山东省青岛市青岛大学附中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科学记数法可以表示为（ ）
A．29.06×108 B．2.906×108 C．29.06×109 D．2.906×109
3．下列运算正确的是（ ）
A．3a2+5a2＝8a4
B．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝1
C．（﹣2a2）3﹣（﹣a4）（3a）2＝﹣17a6
D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
4．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1
5．如图，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（1，4）
C．（1，3+1） D．（﹣1，﹣2）
6．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，若EF=1，AC＝6，则AB的长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
7．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．3 cm D．6cm
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB 边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC=16，BD＝12，则EF的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4.8 D．2.4
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．
（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣×＝ ；
（2）分解因式：3m2﹣6m+3＝ ．
10．为响应“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵，原计划每小时植树X棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务，则x的值为 ．
11．如图所示，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝620°，则∠G+∠H＝ ．
12．一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k）x≥b-1 的解集是 ．
13．如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为 ．
14．对于正数x，规定，例如，则的结果是= ．
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．尺规作图：
已知线段a，b，求作菱形ABCD，使菱形边长等于a，对角线AC=b。
结论：
四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）
16．计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：．
17．近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元2
“美团” ①____ 6 6 1.2
“滴滴” 6 ②____ 4 ③____
（1）完成表格填空；
（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
18．小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
类别 次数 购买A商品数量（件） 购买B商品数量（件） 消费金额（元）
第一次 4 5 320
第二次 2 6 300
第三次 5 7 258
解答下列问题：
（1）第 次购买有折扣；
（2）求A、B两种商品的原价；
（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；
（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，至少购买A商品多少件？
19． “节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元，今年该自行车每辆售价比去年降低100元。若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加20%．请解答以下问题：
（1）A型自行车今年每辆售价为多少？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍．A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元，购进A型车多少辆，购进B型车共多少辆，获利最多多少元？
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．
（1）请直接写出k、b的值；k＝ ，b＝ ．
（2）若D线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E．
①设D点的横坐标为x，线段DE的长为y，则y与x的函数关系式为 ▲ ；
②若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标．
（3）平面内是否存在一点P，使以O、A、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH∥BC交BE的延长线与H，连接CH与DH．
（1）求证：△BCE≌△HOE；
（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．
22．甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息1h后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（km）随时间t（h）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）甲同学上山过程中S甲与t的函数解析式为 ；点D的坐标为 ．
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75km．
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．
23．【问题提出】
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？
（1）【问题探究】
为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论
探究一：
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？
如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；
如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；
如图3，当m＝5，n＝2时，有 种不同的选择方法；
……
由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有 种不同的选择方法．
探究二：
如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个......n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？
我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空
1 2 3 … 93 94 95 96 97 98 99 100
从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有 种不同的选择方法；
从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有 种不同的选择方法；
……
从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有 种不同的选择方法；
……
由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100），有 种不同的选择方法．
（2）【问题解决】
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有 种不同的选择方法．
（3）【实际应用】
我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．
①今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上 种不同的选择．
②星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，则一共有 种不同的选择方法．
（4）【拓展延伸】
如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有 种不同的放置方法．
24．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB=10，点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、不是中心对称图形，∴B符合题意；
C、是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：29.06亿=2906000000=2.906×109，
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；多项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵3a2+5a2＝8a2，∴A不正确；
B、∵（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝-1，∴B不正确；
C、∵（﹣2a2）3﹣（﹣a4）（3a）2＝a6 ，∴C不正确；
D、∵（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法及多项式乘多项式的计算方法逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①可得，x＞2，
由②可得，x＞m+1，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m+1≤2，
∴m≤1，
故答案为：C.
【分析】先求出不等式组的解集，再结合不等式组的解集为x＞2，可得m+1≤2，再求出m的取值范围即可.
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（4，2），
∴点A向下平移2个单位后的坐标为（4，2-2），即（4，0），
∴再将点（4，0）绕点P旋转90°后的坐标为（2，4），即 A'（2，4），
故答案为：A.
【分析】利用点坐标平移的特征及旋转的特征求解即可.
6．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG=AC，
∵AC=6，
∴AG=AC=6，FG=CF，
∵AE为△ABC的中位线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴BG=2EF=2，
∴AB=AG+BG=6+2=8，
故答案为：C.
【分析】先证出△ACG是等腰三角形，可得AG=AC=6，FG=CF，再利用三角形中位线的性质可得BG=2EF=2，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
7．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，如图所示：
根据图象可得：∠AEB=90°，AE=3，∠ABE=30°，
∴AB=2AE=6，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB=，
故答案为：D.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB=2AE=6，再利用等腰直角三角形的性质可得AC=AB=.
8．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC=×16=8，OB=OD=BD=×12=6，
∴∠AOB=90°，
∴，
∵S△AOB=×AB×OH=×OA×OB，
∴，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF=OP，
∵OP≥OH，
∴EF≥4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：C.
