安徽省池州市名校2023-2024年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵有意义，
∴，
解得：a≤0，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】多边形的边数=360°÷40°=9，
故答案为：C.
【分析】利用“正多边形的边数=外角和÷一个外角的度数”列出算式求解即可.
3．用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】，
∴，
∴，
∴b=4，
故答案为：C.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法求解即可.
4．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、∵不是同类二次根式，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的加减法，二次根式的乘除法逐项判断即可.
5．在中，，，的对边分别是a，b，c.下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵，∴，∴△ABC是锐角三角形，∴A符合题意；
B、∵，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=90°，∴△ABC是直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵，∴c2=a2+b2，∴△ABC是直角三角形，∴C不符合题意；
D、∵，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
6．关于的一元二次方程的根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意可得：a=1，b=k，c=k-1，
∴△=b2-4ac=k2-4×1×（k-1）=k2-4k+4=（k-2）2≥0，
∴一元二次方程由两个实数根，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.
7．如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，BO=DO=BD，
∵E为OD的中点，
∴DE=OD=BD，
∴S△AED=S△ABD=×AB×AD=××6×8=6，
故答案为：A.
【分析】先利用矩形的性质及E为OD的中点，求出DE=OD=BD，再利用三角形的面积公式求出S△AED=S△ABD=×AB×AD=××6×8=6即可.
8．“多读书，读好书”是提升学生阅读能力的重要举措，某校倡议学生在家多读一些教育部推荐的中外名著，王老师为了解学生每周在家阅读中外名著的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据：
时间（小时） 6 5 4 3 2
人数（人） 2 6 4 6 2
关于每周在家阅读中外名著的时间的描述，正确的是（ ）
A．众数是6 B．平均数是4 C．中位数是3 D．方差是1
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】A、根据表格中的数据可得，阅读时间为5小时和3小时的人数最多，都是6人，故众数为5和3，∴A不正确；
B、根据表格中的数据可得，平均数=，∴B正确；
C、根据表格中的数据可得，中位数=（4+4）÷2=4，∴C不正确；
D、根据表格中的数据可得，方差=，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用众数、平均数、中位数和方差的定义及计算方法逐项判断即可.
9．如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为，，以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】∵点A，M的坐标分别为，，
∴，
∵点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，
∴AN=AM=，
∴ON=OA+AN=1+，
∵点N在x轴的负半轴，
∴点N的坐标为，
故答案为：C.
【分析】先利用两点之间的距离公式求出AM的长，再利用线段的和差求出ON的长，最后求出点N表示的数即可.
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且，连接BF，DE，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图1，连接AE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
又∵，
∴，
∴，
∴的最小值等于的最小值.
如图2，作点A关于BC的对称点H，连接BH，则A，B，H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的点E.
根据对称性可知，，
∴.
在中，，，
由勾股定理得，
∴的最小值为.
【分析】连接AE，先利用“SAS”证出，可得，再利用线段的和差及等量代换可得的最小值等于的最小值，作点A关于BC的对称点H，连接BH，则A，B，H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的点E，再利用勾股定理求出DH的长，即可得到的最小值为.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．一元二次方程的两根之和为 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意可得：a=1，b=-3，c=-5，
由根与系数的关系可得：x1+x2=，
故答案为：3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=.
12．如图，在平行四边形ABCD中，，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为 .
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD，，
∴BC=AD=8，
∵M，N分别为BE，CE的中点，
∴MN是△BCE的中位线，
∴MN=BC=AD=4，
故答案为：4.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BC=AD=8，再证出MN是△BCE的中位线，可得MN=BC=AD=4.
13．如图，点E，F分别在AB，CD上，，垂足为O，.若，，则点F到直线AB的距离为 .
【答案】
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】∵，
∴CE//BF，
∵，
∴∠AFB=∠AOE=90°，
∵AF=4，BF=3，
∴，
设点F到直线AB的距离为h，
∵S△ABF=，
∴，
∴点F到直线AB的距离为，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用等面积法求出h的值，即可得到点F到直线AB的距离为.
14．已知三个均不为0且互不相等的实数m，n，p，满足，.请解决下列问题：
（1）当时， ；
（2）当时， .
【答案】（1）-6
（2）2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵，，∴，.
∵，∴.
∵，∴m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，∴.
（2）∵，，∴，.
∵，∴，
∴m，n是一元二次方程的两个实数根，且，
∴，，
∴，∴.
【分析】（1）根据题干先求出m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，再利用根与系数的关系求出m+n的值即可；
（2）根据题干先求出m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，且，再利用根与系数的关系及等量代换求出即可.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（2023七下·闵行期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算求解即可。
16．已知代数式.
