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高中数学
人教A版(2019)
必修 第二册
第六章 平面向量及其应用
本章复习与测试
高中数学人教A版(2019)必修2 第六章 余玄定理应用 选择题专项章节综合练习题(答案+解析)
文档属性
名称
高中数学人教A版(2019)必修2 第六章 余玄定理应用 选择题专项章节综合练习题(答案+解析)
格式
docx
文件大小
468.6KB
资源类型
试卷
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2023-10-27 21:19:46
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文档简介
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余弦定理应用 选择题专项
一、选择题
1.(2023高三上·钦州月考)在中,内角,,的对边分别是,,,若,则等于( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.(2023高三上·钦州月考)在中,内角、、所对的边分别为、、,,,,则的值等于( )
A. B. C. D.
3.(2022高一下·农安期中)在 中,角 所对边的长分别为 ,若 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
4.(2021高三上·洮南月考)已知 的内角 , , 所对的边分别为 ,满足 ,则 的形状一定是( )
A.等腰直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
5.(2023高二上·柳州开学考)蜚英塔俗称宝塔,地处江西省南昌市,建于明朝天启元年(1621年),为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南,砖石结构,平面呈六边形,是江西省省级重点保护文物,已被列为革命传统教育基地.某学生为测量蜚英塔的高度,如图,选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得AB=30米,在A,B两点观察塔顶C点,仰角分别为45°和30°,∠ADB=150°,则蜚英塔的高度CD是( )
A.25米 B.25米 C.30米 D.米
6.(2023高一下·浙江期中)在中,已知,且,则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
7.(2023高一下·达州期末)在中,若,则的最小值是( )
A.1 B. C. D.-1
8.(2023高一下·清远期末)在△ABC中,D为BC的中点,3sin∠ADB=2sin∠ACB,BC=6,AB=4,则△ABC的面积为( )
A.2 B.3 C.2 D.4
9.海洋洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得,,,,则A、B两点的距离为( )
A. B. C. D.
10.(2023高三下·吉林)如图,在所在平面内,分别以为边向外作正方形和正方形.记的内角的对边分别为,面积为,已知,且,则( )
A. B. C. D.
11.(2023高一下·通州月考)已知锐角三边长分别为,,,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.(2022高三上·河南月考)一艘轮船从A处沿正东方向航行10千米到达B处,再从B处沿北偏东30°的方向航行15千米到达C处,则A,C之间的距离是( )
A.千米 B.千米 C.20千米 D.千米
13.(2022高二上·宣城开学考)在中,角所对的边分别为,则的值等于( )
A. B. C. D.
14.(2022高二上·芜湖开学考)如图,一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为,地面上一人在A点观察该信号塔顶部,仰角为,沿直线步行后在B点观察塔顶,仰角为,若,此人的身高忽略不计,则他的步行速度为( )
A. B.
B.
C. D.
15.(2022高一下·鹤岗期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是( )
A.若 ,则△ABC为等腰三角形
B.若 , , ,则△ABC有唯一解
C.若△ABC为锐角三角形,则
D.若 , ,则△ABC面积的最大值为
16.(2022高一下·安阳期末)在中,,分别是边上一点,若,,且,则非零实数的值是( )
A. B. C. D.
17.(2022高一下·龙岗期中)海上某货轮在 处看灯塔 在货轮北偏东75 ,距离为 海里处;在 处看灯塔 ,在货轮的北偏西30 ,距离为 海里处;货轮由 处向正北航行到 处时看灯塔 在北偏东120 ,则灯塔 与 处之间的距离为( )
A. B. C. D.12
18.(2022高一下·吉林期中)在 中,若 ,则 是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
19.(2022高一下·阜宁期中)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为、、,若,角A的角平分线交BC于点D,且,则的值为( )
A. B. C. D.
20.(2022高一下·长春月考) 的三个内角 、 、 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
21.(2022高一下·贵池期中)某人从出发点向正东走后到,然后向左转150°再向前走到,测得的面积为,此人这时离出发点的距离为( )
A. B. C. D.
22.(2022高一下·梅江月考)在 中,角 的对边分别是 向量 向量 ,且满足 则角 ( )
A. B. C. D.
23.(2022高一下·洮南月考)在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 若 ,则 的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.不确定
24.(2022·西安模拟)在中,角所对应的边分别为,则( )
