北师大版数学七年级（上）复习微专题精炼12 探索与表达规律
一、选择题
1．（2023七上·景县月考）观察下列算式：；；；；；……，则的末尾数字是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵2023÷4=505......3，
∴22023的末尾数字为8，
∵8+3=11，
∴的末尾数字为1.
故答案为：A.
【分析】首先找出以2为底数的幂末尾数字的特征，然后求出22023的末尾数字，再进一步计算得出的末尾数字即可。
2．（2022七上·丽水期中）找出以如图形变化的规律，则第2021个图形中黑色正方形的数量是（ ）
A．3030 B．3032 C．2020 D．2021
【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解∵当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个；当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的个数为个，
∴当n=2021时，黑色正方形的个数为：3032个
故答案为：B.
【分析】观察图形可得出规律为当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个；当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的个数为个，将n=2021代入即可求出答案.
3．（2022七上·大田期中）（ ）
A．－1011 B．1011 C．－1012 D．1012
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：A.
【分析】不难发现，从左至右两个数分为一组，每组两个数的和是 1，一共是1011个（ 1）相加，即可求解．
4．（2022七上·将乐期中）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22022的末位数字是（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，
发现尾数是2，4，8，6的循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的尾数是循环中的第2个数，即为4，
∴22022的尾数是4.
故答案为：B.
【分析】观察发现：2n的尾数以2，4，8，6依次循环，求出2022÷4的商与余数，据此解答.
5．（2022七上·上杭期中）用形状相同的两种菱形拼成如图所示的图案，用an表示第n个菱形的个数，则an（用含n的式子表示）为（ ）
A．5n-1 B．8n-4 C．6n-2 D．4n+4
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】a1=4=6×1-2.a2=10=6×2-2，a3=16=6×3-2，
所以an=6n-2.
故答案为：C.
【分析】 观察图案可知：每一个图形都比前一个图形多6个菱形，由此列出前三个的代数式，找出规律可得an=6n-2．
6．（2022七上·任城期中）一杯饮料，第1次倒去，第2次倒去剩下的，如此倒下去，倒5次后剩下的饮料是原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第1次倒去，剩余，
第2次倒去剩下的，剩余
第3次倒去剩下的，剩余
……
第5次倒去剩下的，剩余
故答案为：
故答案为：D
【分析】依次找到每次剩下的饮料即可。
7．（2022七上·历城期中）将正偶数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
28 26
若2022在第m行第n列，则（ ）
A．256 B．257 C．510 D．511
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由表格可得，
每行都有4个偶数，奇数行按照从小到大排列，空着第一列，偶数行按照从大到小排列，空着第5列，
∵，
因此2022应该在第253行，第4列，
即．
∴，
故答案为：B．
【分析】根据表格中的数字，可以发现数字的变化特点，每行都有4个偶数，奇数行按照从小到大排列，空着第一列，偶数行按照从大到小排列，空着第5列，求出从而2022应该在第253行，第4列，可得答案。
8．（2022七上·深圳期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是=-2，-2的“哈利数”是.已知a1=3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……依此类推，则a2023=（ ）
A．3 B．-2 C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】∵a1＝3，
∴a2＝=-2
a3＝
a4＝
a5＝
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵2023÷4＝505.....3，
∴a2023＝a3＝
【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案
9．（2023七上·台江开学考）下列哪一幅图的规律和其他图不一样？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、9÷6×2=；
B、18÷3×2=12≠6；
C、；
D、，
∴B图的规律和其它图的规律不一样.
故答案为：B.
【分析】根据图形中的数字找出规律：右边的数除以左边的数再乘以2等于上边的数，从而得出结论．
10．（2022七上·上杭期中）将一列有理数，……，如图所示有序排列.根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（的位置）是有理数4，那么，“峰6”中的位置是有理数____，2022应排在、、、、中____的位置.正确的选项是（ ）
A．-29， B．30， C．029， D．-31，
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵每个峰需要5个数，
∴，
，
∴“峰6”中C位置的数的是，
∵，
∴2022应排在中A的位置，
故答案为：A.
【分析】由于每个峰需要5个数，第一个峰从2开始，且数字正负号交替（奇负偶正），据此即可求解.
二、填空题
11．（2022七上·大田期中）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性.若把第一个三角数记为，第二个三角数记为，…，第n个三角数记为，则 （）.
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，
，
…
∴.
故答案为：.
【分析】通过观察发现从左至右任意相邻两个数的和等于后一个数的序号的平方，据此即可得出.
