24.2.2直线和圆的位置关系第二课时 课件(共23张PPT)-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（人教版）

第二十四章
圆
24.2 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定与性质
教学目标/Teaching aims
1
会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
3
能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
2
理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
复习回顾
回顾：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
什么是圆的切线？
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
情景导入
生活中的切线
新知探究
思考：
　　如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线l⊥OA，
则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O有什么位置关系？
l
O
A
圆心O到直线l的距离就⊙o的半径
直线l就是⊙O的切线
新知探究
切线的判定定理：
　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
l
O
A
∵OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
∴BC为⊙O的切线
应用格式：
新知探究
已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）
思考：
作法：
1、连接OA;
O
A
2、过点A作直线 l 与OA垂直。
l
直线 l 就是所求作的切线，如图.
归纳小结
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
　　1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
l
O
A
　　2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
　　3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
巩固练习
1.下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
新知探究
A
l
O
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点，
∴直线l ⊥OA.
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
思考：在⊙O中，如果直线 l 是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线 l 是不是一定垂直？
新知探究
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
（2）则OMC
D
B
O
A
（3）所以AB与CD垂直.
M
证法1：反证法.
性质定理的证明
新知探究
C
D
O
A
证法2：构造法.
作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD ⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．
巩固练习
1. 如图,△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于D.求证：AC 是⊙O 的切线．
证明：连接OD，OA, 过O 作OE ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于D ，
∴OD ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB＝AC ，O是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
又OD⊥AB ，OE⊥AC.
∴OD＝OE.
∵OD 是⊙O 半径，OD＝OE，OE⊥ AC.
∴AC 是⊙O 的切线．
巩固练习
2. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
巩固练习
3. 如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得 r=3，即⊙O的半径为3.
归纳小结
(1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
课堂练习
1.判断下列命题是否正确.
（1）经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）
（2）垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）
（4） 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
（5）过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
×
×
√
√
√
课堂练习
2．如图所示，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是 ,
相切
课堂练习
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ）
A.40° B.35° C.30° D.45°
C
课堂练习
4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线.
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC.
∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
课堂练习
5.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
课堂总结
24.2 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定与性质
谢谢观看
圆