数学归纳法(广东省清远市清城区)

数学归纳法（第二课时）
清远市华侨中学 莫婧华
学习目标：
1、 知识与技能
理解数学归纳法的概念，进一步掌握数学归纳法的证题步骤。
2、 过程与方法
通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径，培养学生的“观察、归纳、猜想、证明”的能力。
3、 情感、态度与价值观
通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，认识数学归纳法的科学价值，体会数学的美学意义。
教学重点：用数学归纳法证明恒等式、数列问题的方法步骤。
教学难点：数学归纳法在几种问题中的应用。
教学方法：自主探究、讲练结合。
教学过程：
（一）概念复习
1、归纳法分为几类？
（完全归纳法与不完全归纳法）
2、数学归纳法主要用于证明什么问题？
（数学归纳法是一种完全归纳法，适用于证明和正整数有关的命题）
3、数学归纳法的证明步骤是什么？
①（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；
②（归纳递推）假设当n=k(kN*，,k)时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。
由上述可知，命题对大于等于的所有自然数都成立。
（二）学生探究、回顾
用数学归纳法证明： （，）
证明：(1)当n=2时，左边=2，右边=，等式成立。
(2)假设当n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时，有
即当n=k+1时，等式也成立。
由(1)、(2)可知，等式对一切，都成立。
注意：用数学归纳法证题时，要注意从n的第一个值开始，不一定每一次都是n=1。在证明n=k+1时，一定要用到假设的条件，否则，就不是数学归纳法，是直接证明。
（三）归纳猜想证明
例题2：已知数列，，，计算，，，，根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明。
解：，，
，
可以猜想：（用不完全归纳法得出的结论需要严格证明。）
证明：(1)当n=1时，左边=，右边=，猜想成立。
(2)假设当n=k时，猜想成立，即
，
那么，当n=k+1时，
=
=
即当n=k+1时，猜想也成立。
由(1)、(2)可知，猜想对任何kN*都成立。
注意：变形的目标要与题目所给的形式一致。
（四）存在性问题
是否存在常数，使等式对一切正整数成立？如果存在，证明你的结论。
证明：分别用n=1，2，3带入等式中解方程，得：
，解之得：
下面用数学归纳法证明：
(1)当n=1时，由上可知，等式成立。
(2)假设当n=k时， 等式成立，即：
那么，当n=k+1时，
左边=
=
=
∴当n=k+1时，等式成立。
由(1)、(2)可知，等式对任何kN*都成立。
（五）课堂小结
1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变。
2、第一步的正确性一定要验证，不然结论可能不成立；第二步证明中没有用到假设，就不是数学归纳法证明，是直接证明。
（递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。）
探究活动：书本111页B组、1（几何问题）
（六）作业布置 书本108页 习题2.3 A组2、B组2