A. B. C. D.
25.(2021高二上·金华期末)已知 三个观测点, 在 的正北方向,相距 , 在 的正东方向,相距 .在某次爆炸点定位测试中, 两个观测点同时听到爆炸声, 观测点晚 听到,已知声速为 ,则爆炸点与 观测点的距离是( )
A. B. C. D.
26.(2021高二上·金华期末)气象台 正南方向 的一台风中心,正向北偏东30°方向移动,移动速度为 ,距台风中心 以内的地区都将受到影响,若台风中心的这种移动趋势不变,气象台所在地受到台风影响持续时间大约是( )
A. B. C. D.
27.(2023高三上·阳江开学考)在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,的面积为S,若,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
28.(2023高一下·台州期末)如图,在中,D是BC的中点,E是AC上的点,,,,,则( )
A. B. C. D.
29.(2022高一下·福田期中)已知 中, ,则 ( )
A. B. C. D.
30.(2021高三上·广东月考)2021年7月份河南郑州地区发生水灾,灾后需要对市区所有街道进行消毒处理.下面是消毒装备的示意图,MN为路面,PQ为消毒设备的高,OQ为喷杆, , ,O处是喷洒消毒水的喷头,且喷头的喷射角 ,已知 , ,则消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值为( )
A. B. C. D.
答案解析部分
1.【答案】B
【解析】【解答】解:由,得a+b=c,
由余弦定理得,
又C∈(0,π),
故C=60°,
故选:B.
【分析】由正弦定理,结合已知条件化简得a+b=c,进而求得cosC,从而得答案.
2.【答案】A
【解析】【解答】解:由题意得 ,解得c=4,
由余弦定理得,
设△ABC的外接圆半径为r,由正弦定理得,
故选:A
【分析】由三角形的面积可求得c,利用余弦定理可得a,再利用正弦定理可得的值.
3.【答案】B
【解析】【解答】解:因为 ,
所以 ,
因为A为三角形的内角,
所以,
则sin(B+C)=sin(π-A)=sinA= .
故选:B
【分析】根据条件,利用余弦定理求出出cosA,进而求出sinA的值,原式利用诱导公式化简后即可求出值.
4.【答案】D
【解析】【解答】解:∵
则由余弦定理得,
化简得2a2=a2+b2-c2,
即a2+c2=b2,
所以 是直角三角形,
故答案为:D
【分析】根据余弦定理求解即可.
5.【答案】C
【解析】【解答】解:在中,,,在中,,,在中由余弦定理得,即,求得.
故答案为:C.
【分析】用表示、,在中利用余弦定理求.
6.【答案】C
【解析】【解答】由余弦定理知,又,,,
由得,,又, 是等边三角形。
故答案为:C
【分析】由 结合余弦定理得,利用三角恒的变换化简 得,进而判断三角形的形状。
7.【答案】C
【解析】【解答】解:由正弦定理得 ,由余弦定理得 ,当且仅当取等,
又,, ,
的最小值是.
故答案为:C.
【分析】利用正弦定理得,再利用余弦定理结合基本不等式求得,最后利用余弦的二倍角公式求 的最小值.
8.【答案】D
【解析】【解答】如图:
易知在中由正弦定理知,设
在和由余弦定理得,,解得,,,,
.
故答案为:D
【分析】在中利用正弦定理得,在利用余弦定理计算出的长,最后利用面积公式求解。
9.【答案】D
【解析】【解答】在中,,
由正弦定理,可得(m),
在中,,
所以,
在中,由余弦定理,
所以A、B两点的距离m.
故答案为:D.
【分析】根据题意利用正、余弦定理运算求解.
10.【答案】C
【解析】【解答】由正弦定理知 ,,
又 面积,,
如图连接,,
则,,,
在中由余弦定理知,.
故答案为:C
【分析】利用正弦定理结合面积公式化简 ,再由余弦定理求解 。
11.【答案】A
【解析】【解答】设,,,
为锐角三角形,,,解得
故选:A
【分析】由已知两边关系及第三边联想到使用余弦定理,结合为锐角三角形知,代入解不等式即得答案.
12.【答案】D
【解析】【解答】在中,千米,千米,,则由余弦定理可得,则千米.
故答案为:D.
【分析】根据余弦定理,列出方程,即可求解.
13.【答案】B
【解析】【解答】由余弦定理得,解得.
由正弦定理可得,
则
.
故答案为:B.