【分析】连接OP，作OH⊥AB于点H，先利用等面积法求出，再根据“EF=OP，OP≥OH”求解即可.
9．【答案】（1）﹣4﹣2
（2）3（m﹣1）2
【知识点】实数的运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：（1）（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣×＝-1-3-2=﹣4﹣2，
故答案为： ﹣4﹣2 ；
（2）3m2﹣6m+3＝3（m2-2m+1）=3（m﹣1）2，
故答案为：3（m﹣1）2.
【分析】（1）先利用有理数的乘方，负指数幂和二次根式的乘法的计算方法化简，再计算加减法即可；
（2）先提取公因式3，再利用完全平方公式因式分解即可.
10．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵九年级（1）班全体师生义务植树300棵，原计划每小时植树x棵，
∴原计划植树用的时间应该为小时，
∵实际工作效率提高为原计划的1.2倍，
∴实际植树用的时间应该为小时，
∴由题意可列方程：，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出原计划植树用的时间应该为小时，再求出实际植树用的时间应该为小时，最后找出等量关系列方程求解即可。
11．【答案】100°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AF，如图所示：
∵六边形ABCD的内角和=（6-2）×180°=720°，
∠MAB+∠B+∠C+∠D+∠E+∠MFE=620°，
∴∠MAF+∠MFA=720°-620°=100°，
∴∠AMF=180°-（∠MAF+∠MFA）=80°，
∴∠GMH=∠AMF=80°，
∴∠G+∠H=100°，
故答案为：100°.
【分析】连接AF，先利用角的运算求出∠MAF+∠MFA=720°-620°=100°，再利用三角形的内角和求出∠AMF=180°-（∠MAF+∠MFA）=80°，可得∠GMH=∠AMF=80°，再求出∠G+∠H=100°即可.
12．【答案】x≥3
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵一次函数y=-3x+b和y=kx+1的图象交于点P（3，4），
∴当x≥3时，kx+1≥-3x+b，即（3+k）x≥b-1，
∴不等式（3+k）x≥b-1的解集为x≥3，
故答案为：x≥3.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
13．【答案】112°
【知识点】角的运算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，
∴DE=BE=AC=AE，
∴∠DAE=∠ADE，∠BAE=∠ABE，
∴∠ADE+∠ABE=∠DAE+∠BAE=BAD=56°，
∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠BEC=∠BAE+∠ABE，
∴∠DEC+∠BEC=∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABE，
∴∠BED=∠BAD+∠ADE+∠ABE=56°+56°=112°，
故答案为：112°.
【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得DE=BE=AC=AE，再利用等边对等角的性质可得∠DAE=∠ADE，∠BAE=∠ABE，再利用角的运算和等量代换求出∠BED=∠BAD+∠ADE+∠ABE=56°+56°=112°即可.
14．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴
=
故答案为：.
【分析】先求出，，可得规律，再求出的值即可.
15．【答案】解：如图，四边形ABCD即为所求．
【知识点】菱形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据要求作出图象即可.
16．【答案】（1）解：原式＝
＝﹣；
（2）解：，
由①可得﹣6+2x＜3x+6，
∴x＞﹣12，
由②可得3x﹣2x+2≥6，
∴x≥4，
∴不等式组的解集为：x≥4．
【知识点】分式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
17．【答案】（1）6；4.5；7.6
（2）解：选美团，因为平均数一样、众数美团大于滴滴，更稳定．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）①美团平均月收入=1.4+0.8+0.4+1+2.4=6；
②滴滴中位数为4.5；
③滴滴的方差=；
故答案为：6；4.5；7.6；
【分析】（1）利用平均数、中位数和方差的定义及计算方法求解即可；
（2）根据平均数和众数的定义分析求解即可.
18．【答案】（1）三
（2）解：设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．
（3）解：设折扣数为z，
根据题意得：5×30×+2×40×，
解得：z＝6．
答：折扣数为6．
（4）解：设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，
根据题意得：30×m+40×，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为3．
答：至少购买A商品7件．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据表格可得，第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，
∴第三次购买有折扣，
故答案为：三；
（2） 设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．
（3） 设折扣数为z折，
根据题意得：5×30×+7×40×=258，
解得：z＝6．
答：折扣数为6折．
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，
根据题意得：，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为7．
答：至少购买A商品7件．
【分析】（1）根据表格中的数据分析求解即可；
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据题意列出方程组，再求解即可；
（3）设折扣数为z折，根据题意列出方程5×30×+7×40×=258，再求解即可；
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据题意列出不等式，再求解即可.
