍长中线法作辅助线，延长DM到G，使GM=DM，连接AG；因为DG=2DM，把问题转化为证明AE=DG上；根据证线段相等先证线段所在三角形全等的指导思想，利用正方形性质和旋转性质找到全等条件，整理思路即可。
1 / 1北京市海淀区师达中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023九上·海淀开学考）截至年月日时，全国冬小麦收获亿亩，进度过七成半，将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】根据科学记数法的定义，239000000=2.39108
故选：B
【分析】根据科学记数法来改写成的形式。
2．（2023九上·海淀开学考） 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A：图中等腰三角形是轴对称图形，可以沿底边上的高对折，两边图形可重合；
B：图中平行四边形不是轴对称图形，找不到一条直线沿着它对折使两边图形可重合；
C：图中正方形是轴对称图形，可以找到四条直线沿着它对折使两边图形可重合；
D：图中圆是轴对称图形，可以沿任一直径对折使两边图形可重合。
故选：B
【分析】根据轴对称图形的定义判定，找不到对称轴的就不是轴对称图形。
3．（2023·北京）如图，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，
∴2∠BOC+∠AOB+∠COD=180°，
∵，
∴∠BOC+∠AOB+∠COD=126°，
∴=54°，
故答案为：C
【分析】根据直角即可结合题意即可得到2∠BOC+∠AOB+∠COD=180°，进而根据题意即可求解。
4．（2023·北京）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴a＞1，-a＜-1，
∴，
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质结合题意即可求解。
5．（2023九上·海淀开学考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意
解得m=4
故选：A
【分析】根据根和判别式的关系，计算时的m值。
6．（2017八上·仲恺期中）十二边形的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．1800° D．无法计算
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（12﹣2） 180°=1800°．
故选C．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°列式计算即可得解．
7．（2023九上·海淀开学考） 下面的三个问题中都有两个变量：
汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】根据题意，图中两变量是一次函数关系：
汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程随着行驶时间的增加而减小，故可以用该图表示；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量随着放水时间的增加而减小，故可以用该图表示；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积随着一边长的增加可能变大可能变小，是二次函数的关系，应为抛物线，故不可以用该图表示．
综上，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
故选：A
【分析】根据题中给出的两个变量的增减性可以判断是否符合题意；也可以找出它们之间的函数关系式，看是否如图中是一次函数，前一个方法更简便。
8．（2023九上·海淀开学考） 如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】根据题意，当x=-5或3，y=m
即对称轴是x=-1
代入（1，0）得a+b+2=0
解得
顶点纵坐标
当
函数的开口向下，对称轴为x=-1，顶点为（-1，），抛物线经过点（）和点（0，2）
如图
当，的图象，
∴当
y=k与二次函数的图象实线部分只有一个交点
当
y=k与二次函数的图象实线部分有个两交点。
综上，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，
则的取值范围是
故选：C
【分析】根据给定的x和y值，判定出对称轴是x=-1的直线，找到关系式，代入（1，0）得到联立的方程组，可求出函数解析式；根据解析式，可根据函数性质画出图象，找出关键点坐标，再结合图象找到直线与该二次函数图象有两个公共点时的k值范围。
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9．（2023九上·海淀开学考） 若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】x≠-2
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】 代数式有意义 ，则x+20
即
故填：
【分析】根据代数式有意义的条件，分式的分母不能为0，可以确定x的取值范围。
10．（2023·北京）分解因式：= .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，进而即可求解。
11．（2023·北京）方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
故答案为：x=1
【分析】根据题意直接解分式方程即可求解。
12．（2023九上·海淀开学考） 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】由题意，代入（-4，2）到函数解析式
得-4k=2
解得k=
函数解析式为
代入（m，-2），
解得m=4
故填：4
【分析】根据给定的A点坐标，求出函数解析式；再代入点B的坐标，可求m值。
13．（2023·北京）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
【答案】460
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：460
【分析】根据题意运用样本估计总体的知识即可求解。
14．（2023九上·海淀开学考） 已知二次函数的图象与轴只有一个交点，则 ．