【分析】先利用余弦定理求出边,然后利用正弦定理可求答案.
14.【答案】D
【解析】【解答】解:由题意可得,在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=45°,则AD=CD=30m,
在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠CBD=30°,则,
在△ABD中,∠ADB=30°,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=,
解得AB=30m,
即有,
所以他的步行速度为.
故选:D
【分析】根据给定条件,利用直角三角形边角关系求出AD, BD,再利用余弦定理计算作答.
15.【答案】C
【解析】【解答】解:对于A:若 , 则 ,
即sin2A=sin2B ,因为2A,2B∈(0,π) ,所以2A=2B或2A+2B=π ,
即A=B或A+B=,所以 △ABC 为等腰三角形或直角三角形,A错误;
对于B:因为 , , , 由正弦定理得, 即 ,
故sinB= ,因为b>a ,所以B>A ,故B为锐角或钝角, △ABC 有两解,故B错误;
对于C: ,
,
因为△ABC 为锐角三角形,所以 ,
所以 ,
所以
即sinA+sinB>cosA+cosB ,故C正确;
对于D:因为 , , 由余弦定理得:a2=4=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,
当且仅当b=c=2时取等号,故bc≤4 ,
所以△ABC面积 ,即最大值为 ,故D错误.
故选:C
【分析】边化角后使用二倍角化简可判断A;由正弦定理及三角形大边对大角可判断选项B;根据锐角三角形可得,然后和差化积可判断C;由余弦定理及基本不等式,三角形的面积公式可判断选项D,进而可得正确选项.
16.【答案】B
【解析】【解答】解:由题可知,在中,,由余弦定理得,故,
又,故为直角三角形,,,
因为,,
所以,
又,故,
即
,
解得:(舍去)或.
故答案为:B.
【分析】由余弦定理可得为直角三角形,利用平面向量线性运算结合几何图形得关系得到,利用垂直向量数量积为0即可求解.
17.【答案】C
【解析】【解答】解:如图所示,∠DAB=75°,∠NDB=120°,∠DAC=30°,AB=, AC= ,
在△ABD中,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理得: AD=,
在△ACD中,由余弦定理得:
.
故答案为:C
【分析】根据给定信息作出图形,在△ABD中用正弦定理求AD, 在△ACD中用余弦定理计算作答.
18.【答案】C
【解析】【解答】解:由题意得, ,
即,
又,
则,
则sinAcosA=sinBcosB,
即sin2A=sin2B,
则2A=2B或2A+2B=180°,
则A=B或A+B=90°,
所以 是等腰三角形或直角三角形.
故选:C
【分析】先由余弦定理,化简得,再根据正弦定理得,并由三角恒等变换化简得sin2A=sin2B,从而得结论.
19.【答案】D
【解析】【解答】因为,由正弦定理得:,则,由余弦定理可得:, ,所以,由,有,得,
因为,所以,,,,由余弦定理可得.
故答案为:D.
【分析】利用正弦定理以及余弦定理求出,由可得,结合,得,,再利用余弦定理结课求得a的值.
20.【答案】B
【解析】【解答】解:因为a:b:c= sinA:sinB:sinC=2:3:4,
可设a=2k,b= 3k,c=4k(k> 0),
由余弦定理可得,
故答案为: B.
【分析】首先利用正弦定理得a:b:c=2:3:4,再利用余弦定理求解即可.
21.【答案】D
【解析】【解答】如图,由题意可得,
因为的面积为,,,
所以,解得,
由余弦定理得
,
所以,
故答案为:D
【分析】由题意可得,再利用三角形的面积为,,和三角形的面积公式得出x的值,再结合余弦定理得出AC的长,进而得出此人这时离出发点的距离。
22.【答案】C
【解析】【解答】解:由 得2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,
再根据正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,有a2=b2+c2+bc,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cosA,所以cosA=-,
因为0
所以A= ,
故答案为:C
【分析】根据向量的数量积运算,结合条件,得a2=b2+c2+bc,再结合余弦定理,得cosA=-,从而求得A.
23.【答案】C
【解析】【解答】解:在△ABC中,原等式化为: ,
由正弦定理,得,
即bcosB=ccosC,
由余弦定理得:,
整理得a2b2-a2c2=b4-c4,
则有a2(b2-c2)= (b2+c2)(b2-c2),
于是有b=c或b2+c2=a2,
所以△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.
