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讲义
授课主题 二次函数与一元二次不等式
教学目标 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背景． 3.掌握不等式的性质及应用，掌握分式不等式，一元二次不等式，含参不等式的解法。
教学重难点 教学重点：如何解不等式，解不等式过程中常见的易错点。 教学难点：讨论含参不等式的情况。
授课日期及时段
教学内容
【知识点1 一元二次不等式的概念及形式】 (1).概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2).形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 【知识点2 一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系】 (1).一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. (2.)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． (3).三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式 f(x)>0 或f(x)< 0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图得不 等式 的解 集f(x)>0{x|x
x2}{x|x≠－}Rf(x)<0{x|x1【知识点3 分式不等式的解法】 ①>0与(x＋1)(x＋3)>0等价吗？ ②≤0与(2x－1)(x＋2)≤0等价吗？ 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. 解法：等价转化法解分式不等式 【知识点4、简单的高次不等式的解法】 (1)由函数与方程的关系可知y＝(x＋1)(x－1)(x－2)与x轴相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0）三点，试考虑当x>2,11时，y的取值正负情形．你发现了什么规律？ 高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法 ①将f(x)最高次项系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 1.学生在做题时容易忽略一元二次不等式的解法及根的个数 2.做题时应注意含参不等式的解法，讨论参数对不等式解集的影响 (一) 一元二次不等式的解法 例1．解下列一元二次不等式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）根据口诀可得：x>4或x<-1；（2）根据口诀可得：0≤x≤2；（3）根据口诀可得：；（4）根据口诀可得：x>2或x<-2 【变式训练1】．求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【解析】（1）因为，所以原不等式等价于， 解得，所以原不等式的解集为. （2）原不等式可化为,配方得 , 又,所以,解得，所以原不等式的解集为. （3）原不等式可化为.∵，∴原不等式的解集是. （4）∵，又∵的两个实数根为， ∴原不等式的解集是 （5）原不等式可化为，且，∴，或. ∴原不等式的解集是或. (二) 含有参数的一元二次不等式的解法 例2．（1）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 【答案】 【解析】由题意得，且，解得， 不等式可化为， 即，解得或， 故不等式解集为. （2）（多选）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（ ） A． B． C． D．2 【答案】CD 【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可. 【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数， 当时，不等式化为，则解集中有无数个整数. 当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误； 所以，，，所以 所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合， 则由不等式的解集中恰有3个正整数， 则这3个整数中一定为：， 则，解得 故可取和2，故C,D正确，AB错误； 故选：CD. （3）解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 【答案】原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0，讨论a＋1与2(a－1)的大小 (1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)． (2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠a＋1. (3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或xa＋1或x<2(a－1)}， 当a＝3时，解集为{x|x≠a＋1}， 当a>3时，解集为{x|x>2(a－1)或x0， 所以a<－1或a>. 若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，所以3－2a>， 此时不等式的解集是； 若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，所以3－2a<， 此时不等式的解集是. 综上，当a<－1时，原不等式的解集为，当a>时，原不等式的解集为. (三) 含有参数的分式不等式的解法 例3．【广东省惠州市第一中学2017-2018学年数学必修5模块综合】不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选D． 【变式训练1】．【上海市虹口区复兴高级中学2016-2017学年高一上学期期中】不等式的解集是______. 【答案】或 【解析】不等式等价为且， ∴或，∴不等式的解集是或 故答案为：或 (四)二次不等式综合问题 例4．已知一元二次函数，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式的解集 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接解二次不等式即可； （2）变形得，分，，讨论，通过确定的大小来解二次不等式. 【详解】（1）由已知得， 解得或. 实数a的取值范围； （2）， 令，得， 当，即时，的解集为， 当，即时，的解集为， 当，即时，的解集为， 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 例5．（2019·海南省海口一中高二月考）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如下图所示： ，当时，；当或时，. 由二次函数图象可知，当时，函数在区间上的最小值为，最大值为，因此，实数的取值范围是，故选：C. 【变式训练1】．求解不等式 【答案】答案见解析 【分析】将不等式左边因式分解可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】解：因为， 所以， 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为， 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为； 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为； 当时，原不等式即，解得或， 所以不等式的解集为或； 当时，原不等式即，解得或， 所以不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或； 【变式训练2】．