人教版九年级上册期中复习知识串讲+题型训练（解析版）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级上册期中复习知识串讲+题型训练（解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-29 19:28:15 | ||
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文档简介
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期中复习知识串讲+题型训练
一元二次方程
一元二次方程考点归纳
（一）考点1.一元二次方程及有关概念
1.一元二次方程
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692895" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，即等号两边都是整式 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F / 5961855" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )。方程中如果有分母 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E6%AF%8D / 5421449" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692700" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
2.一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax +bx+c=0（a≠0），其中ax 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax +bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。
3.一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
考点2.解一元二次方程
1）直接开方
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
方法是根据平方根的意义开平方
2）.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
3）.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
4）.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
考点3.一元二次方程的判别式
(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根．反之亦成立
考点4、一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
考点5、一元二次方程应用
1）.变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ．可列方程为 =b。
2）.传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
3）. 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
4）.销售利润问题 ：
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
5）.几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
6）.动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
（二）考点整合训练
考点一、一元二次方程有关概念
若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．4
3 .将方程2x2﹣1＝3x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，1，3 B．2，﹣1，3 C．2，﹣3，﹣1 D．2，﹣3，1
4 .若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2021﹣m2+5m的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
考点二、一元二次方程的解法
5 . 4（1﹣x）2﹣9＝0．
6 .下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：二次项系数化为1，得，第一步
移项，得，第二步
配方，得，第三步
变形，得，第四步
开方，得，第五步
解得，，第六步
(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
7 .如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
8 .若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
考点三、一元二次方程根的判别式
9 .关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10 .关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
11 .已知关于的方程
(1)当取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
考点四、一元二次方程根与系数的关系
12 .若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为a，b，则的值为（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7
13 .关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果，是方程的两个解，令，求的最大值．
考点五、一元二次方程应用题
14 .广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A．1+x+x2＝25 B．x+x2＝25
C．（1+x）2＝25 D．x+x（1+x）＝25
15 .如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625
C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣x）＝625
15 .电影《流浪地球2》讲述了太阳即将毁灭，人类在地球表面建造出巨大的推进器，以便寻找新的家园．然而宇宙之路危机四伏，为了拯救地球，流浪地球时代的年轻人再次挺身而出，展开争分夺秒的生死之战的故事．2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率．
16 .百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）现在每件童装降价5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？
（2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
17 .用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
18 .我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月游客人数的月平均增长率；
（2）若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？
二次函数
二次函数考点归纳
考点一、二次函数的概念
二次函数的概念:
一般地，形如y=ax +bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
考点二、二次函数图像常见类型的性质
（1）y=ax 的图像的性质
小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax 来说， 越大，抛物线的开口越小
（2） y=ax +c的图像的性质
（3）二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
（4）二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
图象形状 抛物线形状
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
考点三、二次函数图像的变换（平移）
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h) +k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax 平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
考点四、用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：
考点五、抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
考点六、二次函数与一元二次方程的关系
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
知识要点
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根考点七、二次函数的实际应用
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
知识要点
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
（二、）考点整合训练
考点1 二次函数的定义
1.若y＝（3﹣m）是二次函数，则m的值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．9
考点2 二次函数图像和性质
若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2
3 .抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
4 ..对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x≥﹣1时，y随x增大而减小
考点3 二次函数图像的变换
5 .将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
考点4 用待定系数法求二次函数的解析式：
二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣2）2+4
考点5 抛物线中，的作用：
7 .如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点6 二次函数与一元二次方程的关系
8.已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
考点7 二次函数的实际应用
9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x） B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x） D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
10 .飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 m．
11 .如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．
考点8 二次函数的综合题
12.如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方的抛物线上一动点，不与点，重合，过点 作 轴的垂线交 于点，求面积的最大值及此时点坐标；
旋转
（一）旋转知识点归纳
考点1 旋转的性质及应用
旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等．
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
考点2 中心对称及中心对称图形
中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形是全等形．
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．
中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称与中心对称图形区别与联系：
（1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．
（2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
中心对称与轴对称的区别与联系：
（1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
（2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
（二）考点整合训练
考点1 旋转的性质及应用
1.如图，BA＝BC，∠ABC＝70°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
2 .如图，在△ABC中，BA＝BC，D为△ABC内一点，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，延长AE，CD交于点F，若∠ABC＝70°，则∠AFC的度数为 70° ．
3.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：
①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点2 中心对称及中心对称图形
4 .如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B的坐标分别是A(3,2) 、B(1,3).
(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90 °后得到△A1OB1，画出旋转后的图形；
（2）画出△AOB关于原点O对称的图形△A2OB2，并写出点A2, B2的坐标.
