人教A版（2019）选择性必修第二册 4.3.1等比数列的概念（共2课时）课件（共61张PPT）

人教A版（2019）高中数学选择性必修二
4.3.1等比数列的概念
第一课时
一
二
三
学习目标
理解等比数列的概念
会应用定义及通项公式解决一些实际问题
学习目标
掌握等比数列的通项公式
特殊数列
等差数列
等比数列
概念
通项公式
前n项和公式
应用
数列
概念
表示
表格、图像、通项公式、递推公式
特殊化
类比
单元结构
1、等差数列:
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.
数学表达式:
2、等差中项：
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.

3、等差数列的通项公式:
( n ≥ 2，n ∈N *)
（2A= a+b ）
复习回顾
新课导入
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数” 。
类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
先从哪些方面研究呢？
新知探究一：等比数列的相关概念
实例1 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
???????????,????????,????????,…,????????????; ①
??????????????????,????????????????,????????????????,…,????????????????????; ②
??????????,?????????,????????,…,????????????. ③
?
新知探究一：等比数列的相关概念
实例2 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是：
????????，????????，????????，????????????，????????????，??????④
?
细菌个数
第一次
第二次
第三次
2
4
第 n 次
……
分裂次数
8
2n
实例3 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：
????，????，????，????????，????????，????????，????⑤
?
新知探究一：等比数列的相关概念
新知探究一：等比数列的相关概念
实例4 某人存入银行 ɑ元钱，存期为5年，年利率是r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.
????(1+????)，????(1+????)2，????(1+????)3，????(1+????)4，????(1+????)5. ⑥
?
问题1 请同学们仔细观察以下六个数列，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？



①
②
③
④
⑤
⑥
取值规律 从第 2 项起，
每一项与它的前一项的比都等于 9．
如果用 表示数列①，那么有
新知探究一：等比数列的相关概念
共同特点: 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
????
?
????????????
?
????
?
????????
?
????+????
?
????
?
如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做___________常数叫做等 数列的_____
公比通常用字母 q 表示
二
比
同
等比数列.
公比
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差.
公差通常用字母d表示
比
an-an-1=d(n≥2,n∈N*)
an+1-an=d(n∈N*)
?????????????????????=????(????≠????,n≥2,n∈N*)
?
????????+????????????=????(????≠????,n∈N*)
?
等差数列的概念
等比数列的概念
问题2 类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？
概念生成
符号
(1)
(3) 5，5，5，5，5，5，…
(6)
(2)
思考：观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，不是的话请说明理由:
(4) 0，1，2，4，8，…
(5) 2，0，2，0，2，…
是,公比是 2
是,公比是 -2
是,公比是 1
不一定,分类讨论
不是,分母不能为 0
不是,公比不能是 0
概念辨析
1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差.
课本P31
追问1：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？
追问2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
等差数列的项、公差均可以是0，但等比数列的项和公比均不可以是0
概念辨析
等差中项
等比中项
如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.
如果三个数a，G，b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项
定义
a，A，b成等差数列
a，G，b成等比数列
关系
追问：任意两个实数a，b都有等比中项吗？
若a，b同号则有两个等比中项；若a，b异号则无等比中项.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
∴a, G, b成等比数列
?
(ab>0)
新知探究三：等比数列的通项公式
问题4 你能类比等差数列的通项公式推导，根据等比数列的定义及递推公式推导它的通项公式吗？怎么推？
等差数列
类比
法一：不完全归纳法
……
由此归纳等比数列的通项公式可得：
等比数列
新知探究三：等比数列的通项公式
问题4 你能类比等差数列的通项公式推导，根据等比数列的定义及递推公式推导它的通项公式吗？怎么推？
法二：累加法
……
+）
等差数列
类比
……
由等比数列的定义 ?????????????????????=????(????≥????,????∈?????)得
?
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈ ?????)
?
累乘法
等比数列的通项公式：
问题5 已知等比数列的第m项am,公比为q,求通项公式an.
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
两式相除得
因此
新知探究三：等比数列的通项公式
新知探究四：等比数列与函数的关系
问题6 在等差数列中，公差d ≠ 0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系?
指数型函数
●
●
●
●
●
l
l
问题7 类比指数函数的性质，说说公比????>0的等比数列的单调性.
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
0????>1
????=1
指数函数????=????????的单调性
?
等比数列????????=????????的单调性
不变
等比数列????????=????1?????????1的
单调性
????1>0
不变
????1<0
不变
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
?
不变
不变
不变
单调递减
单调递减
单调递减
单调递减
单调递增
单调递增
单调递增
单调递增
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
典例分析
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
????2=14
?
解得
????=12或?12
?
