高中数学人教A版(2019)必修2 第六章 余玄定理应用 选择题专项章节综合练习题(答案+解析)

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名称 高中数学人教A版(2019)必修2 第六章 余玄定理应用 选择题专项章节综合练习题(答案+解析)
格式 docx
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资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-10-27 21:19:46

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文档简介

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余弦定理应用 选择题专项
一、选择题
1.(2023高三上·钦州月考)在中,内角,,的对边分别是,,,若,则等于(  )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.(2023高三上·钦州月考)在中,内角、、所对的边分别为、、,,,,则的值等于(  )
A. B. C. D.
3.(2022高一下·农安期中)在 中,角 所对边的长分别为 ,若 ,则 的值为(  )
A. B. C. D.
4.(2021高三上·洮南月考)已知 的内角 , , 所对的边分别为 ,满足 ,则 的形状一定是(  )
A.等腰直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
5.(2023高二上·柳州开学考)蜚英塔俗称宝塔,地处江西省南昌市,建于明朝天启元年(1621年),为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南,砖石结构,平面呈六边形,是江西省省级重点保护文物,已被列为革命传统教育基地.某学生为测量蜚英塔的高度,如图,选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A,B两点,测得AB=30米,在A,B两点观察塔顶C点,仰角分别为45°和30°,∠ADB=150°,则蜚英塔的高度CD是(  )
A.25米 B.25米 C.30米 D.米
6.(2023高一下·浙江期中)在中,已知,且,则该三角形的形状是(  )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形
7.(2023高一下·达州期末)在中,若,则的最小值是(  )
A.1 B. C. D.-1
8.(2023高一下·清远期末)在△ABC中,D为BC的中点,3sin∠ADB=2sin∠ACB,BC=6,AB=4,则△ABC的面积为(  )
A.2 B.3 C.2 D.4
9.海洋洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得,,,,则A、B两点的距离为(  )
A. B. C. D.
10.(2023高三下·吉林)如图,在所在平面内,分别以为边向外作正方形和正方形.记的内角的对边分别为,面积为,已知,且,则(  )
A. B. C. D.
11.(2023高一下·通州月考)已知锐角三边长分别为,,,则实数的取值范围为(  )
A. B. C. D.
12.(2022高三上·河南月考)一艘轮船从A处沿正东方向航行10千米到达B处,再从B处沿北偏东30°的方向航行15千米到达C处,则A,C之间的距离是(  )
A.千米 B.千米 C.20千米 D.千米
13.(2022高二上·宣城开学考)在中,角所对的边分别为,则的值等于(  )
A. B. C. D.
14.(2022高二上·芜湖开学考)如图,一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为,地面上一人在A点观察该信号塔顶部,仰角为,沿直线步行后在B点观察塔顶,仰角为,若,此人的身高忽略不计,则他的步行速度为(  )
A. B.
B.
C. D.
15.(2022高一下·鹤岗期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是(  )
A.若 ,则△ABC为等腰三角形
B.若 , , ,则△ABC有唯一解
C.若△ABC为锐角三角形,则
D.若 , ,则△ABC面积的最大值为
16.(2022高一下·安阳期末)在中,,分别是边上一点,若,,且,则非零实数的值是(  )
A. B. C. D.
17.(2022高一下·龙岗期中)海上某货轮在 处看灯塔 在货轮北偏东75 ,距离为 海里处;在 处看灯塔 ,在货轮的北偏西30 ,距离为 海里处;货轮由 处向正北航行到 处时看灯塔 在北偏东120 ,则灯塔 与 处之间的距离为(  )
A. B. C. D.12
18.(2022高一下·吉林期中)在 中,若 ,则 是(  )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
19.(2022高一下·阜宁期中)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为、、,若,角A的角平分线交BC于点D,且,则的值为(  )