故答案为:C
【分析】根据给定条件切化弦,再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答.
24.【答案】B
【解析】【解答】由
,得
,
由余弦定理得,
,
∴ ,
;
故答案为:B.
【分析】化简所给的条件得
,用余弦定理即可求得
的值.
25.【答案】D
【解析】【解答】设爆炸点为 ,由于 两个观测点同时听到爆炸声,则点 位于 的垂直平分线上,又 在 的正东方向且 观测点晚 听到,则点 位于 的左侧, , , ,设 ,
则 ,
解得 ,则爆炸点与 观测点的距离为 。
故答案为:D.
【分析】设爆炸点为 ,由于 两个观测点同时听到爆炸声,则点 位于 的垂直平分线上,再利用点 在 的正东方向且 观测点晚 听到,则点 位于 的左侧, , , ,设 ,再利用余弦定理结合已知条件得出x的值,进而得出爆炸点与 观测点的距离。
26.【答案】D
【解析】【解答】如图所示:设台风中心为 , , 小时后到达点 处,即 ,
当 时,气象台所在地受到台风影响,
由余弦定理可知:
,于是有: ,
解得: ,
所以气象台所在地受到台风影响持续时间大约是 ,
故答案为:D
【分析】利用已知条件结合余弦定理,从而解一元二次不等式得出气象台所在地受到台风影响持续时间。
27.【答案】C
【解析】【解答】解:因为,即,
所以,因为,
所以,由余弦定理,
可得,
再由正弦定理得,
因为,
所以,所以或,
得或(舍去).
因为是锐角三角形,则,解得,
令,
所以
可知在上单调递增,且,
所以的取值范围为,即的取值范围为.
故答案为:C.
【分析】结合面积公式,可得出,由余弦定理得出,再用正弦定理化边为角,得出,把所求式子用角A表示,并求出角A范围,最后结合对勾函数运算求解.
28.【答案】D
【解析】【解答】设,则,
在中,由正弦定理可得,则,
在中,由正弦定理可得,即,
在中,由正弦定理可得,即,
整理得:,即,
在中,由余弦定理可得,
即,
在中,由余弦定理可得,
即,
解得,则,
在中,由余弦定理可得,
即,
可得,解得或(舍去).
故答案为:D.
【分析】根据题意利用正、余弦定理定理建立边角关系,结合倍角公式列方程求解即可.
29.【答案】B
【解析】【解答】解:由正弦定理可得7b2+3c2=2a2+2bcsinA ,
∴ ,又a2=b2+c2-2bccosA,
∴=b2+c2-2bccosA,
化简得:
当且仅当时取等号,即 ,
其中tanθ=2 , ,
即sin(A-θ)≥1,又sin(A-θ)≤1,sin(A-θ)=1,
,k∈Z ,即 ,k∈Z ,
,
.
故选:B
【分析】由正弦定理及余弦定理可得 ,利用辅助角公式及基本不等式可得sin(A-θ)=1 ,据此求出 ,再由诱导公式求得即可.
30.【答案】B
【解析】【解答】过点O作OC⊥AB于点C,过点Q作QD⊥OC于点D,
因为 , ,所以 ,
因为 , ,所以 , ,所以 ,
因为 ,由面积公式得: ,
又因为 ,
所以 ,即 ,
要想使得消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值,只需 最小,
由余弦定理得: ,
即 ,
化简为: ,
因为 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,解得: 或 (舍去),
故 ,此时 。
故答案为:B
【分析】过点O作OC⊥AB于点C,过点Q作QD⊥OC于点D,利用 , ,从而求出 的值,再利用 , ,从而求出 ,的值,进而求出OC的值,再利用 结合三角形的面积公式,得出 ,再利用 ,所以 ,要想使得消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值,只需 最小,由余弦定理得出:,再利用均值不等式求最值的方法,则 ,所以 或 (舍去),进而求出
的取值范围,从而求出消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值。
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同课章节目录
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
6.2 平面向量的运算
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.4 平面向量的应用
第七章 复数
7.1 复数的概念
7.2 复数的四则运算
7.3 * 复数的三角表示
第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
8.2 立体图形的直观图
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.5 空间直线、平面的平行
8.6 空间直线、平面的垂直
第九章 统计
9.1 随机抽样
9.2 用样本估计总体
9.3 统计分析案例 公司员工
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.2 事件的相互独立性
10.3 频率与概率
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