19．【答案】（1）解：设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+100）元，
，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的解，
答：A型自行车今年每辆售价为500元；
（2）解：设购进A型车a辆，则购进B型车共（80﹣a）辆，
依题意，80﹣a≤3a，
解得：a≥20，
根据题意，A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元；B型车每辆的售价为700元，
设利润为y元，则y＝（500﹣400）a+（700﹣500）（80﹣a），
即y＝16000﹣100a，
∵﹣100＜5，
∴当a＝20时取得最大值，最大值为16000﹣100×20＝14000（元），
∴购进A型车20辆，购进B型车共60辆，获利最多14000元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+100）元，根据“某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元”列出方程，再求解即可；
（2）设购进A型车a辆，则购进B型车共（80﹣a）辆，利润为y元，则y＝（500﹣400）a+（700﹣500）（80﹣a），再利用一次函数的性质求解即可.
20．【答案】（1）；2
（2）解：①y＝﹣x+8；②在y＝x+7中，
∴A（﹣3，0），
∵D（x， x），0），
∴DO6＝x2+（x）2＝x8，OA2＝9，
∵D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，
∴x2＝9，
解得：x＝或x＝﹣，舍去），
∴D（，）；
（3）解：存在一点P，使以O，A，C，理由如下：
设P（m，n），
又O（0，0），2），4），
①当PO，AC为对角线，AC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（0，4）；
②当PA，OC为对角线时，OC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（6，5）；
③当PC，OA为对角线，OA的中点重合，
∴，
解得，
∴P（﹣7，﹣4）；
综上所述，P的坐标为（0，7）或（﹣6．-4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）将点C（3，4）代入，可得，
解得：b=2；
将点C（3，4）代入y=kx，可得，
解得：；
故答案为：；2；
（2）①∵DE//y轴，点D的横坐标为x，
∴，，
∴，
故答案为：；
②在y＝x+2中，令y=0得x+2，
解得：x=-3，
∴A（﹣3，0），
∵D（x， x），O（0，0），
∴DO2＝x2+（x）2＝x2，OA2＝9，
∵D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，
∴x2＝9，
解得：x＝或x＝﹣（舍去），
∴D（，）；
（3）存在一点P，使以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设P（m，n），
O（0，0），A（-3，0），C(3，4），
①当PO，AC为对角线，AC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（0，4）；
②当PA，OC为对角线时，PA，OC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（6，4）；
③当PC，OA为对角线时，则PC、OA的中点重合，
∴，
解得，
∴P（﹣6，﹣4）；
综上所述，P的坐标为（0，4）、（6，4）或（﹣6．-4）.
【分析】（1）将点C的坐标分别代入一次函数和正比例函数解析式，再求出b和k的值即可；
（2）①根据题意先求出，，再计算求解即可；
②利用等腰三角形的性质列出方程求解即可；
（3）分类讨论：根据平行四边形的性质，列方程组计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：∵OH∥BC，
∴∠BCE＝∠HOE，
∵E是OC的中点，
∴CE＝OE，
在△BCE和△HOE中，
，
∴△BCE≌△HOE（ASA）；
（2）解：当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形
由（1）可知，△BCE≌△HOE，
∴BE＝HE，
∵CE＝OE，
∴四边形BCHO是平行四边形，
∴CH＝OB，CH∥OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴CH＝OD，OC＝OD，
∴四边形OCHD是平行四边形，
又∵OC＝OD，
∴平行四边形OCHD是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠BCE＝∠HOE，利用中点的性质可得CE=OE，再利用“ASA”证出△BCE≌△HOE即可；
（2）根据平行四边形的判定方法求出四边形BCHO是平行四边形，再根据矩形的性质求出OA＝OC，OB＝OD， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可。
22．【答案】（1）S甲＝t；（9，4）
（2）解：①当y＝4﹣0.75＝时， t＝，
解得t＝，
∴点F（，），
设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，将D（9，）代入得：
则：，
解答，
答：甲同学下山过程中S与t的函数解析式为S＝﹣t+13；
②乙到山顶所用时间为：8÷＝12（小时），
当t＝12时，S＝﹣12+13＝2，
当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝8（千米）．
答：甲与乙的距离是3千米．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）设甲同学登山过程中，路程s与时间t的函数解析式为s甲=kt，
将点A（4，2）代入，s甲=kt，
可得：2=4k，
解得：k=，
∴S甲＝t，
将S甲=4代入解析式，可得t=8，
∵甲到达山顶时间是8小时，而甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山，
∴点D的坐标为（9，4），
故答案为：S甲＝t；（9，4）；
（2）①当y＝4﹣0.75＝时， t＝，
解得t＝，
∴点F（，），
设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，
则：，
解答，
答：甲同学下山过程中S与t的函数解析式为S＝﹣t+13；
②乙到山顶所用时间为：4÷＝12（小时），
当t＝12时，S＝﹣12+13＝1，
当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝3（千米）．
答：甲与乙的距离是3千米．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出点D的坐标即可；
（2）①先求出点F的坐标，再结合点D的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
②先求出乙到达山顶所用的时间，再求解即可.