（2020·调兵山市第一高级中学高二月考）已知函数，（），若任意，且都有，则实数a的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为对任意的，且都有， 故可得，可得函数在上单调递增， 的对称轴为， ，解之得.故a的取值范围是.故选：A. (五) 实际应用问题 例6．（2020·全国高一）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为,观影人数记为,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象. 给出下列四种说法: ①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本; ②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; ③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; ④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本. 其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号） 【答案】②③ 【解析】由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为, ,即为票价,当时,,则为固定成本,由图象(2)知,直线向上平移, 不变,即票价不变,变大,则变小,成本减小.故①错误,②正确; 由图象(3)知,直线与轴的交点不变,直线斜率变大, 变大,即提高票价,不变,则不变,成本不变.故③正确,④错误;故答案为:②③ 【变式训练1】．（2019·江苏省金陵中学高一期中）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的产品.已知该单位每月处理二氧化碳最少400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝x2－200x＋80000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. （1）若该单位每月成本(每月成本＝每月处理成本－每月可利用的化工产品价值)支出不超过105000元，求月处理量x的取值范围. （2）该单位每月能否获利 如果能获利，求出能获得的最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少补贴多少元，才能使该单位不亏损 【答案】（1）；（2）单位每月不能获利，需国家每月至少补贴元，才能使该单位不亏损. 【解析】 （1）由题意得 所以月处理量x的取值范围为； （2）设利润为元，,则， 所以 在单调递减，即时 因此单位每月不能获利，需国家每月至少补贴元，才能使该单位不亏损. 1．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( ) A．{x|－22或x<－1} C．{x|x>1或x<－2} D．{x|x<－1或x>1} 【答案】C [∵ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2.] 2．（2020·上海高三专题练习）若不等式有唯一解,则的取值为( ) A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】因为的图像开口向上，由不等式有唯一解， 即的最小值为1，则，解得，即，故选B. 3．（2019·海南省海口一中高二月考）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： ，当时，；当或时，. 由二次函数图象可知，当时，函数在区间上的最小值为，最大值为，因此，实数的取值范围是，故选：C. 4．不等式对恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，不等式对恒成立，即恒成立， 设，由可得， 所以，只需，即的取值范围为.故选：B. 5．（2019·全国高一课时练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方程的两根都大于2，则二次函数的图象与轴的两个交点都在x=2的右侧，根据图象得：方程的判别式；当时函数值；函数对称轴。即，解得，所以正确选项为B. 6．（2019·全国高一课时练习）函数，记的解集为，若，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】函数，抛物线开口向上，又，所以,则的解集为，得，解得，所以正确选项为A。 7．（2019·广东省增城中学高一期中）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开. （1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大 最大面积是多少 【答案】（1）y=x(l 3x)；(0，) （2）当垂直于墙的边长为时，这块长方形场地的面积最大，最大面积为. 【解析】 (1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y=x(l 3x)； 由x>0，且l 3x>0，可得函数的定义域为(0，)； (2)×= 当x=时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l 3x=，最大面积为. 8.解下列不等式 (1)－x2＋2x－3<0；(2)－3x2＋5x－2>0. 【答案】(1) R (2) 【解析】(1)原不等式可化为x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解， ∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R. (2)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1， ∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为. 9．已知函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由得，即， 所以的解集为； （2）不等式对任意恒成立， 由得，的最小值为1， 所以恒成立，即，所以， 所以实数的取值范围为. 10．（2020·黑龙江省大庆中学高一期末）已知关于的不等式． （1）当时，解上述不等式． （2）当时，解上述关于的不等式 【答案】（1）．（2）当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为或 【解析】（1）当时，代入可得，解不等式可得， 所以不等式的解集为. （2）关于的不等式． 若，当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得，由解不等式可得， 当时，化简不等式可得，解不等式可得或， 综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或
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教学目标 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背景． 3.掌握不等式的性质及应用，掌握分式不等式，一元二次不等式，含参不等式的解法。