（1）化简M；
（2）若a是方程的根，求M的值.
【答案】（1）解：
.
（2）解：∵是方程的根，
∴，
∴.
【知识点】代数式求值；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）先求出，再将其代入计算即可.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在中，已知，D是斜边BC的中点，交AB于点E，连接CE.
（1）求证：；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）证明：∵D是斜边BC的中点，，
∴DE是线段BC的垂直平分线，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
（2）解：∵D是斜边BC的中点，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，∴，
∴的周长为.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，再利用勾股定理及等量代换可得；
（2）利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形的周长公式及等量代换求出答案即可.
18．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
（1）请你根据上述规律写出第5个等式： ；
（2）请你猜想第个等式，并说明理由.（用含字母的式子表示，为正整数）
【答案】（1）
（2）解：第个等式：.
理由：左边.
∵为正整数，
∴左边.
又∵右边，
∴左边=右边，即等式成立.
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
∴第n个等式：，
∴第5个等式：，
故答案为：.
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）先根据前几项中数据与序号的关系可得规律，再判断即可.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在四边形ABCD中，，BD是的平分线，E为边BC的中点，F为对角线BD的中点，连接AF，EF.
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）连接AE交BD于点G，若，，求四边形ABEF的面积.
【答案】（1）解：证明：∵E为边BC的中点，F为对角线BD的中点，
∴EF是的中位线，
∴，，.
∵，∴，.
∵是的平分线，
∴，∴，∴，∴，
∴四边形ABEF是平行四边形.
又∵，∴四边形ABEF为菱形.
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，，
∴，，.
在中，，
∴，
∴四边形ABEF的面积为 .
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形ABEF是平行四边形，再结合，可证出四边形ABEF为菱形；
（2）先利用勾股定理求出，可得，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
20．把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，例如：的形式.
我们规定：一个整数能表示成（m，n是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，25是“和谐数”，理由：因为，所以25是“和谐数”。
解决问题：
（1）下列各数中，是“和谐数”的是 ；（填序号）
①20 ②23 ③38 ④52
（2）若（a，b为常数），求ab的值；拓展应用：
（3）已知实数m，n满足，求的最小值.
【答案】（1）①④探究问题：
（2）解：∵，
∴，，∴.
（3）解：∵，
∴，∴.
∵，∴的最小值为8，
即的最小值为8.
【知识点】定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）①∵20=4+16=22+42，∴①符合题意；
④52=36+16=62+42，∴④符合题意；
故答案为：①④.
【分析】（1）利用“和谐数”的定义逐项判断即可；
（2）利用配方法可得，再利用待定系数法求出a、b的值，最后求出ab的值即可；
（3）先求出，再求出，最后求出最小值即可.
六、（本题满分12分）
21．2023年4月24日中国航天日主场活动暨中国航天大会在合肥市开幕，今年中国航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”.某学校为了解八年级学生对航空航天知识的了解情况，组织了一次知识竞赛活动，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：A. ，B. ，C. ，D. ）
八年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，84.
八年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92.
通过数据分析，列表如下：
八年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 92 43.4
八年级（2）班 92 93 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）学校欲选派成绩比较稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级 请说明理由；
（3）已知八年级两个班共120人参加了此次竞赛活动，估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数是多少
【答案】（1）40；94；96
（2）解：学校会选派八年级（1）班参加下一阶段的活动.
理由：∵在平均数相同的情况下，八年级（2）班的方差50.4大于八年级（1）班的方差43.4，
∴八年级（1）班学生的竞赛成绩比较稳定，
∴学校会选派八年级（1）班参加下一阶段的活动.
（3）解：（人）.
答：估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数是78人.
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】解：（1）∵八年级（2）班C组占的百分比为：，
∴a%=100%-20%-10%-30%=40%，
∴a=40；
∵八年级（1）班10名学生测试成绩中，第5和第6位置的数为90和96，
∴b=（90+96）÷2=94；
∵八年级（1）班10名学生测试成绩中，96出现的次数最多，
∴众数c=96；
故答案为：40；94；96；
【分析】（1）利用中位数和众数的定义及百分比的计算方法求解即可；
（2）根据平均数、中位数、众数和方差的定义分析求解即可；
（3）先求出“优秀”的百分比，再乘以120可得答案.
七、（本题满分12分）
22．近年来振兴乡村经济，助农直播带货发展迅猛.一种农副产品每盒进价为80元，当销售价为120元时，每天可售出20盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒农副产品降价1元，那么每天可多售出2盒.设每盒农副产品降价元.
