13.3.2.2 含30°角的直角三角形的性质 课件(共24张PPT)-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

(共24张PPT)
第13章
轴对称
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
13.3.2.2
含30°角的直角
三角形的性质
情景引入
如图是某商场的电梯，电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间
的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗
思考：
B
A
C
30°
新知探究
思考：
如图，在Rt△ABC中，∠BCA =90°，如果∠A=30°，那么直角边 BC与斜边AB有什么关系呢
C
B
A
30°
活动一：测量 第一次 第二次 第三次
AB
BC
活动二：大胆假设 活动三：结论证明
在Rt△ABC中，若∠A=30°，则BC＝ AB.
新知探究
含 30° 角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
即 BC = CD = BD = AB.
性质：
应用格式：
在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°，
∴ BC = AB.
新知探究
证明方法一：截长法
)
证明：在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC.
∵∠B = 60°，BE = BC，
∴△BCE 是等边三角形.
∴∠BEC = 60°，BE = EC.
∵∠A = 30°，
∴∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°.
∴ AE = EC.
∴ AE = BE = BC.
∴ AB = AE + BE = 2BC.
E
A
B
C
∴ BC = AB.
30°
新知探究
证明方法二：中线法
证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD.
∵ CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
A
30°
B
C
D
∵∠BCA = 90°，且∠A = 30°，
∴∠B = 60°.
∴△CBD 为等边三角形.
新知探究
证明方法三：倍长法
证明：在△ABC 中，
∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°，
∴∠B = 60°．
延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD，
则△ABD 是等边三角形．
A
B
C
D
∴ BC = BD = AB.
30°
)
新知探究
思考：
如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，若BC= AB，
那么∠A＝30°吗？
C
B
A
D
解: 如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴CD= AB=BD.
∵BC= AB，
∴BC= BD= CD，即△BDC为等边三角形.
∴∠B= 60°.
∵∠A+∠B=90°
∴∠A=30°.
由此你能得出什么结论？
新知探究
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
互为逆命题
典例精析
例1
如图是某商场的电梯，电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间
的高度BC为6 m.你能算出电梯AB的长度吗
B
A
C
30°
解：在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，∠A = 30°，
∴ AB=2BC=12m.
典例精析
例2
如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD垂直于AB，垂足为点D，∠A=30°.求证: AB=4BD.
解：在Rt△ABC中，∵∠A=30°， ∴BC= AB.
又∠A+∠B=90°，
∴∠B=60°.
在Rt△BCD中，∵∠B+∠BCD=90°，
∴∠BCD=90°－∠B=30°.
故BD= BC.
又BC= AB，
则BD= AB，即AB=4BD.
典例精析
例3
如图，线段AE与BC相交于点D，BD=CD， AD=ED， CA⊥AE，∠1=30°，
且AB=3 cm.那么线段BE多长呢
解：
典例精析
例4
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，CD是斜边上的中线，CE是高，F是CD的中点.
（1）求CD的长；
（2）证明:△EDF为等边三角形.
典例精析
例5
将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14 cm，求阴影部分
△ACF的面积.
解：
典例精析
例6
如图，小芳在山下发现正前方山上有个电视塔，测得塔尖的仰角为15°. 小芳朝正前方笔直行走400 m，此时测得塔尖的仰角为30°.若小芳的眼睛离地面1.6m，你能算出这个电视塔塔尖离地面的高度吗
解：
典例精析
例7
在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：BE = 3AE.
证明：∵ AB = AC，∠BAC = 120°，
∴∠B =∠C = 30°.
∵ D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC.
∴∠ADC = 90°，∠BAD =∠DAC = 60°.
∴ AB = 2AD. ∵ DE⊥AB，∴∠AED = 90°.
∴∠ADE = 30°，∴ AD = 2AE.
∴ AB = 4AE. ∴ BE = 3AE.
归纳总结
要点
注意
前提条件：含 30° 角的直角三角形中
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半
含 30°角的直角
三角形的性质
找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边
内容
当堂检测
1.已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=1: 2: 3,最短边BC=4 cm, 则最长边AB的长是( )
A、5cm B、6 cm
C、7cm D、8 cm
D
解析： ∠A:∠B:∠C=1: 2: 3, ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A=30°， ∠B=60°， ∠C=90°
∵BC=4 cm ∴ AB=2BC=8cm
当堂检测
2. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高，∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 .
A
B
C
D
1
3. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，若 AB = 10，
则 BC 的长为 .
5
4. 如图，Rt△ABC 中，∠A = 30°，AB + BC = 12 cm，则
AB =______cm.
A
C
B
8
第4题图
当堂检测
5.如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，BC为立柱，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m， ∠A=30 ° ，求立柱BC，DE的长.
A
B
C
D
E
解:在△ABC中，
∵ BC⊥AC ，∠A＝30°，
∴BC＝ AB= ×7.4＝3.7(m).
∵ 点D是AB的中点 ，
∴ AD＝ AB=3.7(m).
在△ADE中，∵ DE⊥AC ，∠A＝30°，
∴DE＝ AD＝ ×3.7=1.85(m).
答:立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
当堂检测
6.一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午8:00从A处出发，10:00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.
（1）画出礁石C的位置；（2）求出B处到礁石C的距离.
B
C
30°
60°
A
D
解：（1）如图,以B为顶点，向北偏西60°作角，
这角一边与AM交于点C, 则C为礁石所在地.
M
北
（2）∵∠DBC=∠BAC+∠ACB，∠BAC=30 °， ∠DBC=60°，
∴∠ACB=30°，即∠BAC=∠ACB，
∴BC=AB ( 等角对等边) ， 即 BC=AB=10×2=20(海里）.
答：B处到礁石C的距离为20海里.
当堂检测
7.如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30°，立柱 BC、DE 有多长？
A
B
C
D
E
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°，
∴ BC = AB，DE = AD.
∴ BC = AB = ×7.4 = 3.7.
又 AD = AB = 3.7，
∴ DE = AD = ×3.7 = 1.85.
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
当堂检测
8. 如图，已知△ABC 是等边三角形，D，E 分别为 BC、AC 上的点，且 CD = AE，AD、BE 相交于点 P，BQ⊥AD 于点 Q， 求证：BP = 2PQ.
∴△ADC≌△BEA (SAS).
证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴ AC = BC = AB，∠C =∠BAC = 60°.
∵ CD = AE，
∴∠CAD =∠ABE.
∵∠BAP +∠CAD = 60°，
∴∠BAP +∠ABE = 60°，即∠BPQ = 60°.
又∵ BQ⊥AD，
∴ BP = 2PQ.
∴∠PBQ = 30°.
∴∠BQP = 90°.