5.已知：是的角平分线，点E，F分别在上，且，．
如图1，求证：四边形是平行四边形；
如图2，若为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．
6 .如图，D是等边三角形ABC内一点，∠ADB＝90°，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，延长BD交CE于点G，连接ED并延长交BC于点F．则下列结论：①△ADE是等边三角形；②四边形ADGE是轴对称图形；③AC，EF互相平分；④BF＝CF．其中正确的有 ①②④ ．（填序号）
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一元二次方程
一元二次方程考点归纳
（一）考点1.一元二次方程及有关概念
1.一元二次方程
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692895" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，即等号两边都是整式 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F / 5961855" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )。方程中如果有分母 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E6%AF%8D / 5421449" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692700" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
2.一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax +bx+c=0（a≠0），其中ax 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax +bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。
3.一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
考点2.解一元二次方程
1）直接开方
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
方法是根据平方根的意义开平方
2）.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
3）.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
4）.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
考点3.一元二次方程的判别式
(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根．反之亦成立
考点4、一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
考点5、一元二次方程应用
1）.变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ．可列方程为 =b。
2）.传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
3）. 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
4）.销售利润问题 ：
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
5）.几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
6）.动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
（二）考点整合训练
考点一、一元二次方程有关概念
1.已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：由关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，得
|k|﹣1＝2且k﹣3≠0．
解得k＝﹣3．
故选：C．
若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义得出，即得出．再将代数式变为，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
3 .将方程2x2﹣1＝3x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，1，3 B．2，﹣1，3 C．2，﹣3，﹣1 D．2，﹣3，1
【答案】C
【解答】解：由方程2x2﹣1＝3x可得：
2x2﹣3x﹣1＝0，则有a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1；
故选：C．
4 .若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2021﹣m2+5m的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】C
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，
∴m2﹣5m﹣2＝0，
∴m2﹣5m＝2，
∴2021﹣m2+5m＝2021﹣（m2﹣5m）＝2021﹣2＝2019；
故选：C．
考点二、一元二次方程的解法
5 . 4（1﹣x）2﹣9＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程变形得：（1﹣x）2＝，
开方得：1﹣x＝±，
解得：x1＝﹣，x2＝．
6 .下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：二次项系数化为1，得，第一步
移项，得，第二步
配方，得，第三步
变形，得，第四步
开方，得，第五步
解得，，第六步
(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
【答案】(1)转化思想，完全平方公式
(2)三，解答过程见详解
【分析】（1）根据解答过程判断依据即可；
（2）根据配方法判断即可．
【详解】（1）解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；
（2）解题过程，从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下：
解：
，
，
，
，
，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键．
7 .如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
【答案】A
【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，
故选：A．
8 .若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
【答案】C
【分析】先设，则方程即可变形为，解方程即可求得即的值．
【详解】解：设，则原方程可化为：，
即，
解得：或，
∴或，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
考点三、一元二次方程根的判别式
9 .关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
10 .关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】A
【分析】讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到a的取值范围．
【详解】解：当时，方程化为，
解得，
当时，，
解得，
综上所述，a的取值范围为．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
11 .已知关于的方程
(1)当取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）先根据方程只有一个根可知此方程是一元一次方程，故可得出的值；
（2）根据方程有两个相等的实数根可知，由此即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：当时，得：，
此时，
则方程为一元一次方程，它的根是，此时方程只有一个根，
∴当时，方程只有一个根；
（2）∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
∴的取值范围是且．
【点评】本题考查一元一次方程，一元二次方程的定义及根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
考点四、一元二次方程根与系数的关系
12 .若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为a，b，则的值为（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7
【答案】D
【解答】解：
＝
＝，
∵方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为a，b，
∴a+b＝3，ab＝1，
∴＝＝7，
故选：D．
13 .关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果，是方程的两个解，令，求的最大值．
【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1＋x2＝4，x1 x2＝k＋2，结合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增减性可求w的最大值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
的取值范围为．
（2）解：，是关于的一元二次方程的两个解，
，，
，
时，的最大值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合w＝x1x22＋x12x2＋k，根据增减性可求w的最大值．
考点五、一元二次方程应用题
14 .广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A．1+x+x2＝25 B．x+x2＝25
C．（1+x）2＝25 D．x+x（1+x）＝25
【答案】C
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝25，
即（1+x）2＝25，
故选：C．
15 .如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625
C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣x）＝625
【答案】A
【解答】解：∵剪去小正方形的边长为xcm，
∴该无盖纸盒的底面长为（45﹣2x）cm，宽为（25﹣2x）cm，
依题意得：（45﹣2x）（25﹣2x）＝625．
故选：A．
15 .电影《流浪地球2》讲述了太阳即将毁灭，人类在地球表面建造出巨大的推进器，以便寻找新的家园．然而宇宙之路危机四伏，为了拯救地球，流浪地球时代的年轻人再次挺身而出，展开争分夺秒的生死之战的故事．2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率．
【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则降价后的价格为（x﹣20）元，根据数量＝总价÷单价结合按原定票价需花费3000元购买的门票张数现在只花费了1800元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设原定票价平均每次的降价率为y，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．．
【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则降价后的价格为（x﹣20）元，
依题意，得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
答：每张门票的原定票价为50元．
（2）设原定票价平均每次的降价率为y，
依题意，得：50（1﹣y）2＝32，