（1）每天销售量增加 盒，每盒农副产品盈利 元（用含的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每盒农副产品降价多少元时，商家每天能盈利1200元
（3）商家能达到每天盈利1500元的目标吗 请说明你的理由，
【答案】（1）；
（2）解：由题意，得，
整理，得，
解得，.
又∵需要让利于顾客，
∴.
答：每盒农副产品降价20元时，能让利于顾客并且商家每天能赢利1200元.
（3）解：商家不能达到每天盈利1500元的目标.
理由：由题意，得，整理，得.
∵，∴此方程无解，
即商家不能达到每天盈利1500元的目标.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设每盒农副产品降价元，则每天销售量增加2x件，每盒农副产品盈利（40-x），
故答案为：2x；.
【分析】（1）根据“ 每盒农副产品降价1元，那么每天可多售出2盒 ”直接求解即可；
（2）利用“总利润=每件利润×数量”列出方程求解即可；
（3）利用“总利润=每件利润×数量”列出方程再求解即可.
八、（本题满分14分）
23．如图，在平行四边形ABCD中，，于点E，过点C作于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且，连接DN，延长AD到点G，使，连接CG.
（1）求证：；
（2）试判断的形状，并说明理由.
（3）若，，求DN的长.
【答案】（1）证明：∵于点，于点，
∴，∴.
∵，，∴，∴.
在和中，
∴，
∴.
（2）解：是等腰直角三角形.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，，
∴.
∵，∴，，
∴，.
∵，，
∴.
∵，，∴.
在和中，
∴，∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形.
（3）解：∵，，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出，再利用“ASA”证出，可得；
（2）先利用“SAS”证出，可得，，再利用角的运算和等量代换求出，即可得到是等腰直角三角形；
（3）先利用线段和差求出，利用勾股定理求出，再证出四边形是平行四边形，可得.
1 / 1安徽省池州市名校2023-2024年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1．若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
4．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，的对边分别是a，b，c.下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．关于的一元二次方程的根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
7．如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
8．“多读书，读好书”是提升学生阅读能力的重要举措，某校倡议学生在家多读一些教育部推荐的中外名著，王老师为了解学生每周在家阅读中外名著的时间，随机调查了本班20名学生，收集到如下数据：
时间（小时） 6 5 4 3 2
人数（人） 2 6 4 6 2
关于每周在家阅读中外名著的时间的描述，正确的是（ ）
A．众数是6 B．平均数是4 C．中位数是3 D．方差是1
9．如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为，，以点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且，连接BF，DE，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．一元二次方程的两根之和为 .
12．如图，在平行四边形ABCD中，，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为 .
13．如图，点E，F分别在AB，CD上，，垂足为O，.若，，则点F到直线AB的距离为 .
14．已知三个均不为0且互不相等的实数m，n，p，满足，.请解决下列问题：
（1）当时， ；
（2）当时， .
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（2023七下·闵行期中）计算：．
16．已知代数式.
（1）化简M；
（2）若a是方程的根，求M的值.
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在中，已知，D是斜边BC的中点，交AB于点E，连接CE.
（1）求证：；
（2）若，，求的周长.
18．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
（1）请你根据上述规律写出第5个等式： ；
（2）请你猜想第个等式，并说明理由.（用含字母的式子表示，为正整数）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在四边形ABCD中，，BD是的平分线，E为边BC的中点，F为对角线BD的中点，连接AF，EF.
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）连接AE交BD于点G，若，，求四边形ABEF的面积.
20．把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，例如：的形式.
我们规定：一个整数能表示成（m，n是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，25是“和谐数”，理由：因为，所以25是“和谐数”。
解决问题：
（1）下列各数中，是“和谐数”的是 ；（填序号）
①20 ②23 ③38 ④52
（2）若（a，b为常数），求ab的值；拓展应用：
（3）已知实数m，n满足，求的最小值.
六、（本题满分12分）
21．2023年4月24日中国航天日主场活动暨中国航天大会在合肥市开幕，今年中国航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”.某学校为了解八年级学生对航空航天知识的了解情况，组织了一次知识竞赛活动，从两班各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：A. ，B. ，C. ，D. ）
八年级（1）班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，84.
八年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92.