12．（2022七上·历城期中）有依次排列的3个数：2，6，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，4，6，1，7，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串：2，2，4，2，6，，1，6，7，若相继依次操作，则从数串：2，6，7开始操作第100次时所产生的那个新数串的所有数之和是 ．
【答案】515
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设，
第一次操作后得到新数串的所有数之和是：，
第二次操作后得到新数串的所有数之和是：，
…，
∴第100次操作后得到新数串的所有数之和是：，
故答案为：515．
【分析】设可得第n次操作后得到新数串的所有数之和：，当n=100时，即为所求。
13．（2022七上·郓城期中）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为 ；
……
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵“莱布尼茨调和三角形”是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，
∴第7行第1个数为：，第2个数字是，
第8行第1个数为：，第2个数为：，第3个数字为：．
故答案为：．
【分析】根据“莱布尼茨调和三角形” 的特征，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，从而求出第8行第3个数。
14．（2022七上·淄川期中）观察下列一组数的规律，填上合适的数 ．
【答案】49
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得，
每个数的绝对值为序号的平方，负号由序号是奇数还是偶数决定，序号是奇数时，符号为正，序号是偶数时，符号为负．
∴第7个数为．
故答案为：49．
【分析】根据题意找出规律，再求解即可。
15．（2022七上·江阴期中）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为 .
【答案】-1011
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：a1=0，
a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1，
a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1，
a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2，
a5=-|a4+4|=-|-2+4|=-2，
a6=-|a5+5|=-|-2+5|=-3，
a7=-|a6+6|=-|-3+6|=-3，
…
以此类推，
经过前几个数字比较后发现：
从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，即a2n=-n，
序数为奇数时，其最后的数值a2n+1，
则a2022=-1011
故答案为：-1011.
【分析】计算出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的值，推出从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，即a2n=-n，序数为奇数时，最后的数值a2n+1=-(n+1)+1，据此计算.
三、计算题
16．（2021七上·绵阳期中）计算：
（1）1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2017+2018﹣2019﹣2020+2021；
（2）（﹣1）+（﹣2021）﹣（﹣4040）+（﹣1013）+（﹣1005）．
【答案】（1）解：原式＝1+（2﹣3）+（﹣4+5）+（6﹣7）+（﹣8+9）+…+（2014﹣2015）+（﹣2016+2017）+（2018﹣2019）﹣2020+2021
＝1﹣1﹣2020+2021
＝1．
（2）解：原式＝
＝[﹣1+（﹣2021）+4040+（﹣1013）+（﹣1005）]+
＝
＝﹣．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）观察式子特点：2﹣3=-1，﹣4+5=1，6﹣7=-1；也就是2﹣3﹣4+5=0，利用加法结合律进行计算，可求出结果.
（2）分别将每一个带分数拆成整数与分数之和，然后将整数部分和分数部分分别相加，再进行计算，可求出结果.
17．（2022七上·金东期中）观察下列算式：
；①
；②
；③
………按照上面的规律完成下列各题：
（1）第④个算式： ；
（2）第⑤个算式为 ；
（3）第 n 个算式为 ；
（4）计算：.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：原式= .
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1） ， 故答案为：；
（2）第⑤个算式为 ： 故答案为：；
（3） 第 n 个算式为 ：； 故答案为：；
【分析】（1）观察已知等式，即可得出第四个等式；
（2）由（1）观察得到的规律即可得出第五个等式；
（3）根据题干给出的阅读材料发现等式的左边是1与一个分数的和，其中分数的分子是1，分母等于等式的序号与1的和的平方减1，等式的右边是一个分数，分子等于等式序号与1的和的平方，分母是两个因数的乘积，一个因数等于等式的序号，另一个因数比第一个因数大2，据此即可得出一般规律；
（4）原式利用得出的规律变形后，约分即可得到结果.
