人教A版（2019）选择性必修第二册 4.2.2等差数列的前n项和公式（共2课时）课件（共38张PPT）

人教A版（2019）高中数学选择性必修二
4.2.2等差数列的前n项和公式
第一课时
一
二
三
学习目标
理解公式的推导方法
能较熟练应用等差数列前n项和公式求和
学习目标
掌握等差数列前n项和公式
复习回顾
1. 等差数列定义：
2. 等差数列通项公式：
(2) an＝am＋(n－m)d .
(3) an＝pn＋q (p、q是常数)
(1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
an－an－1 ＝d (n≥2)
或 an+1－an ＝d.
3. 几种计算公差d的方法:
4. 等差中项
m＋n＝p＋q ? am＋an＝ap＋aq .
5. 等差数列的性质
?A=????+?????2
?
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1+2+3+---+99+100=?
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面 的方法迅速算出了正确答案：
情境导入
1+2+3+…+50+51+…+98+99+100=
5050
50对
101
101
101
101
新知探究一：等差数列的前n项和公式
问题1：计算
新知探究一：等差数列的前n项和公式
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，???，n，??? ①
前100项的和的问题.
思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗?
对于数列1，2，3，???，n，??? ，若设an=n，那么高斯的计算方法可以表示为
可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系.
这里用到了数列的性质：若p+q=s+t，则ap+ aq=as+ at，它使不同数的求和问题转化成了相同数(即101)的求和，从而简化了运算.
动脑思考 探究新知
配对
问题2：
偶数项
奇数项
问题1：
问题3：
思路2（拿出中间项，再首尾配对） 原式=(1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51
思路1（拿出末项，再首尾配对）原式=(1+2+3+… + 100)+101
思路3（先凑成偶数项，再配对）原式=(1+2+3+… + 100+102)-102
思路4（先凑成偶数项，再配对）原式=0+1+2+3+… + 100+101
将上述方法推广到一般，可以得到:
于是有
当n是偶数时，有
当n是奇数时，有
∴对任意正整数n，都有
问题3： 你能用高斯的方法计算1＋2＋3＋… ＋n吗？
新知探究一：等差数列的前n项和公式
思考 我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦. 能否设法避免分类讨论?
这种求和方法叫倒序求和法
性质：如果数列{an} 是等差数列，p，q，s，t∈N*，
且 p＋q＝s＋t，则 ap＋aq＝as＋at
左右两边分别相加
n个
①
②
新知探究一：等差数列的前n项和公式
问题4 那么，对于一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？
这就是等差数列前n项和的公式！
等差数列前n项和公式
请记住我
项数
首项
末项
概念生成
等差数列的通项公式
等差数列前n项和公式
首项
项数
公差
概念生成
等差数列{an}的相关公式及性质：
1.等差数列{an}的通项公式：
2.等差数列{an}的前n项和公式：
3.等差数列{an}的重要性质：
在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二.
例6 已知数列{an}是等差数列.
例7 已知一个等 差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?
根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn .
(1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50;
(3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32.
课本P22
根据下列各题中的条件，求相应等差数列{an }的前n项和Sn .
(1) a1＝5, an＝95, n＝10; (2) a1＝100, d＝－2, n＝50;
(3) a1＝－4, a8＝－18, n＝10; (4) a1＝14.5, d＝0.7, an＝32.
课本P22
2. 等差数列－1, －3, －5, ???的前多少项的 和是－100 ?
3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 .
课本P23
4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.
课本P23
等差数列的前n项和公式:
形式1:
形式2:

课堂小结
(1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
等差数列通项公式：
在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二.
人教A版（2019）高中数学选择性必修二
4.2.2等差数列的前n项和公式
第二课时
一
二
三
学习目标
掌握等差数列前n项和的应用
能较熟练应用等差数列前n项和公式求和
学习目标
会求等差数列前n项和的最值
等差数列的前n项和公式:
形式1:
形式2:

复习回顾
(1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
等差数列通项公式：
在两个求和公式中, 各有五个元素, 只要知道其中三个元素, 结合通项公式就可求出另两个元素——知三求二.
新知探究一：等差数列的前n项和公式的应用
例1 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位?
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an} ，设数列{an} 的前n项和为????????。由题意可知， {an}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项。
?
1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
例题小结
1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元. 你认为哪种领奖方式获奖者受益更多?
课本P24
新知探究二：等差数列的前n项和的最值
例9 已 知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值? 若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
分析1：由????????>????和????< ????，可以证明{????????}是递减数列，且存在正整数????，使得当
????≥????时，?????????
通项公式法求最值
解法1：
注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.
新知探究二：等差数列的前n项和的最值
分析????：另一方面，等差数列的前n项和公式可写成??????????=????2?????2+????1?????2????，
所以当????≠0时， ????????可以看成二次函数????=????2?????2+????1?????2????(????∈????)，
当????= ????时函数值。如图，当????< 0时， ????????关于????的图像是一条开口向下
的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的????, ????????的值。
?
前n项和公式法求最值
解法2：
例题小结
求等差数列的前n项和最值的两种常用方法
方法一：通项公式法求最值
情形1：当a1>0，d<0时，
数列前面有若干项为正, 此时所有非负项的和为Sn的最大值.
此时由an≥0且an+1≤0求n的值
情形2: 当a1<0，d>0时，
数列前面有若干项为负, 此时所有非正项的和为Sn的最小值.
此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值
方法二：前n项和公式法求最值
例题小结
思考：我们发现，等差数列{an}的前n项和公式 可化简为 ， 这个函数式与函数 有什么关系？
当d=0 时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点.
当d≠0 时， 是二次函数
当x = n时的函数值.
几何意义：前n项和公式Sn的图象是一条过坐标原点的抛物线上孤立的点.
常数列
例题小结
情形1：当a1>0，d<0 时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点.
Sn
n
O
1
由 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.
情形2:当a1<0，d>0 时，Sn的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上孤立的点.
Sn
n
O
1
由 利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.
练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法1
由S3=S11得
∴ d=－2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
7
n
11
3
Sn
巩固练习
练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法2
由S3=S11得
d=－2<0
∴当n=7时,Sn取最大值49.
则Sn的图象如图所示
又S3=S11
所以图象的对称轴为
7
n
11
3
Sn
练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法3
由S3=S11得
d=－2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
得
∴a7+a8=0
练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法4
由S3=S11得
∴当n=7时,Sn取最大值49.
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
又d=－2<0,a1=13>0
∴a7>0,a8<0
当堂达标
解析∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正确．
AB
又S11＝????????????(a1＋a11)＝11a6>0，B正确．
?
S12＝????????????(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确．

?
{Sn}中最大项为S6，D不正确．
3. 已知等差数列－4.2，－3.7，－3.2，???的前n项和为Sn，Sn是否存在最大(小)值? 如果存在，求出取得最值时n的值.
课本P24
(1)当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为Sn的最大值. 此时由an≥0且an+1≤0求n的值；
(2)当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值. 此时由an≤0 且an+1 ≥ 0求n的值；
注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法
1.前n项和公式法
2.通项公式法
利用Sn=An2+Bn进行配方，求二次函数的最值，
此时n应取最接近????????????? 的正整数值；
?
利用等差数列的增减性及an的符号变化
课堂小结