解得：y1＝0.2＝20%，y2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：原定票价平均每次的降价率为20%．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
16 .百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）现在每件童装降价5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？
（2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【分析】（1）根据每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，得出每件童装降价5元，每天可售出20+5×2＝30件，再根据每件盈利40元，即可得出每天的盈利；
（2）设每件应降价x元，每天可以多销售的数量为2x件，每件的利润为（40﹣x），由总利润＝每件的利润×数量建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）∵每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，
∴每件童装降价5元，每天可售出20+5×2＝30件；
∴每天可盈利：（40﹣5）×30＝1050（元）；
（2）设每件应降价x元，由题意，得
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
则每件童装应降价10元或20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
17 .用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
【答案】C
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为1m可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m，由题意得x（12﹣2x+1）＝20，
故选：C．
18 .我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月游客人数的月平均增长率；
（2）若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？
【答案】（1）这两个月游客人数的月平均增长率为10%；
（2）按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人．
【解答】解：（1）设这两个月游客人数的月平均增长率为x，依题意，得：
10（1+x）2＝12.1，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1．
答：这两个月游客人数的月平均增长率为10%；
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．
答：按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人．
二次函数
二次函数考点归纳
考点一、二次函数的概念
二次函数的概念:
一般地，形如y=ax +bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
考点二、二次函数图像常见类型的性质
（1）y=ax 的图像的性质
小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax 来说， 越大，抛物线的开口越小
（2） y=ax +c的图像的性质
（3）二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
（4）二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
图象形状 抛物线形状
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
考点三、二次函数图像的变换（平移）
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h) +k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax 平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
考点四、用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：
考点五、抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
考点六、二次函数与一元二次方程的关系
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
知识要点
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根考点七、二次函数的实际应用
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
知识要点
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
（二、）考点整合训练
考点1 二次函数的定义
1.若y＝（3﹣m）是二次函数，则m的值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．9
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解答】解：由题意，得
m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，
解得m＝﹣3，
故选：C．
考点2 二次函数图像和性质
若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2
【分析】根据题意，设二次函数y＝ax2﹣bx+2的顶点坐标为（m，6），且易知其图象开口向下，通过平移y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴设二次函数y＝ax2﹣bx+2的顶点坐标为（m，6），
平移可知y＝a（x+1）2﹣b（x+1）+2的顶点坐标为（m﹣1，6），
根据关于x轴对称可知，y＝﹣a（x+1）2+bx+b﹣2的顶点坐标为（m﹣1，﹣6），且开口向上，
再向上平移4个单位得到y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2，
此时顶点坐标为（m﹣1，﹣2），最小值为﹣2，
故答案为：B．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键．
3 .抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【答案】A
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+1是顶点时，
∴顶点坐标是（1，1）．故选：A．
4 ..对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x≥﹣1时，y随x增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2+2，
∴该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，
对称轴是直线x＝﹣1，故选项B中的说法错误；
顶点坐标为（﹣1，2），故选项C中的说法正确；
当x≥﹣1时，y随x增大而增大，故选项D中的说法错误；
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
考点3 二次函数图像的变换
5 .将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
【答案】B
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，
故选：B．
考点4 用待定系数法求二次函数的解析式：
二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣2）2+4
【答案】B
【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式．
【解答】解：y＝x2﹣2x+4配方，得
y＝（x﹣1）2+3，
故选：B．
考点5 抛物线中，的作用：
7 .如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x＝1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．
【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；
③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
考点6 二次函数与一元二次方程的关系
8.已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
【答案】B
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求当y＜0，x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x的取值范围．
【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，
且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．
故选：B．
考点7 二次函数的实际应用
9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x） B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x） D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
网版【答案】B
【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），
故选：B．
10 .飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 m．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离．
【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）
故答案为：24．
11 .如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间
【解答】解：
依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s
故答案为4．
考点8 二次函数的综合题
12.如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方的抛物线上一动点，不与点，重合，过点 作 轴的垂线交 于点，求面积的最大值及此时点坐标；
【答案】（1）y＝x2＋2x－6；（2）S△ACP有最大值，点P的坐标是（－3，－）；
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入即可求出解析式；
（2）先求出点C（0，－6），设点P（m，m2＋2m－6），设直线AC的解析式是y＝kx＋b，解得直线AC的解析式是y＝－x－6，得到E（m，－m－6），PE＝－m2－3m，利用S△ACP＝S△AEP＋S△CEP，即可得到答案；
【详解】
（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入得a（－6＋2）2－8＝0，解得a＝，
∴y＝（x＋2）2－8＝x2＋2x－6；
（2）解：当x＝0时，y＝－6，∴C（0，－6），
设点P（m，m2＋2m－6），
设直线AC的解析式是y＝kx＋b，
把A（－6，0），C（0，－6）代入得
，解得
∴直线AC的解析式是y＝－x－6，
∵PE⊥x轴交AC于E，
∴E（m，－m－6），
∴PE＝－m－6－（m2＋2m－6）＝－m2－3m（－6＜m＜0），
∵S△ACP＝S△AEP＋S△CEP＝=,
∴当m＝－3时，S△ACP有最大值，最大值为，
此时点P的坐标是（－3，－）；
【点评】
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数与几何图形面积问题，勾股定理，直角三角形与函数图象的结合问题，正确理解题意根据题意画出图形解答是关键.