通过数据分析，列表如下：
八年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 92 43.4
八年级（2）班 92 93 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）学校欲选派成绩比较稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级 请说明理由；
（3）已知八年级两个班共120人参加了此次竞赛活动，估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数是多少
七、（本题满分12分）
22．近年来振兴乡村经济，助农直播带货发展迅猛.一种农副产品每盒进价为80元，当销售价为120元时，每天可售出20盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒农副产品降价1元，那么每天可多售出2盒.设每盒农副产品降价元.
（1）每天销售量增加 盒，每盒农副产品盈利 元（用含的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每盒农副产品降价多少元时，商家每天能盈利1200元
（3）商家能达到每天盈利1500元的目标吗 请说明你的理由，
八、（本题满分14分）
23．如图，在平行四边形ABCD中，，于点E，过点C作于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且，连接DN，延长AD到点G，使，连接CG.
（1）求证：；
（2）试判断的形状，并说明理由.
（3）若，，求DN的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵有意义，
∴，
解得：a≤0，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
2．【答案】C
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】多边形的边数=360°÷40°=9，
故答案为：C.
【分析】利用“正多边形的边数=外角和÷一个外角的度数”列出算式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】，
∴，
∴，
∴b=4，
故答案为：C.
【分析】利用配方法求解一元二次方程的计算方法求解即可.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A、∵不是同类二次根式，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的加减法，二次根式的乘除法逐项判断即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵，∴，∴△ABC是锐角三角形，∴A符合题意；
B、∵，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=90°，∴△ABC是直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵，∴c2=a2+b2，∴△ABC是直角三角形，∴C不符合题意；
D、∵，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意可得：a=1，b=k，c=k-1，
∴△=b2-4ac=k2-4×1×（k-1）=k2-4k+4=（k-2）2≥0，
∴一元二次方程由两个实数根，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，BO=DO=BD，
∵E为OD的中点，
∴DE=OD=BD，
∴S△AED=S△ABD=×AB×AD=××6×8=6，
故答案为：A.
【分析】先利用矩形的性质及E为OD的中点，求出DE=OD=BD，再利用三角形的面积公式求出S△AED=S△ABD=×AB×AD=××6×8=6即可.
8．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】A、根据表格中的数据可得，阅读时间为5小时和3小时的人数最多，都是6人，故众数为5和3，∴A不正确；
B、根据表格中的数据可得，平均数=，∴B正确；
C、根据表格中的数据可得，中位数=（4+4）÷2=4，∴C不正确；
D、根据表格中的数据可得，方差=，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用众数、平均数、中位数和方差的定义及计算方法逐项判断即可.
9．【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】∵点A，M的坐标分别为，，
∴，
∵点A为圆心，以AM的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，
∴AN=AM=，
∴ON=OA+AN=1+，
∵点N在x轴的负半轴，
∴点N的坐标为，
故答案为：C.
【分析】先利用两点之间的距离公式求出AM的长，再利用线段的和差求出ON的长，最后求出点N表示的数即可.
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图1，连接AE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
又∵，
∴，
∴，
∴的最小值等于的最小值.
如图2，作点A关于BC的对称点H，连接BH，则A，B，H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的点E.
根据对称性可知，，
∴.
在中，，，
由勾股定理得，
∴的最小值为.
【分析】连接AE，先利用“SAS”证出，可得，再利用线段的和差及等量代换可得的最小值等于的最小值，作点A关于BC的对称点H，连接BH，则A，B，H三点共线，连接DH，DH与BC的交点即为所求的点E，再利用勾股定理求出DH的长，即可得到的最小值为.
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意可得：a=1，b=-3，c=-5，
由根与系数的关系可得：x1+x2=，
故答案为：3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=.
12．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵平行四边形ABCD，，
∴BC=AD=8，
∵M，N分别为BE，CE的中点，
∴MN是△BCE的中位线，
∴MN=BC=AD=4，
故答案为：4.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BC=AD=8，再证出MN是△BCE的中位线，可得MN=BC=AD=4.
13．【答案】
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】∵，
∴CE//BF，
∵，
∴∠AFB=∠AOE=90°，
∵AF=4，BF=3，
∴，
设点F到直线AB的距离为h，
∵S△ABF=，
∴，
∴点F到直线AB的距离为，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用等面积法求出h的值，即可得到点F到直线AB的距离为.
14．【答案】（1）-6
（2）2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵，，∴，.
∵，∴.
∵，∴m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，∴.
（2）∵，，∴，.
∵，∴，
∴m，n是一元二次方程的两个实数根，且，
∴，，
∴，∴.
【分析】（1）根据题干先求出m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，再利用根与系数的关系求出m+n的值即可；
（2）根据题干先求出m，n可以看作是一元二次方程的两个实数根，且，再利用根与系数的关系及等量代换求出即可.