23．【答案】（1）4；m-1；98；97；93；（100﹣n+1）
（2）（m﹣n+1）
（3）6；11
（4）35
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）探究一：
如图3，当m=5，n=2时，有1、2；2、3；3、4；4、5，共4种不同选择方法，
由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有(m-1)种不同的选择方法；
探究二:
从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有1、2、3；2、3、4；3、4、5；…；98、99、100，共有98种不同的选择方法；
从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有1、2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6；…；97、98、99、100，共有97种不同的选择方法；
从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有100-8+1=93种不同的选择方法；
由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n(n≤100)个连续的自然数，有（100-n+1）种不同的选择方法；
故答案为：4；m-1；98；97；93； （100﹣n+1） ；
（2） 如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m﹣n+1）种不同的选择方法；
故答案为：（m﹣n+1） ；
（3）①今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，即m=7，n=2，在出行日
期上，他共有7-2+1=6种不同的选择，
故答案为：6；
②由题意可得：m = 15 -3 +1= 13，n = 3，
所以他们从第七排3号到15号的电影票进行选择,拿到三张连号票，则一共有13-3+1=11种不同的选择方法，
故答案为：11；
（4）“横着”看，m=8，n=2，因此有8-2+1=7种不同的选择；
“竖着”看，m=6，n=2，因此有6-2+1=5种不同的选择；
所以一共有7x5=35种不同的选择；
故答案为：35.
【分析】（1）根据题意找出规律求解即可；
（2）根据题意规律计算求解即可；
（3）①先求出m=7，n=2，再计算求解即可；
②根据题意先求出m和n的值，再计算求解即可；
（4）观察所给的图案，分“横着”看和“竖着”看计算求解即可。
24．【答案】（1）解：∵OA＝6，OB＝10，
∴C（6，10）．
设此时直线DP解析式为y＝kx+b，
把D（4，2），10）分别代入得，
，
解得，
∴此时直线DP的函数解析式为y＝x+6；
（2）解：当点P在线段AC上，0≤t＜5时，高为7×7×6＝6，
当点P在线段BC上，7≤t＜8时，高为6+10﹣8t＝16﹣2t×2×（16﹣2t）＝﹣6t+16，
∴△OPD的面积S关于t的函数解析式为S＝；
（3）解：存在，理由为：
因为BD＞BC，所以满足条件的点AC上．
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑，
①当BD＝BP＝OB﹣OD＝10﹣2＝8时，
在Rt△BCP中，BP＝5
根据勾股定理得：CP＝＝2，
∴AP＝10﹣2，即P（4）；
②当BP＝DP时，过点P作PQ⊥OB于Q，
∴BQ＝DQ＝×（10﹣2）＝4，
∴OQ＝6+4＝6，
∴P（8，6）；
③当DB＝DP＝8时，过点D作DE⊥AC于E，
在Rt△DEP中，DE＝7，
根据勾股定理得：PE＝＝2，
∴AP＝AE+EP＝2+8，
∴P（6，2+2），
综上，满足题意的P坐标为（6，6+2）或（6）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵OA＝6，OB＝10，
∴C（6，10）．
设此时直线DP解析式为y＝kx+b，
把D（4，2）C（6，10）分别代入得，，
解得，
∴此时直线DP的函数解析式为y＝x+2；
（2）当点P在线段AC上，0≤t＜5时，OD=2，高为6，则△OPD的面积为：×2×6＝6；
当点P在线段BC上，5≤t＜8时，OD=2，高为6+10﹣2t＝16﹣2t，则△OPD的面积为：×2×（16﹣2t）＝﹣2t+16，
∴△OPD的面积S关于t的函数解析式为S＝；
（3）存在，理由为：
因为BD＞BC，所以满足条件的点AC上．
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑，
①当BD＝BP＝OB﹣OD＝10﹣2＝8时，
在Rt△BCP中，BP＝8，BC=6，
根据勾股定理得：CP＝＝2，
∴AP＝10﹣2，即P（6，10-2）；
②当BP＝DP时，过点P作PQ⊥OB于Q，
∴BQ＝DQ＝×（10﹣2）＝4，
∴OQ＝2+4＝6，
∴P（6，6）；
③当DB＝DP＝8时，过点D作DE⊥AC于E，
在Rt△DEP中，DE＝6，
根据勾股定理得：PE＝＝2，
∴AP＝AE+EP＝2+2，
∴P（6，2+2），
综上，满足题意的点P坐标为（6，6），（6，2+2）或（6，10-2）．
【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分类讨论，结合题意，列函数解析式计算求解即可；
（3）分类讨论，根据等腰三角形的性质，利用勾股定理等计算求解即可。
1 / 1山东省青岛市青岛大学附中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，∴A不符合题意；
B、不是中心对称图形，∴B符合题意；
C、是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、是中心对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科学记数法可以表示为（ ）
A．29.06×108 B．2.906×108 C．29.06×109 D．2.906×109
【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：29.06亿=2906000000=2.906×109，
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．下列运算正确的是（ ）
A．3a2+5a2＝8a4
B．（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝1
C．（﹣2a2）3﹣（﹣a4）（3a）2＝﹣17a6
D．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；多项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、∵3a2+5a2＝8a2，∴A不正确；
B、∵（﹣a3）4÷（﹣a4）3＝-1，∴B不正确；
C、∵（﹣2a2）3﹣（﹣a4）（3a）2＝a6 ，∴C不正确；
D、∵（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法及多项式乘多项式的计算方法逐项判断即可.