旋转
（一）旋转知识点归纳
考点1 旋转的性质及应用
旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等．
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
考点2 中心对称及中心对称图形
中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形是全等形．
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．
中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称与中心对称图形区别与联系：
（1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．
（2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
中心对称与轴对称的区别与联系：
（1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
（2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
（二）考点整合训练
考点1 旋转的性质及应用
1.如图，BA＝BC，∠ABC＝70°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】先根据旋转的性质得到BD＝BE，∠EBD＝∠ABC＝70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BED的度数．
【解答】解：∵△BDC绕点B逆时针旋转得到△BEA，∴BD＝BE，∠EBD＝∠ABC＝70°，
∴∠BED＝∠BDE，∴∠BED＝（180°﹣70°）＝55°．故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
2 .如图，在△ABC中，BA＝BC，D为△ABC内一点，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，延长AE，CD交于点F，若∠ABC＝70°，则∠AFC的度数为 70° ．
【分析】由旋转的性质得出∠BCD＝∠BAE，由三角形内角和定理可得出答案．
【解答】解：CF和AB交于点M，
∵将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，
∴∠BCD＝∠BAE，
又∵∠AMF＝∠AFC，
∴∠ABC＝∠AFC＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
3.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：
①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由“ASA”可证△OCM≌△OBN，△DCM≌△CBN，可得CM＝BN，∠CDM＝∠BCN，由余角的性质可判断②，由点O，点M，点B，点N四点共圆可判断①，由“SAS”可证△DCM≌△CNB，由勾股定理可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，BO＝CO，AC⊥BD，∠ACB＝∠ABD＝45°，
∵将∠COB绕点O顺时针旋转，
∴∠COM＝∠BON，且BO＝CO，∠ACB＝∠ABD，
∴△OCM≌△OBN（ASA），
∴CM＝BN，
又∵CD＝BC，∠DCM＝∠CBN＝90°，
∴△DCM≌△CBN（SAS），
∴∠CDM＝∠BCN，
∵∠CDM+∠CMD＝90°，
∴∠BCN+∠CMD＝90°，
∴CN⊥DM，
故②正确
∵∠MON＝∠ABC＝90°
∴点O，点M，点B，点N四点共圆
∴∠BON＝∠BMN＝∠COM＞∠BCN＝∠CDM
故①错误
∵CM＝BN，CD＝BC，∠ABC＝∠DCB＝90°
∴△DCM≌△CNB（SAS）
故③正确
∵AB＝BC，BN＝CM
∴AN＝BM
∵BN2+BM2＝MN2，
∴AN2+CM2＝MN2；
故④正确
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
考点2 中心对称及中心对称图形
4 .如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B的坐标分别是A(3,2) 、B(1,3).
(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90 °后得到△A1OB1，画出旋转后的图形；
（2）画出△AOB关于原点O对称的图形△A2OB2，并写出点A2, B2的坐标.
【答案】见解析。
【解析】 (1)因为旋转角90 °，故用直角三角板及圆规可快速确定对应点的位置；
（2）先根据关于原点对称的点的坐标确定对称顶点的坐标，再依次连结得到所要画的图形.
解：(1)如图所示；
如图所示，点A2的坐标为(-3，-2),B2的坐标为(-1，-3）
5.已知：是的角平分线，点E，F分别在上，且，．
如图1，求证：四边形是平行四边形；
如图2，若为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．
【答案】(1)证明见分析(2)等边，等边，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形
【分析】
（1）由角平分线可知，由平行可知，可得，，进而结论得证；
（2）由题意可得四边形是菱形，是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．
(1)证明：∵是的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形．
(2)解：由（1）知四边形是平行四边形
∴
∵是等边三角形
∴
∴
∴四边形是菱形
∴
∴是等边三角形的中点
∴
∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边，等边 ，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形．
【点拨】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6 .如图，D是等边三角形ABC内一点，∠ADB＝90°，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，延长BD交CE于点G，连接ED并延长交BC于点F．则下列结论：①△ADE是等边三角形；②四边形ADGE是轴对称图形；③AC，EF互相平分；④BF＝CF．其中正确的有 ①②④ ．（填序号）
【分析】根据旋转的性质得到AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，得证∠DAE＝60°，判断结论①正确；连接AG，利用HL判断结论②；连接AF，证明四边形AFCE一定不是平行四边形；利用四点共圆，证明∠AFB＝90°，根据三线合一，得BF＝CF．
【解答】解：∵△ABD绕点A旋转得到△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
故结论①正确；
如图，连接AG，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，
∵∠ADG＝∠AEG＝90°，AG＝AG，
∴Rt△ADG≌Rt△AEG（HL），
∴GD＝GE，∠DAG＝∠EAG，
∵△ADE是等边三角形，
∴直线AG垂直平分DE，
∴四边形ADGE是一个轴对称图形，
故结论②正确；
连接AF，
∵∠DAC+∠EAC＝60°＝∠ACB，
∴∠EAC≠∠ACB，
∴AE与FC一定不平行，
∴四边形AFCE一定不是平行四边形，
∴AC，EF一定不互相平分，
故结论③错误；
∵△ADE是等边三角形，∠ADG＝90°，
∴∠EDG＝∠BDF＝30°，
∴∠ADF＝120°，
∴∠ADF+∠ABC＝180°，
∴A，B，F，D四点共圆，
∴∠ADG＝∠AFB＝90°，
根据三线合一，得BF＝CF，
故结论④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，四点共圆，等腰三角形的三线合一，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
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一元二次方程
一元二次方程考点归纳
（一）考点1.一元二次方程及有关概念
1.一元二次方程
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692895" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，即等号两边都是整式 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F / 5961855" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )。方程中如果有分母 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E6%AF%8D / 5421449" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692700" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
2.一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax +bx+c=0（a≠0），其中ax 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax +bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。
3.一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
考点2.解一元二次方程
1）直接开方
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
方法是根据平方根的意义开平方
2）.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
3）.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
4）.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
考点3.一元二次方程的判别式
(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根．反之亦成立
考点4、一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
考点5、一元二次方程应用
1）.变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ．可列方程为 =b。
2）.传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
3）. 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
4）.销售利润问题 ：
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
5）.几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
6）.动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
（二）考点整合训练
考点一、一元二次方程有关概念
若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．4
3 .将方程2x2﹣1＝3x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，1，3 B．2，﹣1，3 C．2，﹣3，﹣1 D．2，﹣3，1
4 .若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2021﹣m2+5m的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
考点二、一元二次方程的解法
5 . 4（1﹣x）2﹣9＝0．
6 .下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：二次项系数化为1，得，第一步
移项，得，第二步
配方，得，第三步
变形，得，第四步
开方，得，第五步
解得，，第六步
(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
7 .如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
8 .若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