四、解答题
18．（2022七上·李沧期中）如表所示的数中，第个数比第个数大2（其中是正整数）．
第1个数 第2个数 第3个数 第4个数 第5个数 …
…
（1）第个数可表示为 ；第个数可表示为 ；
（2）第个数是，第个数为，则 ， ；
（3）第个数可表示为 ．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：（1）第6个数比第3个数大2，
∴第6个数是，
第7个数比第4个数大2，
∴第7个数是，
故答案为：，；
（2）解：第一组数是，
第二组数是，
第三组数是，
……
∴第n组数是，，，
∵……1，
∴第22个数是，第23个数是，
∵第个数是，第个数为，
∴，
∴，
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴第个数是，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）通过观察发现，每组三个数，后一组三个数分别比前一组三个数大2，则第n组数是，，，根据题意可得，，则；
（3）由（2）的规律可得第个数是。
19．（2022七上·郓城期中）如图①②③是将正方体截去一部分后得到的几何体．
（1）根据要求填写表格：
图 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
①
②
③
（2）猜想f，v，e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个几何体有2021个顶点，4035条棱，试求出它的面数．
【答案】（1）解：图①，面数f=7，顶点数v=9，棱数e=14，
图②，面数f=6，顶点数v=8，棱数e=12，
图③，面数f=7，顶点数v=10，棱数e=15，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）解：f+v-e=2．
（3）解：∵v=2021，e=4035，f+v-e=2
∴f+2021-4035=2，
f=2016，
即它的面数是2016．
【知识点】截一个几何体；探索图形规律
【解析】【分析】（1）观察图形，填写表格即可；
（2）根据表格中数量猜想f，v，e三个数量之间的关系可得 ， f+v-e=2 ；
（3）根据（2）的结论求出f即可。
20．（2022七上·历城期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你尝试利用数形结合的思想方法解决下列问题
（1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，根据图示我们可以知道：＝ ．（用含有n的式子表示）
（2）如图②，一个边长为1的正方形，第一次取正方形面积的，然后依次取剩余部分的，根据图示：计算：＝ ．（用含有n的式子表示）
（3）如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：＝ ．（用含有n的式子表示）
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】（1）解：∵第1次截取后剩余，
第2次截取后剩余，
第3次截取后剩余，
…，
第n次截取后剩余，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵第1次截取后剩余，
第2次截取后剩余，
第3次截取后剩余，
…，
第n次截取后剩余，
∴．
故答案为：．
（3）解：∵第1次截取后剩余，
第2次截取后剩余，
第3次截取后剩余，
…，
第n次截取后剩余，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）有代数式的特点，结合图1可知， 表示，图1中除了右下最后一块小正方形后整个正方形剩余面积，有规律可知，右下最后一块小正方形的面积为，所以；
（2）同（1）可知，由于右下角最后一块小正方形的面积为，所以；
（3）同理于（1）（2）即可求得。
21．（2022七上·温州期中）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质.
探索数的神秘性质
素材 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作算术入门中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数的立方都可以写成个连续奇数之和. 举例论证： ；；； 请你按规律写出： ▲ .
规律总结 当是奇数7时，则等号右边式子中的中间数即第4个数为 ▲ ； 当为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数即第5和第6个数为 ▲ .
综合应用 利用上面结论计算：.
拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且，均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”： 若且，均为不大于的正整数的分解中有奇数31，则的值为 ▲ .
【答案】解：素材：13+15+17+19；
规律总结：49；99，101；
综合应用：
=1+（3+5）+（7+9+11）+……+（111+113+115+117+119+121+123+125+127+129+131）
=×66×（1+131）
=4356
拓展延伸：64或216
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：素材：设，
解得：，
；
故答案为：；
规律总结：设，
解得：，
当时，，，
故答案为：49，99，101；
拓展延伸：当时，，
解得：，
此时的值为64，
当时，，
解得，
此时的值为216.
故答案为：64或216.
【分析】素材：设43=(a-2)+a+(a+2)+(a+4)，求出a的值，进而可得43的值；
规律总结：设73=(a-6)+(a-4)+(a-2)+a+(a+2)+(a+4)+(a+6)，求出a的值，据此解答；
综合应用：13+23+33+……+93+103+113=1+(3+5)+(7+9+11)+……+(111+113+115+117+119+121+123+125+127+129+131)=×66×(1+131)，计算即可；
拓展延伸：当m=2时，2n-1-1=31，求出n的值，进而可得mn的值，同理可得m=6对应的值.
1 / 1北师大版数学七年级（上）复习微专题精炼12 探索与表达规律
一、选择题
1．（2023七上·景县月考）观察下列算式：；；；；；……，则的末尾数字是（ ）
A．1 B．5 C．7 D．9
2．（2022七上·丽水期中）找出以如图形变化的规律，则第2021个图形中黑色正方形的数量是（ ）
A．3030 B．3032 C．2020 D．2021
3．（2022七上·大田期中）（ ）
A．－1011 B．1011 C．－1012 D．1012
4．（2022七上·将乐期中）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22022的末位数字是（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2022七上·上杭期中）用形状相同的两种菱形拼成如图所示的图案，用an表示第n个菱形的个数，则an（用含n的式子表示）为（ ）
A．5n-1 B．8n-4 C．6n-2 D．4n+4
6．（2022七上·任城期中）一杯饮料，第1次倒去，第2次倒去剩下的，如此倒下去，倒5次后剩下的饮料是原来的（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七上·历城期中）将正偶数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
28 26
若2022在第m行第n列，则（ ）
A．256 B．257 C．510 D．511
8．（2022七上·深圳期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是=-2，-2的“哈利数”是.已知a1=3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……依此类推，则a2023=（ ）
A．3 B．-2 C． D．
9．（2023七上·台江开学考）下列哪一幅图的规律和其他图不一样？（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022七上·上杭期中）将一列有理数，……，如图所示有序排列.根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（的位置）是有理数4，那么，“峰6”中的位置是有理数____，2022应排在、、、、中____的位置.正确的选项是（ ）
A．-29， B．30， C．029， D．-31，
二、填空题
11．（2022七上·大田期中）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性.若把第一个三角数记为，第二个三角数记为，…，第n个三角数记为，则 （）.