【答案】±2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】根据题意，二次函数的判别式
解得
解得
故填：
【分析】根据二次函数判别式与根的关系，函数图象与x轴有一个交点，说明判别式为0，根据此等量关系求出b值。
15．（2023九上·海淀开学考）如图，在中，平分，若，，则 ．
【答案】1
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】根据题意，AD平分，且DEAB
三角形ACD底边AC上的高=DE=1(角平分线上的点到角两边的距离相等)
故填：1
【分析】从问题入手，要求三角形ACD的面积，底边AC是已知的，要找到它的高；题中没有直接给高，但给出角平分线，我们想到角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，得知高和DE相等，至此整理思路，面积可求。
16．（2023九上·海淀开学考）如图，点、、在同一条线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，≌，连接，设，，，下面三个结论：；；；正确的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】
；
观察图形，根据已知条件，线段AC可以向上平移，至C点和D点重合，与E点构成直角三角形，
此时，c为斜边，AC即a+b为直角边，
故正确
；
在直角三角形BCD中，
根据已知全等的条件，DC=AB=a，BC=b
BD=
故正确
≌
在中，
即
即
故正确
综上， ①②③ 都正确
故填： ①②③
【分析】根据三角形的三边关系和勾股定理可判定 ①②正确；在③中，根据勾股定理找到等式，再结合完全平方公式，找到不等式关系 。
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·海淀开学考）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】掌握二次根式化简、负整数次幂等的运算；含有根式的加减混合运算，要先化简找到同类根式，然后合并同类根式。
18．（2023·北京）解不等式组：．
【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
19．（2023·北京）已知，求代数式的值．
【答案】解：原式，
由可得，
将代入原式可得，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将原式化为，进而代入即可求解。
20．（2023九上·海淀开学考）二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当时，
求此时二次函数的表达式；
把化为的形式，并写出顶点坐标．
【答案】（1）解：二次函数的对称轴是直线，即直线
（2）解：二次函数的图象经过点，
，
，
此时二次函数的表达式为；
，
顶点坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】 (1) 对于二次函数的一般式，对称轴是，代入给定函数的系数进行计算即可； (2)代入A的坐标，可直接求得a值，写出函数解析式； 用配方法可以把二次函数的一般式改写成顶点式。
21．（2023九上·海淀开学考）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若且，已知，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】 (1) 先由已知条件证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等证明是矩形； (2) 由勾股定理求AC，先根据已知的AB用勾股定理求出一直角边AE，再根据已知的线段的数量关系求出另一直角边EC，由此可求出AC.
22．（2023九上·海淀开学考）如图，利用长米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出个小长方形，总共用去篱笆米，为了使这个长方形的的面积为平方米，求、边各为多少米．
【答案】解：设为米，则为米，
解得：，
当时
不合题意，舍去
当时
．
答：米，米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意设未知数，分别表示出长方形场地的长和宽，根据面积列等式；再解一元二次方程，注意得到的根要看是否都符合题意，不符合题意的舍去。
23．（2023九上·海淀开学考）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．
（1）求该函数的解析式及点的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的值．
【答案】（1）解：把点，代入得：，，
解得：，，
该函数的解析式为，
由题意知点的纵坐标为，
当时，
解得：，
；
（2）由知：当时，，
因为当时，函数的值大于函数的值且小于，
所以当过点时满足题意，
代入得：，
解得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】 (1)用待定系数法求一次函数的解析式，然后再根据题意4是图象上C点的纵坐标，代入求出C的横坐标；(2)在上一问的基础上，我们得知C点坐标（3，4），结合题意，y=x+1符合题中对y=kx+b的要求；函数经过C点，代入坐标即可求出n值。
24．（2023·北京）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 （填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
【答案】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数，
∴，；
（2）甲组
（3）170；172
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】 （2）解：甲组身高的平均数为 ，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为 ，
乙组身高的方差为 ，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
（3）解：168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 ，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【分析】（1）根据中位数、众数的定义结合题意即可求解；