4．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①可得，x＞2，
由②可得，x＞m+1，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m+1≤2，
∴m≤1，
故答案为：C.
【分析】先求出不等式组的解集，再结合不等式组的解集为x＞2，可得m+1≤2，再求出m的取值范围即可.
5．如图，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（1，4）
C．（1，3+1） D．（﹣1，﹣2）
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为（4，2），
∴点A向下平移2个单位后的坐标为（4，2-2），即（4，0），
∴再将点（4，0）绕点P旋转90°后的坐标为（2，4），即 A'（2，4），
故答案为：A.
【分析】利用点坐标平移的特征及旋转的特征求解即可.
6．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，若EF=1，AC＝6，则AB的长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，
∴△ACG是等腰三角形，
∴AG=AC，
∵AC=6，
∴AG=AC=6，FG=CF，
∵AE为△ABC的中位线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴BG=2EF=2，
∴AB=AG+BG=6+2=8，
故答案为：C.
【分析】先证出△ACG是等腰三角形，可得AG=AC=6，FG=CF，再利用三角形中位线的性质可得BG=2EF=2，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
7．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．3 cm D．6cm
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD于点E，如图所示：
根据图象可得：∠AEB=90°，AE=3，∠ABE=30°，
∴AB=2AE=6，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB=，
故答案为：D.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质求出AB=2AE=6，再利用等腰直角三角形的性质可得AC=AB=.
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB 边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC=16，BD＝12，则EF的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4.8 D．2.4
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC=×16=8，OB=OD=BD=×12=6，
∴∠AOB=90°，
∴，
∵S△AOB=×AB×OH=×OA×OB，
∴，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF=OP，
∵OP≥OH，
∴EF≥4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：C.
【分析】连接OP，作OH⊥AB于点H，先利用等面积法求出，再根据“EF=OP，OP≥OH”求解即可.
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．
（1）计算：（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣×＝ ；
（2）分解因式：3m2﹣6m+3＝ ．
【答案】（1）﹣4﹣2
（2）3（m﹣1）2
【知识点】实数的运算；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：（1）（﹣1）2023+（﹣）﹣1﹣×＝-1-3-2=﹣4﹣2，
故答案为： ﹣4﹣2 ；
（2）3m2﹣6m+3＝3（m2-2m+1）=3（m﹣1）2，
故答案为：3（m﹣1）2.
【分析】（1）先利用有理数的乘方，负指数幂和二次根式的乘法的计算方法化简，再计算加减法即可；
（2）先提取公因式3，再利用完全平方公式因式分解即可.
10．为响应“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵，原计划每小时植树X棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务，则x的值为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵九年级（1）班全体师生义务植树300棵，原计划每小时植树x棵，
∴原计划植树用的时间应该为小时，
∵实际工作效率提高为原计划的1.2倍，
∴实际植树用的时间应该为小时，
∴由题意可列方程：，
故答案为：.
【分析】根据题意先求出原计划植树用的时间应该为小时，再求出实际植树用的时间应该为小时，最后找出等量关系列方程求解即可。
11．如图所示，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝620°，则∠G+∠H＝ ．
【答案】100°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AF，如图所示：
∵六边形ABCD的内角和=（6-2）×180°=720°，
∠MAB+∠B+∠C+∠D+∠E+∠MFE=620°，
∴∠MAF+∠MFA=720°-620°=100°，
∴∠AMF=180°-（∠MAF+∠MFA）=80°，
∴∠GMH=∠AMF=80°，
∴∠G+∠H=100°，
故答案为：100°.
【分析】连接AF，先利用角的运算求出∠MAF+∠MFA=720°-620°=100°，再利用三角形的内角和求出∠AMF=180°-（∠MAF+∠MFA）=80°，可得∠GMH=∠AMF=80°，再求出∠G+∠H=100°即可.
12．一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k）x≥b-1 的解集是 ．
【答案】x≥3
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵一次函数y=-3x+b和y=kx+1的图象交于点P（3，4），
∴当x≥3时，kx+1≥-3x+b，即（3+k）x≥b-1，
∴不等式（3+k）x≥b-1的解集为x≥3，
故答案为：x≥3.