A. B. C. D.
20.(2022高一下·长春月考) 的三个内角 、 、 满足 ,则 (  )
A. B. C. D.
21.(2022高一下·贵池期中)某人从出发点向正东走后到,然后向左转150°再向前走到,测得的面积为,此人这时离出发点的距离为(  )
A. B. C. D.
22.(2022高一下·梅江月考)在 中,角 的对边分别是 向量 向量 ,且满足 则角 (  )
A. B. C. D.
23.(2022高一下·洮南月考)在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 若 ,则 的形状是(  )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.不确定
24.(2022·西安模拟)在中,角所对应的边分别为,则(  )
A. B. C. D.
25.(2021高二上·金华期末)已知 三个观测点, 在 的正北方向,相距 , 在 的正东方向,相距 .在某次爆炸点定位测试中, 两个观测点同时听到爆炸声, 观测点晚 听到,已知声速为 ,则爆炸点与 观测点的距离是(  )
A. B. C. D.
26.(2021高二上·金华期末)气象台 正南方向 的一台风中心,正向北偏东30°方向移动,移动速度为 ,距台风中心 以内的地区都将受到影响,若台风中心的这种移动趋势不变,气象台所在地受到台风影响持续时间大约是(  )
A. B. C. D.
27.(2023高三上·阳江开学考)在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,的面积为S,若,则的取值范围为(  )
A. B. C. D.
28.(2023高一下·台州期末)如图,在中,D是BC的中点,E是AC上的点,,,,,则(  )
A. B. C. D.
29.(2022高一下·福田期中)已知 中, ,则 (  )
A. B. C. D.
30.(2021高三上·广东月考)2021年7月份河南郑州地区发生水灾,灾后需要对市区所有街道进行消毒处理.下面是消毒装备的示意图,MN为路面,PQ为消毒设备的高,OQ为喷杆, , ,O处是喷洒消毒水的喷头,且喷头的喷射角 ,已知 , ,则消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值为(  )
A. B. C. D.
答案解析部分
1.【答案】B
【解析】【解答】解:由,得a+b=c,
由余弦定理得,
又C∈(0,π),
故C=60°,
故选:B.
【分析】由正弦定理,结合已知条件化简得a+b=c,进而求得cosC,从而得答案.
2.【答案】A
【解析】【解答】解:由题意得 ,解得c=4,
由余弦定理得,
设△ABC的外接圆半径为r,由正弦定理得,
故选:A
【分析】由三角形的面积可求得c,利用余弦定理可得a,再利用正弦定理可得的值.
3.【答案】B
【解析】【解答】解:因为 ,
所以 ,
因为A为三角形的内角,
所以,
则sin(B+C)=sin(π-A)=sinA= .
故选:B
【分析】根据条件,利用余弦定理求出出cosA,进而求出sinA的值,原式利用诱导公式化简后即可求出值.
4.【答案】D
【解析】【解答】解:∵
则由余弦定理得,
化简得2a2=a2+b2-c2,
即a2+c2=b2,
所以 是直角三角形,
故答案为:D
【分析】根据余弦定理求解即可.
5.【答案】C
【解析】【解答】解:在中,,,在中,,,在中由余弦定理得,即,求得.
故答案为:C.
【分析】用表示、,在中利用余弦定理求.
6.【答案】C
【解析】【解答】由余弦定理知,又,,,
由得,,又, 是等边三角形。
故答案为:C
【分析】由 结合余弦定理得,利用三角恒的变换化简 得,进而判断三角形的形状。
7.【答案】C
【解析】【解答】解:由正弦定理得 ,由余弦定理得 ,当且仅当取等,
又,, ,
的最小值是.
故答案为:C.
【分析】利用正弦定理得,再利用余弦定理结合基本不等式求得,最后利用余弦的二倍角公式求 的最小值.
8.【答案】D
【解析】【解答】如图:
易知在中由正弦定理知,设
在和由余弦定理得,,解得,,,,
.
故答案为:D
【分析】在中利用正弦定理得,在利用余弦定理计算出的长,最后利用面积公式求解。
9.【答案】D
【解析】【解答】在中,,
由正弦定理,可得(m),
在中,,
所以,
在中,由余弦定理,
所以A、B两点的距离m.
故答案为:D.
【分析】根据题意利用正、余弦定理运算求解.
10.【答案】C
【解析】【解答】由正弦定理知 ,,
又 面积,,
如图连接,,
则,,,
在中由余弦定理知,.
故答案为:C
【分析】利用正弦定理结合面积公式化简 ,再由余弦定理求解 。
11.【答案】A
【解析】【解答】设,,,
为锐角三角形,,,解得
故选:A
【分析】由已知两边关系及第三边联想到使用余弦定理,结合为锐角三角形知,代入解不等式即得答案.
12.【答案】D
【解析】【解答】在中,千米,千米,,则由余弦定理可得,则千米.
故答案为:D.
【分析】根据余弦定理,列出方程,即可求解.
13.【答案】B
【解析】【解答】由余弦定理得,解得.
由正弦定理可得,