（2）先分别计算出甲组和乙组的平均数，进而即可计算方差，再比较大小即可求解；
（3）先根据题意求出168，168，172的平均数，进而结合题意即可求解。
25．（2023九上·海淀开学考）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡上的点处．腾空点到地面的距离为，坡高为，着陆坡的坡度即为：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点，．
（1）求这段抛物线表示的二次函数表达式；
（2）在空中飞行过程中，求运动员到坡面竖直方向上的最大距离；
（3）落点与坡顶之间的距离为
【答案】（1）解：为，
，
设二次函数表达式为，
把，，代入得，解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）如图，作轴分别交抛物线和于、两点，
坡高为，着陆坡的坡度即为：，
，即，
设线段的关系式为，则，解得：
所以线段的关系式为，
设，则，
则，
，
当时，的最大值为．
运动员到坡面竖直方向上的最大距离是米；
（3）50
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解： (3)根据题意，求P点坐标
解得（不符题意舍去）
将代入
得y=30
又C（0，60）
m
故填：50
【分析】 (1)已知图象上三点坐标，用待定系数法求二次函数的解析式；(2)在已知二次函数解析式的基础上，求出BC的解析式，设最大距离时的横坐标为a，分别计算出x=a时的抛物线和直线的y值（纵坐标），运动员到坡面竖直方向上的距离即为y值（纵坐标）之差 ，根据这个差值的解析式的性质，来找最大值；(3)根据两函数解析式求出交点P的坐标，再根据平面直角坐标系内两点间距离公式进行计算。
26．（2022九上·门头沟期末）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．
（1）当时，如果，直接写出，的值；
（2）当，时，总有，求t的取值范围．
【答案】（1）解：，
（2）解：根据题意可知，当时，，
∵，
∴图象开口向下，满足，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为，
∴
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，图象开口向下，，，
∴解得，
∴．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）解：根据题意，当时，，
∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，且，
∴，
【分析】（1）利用轴对称的性质求解即可；
（2）设抛物线对称轴为，则点关于对称轴对称的点为，再根据题意可得，求出，即可得到。
27．（2023九上·海淀开学考）在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍为正整数，那么称点为点的倍关联点．
（1）当点的坐标为时，
①如果点的倍关联点在轴上，那么点的坐标是 ；如果点的倍关联点在轴上，那么点的坐标是 ；
②如果点是点的倍关联点，且，，则满足条件的点有 个；
（2）如果点的坐标为，，，若在线段上存在的倍关联点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）或；或；
（2）或
【知识点】定义新运算；三角形的综合；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】 解：(1) 根据题意， P1 (0，1) 的2倍关联点在y轴上，设坐标为（0，a）
故第一空填：（0，3）或（0，-1）
P1 (0，1) 的2倍关联点在x轴上，设坐标为（b，0）
故第二空填：或
P1 (0，1) 的k倍关联点Q在y=-2上，
P1到y=-2的最小距离是3，最大距离是5
设坐标为（x，-2）
Q点坐标为（0，-2）、（，-2），（4，-2）、（-，-2）
故第三空填：4
(2)P2 (1，1) 到原点的距离是
它的所有2倍关联点以P2为圆心，半径为的圆上，
根据M、N的坐标分析，M是x轴上一点，N在M的左上方45°方向上，且距离是，
如图：
当NM位于N1M1位置时，图中P点即题中P2
即
解得
当NM位于N2M2位置时，
即N2到y轴的距离是，N2
则M2的坐标
当NM位于N1M1位置至N2M2位置时，NM上有P的2倍关联点，
同理，
当NM位于N3M3位置时，
即
解得
当NM位于N4M4位置时，
即N4到y轴的距离是，N4
则M4的坐标
当NM位于N3M3位置至N4M4位置时，NM上有P的2倍关联点，
综上，
故答案为：或（原答案书写不够规范，还有上一问答案我存异，请审核回复一下，谢谢）
【分析】 (1) 根据题中对K倍关联点的定义进行计算即可；根据P1到Q的距离范围，求出可能的坐标，共4个，即有4个符合条件的关联点；(2)根据OP2的长度，找到2倍关联点的位置，再根据MN坐标解决问题。考核三角形综合，利用图形解决问题。
28．（2023九上·海淀开学考）已知正方形和一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图，当点在正方形内部时：
依题意补全图；
求证：；
（2）如图，当点在正方形外部时，连接，取中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：①如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
证明：由旋转得，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
（2）解：，
证明：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，取中点，连接，，
由旋转得，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
延长到点，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】 (1) 按要求补全图形即可；从问题入手，证明线段所在三角形全等， 根据这一思路，由旋转性质得到证明全等的条件；(2) 用倍长中线法作辅助线，延长DM到G，使GM=DM，连接AG；因为DG=2DM，把问题转化为证明AE=DG上；根据证线段相等先证线段所在三角形全等的指导思想，利用正方形性质和旋转性质找到全等条件，整理思路即可。
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