15．【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算求解即可。
16．【答案】（1）解：
.
（2）解：∵是方程的根，
∴，
∴.
【知识点】代数式求值；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）先求出，再将其代入计算即可.
17．【答案】（1）证明：∵D是斜边BC的中点，，
∴DE是线段BC的垂直平分线，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
（2）解：∵D是斜边BC的中点，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，∴，
∴的周长为.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，再利用勾股定理及等量代换可得；
（2）利用直角三角形斜边上中线的性质可得，利用勾股定理求出AB的长，再利用三角形的周长公式及等量代换求出答案即可.
18．【答案】（1）
（2）解：第个等式：.
理由：左边.
∵为正整数，
∴左边.
又∵右边，
∴左边=右边，即等式成立.
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
∴第n个等式：，
∴第5个等式：，
故答案为：.
【分析】（1）根据前几项中数据与序号的关系可得答案；
（2）先根据前几项中数据与序号的关系可得规律，再判断即可.
19．【答案】（1）解：证明：∵E为边BC的中点，F为对角线BD的中点，
∴EF是的中位线，
∴，，.
∵，∴，.
∵是的平分线，
∴，∴，∴，∴，
∴四边形ABEF是平行四边形.
又∵，∴四边形ABEF为菱形.
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，，
∴，，.
在中，，
∴，
∴四边形ABEF的面积为 .
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形ABEF是平行四边形，再结合，可证出四边形ABEF为菱形；
（2）先利用勾股定理求出，可得，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
20．【答案】（1）①④探究问题：
（2）解：∵，
∴，，∴.
（3）解：∵，
∴，∴.
∵，∴的最小值为8，
即的最小值为8.
【知识点】定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）①∵20=4+16=22+42，∴①符合题意；
④52=36+16=62+42，∴④符合题意；
故答案为：①④.
【分析】（1）利用“和谐数”的定义逐项判断即可；
（2）利用配方法可得，再利用待定系数法求出a、b的值，最后求出ab的值即可；
（3）先求出，再求出，最后求出最小值即可.
21．【答案】（1）40；94；96
（2）解：学校会选派八年级（1）班参加下一阶段的活动.
理由：∵在平均数相同的情况下，八年级（2）班的方差50.4大于八年级（1）班的方差43.4，
∴八年级（1）班学生的竞赛成绩比较稳定，
∴学校会选派八年级（1）班参加下一阶段的活动.
（3）解：（人）.
答：估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数是78人.
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势；众数
【解析】【解答】解：（1）∵八年级（2）班C组占的百分比为：，
∴a%=100%-20%-10%-30%=40%，
∴a=40；
∵八年级（1）班10名学生测试成绩中，第5和第6位置的数为90和96，
∴b=（90+96）÷2=94；
∵八年级（1）班10名学生测试成绩中，96出现的次数最多，
∴众数c=96；
故答案为：40；94；96；
【分析】（1）利用中位数和众数的定义及百分比的计算方法求解即可；
（2）根据平均数、中位数、众数和方差的定义分析求解即可；
（3）先求出“优秀”的百分比，再乘以120可得答案.
22．【答案】（1）；
（2）解：由题意，得，
整理，得，
解得，.
又∵需要让利于顾客，
∴.
答：每盒农副产品降价20元时，能让利于顾客并且商家每天能赢利1200元.
（3）解：商家不能达到每天盈利1500元的目标.
理由：由题意，得，整理，得.
∵，∴此方程无解，
即商家不能达到每天盈利1500元的目标.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设每盒农副产品降价元，则每天销售量增加2x件，每盒农副产品盈利（40-x），
故答案为：2x；.
【分析】（1）根据“ 每盒农副产品降价1元，那么每天可多售出2盒 ”直接求解即可；
（2）利用“总利润=每件利润×数量”列出方程求解即可；
（3）利用“总利润=每件利润×数量”列出方程再求解即可.
23．【答案】（1）证明：∵于点，于点，
∴，∴.
∵，，∴，∴.
在和中，
∴，
∴.
（2）解：是等腰直角三角形.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，，
∴.
∵，∴，，
∴，.
∵，，
∴.
∵，，∴.
在和中，
∴，∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形.
（3）解：∵，，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）先求出，再利用“ASA”证出，可得；
（2）先利用“SAS”证出，可得，，再利用角的运算和等量代换求出，即可得到是等腰直角三角形；
（3）先利用线段和差求出，利用勾股定理求出，再证出四边形是平行四边形，可得.
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