两个????，需对其分类讨论
?
把????=12代入①，得
?
????1=384,
?
此时????5=????1????4=384×124=24
?
把????=?12代入②，得
?
????1=?384,
?
此时????5=????1????4=-384×?124=-24
?
因此，????????的第5项是24或-24
?
例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
典例分析
解法2：
因为????5是????4和????6的等比中项，所以
?
因此，????????的第5项是24或-24
?
????52=????4????6=48×12=576
?
????5=±576=±24
?
所以
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
等比数列{an}的通项公式：
等差数列{an}的通项公式：
典例分析
例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
典例分析
注意设法
(1)如果是三个数成等比数列，可设为 ，a，aq
【归纳总结】
对称设元法
(2)如果是四个数成等比数列，可设为 ， ，aq，aq3
1.与等差数列有关的数的设元技巧：
2.与等比数列有关的数的设元技巧：
(1)如果是三个数成等差数列，可设为a - d，a， a+d
(2)如果是四个数成等差数列，可设为a+2d ， a - d ， a+d ， a+2d
例题小结
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}a1
a3
a5
a7
q
2
8
2
0.2
2. 已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q.
4
16
50
0.08
0.0032
课本P31
课堂小结
等比数列
名称
等差数列
概念
常数
通项
公式1
通项
公式2
中项
从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数
公差(d )
d 可正、可负、可零
从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数
公比(q )
q可正、可负、不可零
人教A版（2019）高中数学选择性必修二
4.3.1等比数列的概念
第二课时
一
二
三
学习目标
能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算
通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养
学习目标
复习回顾
1.等比数列
2. 通项公式
4.等比数列的判断
3. 等比中项
(an)2=an-1.an+1
a,G,b成等比数列
(1) 1，2，4，8，16，…
观察下列数列，他们的单调性与公比有什么关系？
(3) 4，4，4，4，4，4，4，…
(4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，…
公比 q=2
公比 q=
公比 q=1
公比 q=-1
问题1 可以从函数的角度，研究等比数列的单调性吗？
新知探究一：等比数列的单调性
等比数列的图象1
数列：1，2，4，8，16，…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
●
●
●
●
●
递增数列
接下来我们再通过图象观察单调性
新知探究一：等比数列的单调性
那数列：-1，-2，-4，-8，-16，…呢？
等比数列的图象2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
数列：
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
递减数列
新知探究一：等比数列的单调性
那数列：-8，-4，-2，-1，-12，-14…呢？
?
等比数列的图象3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
O
数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
常数列
新知探究一：等比数列的单调性
等比数列的图象4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，
摆动数列
-1
新知探究一：等比数列的单调性
新知探究一：等比数列的单调性
4.对于数列{an}, 若点(n, an) (n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c, q为常数，且c≠0, q≠0, q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论.
课本P31
新知探究二：等比数列的性质
问题2 观察等比数列: 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,……
说出16是那两项的等比中项？并找到它们满足的规律？

思考：观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？
2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128
证明：
????????????????=????12????????+?????2
?
????s????????=????12????????+?????2
?
猜想：若{an}是公比为q的等比数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝s＋t，则aman＝asat.
特别地：当m＋n＝2k时，aman＝akak=ak2
新知探究二：等比数列的性质
又m＋n＝s＋t
即：下标和相等，对应项的积相等
（2）在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积
在等比数列{an}，中公比为q
注意：等号两侧的项数必须相同
新知探究二：等比数列的性质
性质应用
∴a3a7＝a2a8＝9.
B
例2. 已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.
相除得q8＝9.
所以q4＝3，
所以a7＝a3·q4
＝3 · 3
=9.
练习2.等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________．
练习1.在等比数列{an}中，an＞0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36,
那么a3+a5=_______.
【解析】由题意知：
a2a4＝a32，a4a6＝a52
∴a32＋2a3a5＋a52＝36，
即(a3＋a5)2＝36，
an＞0
∴a3＋a5＝6
解：由题意得
a1a2a3…a15a16a17
＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9
＝(－2)17
＝－217.
5.已知数列{an}是等比数列.
(1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢?
(2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么?
当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗?
课本P31
新知探究三：等比数列的判断
例题小结
例4 已知数列????????的首项????????=????.
(1)若数列????????为等差数列,公差????=2,证明数列????????????为等比数列；
(2)若数列????????为等比数列,公比????=????????,证明数列????????????????????????为等差数列.
?
分析：如何证明一个数列为等差数列或者等比数列
等差数列：
????????+?????????????=????
?
等比数列：
????????+????????????=????
?
利用定义
先求
通项公式
新知探究三：等比数列的判断
例4 已知数列????????的首项????????=????.