考点三、一元二次方程根的判别式
9 .关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10 .关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
11 .已知关于的方程
(1)当取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
考点四、一元二次方程根与系数的关系
12 .若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为a，b，则的值为（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7
13 .关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果，是方程的两个解，令，求的最大值．
考点五、一元二次方程应用题
14 .广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A．1+x+x2＝25 B．x+x2＝25
C．（1+x）2＝25 D．x+x（1+x）＝25
15 .如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625
C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣x）＝625
15 .电影《流浪地球2》讲述了太阳即将毁灭，人类在地球表面建造出巨大的推进器，以便寻找新的家园．然而宇宙之路危机四伏，为了拯救地球，流浪地球时代的年轻人再次挺身而出，展开争分夺秒的生死之战的故事．2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率．
16 .百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）现在每件童装降价5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？
（2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
17 .用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
18 .我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月游客人数的月平均增长率；
（2）若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？
二次函数
二次函数考点归纳
考点一、二次函数的概念
二次函数的概念:
一般地，形如y=ax +bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
考点二、二次函数图像常见类型的性质
（1）y=ax 的图像的性质
小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax 来说， 越大，抛物线的开口越小
（2） y=ax +c的图像的性质
（3）二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
（4）二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
图象形状 抛物线形状
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
考点三、二次函数图像的变换（平移）
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h) +k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax 平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
考点四、用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：
考点五、抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
考点六、二次函数与一元二次方程的关系
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
知识要点
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根考点七、二次函数的实际应用
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
知识要点
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
（二、）考点整合训练
考点1 二次函数的定义
1.若y＝（3﹣m）是二次函数，则m的值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．9
考点2 二次函数图像和性质
若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2
3 .抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
4 ..对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x≥﹣1时，y随x增大而减小
考点3 二次函数图像的变换
5 .将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
考点4 用待定系数法求二次函数的解析式：
二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣2）2+4
考点5 抛物线中，的作用：
7 .如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点6 二次函数与一元二次方程的关系
8.已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
考点7 二次函数的实际应用
9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x） B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x） D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
10 .飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 m．
11 .如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．
考点8 二次函数的综合题
12.如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方的抛物线上一动点，不与点，重合，过点 作 轴的垂线交 于点，求面积的最大值及此时点坐标；
旋转
（一）旋转知识点归纳
考点1 旋转的性质及应用
旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等．
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
考点2 中心对称及中心对称图形
中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形是全等形．
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．
中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称与中心对称图形区别与联系：
（1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．
（2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
中心对称与轴对称的区别与联系：
（1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
（2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
（二）考点整合训练
考点1 旋转的性质及应用
1.如图，BA＝BC，∠ABC＝70°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
2 .如图，在△ABC中，BA＝BC，D为△ABC内一点，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，延长AE，CD交于点F，若∠ABC＝70°，则∠AFC的度数为 70° ．
3.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：
①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点2 中心对称及中心对称图形
4 .如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B的坐标分别是A(3,2) 、B(1,3).
(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90 °后得到△A1OB1，画出旋转后的图形；
（2）画出△AOB关于原点O对称的图形△A2OB2，并写出点A2, B2的坐标.
5.已知：是的角平分线，点E，F分别在上，且，．
如图1，求证：四边形是平行四边形；
如图2，若为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．
6 .如图，D是等边三角形ABC内一点，∠ADB＝90°，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，延长BD交CE于点G，连接ED并延长交BC于点F．则下列结论：①△ADE是等边三角形；②四边形ADGE是轴对称图形；③AC，EF互相平分；④BF＝CF．其中正确的有 ①②④ ．（填序号）
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一元二次方程
一元二次方程考点归纳
（一）考点1.一元二次方程及有关概念
1.一元二次方程
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692895" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，即等号两边都是整式 ( https: / / baike. / item / %E6%95%B4%E5%BC%8F / 5961855" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )。方程中如果有分母 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E6%AF%8D / 5421449" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程 ( https: / / baike. / item / %E5%88%86%E5%BC%8F%E6%96%B9%E7%A8%8B / 5692700" \t "https: / / baike. / item / %E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B / _blank )，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
2.一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax +bx+c=0（a≠0），其中ax 叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax +bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。
3.一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
考点2.解一元二次方程
1）直接开方
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
方法是根据平方根的意义开平方
2）.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
3）.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
4）.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
考点3.一元二次方程的判别式
(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根．反之亦成立
考点4、一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
考点5、一元二次方程应用