.
故答案为:B.
【分析】先利用余弦定理求出边,然后利用正弦定理可求答案.
14.【答案】D
【解析】【解答】解:由题意可得,在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=45°,则AD=CD=30m,
在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠CBD=30°,则,
在△ABD中,∠ADB=30°,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=,
解得AB=30m,
即有,
所以他的步行速度为.
故选:D
【分析】根据给定条件,利用直角三角形边角关系求出AD, BD,再利用余弦定理计算作答.
15.【答案】C
【解析】【解答】解:对于A:若 , 则 ,
即sin2A=sin2B ,因为2A,2B∈(0,π) ,所以2A=2B或2A+2B=π ,
即A=B或A+B=,所以 △ABC 为等腰三角形或直角三角形,A错误;
对于B:因为 , , , 由正弦定理得, 即 ,
故sinB= ,因为b>a ,所以B>A ,故B为锐角或钝角, △ABC 有两解,故B错误;
对于C: ,

因为△ABC 为锐角三角形,所以 ,
所以 ,
所以
即sinA+sinB>cosA+cosB ,故C正确;
对于D:因为 , , 由余弦定理得:a2=4=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,
当且仅当b=c=2时取等号,故bc≤4 ,
所以△ABC面积 ,即最大值为 ,故D错误.
故选:C
【分析】边化角后使用二倍角化简可判断A;由正弦定理及三角形大边对大角可判断选项B;根据锐角三角形可得,然后和差化积可判断C;由余弦定理及基本不等式,三角形的面积公式可判断选项D,进而可得正确选项.
16.【答案】B
【解析】【解答】解:由题可知,在中,,由余弦定理得,故,
又,故为直角三角形,,,
因为,,
所以,
又,故,


解得:(舍去)或.
故答案为:B.
【分析】由余弦定理可得为直角三角形,利用平面向量线性运算结合几何图形得关系得到,利用垂直向量数量积为0即可求解.
17.【答案】C
【解析】【解答】解:如图所示,∠DAB=75°,∠NDB=120°,∠DAC=30°,AB=, AC= ,
在△ABD中,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理得: AD=,
在△ACD中,由余弦定理得:
.
故答案为:C
【分析】根据给定信息作出图形,在△ABD中用正弦定理求AD, 在△ACD中用余弦定理计算作答.
18.【答案】C
【解析】【解答】解:由题意得, ,
即,
又,
则,
则sinAcosA=sinBcosB,
即sin2A=sin2B,
则2A=2B或2A+2B=180°,
则A=B或A+B=90°,
所以 是等腰三角形或直角三角形.
故选:C
【分析】先由余弦定理,化简得,再根据正弦定理得,并由三角恒等变换化简得sin2A=sin2B,从而得结论.
19.【答案】D
【解析】【解答】因为,由正弦定理得:,则,由余弦定理可得:, ,所以,由,有,得,
因为,所以,,,,由余弦定理可得.
故答案为:D.
【分析】利用正弦定理以及余弦定理求出,由可得,结合,得,,再利用余弦定理结课求得a的值.
20.【答案】B
【解析】【解答】解:因为a:b:c= sinA:sinB:sinC=2:3:4,
可设a=2k,b= 3k,c=4k(k> 0),
由余弦定理可得,
故答案为: B.
【分析】首先利用正弦定理得a:b:c=2:3:4,再利用余弦定理求解即可.
21.【答案】D
【解析】【解答】如图,由题意可得,
因为的面积为,,,
所以,解得,
由余弦定理得

所以,
故答案为:D
【分析】由题意可得,再利用三角形的面积为,,和三角形的面积公式得出x的值,再结合余弦定理得出AC的长,进而得出此人这时离出发点的距离。
22.【答案】C
【解析】【解答】解:由 得2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,
再根据正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,有a2=b2+c2+bc,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cosA,所以cosA=-,
因为0所以A= ,
故答案为:C
【分析】根据向量的数量积运算,结合条件,得a2=b2+c2+bc,再结合余弦定理,得cosA=-,从而求得A.
23.【答案】C
【解析】【解答】解:在△ABC中,原等式化为: ,
由正弦定理,得,
即bcosB=ccosC,
由余弦定理得:,
整理得a2b2-a2c2=b4-c4,
则有a2(b2-c2)= (b2+c2)(b2-c2),
于是有b=c或b2+c2=a2,
所以△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.
故答案为:C
【分析】根据给定条件切化弦,再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答.
24.【答案】B
【解析】【解答】由
,得