(1)若数列????????为等差数列,公差????=2,证明数列????????????为等比数列；
?
证明：
（1）由????1=3,????=2,得????????的通项公式为
?
????????=2????+1
?
设????????=3????????,则
?
????????+1????????=32????+332????+1=9
?
又????1=33=27
?
所以3????????是以27为首项，9为公比的等比数列
?
区分两问的求法有何不同
新知探究三：等比数列的判断
（2）由????1=3, ????=19,得????????的通项公式为
?
????????=3×19?????1=33?2????
?
????????????3????????=????????????333?2????=3?2????
?
所以????????????3????????是首项为1，公差为-2的等差数列
?
两边取以3为底的对数,得
所以????????????3????????+1?????????????3????????=3?2????+1?3?2????=?2
?
又????????????3????1=????????????33=1
?
例4 已知数列????????的首项????????=????.
(2)若数列????????为等比数列,公比????=????????,证明数列????????????????????????为等差数列.
?
新知探究三：等比数列的判断
思考 已知b>0且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列 是否一定是等比数列? 如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列?
?
数列{an}是等差数列?数列 是等比数列.
思考 已知b>0且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列 是否一定是等比数列? 如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是否一定是等差数列?
?
数列{an}是正项等比数列
?数列{logban}是等差数列.
2.设数列{an}, {bn}都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列，若是，证明结论；若不是，请说明理由.
课本P34
新知探究三：等比数列的判断
应用小结
例5 用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)？
(2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.（精确到?????????????）
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
月初本金
月末本利和
1个月
2个月
3个月
?
?
?
12个月
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
月初本金
月末本利和
1个月
2个月
3个月
12个月
????????????
?
????????????????+????.????????????%
?
????????????????+????.????????????%????
?
????????????????+????.????????????%????
?
????????????????+????.????????????%
?
????????????????+????.????????????%????
?
????????????????+????.????????????%????????
?
????????????????+????.????????????%????????
?
新知探究四：等比数列的应用
例5 用10 000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率0.400%的复利计息,12个月能获利多少利息(精确到1元)？
解：
（1）设这笔钱存????个月以后的本利和组成一个数列????????，则????????是等比数列.
?
首项????1=1041+0.400%,
?
公比????=1+0.400%
?
所以，????12=1041+0.400%12≈10490.97
?
所以，12个月后的利息为10490.97-10000≈491（元）
?
利息=本利和-本金
新知探究四：等比数列的应用
设季度利率为????,这笔钱存????个季度以后的本利和组成一个数列????????,则????????也是一个等比数列，
?
解：
首项????1=1041+????,公比????=1+????
?
所以,????4=1041+????4
?
因此,以季度复利计息,存4个季度后的利息为1041+????4?104元
?
解不等式1041+????4?104≥491，得
?
????≥1.206%
?
所以,当季度利率不小于1.206%时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.
?
例5 用10 000元购买某个理财产品一年.
(2)若以季度复利计息,存4个季度,则当每季度利率为多少时,按季结算的利息不少于按月结算的利息.（精确到?????????????）
?
新知探究四：等比数列的应用
3. 某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017 年全年生产新能源汽车5000辆，如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆(精确到1)?
4.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240. 这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少(精确到0.01)?
课本P34
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
产量
不合格率
数列????????
?
数列????????
?
等比数列
等差数列
分析：
不合格品
产量×不合格率
等差数列×等比数列
????????????????
?
新知探究四：等比数列的应用
新知探究四：等比数列的应用
解: 设从今年1月起 , 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}.
bn=1-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n, 其中n=1, 2,… , 24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1× (0.104-0.004n)
由题意，知an=1050×1.05n-1,
由计算工具计算（精确到0.1），并列表
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}n
1
2
3
4
5
6
7
anbn
105.0
105.8
106.5
107.0
107.2
107.2
106.9
n
8
9
10
11
12
13
14
anbn
106.4
105.5
104.2
102.6
100.6
98.1
95.0
观察发现，数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{anbn}递减，且a13b13<100即可.
得 n>5.
新知探究四：等比数列的应用
所以，当n≥6时，数列{anbn}递减.
又 a13b13≈98<100.
所以, 当13≤ n ≤24时，anbn ≤ a13b13<100.
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
5.已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值.
课本P34
3．等比数列的单调性
{93296810-A885-4BE3-A3E7-6D5BEEA58F35} 公比q
单调性
首项a1
q>1
0q=1
q<0
a1>0
a1<0
递增数列
递减数列
常数列
摆动数列
递减数列
递增数列
4.等比数列的项与序号的关系
{69CF1AB2-1976-4502-BF36-3FF5EA218861}两项关系
多项关系