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
13．如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为 ．
【答案】112°
【知识点】角的运算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，
∴DE=BE=AC=AE，
∴∠DAE=∠ADE，∠BAE=∠ABE，
∴∠ADE+∠ABE=∠DAE+∠BAE=BAD=56°，
∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠BEC=∠BAE+∠ABE，
∴∠DEC+∠BEC=∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABE，
∴∠BED=∠BAD+∠ADE+∠ABE=56°+56°=112°，
故答案为：112°.
【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得DE=BE=AC=AE，再利用等边对等角的性质可得∠DAE=∠ADE，∠BAE=∠ABE，再利用角的运算和等量代换求出∠BED=∠BAD+∠ADE+∠ABE=56°+56°=112°即可.
14．对于正数x，规定，例如，则的结果是= ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴
=
故答案为：.
【分析】先求出，，可得规律，再求出的值即可.
三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．尺规作图：
已知线段a，b，求作菱形ABCD，使菱形边长等于a，对角线AC=b。
结论：
【答案】解：如图，四边形ABCD即为所求．
【知识点】菱形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据要求作出图象即可.
四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）
16．计算：
（1）化简：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：原式＝
＝﹣；
（2）解：，
由①可得﹣6+2x＜3x+6，
∴x＞﹣12，
由②可得3x﹣2x+2≥6，
∴x≥4，
∴不等式组的解集为：x≥4．
【知识点】分式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
17．近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元2
“美团” ①____ 6 6 1.2
“滴滴” 6 ②____ 4 ③____
（1）完成表格填空；
（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
【答案】（1）6；4.5；7.6
（2）解：选美团，因为平均数一样、众数美团大于滴滴，更稳定．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）①美团平均月收入=1.4+0.8+0.4+1+2.4=6；
②滴滴中位数为4.5；
③滴滴的方差=；
故答案为：6；4.5；7.6；
【分析】（1）利用平均数、中位数和方差的定义及计算方法求解即可；
（2）根据平均数和众数的定义分析求解即可.
18．小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
类别 次数 购买A商品数量（件） 购买B商品数量（件） 消费金额（元）
第一次 4 5 320
第二次 2 6 300
第三次 5 7 258
解答下列问题：
（1）第 次购买有折扣；
（2）求A、B两种商品的原价；
（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；
（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，至少购买A商品多少件？
【答案】（1）三
（2）解：设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．
（3）解：设折扣数为z，
根据题意得：5×30×+2×40×，
解得：z＝6．
答：折扣数为6．
（4）解：设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，
根据题意得：30×m+40×，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为3．
答：至少购买A商品7件．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）根据表格可得，第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，
∴第三次购买有折扣，
故答案为：三；
（2） 设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．
（3） 设折扣数为z折，
根据题意得：5×30×+7×40×=258，
解得：z＝6．
答：折扣数为6折．
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，
根据题意得：，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为7．
答：至少购买A商品7件．
【分析】（1）根据表格中的数据分析求解即可；
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据题意列出方程组，再求解即可；
（3）设折扣数为z折，根据题意列出方程5×30×+7×40×=258，再求解即可；
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据题意列出不等式，再求解即可.
19． “节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元，今年该自行车每辆售价比去年降低100元。若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加20%．请解答以下问题：
（1）A型自行车今年每辆售价为多少？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍．A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元，购进A型车多少辆，购进B型车共多少辆，获利最多多少元？
【答案】（1）解：设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+100）元，
，
解得：x＝500，
经检验，x＝500是原方程的解，
答：A型自行车今年每辆售价为500元；
（2）解：设购进A型车a辆，则购进B型车共（80﹣a）辆，
依题意，80﹣a≤3a，
解得：a≥20，
根据题意，A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元；B型车每辆的售价为700元，
设利润为y元，则y＝（500﹣400）a+（700﹣500）（80﹣a），
即y＝16000﹣100a，
∵﹣100＜5，
∴当a＝20时取得最大值，最大值为16000﹣100×20＝14000（元），
∴购进A型车20辆，购进B型车共60辆，获利最多14000元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型自行车今年每辆售价为x元，则去年每辆售价为（x+100）元，根据“某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元”列出方程，再求解即可；
（2）设购进A型车a辆，则购进B型车共（80﹣a）辆，利润为y元，则y＝（500﹣400）a+（700﹣500）（80﹣a），再利用一次函数的性质求解即可.