1）.变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ．可列方程为 =b。
2）.传染、分裂问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
3）. 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
4）.销售利润问题 ：
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买y件。若涨价y元，则少买的数量为
5）.几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
6）.动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
（二）考点整合训练
考点一、一元二次方程有关概念
1.已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：由关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，得
|k|﹣1＝2且k﹣3≠0．
解得k＝﹣3．
故选：C．
若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义得出，即得出．再将代数式变为，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．
3 .将方程2x2﹣1＝3x化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，1，3 B．2，﹣1，3 C．2，﹣3，﹣1 D．2，﹣3，1
【答案】C
【解答】解：由方程2x2﹣1＝3x可得：
2x2﹣3x﹣1＝0，则有a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1；
故选：C．
4 .若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2021﹣m2+5m的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】C
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，
∴m2﹣5m﹣2＝0，
∴m2﹣5m＝2，
∴2021﹣m2+5m＝2021﹣（m2﹣5m）＝2021﹣2＝2019；
故选：C．
考点二、一元二次方程的解法
5 . 4（1﹣x）2﹣9＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程变形得：（1﹣x）2＝，
开方得：1﹣x＝±，
解得：x1＝﹣，x2＝．
6 .下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
．
解：二次项系数化为1，得，第一步
移项，得，第二步
配方，得，第三步
变形，得，第四步
开方，得，第五步
解得，，第六步
(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；
(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
【答案】(1)转化思想，完全平方公式
(2)三，解答过程见详解
【分析】（1）根据解答过程判断依据即可；
（2）根据配方法判断即可．
【详解】（1）解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式；
（2）解题过程，从第三步开始出现错误，正确的解答过程如下：
解：
，
，
，
，
，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常见解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，结合方程的特点选择合适的解法是解题的关键．
7 .如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
【答案】A
【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，
故选：A．
8 .若，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
【答案】C
【分析】先设，则方程即可变形为，解方程即可求得即的值．
【详解】解：设，则原方程可化为：，
即，
解得：或，
∴或，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
考点三、一元二次方程根的判别式
9 .关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
10 .关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】A
【分析】讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到a的取值范围．
【详解】解：当时，方程化为，
解得，
当时，，
解得，
综上所述，a的取值范围为．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
11 .已知关于的方程
(1)当取什么值时，方程只有一个根？
(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）先根据方程只有一个根可知此方程是一元一次方程，故可得出的值；
（2）根据方程有两个相等的实数根可知，由此即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：当时，得：，
此时，
则方程为一元一次方程，它的根是，此时方程只有一个根，
∴当时，方程只有一个根；
（2）∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
∴的取值范围是且．
【点评】本题考查一元一次方程，一元二次方程的定义及根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
考点四、一元二次方程根与系数的关系
12 .若方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为a，b，则的值为（ ）
A．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7
【答案】D
【解答】解：
＝
＝，
∵方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为a，b，
∴a+b＝3，ab＝1，
∴＝＝7，
故选：D．
13 .关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)如果，是方程的两个解，令，求的最大值．
【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1＋x2＝4，x1 x2＝k＋2，结合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增减性可求w的最大值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
的取值范围为．
（2）解：，是关于的一元二次方程的两个解，
，，
，
时，的最大值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合w＝x1x22＋x12x2＋k，根据增减性可求w的最大值．
考点五、一元二次方程应用题
14 .广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（ ）
A．1+x+x2＝25 B．x+x2＝25
C．（1+x）2＝25 D．x+x（1+x）＝25
【答案】C
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝25，
即（1+x）2＝25，
故选：C．
15 .如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 B．（45﹣x）（25﹣x）＝625
C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625 D．（45﹣2x）（25﹣x）＝625
【答案】A
【解答】解：∵剪去小正方形的边长为xcm，
∴该无盖纸盒的底面长为（45﹣2x）cm，宽为（25﹣2x）cm，
依题意得：（45﹣2x）（25﹣2x）＝625．
故选：A．
15 .电影《流浪地球2》讲述了太阳即将毁灭，人类在地球表面建造出巨大的推进器，以便寻找新的家园．然而宇宙之路危机四伏，为了拯救地球，流浪地球时代的年轻人再次挺身而出，展开争分夺秒的生死之战的故事．2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率．
【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则降价后的价格为（x﹣20）元，根据数量＝总价÷单价结合按原定票价需花费3000元购买的门票张数现在只花费了1800元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设原定票价平均每次的降价率为y，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．．
【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则降价后的价格为（x﹣20）元，
依题意，得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
答：每张门票的原定票价为50元．
（2）设原定票价平均每次的降价率为y，
依题意，得：50（1﹣y）2＝32，
解得：y1＝0.2＝20%，y2＝1.8（不合题意，舍去）．
答：原定票价平均每次的降价率为20%．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
16 .百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）现在每件童装降价5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？
（2）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【分析】（1）根据每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，得出每件童装降价5元，每天可售出20+5×2＝30件，再根据每件盈利40元，即可得出每天的盈利；
（2）设每件应降价x元，每天可以多销售的数量为2x件，每件的利润为（40﹣x），由总利润＝每件的利润×数量建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）∵每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件，
∴每件童装降价5元，每天可售出20+5×2＝30件；
∴每天可盈利：（40﹣5）×30＝1050（元）；
（2）设每件应降价x元，由题意，得
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20，
则每件童装应降价10元或20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
17 .用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A． B．
C．x（12﹣2x+1）＝20 D．x（12﹣2x﹣1）＝20
【答案】C
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为1m可以得出平行于墙的一边的长为（12﹣2x+1）m，由题意得x（12﹣2x+1）＝20，
故选：C．
18 .我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月游客人数的月平均增长率；
（2）若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？
【答案】（1）这两个月游客人数的月平均增长率为10%；
（2）按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人．
【解答】解：（1）设这两个月游客人数的月平均增长率为x，依题意，得：
10（1+x）2＝12.1，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1．
答：这两个月游客人数的月平均增长率为10%；
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万人）．
答：按照这个增长率，预计6月份的游客人数是13.31万人．
二次函数
二次函数考点归纳
考点一、二次函数的概念
二次函数的概念:
一般地，形如y=ax +bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数.