教学重难点 教学重点：如何解不等式，解不等式过程中常见的易错点。 教学难点：讨论含参不等式的情况。
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【知识点1 一元二次不等式的概念及形式】 (1).概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2).形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 【知识点2 一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系】 (1).一元二次不等式的解集的概念： 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. (2.)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集； 若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合． (3).三个“二次”之间的关系： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式 f(x)>0 或f(x)< 0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图得不 等式 的解 集f(x)>0{x|xx2}{x|x≠－}Rf(x)<0{x|x1【知识点3 分式不等式的解法】 ①>0与(x＋1)(x＋3)>0等价吗？ ②≤0与(2x－1)(x＋2)≤0等价吗？ 定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式. 解法：等价转化法解分式不等式 【知识点4、简单的高次不等式的解法】 (1)由函数与方程的关系可知y＝(x＋1)(x－1)(x－2)与x轴相交于(－1,0)，(1,0)，(2,0)三点，试考虑当x>2,11时，y的取值正负情形．你发现了什么规律？ 高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法 ①将f(x)最高次项系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 1.学生在做题时容易忽略一元二次不等式的解法及根的个数 2.做题时应注意含参不等式的解法，讨论参数对不等式解集的影响 (一) 一元二次不等式的解法 例1．解下列一元二次不等式： （1） （2） （3） （4） 【变式训练1】．求下列不等式的解集. ； （2）； （3）； （4）； （5）. (二) 含有参数的一元二次不等式的解法 例2．（1）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. （2）（多选）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（ ） A． B． C． D．2 （3）解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 【变式训练1】．解关于x的不等式: . 【变式训练2】．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集. (三) 含有参数的分式不等式的解法 例3．【广东省惠州市第一中学2017-2018学年数学必修5模块综合】不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 【变式训练1】．【上海市虹口区复兴高级中学2016-2017学年高一上学期期中】不等式的解集是______. (四)二次不等式综合问题 例4．已知一元二次函数，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式的解集 例5．（2019·海南省海口一中高二月考）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】．求解不等式 【变式训练2】．（2020·调兵山市第一高级中学高二月考）已知函数，（），若任意，且都有，则实数a的取值范围（ ） B． C． D． (五) 实际应用问题 例6．（2020·全国高一）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为,观影人数记为,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象. 给出下列四种说法: ①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本; ②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; ③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; ④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本. 其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号） 【变式训练1】．（2019·江苏省金陵中学高一期中）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的产品.已知该单位每月处理二氧化碳最少400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝x2－200x＋80000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. （1）若该单位每月成本(每月成本＝每月处理成本－每月可利用的化工产品价值)支出不超过105000元，求月处理量x的取值范围. （2）该单位每月能否获利 如果能获利，求出能获得的最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少补贴多少元，才能使该单位不亏损 1．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为( ) A．{x|－22或x<－1} C．{x|x>1或x<－2} D．{x|x<－1或x>1} 2．（2020·上海高三专题练习）若不等式有唯一解,则的取值为( ) A．0 B．2 C．4 D．6 3．（2019·海南省海口一中高二月考）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．不等式对恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（2019·全国高一课时练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ) A. B. C. D. 6．（2019·全国高一课时练习）函数，记的解集为，若，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 7．（2019·广东省增城中学高一期中）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开. （1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大 最大面积是多少 8.解下列不等式 (1)－x2＋2x－3<0； (2)－3x2＋5x－2>0. 9．已知函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 10．（2020·黑龙江省大庆中学高一期末）已知关于的不等式． （1）当时，解上述不等式． （2）当时，解上述关于的不等式
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