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．
（1）请直接写出k、b的值；k＝ ，b＝ ．
（2）若D线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E．
①设D点的横坐标为x，线段DE的长为y，则y与x的函数关系式为 ▲ ；
②若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标．
（3）平面内是否存在一点P，使以O、A、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；2
（2）解：①y＝﹣x+8；②在y＝x+7中，
∴A（﹣3，0），
∵D（x， x），0），
∴DO6＝x2+（x）2＝x8，OA2＝9，
∵D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，
∴x2＝9，
解得：x＝或x＝﹣，舍去），
∴D（，）；
（3）解：存在一点P，使以O，A，C，理由如下：
设P（m，n），
又O（0，0），2），4），
①当PO，AC为对角线，AC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（0，4）；
②当PA，OC为对角线时，OC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（6，5）；
③当PC，OA为对角线，OA的中点重合，
∴，
解得，
∴P（﹣7，﹣4）；
综上所述，P的坐标为（0，7）或（﹣6．-4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）将点C（3，4）代入，可得，
解得：b=2；
将点C（3，4）代入y=kx，可得，
解得：；
故答案为：；2；
（2）①∵DE//y轴，点D的横坐标为x，
∴，，
∴，
故答案为：；
②在y＝x+2中，令y=0得x+2，
解得：x=-3，
∴A（﹣3，0），
∵D（x， x），O（0，0），
∴DO2＝x2+（x）2＝x2，OA2＝9，
∵D为线段OC上的动点，△AOD为等腰三角形，
∴x2＝9，
解得：x＝或x＝﹣（舍去），
∴D（，）；
（3）存在一点P，使以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设P（m，n），
O（0，0），A（-3，0），C(3，4），
①当PO，AC为对角线，AC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（0，4）；
②当PA，OC为对角线时，PA，OC的中点重合，
∴，
解得，
∴P（6，4）；
③当PC，OA为对角线时，则PC、OA的中点重合，
∴，
解得，
∴P（﹣6，﹣4）；
综上所述，P的坐标为（0，4）、（6，4）或（﹣6．-4）.
【分析】（1）将点C的坐标分别代入一次函数和正比例函数解析式，再求出b和k的值即可；
（2）①根据题意先求出，，再计算求解即可；
②利用等腰三角形的性质列出方程求解即可；
（3）分类讨论：根据平行四边形的性质，列方程组计算求解即可。
21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH∥BC交BE的延长线与H，连接CH与DH．
（1）求证：△BCE≌△HOE；
（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵OH∥BC，
∴∠BCE＝∠HOE，
∵E是OC的中点，
∴CE＝OE，
在△BCE和△HOE中，
，
∴△BCE≌△HOE（ASA）；
（2）解：当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形
由（1）可知，△BCE≌△HOE，
∴BE＝HE，
∵CE＝OE，
∴四边形BCHO是平行四边形，
∴CH＝OB，CH∥OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴CH＝OD，OC＝OD，
∴四边形OCHD是平行四边形，
又∵OC＝OD，
∴平行四边形OCHD是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠BCE＝∠HOE，利用中点的性质可得CE=OE，再利用“ASA”证出△BCE≌△HOE即可；
（2）根据平行四边形的判定方法求出四边形BCHO是平行四边形，再根据矩形的性质求出OA＝OC，OB＝OD， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可。
22．甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息1h后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（km）随时间t（h）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：
（1）甲同学上山过程中S甲与t的函数解析式为 ；点D的坐标为 ．
（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75km．
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；
②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．
【答案】（1）S甲＝t；（9，4）
（2）解：①当y＝4﹣0.75＝时， t＝，
解得t＝，
∴点F（，），
设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，将D（9，）代入得：
则：，
解答，
答：甲同学下山过程中S与t的函数解析式为S＝﹣t+13；
②乙到山顶所用时间为：8÷＝12（小时），
当t＝12时，S＝﹣12+13＝2，
当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝8（千米）．
答：甲与乙的距离是3千米．
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）设甲同学登山过程中，路程s与时间t的函数解析式为s甲=kt，
将点A（4，2）代入，s甲=kt，
可得：2=4k，
解得：k=，
∴S甲＝t，
将S甲=4代入解析式，可得t=8，
∵甲到达山顶时间是8小时，而甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山，
∴点D的坐标为（9，4），
故答案为：S甲＝t；（9，4）；
（2）①当y＝4﹣0.75＝时， t＝，
解得t＝，
∴点F（，），
设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，
则：，
解答，
答：甲同学下山过程中S与t的函数解析式为S＝﹣t+13；
②乙到山顶所用时间为：4÷＝12（小时），
当t＝12时，S＝﹣12+13＝1，
当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝3（千米）．
答：甲与乙的距离是3千米．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出点D的坐标即可；
（2）①先求出点F的坐标，再结合点D的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
②先求出乙到达山顶所用的时间，再求解即可.
