仪征市2023-2024学年高三上学期期中模拟数学试卷
2023.10
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则(CUB)∪A=（ ）
A. B. C. D.
2．“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3．若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4．在空间直角坐标系中，已知异面直线，的方向向量分别为，，则，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5．函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知 f(x＋y) ＋f(x－y) ＝2f(x)·f(y) ，且 f(x)≠0 ，则 f(x)是（ ）
A. 偶函数 B. 奇函数
C. 非奇非偶函数 D. 不能确定
7．△ABC中，若有，则△ABC的形状一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
8．已知，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法中正确的有（ ）
A. 若a >b>0，则 B. 若a < b<0，cC. 若a < b，c10．声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈；人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（ ）
A. 闻阈的声强级为
B. 此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：）
C. 如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D. 声强级增加，则声强变为原来的10倍
11．已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 若函数为偶函数，则
C. 若，则函数y=f(x)的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
D. 若，则函数的图象的对称中心为
12．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，正四面体E-FGH的棱长为a，则以下说法正确的是（ ）
A. 正方体ABCD—A1B1C1D1的外接球直径为
B. 正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球直径为4
C. 若正四面体E-FGH可以放入正方体ABCD—A1B1C1D1内自由旋转，则a的最大值是
D. 若正方体ABCD—A1B1C1D1可以放入正四面体E-FGH内自由旋转，则a的最小值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，则_______．
14．已知函数则函数的所有零点构成的集合为________．
15．若x，y满足x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为___________．
16．已知函数，不论a为何值，曲线均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10分)已知集合，集合B = (a-1，a+1)．
（1）当时，求A∩(CUB)；
（2）记，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．(12分)在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
且．
（1）求；
（2）若D为上点，平分角A，且，，求．
19．(12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
20．(12分) 已知底面是正方形，平面，，，点E、F分别为线段PB、CQ的中点．
（1）求证：平面；
（2）线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，
若存在求出的值，若不存在，说明理由．
21．(12分)已知函数，其中．
（1）若是函数f(x)的极值点，求a的值；
（2）若a<0，讨论函数f(x)的单调性．
22．(12分)若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间．
（1）是否存在实数m，使得函数是(0,+∞)上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由；
（2）若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式，并判断是否为函数的等域区间．仪征市2023-2024学年高三上学期期中模拟数学试卷
答案
2023.10
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则(CUB)∪A=（ A ）
A. B. C. D.
2．“”是“”的（ B ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3．若，则的大小关系为（ D ）
A. B. C. D.
4．在空间直角坐标系中，已知异面直线，的方向向量分别为，，则，所成角的余弦值为（ A ）
A. B. C. D.
5．函数的图象大致为（ C ）
A. B.
C. D.
6．已知 f(x＋y) ＋f(x－y) ＝2f(x)·f(y) ，且 f(x)≠0 ，则 f(x)是（ A ）
A．偶函数 B．奇函数
C．非奇非偶函数 D．不能确定
7．△ABC中，若有，则△ABC的形状一定是（ B ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
8．已知，，则（ D ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法中正确的有（ AC ）
A. 若a >b>0，则 B. 若a < b<0，cC. 若a < b，c10．声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈；人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（ BD ）
A. 闻阈的声强级为
B. 此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：）
C. 如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍
D. 声强级增加，则声强变为原来的10倍
11． 已知函数，则（ ACD ）
A. 函数的最小正周期为
B. 若函数为偶函数，则
C. 若，则函数y=f(x)的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
D. 若，则函数的图象的对称中心为
12．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，正四面体E-FGH的棱长为a，则以下说法正确的是（ BCD ）
A. 正方体ABCD—A1B1C1D1的外接球直径为
B. 正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球直径为4
C. 若正四面体E-FGH可以放入正方体ABCD—A1B1C1D1内自由旋转，则a的最大值是
D. 若正方体ABCD—A1B1C1D1可以放入正四面体E-FGH内自由旋转，则a的最小值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，则_______．
【答案】
14．已知函数则函数的所有零点构成的集合为________．
【答案】
15．若x，y满足x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为___________．
【答案】
16．已知函数，不论a为何值，曲线均存在一条固定的切线，则这条切线的方程是___________．
【答案】
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10分)已知集合，集合B = (a-1，a+1)．
（1）当时，求A∩(CUB)；
（2）记，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为，则，则，
故，当时B = (3，5)，
∴，
所以
（2）∵，
∵是的必要不充分条件，即 ，
∴，解得，
所以 实数的取值范围是．
18．(12分)在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
且．
（1）求；
（2）若D为上点，平分角A，且，，求．
【解析】（1）因为，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理，可得，
又因为，可得．
（2）因为D为上点，平分角，则，
又由，
可得，
又因为，可得，解得，
因为，所以．
19．(12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解析】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
20．(12分) 已知底面是正方形，平面，，，点E、F分别为线段PB、CQ的中点．
（1）求证：平面；
（2）线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，
若存在求出的值，若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为底面是正方形，且平面，
所以两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
易知平面的一个法向量为，
所以，，又平面，
所以平面.
（2）设平面的法向量为，
则，当，可取，
假设存在点，，
设，所以，
所以，得，
所以，
化简，得，解得或，
所以或
21．(12分)已知函数，其中．
（1）若是函数f(x)的极值点，求a的值；
（2）若a<0，讨论函数f(x)的单调性．
【解析】（1） ，
因为是函数的极值点，所以，解得，
经检验，符合题意，故．
（2） ，
当a<0时，令，解得或，
当时，
因当时，当或时，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当时，
因为当时，当或时，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当时，
所以在上单调递减
综上，
当时，在上递减，在上递增，在上递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
22．(12分)若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的正函数，区间叫做等域区间．
（1）是否存在实数m，使得函数是(0,+∞)上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由；
（2）若，且不等式的解集恰为，求函数的解析式，并判断是否为函数的等域区间．
【解析】（1）因为函数是(0,+∞)上的增函数，
所以当时，
故关于x的方程x2-x+m=0在区间(0,+∞)内有两个不等实根，
根据韦达定理，解得．
（2）
由不等式的解集恰为，且为二次函数，
得，且.
所以，① ，②
将代入①， ，
整理得.又，a，，
从而或.所以或
①当时，，
当时，，所以不是的等域区间；
②当时，，
当时，，所以不是的等域区间．