其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
考点二、二次函数图像常见类型的性质
（1）y=ax 的图像的性质
小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax 来说， 越大，抛物线的开口越小
（2） y=ax +c的图像的性质
（3）二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质
y=a(x-h)2 a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，0） （h，0）
最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0
对称轴 直线x=h 直线x=h
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
（4）二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 （h，k） （h，k）
最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。
图象形状 抛物线形状
开口大小 a的绝对值越大，开口越小
考点三、二次函数图像的变换（平移）
平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h) +k，顶点坐标为（h,k）
从函数y=ax 平移烦方法如下：
注意：（1）上下平移 若原函数为
注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。
（2）左右平移
若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形
注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。
②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。
考点四、用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成的图象平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：
考点五、抛物线中，的作用：
(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，
故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：
①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
考点六、二次函数与一元二次方程的关系
函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解
方程没有实数解
知识要点
二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.
当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根考点七、二次函数的实际应用
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
知识要点
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
（二、）考点整合训练
考点1 二次函数的定义
1.若y＝（3﹣m）是二次函数，则m的值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．9
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解答】解：由题意，得
m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，
解得m＝﹣3，
故选：C．
考点2 二次函数图像和性质
若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣6 D．2
【分析】根据题意，设二次函数y＝ax2﹣bx+2的顶点坐标为（m，6），且易知其图象开口向下，通过平移y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴设二次函数y＝ax2﹣bx+2的顶点坐标为（m，6），
平移可知y＝a（x+1）2﹣b（x+1）+2的顶点坐标为（m﹣1，6），
根据关于x轴对称可知，y＝﹣a（x+1）2+bx+b﹣2的顶点坐标为（m﹣1，﹣6），且开口向上，
再向上平移4个单位得到y＝﹣a（x+1）2+bx+b+2，
此时顶点坐标为（m﹣1，﹣2），最小值为﹣2，
故答案为：B．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键．
3 .抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）
【答案】A
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+1是顶点时，
∴顶点坐标是（1，1）．故选：A．
4 ..对于二次函数y＝（x+1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x≥﹣1时，y随x增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2+2，
∴该函数的图象开口向上，故选项A的说法错误，
对称轴是直线x＝﹣1，故选项B中的说法错误；
顶点坐标为（﹣1，2），故选项C中的说法正确；
当x≥﹣1时，y随x增大而增大，故选项D中的说法错误；
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
考点3 二次函数图像的变换
5 .将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3
【答案】B
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，
故选：B．
考点4 用待定系数法求二次函数的解析式：
二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣2）2+4
【答案】B
【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式．
【解答】解：y＝x2﹣2x+4配方，得
y＝（x﹣1）2+3，
故选：B．
考点5 抛物线中，的作用：
7 .如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x＝1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．
【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；
③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
考点6 二次函数与一元二次方程的关系
8.已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3
【答案】B
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求当y＜0，x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x的取值范围．
【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，
且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．
故选：B．
考点7 二次函数的实际应用
9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝60（300+20x） B．y＝（60﹣x）（300+20x）
C．y＝300（60﹣20x） D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）
网版【答案】B
【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），
故选：B．
10 .飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 m．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围即可，结合取值范围求得最后4s滑行的距离．
【解答】解：当y取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．
因此t的取值范围是0≤t≤20；
即当t＝16时，y＝576，
所以600﹣576＝24（米）
故答案为：24．
11 .如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间
【解答】解：
依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝0
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为4s
故答案为4．
考点8 二次函数的综合题
12.如图，抛物线与轴交于， 两点，点在点 的左边，与轴交于点，点是抛物线的顶点，且，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方的抛物线上一动点，不与点，重合，过点 作 轴的垂线交 于点，求面积的最大值及此时点坐标；
【答案】（1）y＝x2＋2x－6；（2）S△ACP有最大值，点P的坐标是（－3，－）；
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入即可求出解析式；
（2）先求出点C（0，－6），设点P（m，m2＋2m－6），设直线AC的解析式是y＝kx＋b，解得直线AC的解析式是y＝－x－6，得到E（m，－m－6），PE＝－m2－3m，利用S△ACP＝S△AEP＋S△CEP，即可得到答案；
【详解】
（1）设抛物线的解析式是y＝a（x＋2）2－8，把A（－6，0）代入得a（－6＋2）2－8＝0，解得a＝，
∴y＝（x＋2）2－8＝x2＋2x－6；
（2）解：当x＝0时，y＝－6，∴C（0，－6），
设点P（m，m2＋2m－6），
设直线AC的解析式是y＝kx＋b，
把A（－6，0），C（0，－6）代入得
，解得
∴直线AC的解析式是y＝－x－6，
∵PE⊥x轴交AC于E，
∴E（m，－m－6），
∴PE＝－m－6－（m2＋2m－6）＝－m2－3m（－6＜m＜0），
∵S△ACP＝S△AEP＋S△CEP＝=,
∴当m＝－3时，S△ACP有最大值，最大值为，
此时点P的坐标是（－3，－）；
【点评】
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数与几何图形面积问题，勾股定理，直角三角形与函数图象的结合问题，正确理解题意根据题意画出图形解答是关键.