由余弦定理得,

∴ ,

故答案为:B.
【分析】化简所给的条件得
,用余弦定理即可求得
的值.
25.【答案】D
【解析】【解答】设爆炸点为 ,由于 两个观测点同时听到爆炸声,则点 位于 的垂直平分线上,又 在 的正东方向且 观测点晚 听到,则点 位于 的左侧, , , ,设 ,
则 ,
解得 ,则爆炸点与 观测点的距离为 。
故答案为:D.
【分析】设爆炸点为 ,由于 两个观测点同时听到爆炸声,则点 位于 的垂直平分线上,再利用点 在 的正东方向且 观测点晚 听到,则点 位于 的左侧, , , ,设 ,再利用余弦定理结合已知条件得出x的值,进而得出爆炸点与 观测点的距离。
26.【答案】D
【解析】【解答】如图所示:设台风中心为 , , 小时后到达点 处,即 ,
当 时,气象台所在地受到台风影响,
由余弦定理可知:
,于是有: ,
解得: ,
所以气象台所在地受到台风影响持续时间大约是 ,
故答案为:D
【分析】利用已知条件结合余弦定理,从而解一元二次不等式得出气象台所在地受到台风影响持续时间。
27.【答案】C
【解析】【解答】解:因为,即,
所以,因为,
所以,由余弦定理,
可得,
再由正弦定理得,
因为,
所以,所以或,
得或(舍去).
因为是锐角三角形,则,解得,
令,
所以
可知在上单调递增,且,
所以的取值范围为,即的取值范围为.
故答案为:C.
【分析】结合面积公式,可得出,由余弦定理得出,再用正弦定理化边为角,得出,把所求式子用角A表示,并求出角A范围,最后结合对勾函数运算求解.
28.【答案】D
【解析】【解答】设,则,
在中,由正弦定理可得,则,
在中,由正弦定理可得,即,
在中,由正弦定理可得,即,
整理得:,即,
在中,由余弦定理可得,
即,
在中,由余弦定理可得,
即,
解得,则,
在中,由余弦定理可得,
即,
可得,解得或(舍去).
故答案为:D.
【分析】根据题意利用正、余弦定理定理建立边角关系,结合倍角公式列方程求解即可.
29.【答案】B
【解析】【解答】解:由正弦定理可得7b2+3c2=2a2+2bcsinA ,
∴ ,又a2=b2+c2-2bccosA,
∴=b2+c2-2bccosA,
化简得:
当且仅当时取等号,即 ,
其中tanθ=2 , ,
即sin(A-θ)≥1,又sin(A-θ)≤1,sin(A-θ)=1,
,k∈Z ,即 ,k∈Z ,

.
故选:B
【分析】由正弦定理及余弦定理可得 ,利用辅助角公式及基本不等式可得sin(A-θ)=1 ,据此求出 ,再由诱导公式求得即可.
30.【答案】B
【解析】【解答】过点O作OC⊥AB于点C,过点Q作QD⊥OC于点D,
因为 , ,所以 ,
因为 , ,所以 , ,所以 ,
因为 ,由面积公式得: ,
又因为 ,
所以 ,即 ,
要想使得消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值,只需 最小,
由余弦定理得: ,
即 ,
化简为: ,
因为 ,当且仅当 时等号成立,
所以 ,解得: 或 (舍去),
故 ,此时 。
故答案为:B
【分析】过点O作OC⊥AB于点C,过点Q作QD⊥OC于点D,利用 , ,从而求出 的值,再利用 , ,从而求出 ,的值,进而求出OC的值,再利用 结合三角形的面积公式,得出 ,再利用 ,所以 ,要想使得消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值,只需 最小,由余弦定理得出:,再利用均值不等式求最值的方法,则 ,所以 或 (舍去),进而求出
的取值范围,从而求出消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值。
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