23．【问题提出】
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？
（1）【问题探究】
为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论
探究一：
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？
如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；
如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；
如图3，当m＝5，n＝2时，有 种不同的选择方法；
……
由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有 种不同的选择方法．
探究二：
如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个......n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？
我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空
1 2 3 … 93 94 95 96 97 98 99 100
从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有 种不同的选择方法；
从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有 种不同的选择方法；
……
从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有 种不同的选择方法；
……
由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100），有 种不同的选择方法．
（2）【问题解决】
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有 种不同的选择方法．
（3）【实际应用】
我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．
①今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上 种不同的选择．
②星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，则一共有 种不同的选择方法．
（4）【拓展延伸】
如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有 种不同的放置方法．
【答案】（1）4；m-1；98；97；93；（100﹣n+1）
（2）（m﹣n+1）
（3）6；11
（4）35
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）探究一：
如图3，当m=5，n=2时，有1、2；2、3；3、4；4、5，共4种不同选择方法，
由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有(m-1)种不同的选择方法；
探究二:
从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有1、2、3；2、3、4；3、4、5；…；98、99、100，共有98种不同的选择方法；
从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有1、2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6；…；97、98、99、100，共有97种不同的选择方法；
从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有100-8+1=93种不同的选择方法；
由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n(n≤100)个连续的自然数，有（100-n+1）种不同的选择方法；
故答案为：4；m-1；98；97；93； （100﹣n+1） ；
（2） 如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m﹣n+1）种不同的选择方法；
故答案为：（m﹣n+1） ；
（3）①今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，即m=7，n=2，在出行日
期上，他共有7-2+1=6种不同的选择，
故答案为：6；
②由题意可得：m = 15 -3 +1= 13，n = 3，
所以他们从第七排3号到15号的电影票进行选择,拿到三张连号票，则一共有13-3+1=11种不同的选择方法，
故答案为：11；
（4）“横着”看，m=8，n=2，因此有8-2+1=7种不同的选择；
“竖着”看，m=6，n=2，因此有6-2+1=5种不同的选择；
所以一共有7x5=35种不同的选择；
故答案为：35.
【分析】（1）根据题意找出规律求解即可；
（2）根据题意规律计算求解即可；
（3）①先求出m=7，n=2，再计算求解即可；
②根据题意先求出m和n的值，再计算求解即可；
（4）观察所给的图案，分“横着”看和“竖着”看计算求解即可。
24．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB=10，点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）解：∵OA＝6，OB＝10，
∴C（6，10）．
设此时直线DP解析式为y＝kx+b，
把D（4，2），10）分别代入得，
，
解得，
∴此时直线DP的函数解析式为y＝x+6；
（2）解：当点P在线段AC上，0≤t＜5时，高为7×7×6＝6，
当点P在线段BC上，7≤t＜8时，高为6+10﹣8t＝16﹣2t×2×（16﹣2t）＝﹣6t+16，
∴△OPD的面积S关于t的函数解析式为S＝；
（3）解：存在，理由为：
因为BD＞BC，所以满足条件的点AC上．
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑，
①当BD＝BP＝OB﹣OD＝10﹣2＝8时，
在Rt△BCP中，BP＝5
根据勾股定理得：CP＝＝2，
∴AP＝10﹣2，即P（4）；
②当BP＝DP时，过点P作PQ⊥OB于Q，
∴BQ＝DQ＝×（10﹣2）＝4，
∴OQ＝6+4＝6，
∴P（8，6）；
③当DB＝DP＝8时，过点D作DE⊥AC于E，
在Rt△DEP中，DE＝7，
根据勾股定理得：PE＝＝2，
∴AP＝AE+EP＝2+8，
∴P（6，2+2），
综上，满足题意的P坐标为（6，6+2）或（6）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵OA＝6，OB＝10，
∴C（6，10）．
设此时直线DP解析式为y＝kx+b，
把D（4，2）C（6，10）分别代入得，，
解得，
∴此时直线DP的函数解析式为y＝x+2；
（2）当点P在线段AC上，0≤t＜5时，OD=2，高为6，则△OPD的面积为：×2×6＝6；
当点P在线段BC上，5≤t＜8时，OD=2，高为6+10﹣2t＝16﹣2t，则△OPD的面积为：×2×（16﹣2t）＝﹣2t+16，
∴△OPD的面积S关于t的函数解析式为S＝；
（3）存在，理由为：
因为BD＞BC，所以满足条件的点AC上．
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑，
①当BD＝BP＝OB﹣OD＝10﹣2＝8时，
在Rt△BCP中，BP＝8，BC=6，
根据勾股定理得：CP＝＝2，
∴AP＝10﹣2，即P（6，10-2）；
②当BP＝DP时，过点P作PQ⊥OB于Q，
∴BQ＝DQ＝×（10﹣2）＝4，
∴OQ＝2+4＝6，
∴P（6，6）；
③当DB＝DP＝8时，过点D作DE⊥AC于E，
在Rt△DEP中，DE＝6，
根据勾股定理得：PE＝＝2，
∴AP＝AE+EP＝2+2，
∴P（6，2+2），
综上，满足题意的点P坐标为（6，6），（6，2+2）或（6，10-2）．
【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分类讨论，结合题意，列函数解析式计算求解即可；
（3）分类讨论，根据等腰三角形的性质，利用勾股定理等计算求解即可。
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