旋转
（一）旋转知识点归纳
考点1 旋转的性质及应用
旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角
旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等．
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
考点2 中心对称及中心对称图形
中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形是全等形．
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．
中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．
中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
中心对称与中心对称图形区别与联系：
（1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．
（2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
中心对称与轴对称的区别与联系：
（1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
（2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
（二）考点整合训练
考点1 旋转的性质及应用
1.如图，BA＝BC，∠ABC＝70°，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，点E，A分别是点D，C旋转后的对应点，连接DE，则∠BED为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【分析】先根据旋转的性质得到BD＝BE，∠EBD＝∠ABC＝70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠BED的度数．
【解答】解：∵△BDC绕点B逆时针旋转得到△BEA，∴BD＝BE，∠EBD＝∠ABC＝70°，
∴∠BED＝∠BDE，∴∠BED＝（180°﹣70°）＝55°．故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
2 .如图，在△ABC中，BA＝BC，D为△ABC内一点，将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，延长AE，CD交于点F，若∠ABC＝70°，则∠AFC的度数为 70° ．
【分析】由旋转的性质得出∠BCD＝∠BAE，由三角形内角和定理可得出答案．
【解答】解：CF和AB交于点M，
∵将△BDC绕点B逆时针旋转至△BEA处，
∴∠BCD＝∠BAE，
又∵∠AMF＝∠AFC，
∴∠ABC＝∠AFC＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
3.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．将∠COB绕点O顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α＜90°），角的两边分别与BC，AB交于点M，N，连接DM，CN，MN，下列四个结论：
①∠CDM＝∠COM；②CN⊥DM；③△CNB≌△DMC；④AN2+CM2＝MN2；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由“ASA”可证△OCM≌△OBN，△DCM≌△CBN，可得CM＝BN，∠CDM＝∠BCN，由余角的性质可判断②，由点O，点M，点B，点N四点共圆可判断①，由“SAS”可证△DCM≌△CNB，由勾股定理可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC，BO＝CO，AC⊥BD，∠ACB＝∠ABD＝45°，
∵将∠COB绕点O顺时针旋转，
∴∠COM＝∠BON，且BO＝CO，∠ACB＝∠ABD，
∴△OCM≌△OBN（ASA），
∴CM＝BN，
又∵CD＝BC，∠DCM＝∠CBN＝90°，
∴△DCM≌△CBN（SAS），
∴∠CDM＝∠BCN，
∵∠CDM+∠CMD＝90°，
∴∠BCN+∠CMD＝90°，
∴CN⊥DM，
故②正确
∵∠MON＝∠ABC＝90°
∴点O，点M，点B，点N四点共圆
∴∠BON＝∠BMN＝∠COM＞∠BCN＝∠CDM
故①错误
∵CM＝BN，CD＝BC，∠ABC＝∠DCB＝90°
∴△DCM≌△CNB（SAS）
故③正确
∵AB＝BC，BN＝CM
∴AN＝BM
∵BN2+BM2＝MN2，
∴AN2+CM2＝MN2；
故④正确
故选：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
考点2 中心对称及中心对称图形
4 .如图，在边长为1的正方形组成的网格中，每个正方形的顶点称为格点.已知△AOB的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点A、B的坐标分别是A(3,2) 、B(1,3).
(1)将△AOB绕点O逆时针旋转90 °后得到△A1OB1，画出旋转后的图形；
（2）画出△AOB关于原点O对称的图形△A2OB2，并写出点A2, B2的坐标.
【答案】见解析。
【解析】 (1)因为旋转角90 °，故用直角三角板及圆规可快速确定对应点的位置；
（2）先根据关于原点对称的点的坐标确定对称顶点的坐标，再依次连结得到所要画的图形.
解：(1)如图所示；
如图所示，点A2的坐标为(-3，-2),B2的坐标为(-1，-3）
5.已知：是的角平分线，点E，F分别在上，且，．
如图1，求证：四边形是平行四边形；
如图2，若为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．
【答案】(1)证明见分析(2)等边，等边，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形
【分析】
（1）由角平分线可知，由平行可知，可得，，进而结论得证；
（2）由题意可得四边形是菱形，是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．
(1)证明：∵是的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形．
(2)解：由（1）知四边形是平行四边形
∴
∵是等边三角形
∴
∴
∴四边形是菱形
∴
∴是等边三角形的中点
∴
∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边，等边 ，等边，等腰，等腰梯形，等腰梯形．
【点拨】本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6 .如图，D是等边三角形ABC内一点，∠ADB＝90°，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，延长BD交CE于点G，连接ED并延长交BC于点F．则下列结论：①△ADE是等边三角形；②四边形ADGE是轴对称图形；③AC，EF互相平分；④BF＝CF．其中正确的有 ①②④ ．（填序号）
【分析】根据旋转的性质得到AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，得证∠DAE＝60°，判断结论①正确；连接AG，利用HL判断结论②；连接AF，证明四边形AFCE一定不是平行四边形；利用四点共圆，证明∠AFB＝90°，根据三线合一，得BF＝CF．
【解答】解：∵△ABD绕点A旋转得到△ACE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
故结论①正确；
如图，连接AG，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，
∵∠ADG＝∠AEG＝90°，AG＝AG，
∴Rt△ADG≌Rt△AEG（HL），
∴GD＝GE，∠DAG＝∠EAG，
∵△ADE是等边三角形，
∴直线AG垂直平分DE，
∴四边形ADGE是一个轴对称图形，
故结论②正确；
连接AF，
∵∠DAC+∠EAC＝60°＝∠ACB，
∴∠EAC≠∠ACB，
∴AE与FC一定不平行，
∴四边形AFCE一定不是平行四边形，
∴AC，EF一定不互相平分，
故结论③错误；
∵△ADE是等边三角形，∠ADG＝90°，
∴∠EDG＝∠BDF＝30°，
∴∠ADF＝120°，
∴∠ADF+∠ABC＝180°，
∴A，B，F，D四点共圆，
∴∠ADG＝∠AFB＝90°，
根据三线合一，得BF＝CF，
故结论④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，四点共圆，等腰三角形的三线合一，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
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