12．（2022七上·历城期中）有依次排列的3个数：2，6，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，4，6，1，7，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串：2，2，4，2，6，，1，6，7，若相继依次操作，则从数串：2，6，7开始操作第100次时所产生的那个新数串的所有数之和是 ．
13．（2022七上·郓城期中）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为 ；
……
14．（2022七上·淄川期中）观察下列一组数的规律，填上合适的数 ．
15．（2022七上·江阴期中）已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，以此类推，则的值为 .
三、计算题
16．（2021七上·绵阳期中）计算：
（1）1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2017+2018﹣2019﹣2020+2021；
（2）（﹣1）+（﹣2021）﹣（﹣4040）+（﹣1013）+（﹣1005）．
17．（2022七上·金东期中）观察下列算式：
；①
；②
；③
………按照上面的规律完成下列各题：
（1）第④个算式： ；
（2）第⑤个算式为 ；
（3）第 n 个算式为 ；
（4）计算：.
四、解答题
18．（2022七上·李沧期中）如表所示的数中，第个数比第个数大2（其中是正整数）．
第1个数 第2个数 第3个数 第4个数 第5个数 …
…
（1）第个数可表示为 ；第个数可表示为 ；
（2）第个数是，第个数为，则 ， ；
（3）第个数可表示为 ．
19．（2022七上·郓城期中）如图①②③是将正方体截去一部分后得到的几何体．
（1）根据要求填写表格：
图 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
①
②
③
（2）猜想f，v，e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个几何体有2021个顶点，4035条棱，试求出它的面数．
20．（2022七上·历城期中）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你尝试利用数形结合的思想方法解决下列问题
（1）如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，根据图示我们可以知道：＝ ．（用含有n的式子表示）
（2）如图②，一个边长为1的正方形，第一次取正方形面积的，然后依次取剩余部分的，根据图示：计算：＝ ．（用含有n的式子表示）
（3）如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：＝ ．（用含有n的式子表示）
21．（2022七上·温州期中）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质.
探索数的神秘性质
素材 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作算术入门中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数的立方都可以写成个连续奇数之和. 举例论证： ；；； 请你按规律写出： ▲ .
规律总结 当是奇数7时，则等号右边式子中的中间数即第4个数为 ▲ ； 当为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数即第5和第6个数为 ▲ .
综合应用 利用上面结论计算：.
拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且，均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”： 若且，均为不大于的正整数的分解中有奇数31，则的值为 ▲ .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵2023÷4=505......3，
∴22023的末尾数字为8，
∵8+3=11，
∴的末尾数字为1.
故答案为：A.
【分析】首先找出以2为底数的幂末尾数字的特征，然后求出22023的末尾数字，再进一步计算得出的末尾数字即可。
2．【答案】B
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解∵当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个；当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的个数为个，
∴当n=2021时，黑色正方形的个数为：3032个
故答案为：B.
【分析】观察图形可得出规律为当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个；当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的个数为个，将n=2021代入即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：A.
【分析】不难发现，从左至右两个数分为一组，每组两个数的和是 1，一共是1011个（ 1）相加，即可求解．
4．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，
发现尾数是2，4，8，6的循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴22022的尾数是循环中的第2个数，即为4，
∴22022的尾数是4.
故答案为：B.
【分析】观察发现：2n的尾数以2，4，8，6依次循环，求出2022÷4的商与余数，据此解答.
5．【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】a1=4=6×1-2.a2=10=6×2-2，a3=16=6×3-2，
所以an=6n-2.
故答案为：C.
【分析】 观察图案可知：每一个图形都比前一个图形多6个菱形，由此列出前三个的代数式，找出规律可得an=6n-2．
6．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第1次倒去，剩余，
第2次倒去剩下的，剩余
第3次倒去剩下的，剩余
……
第5次倒去剩下的，剩余
故答案为：
故答案为：D
【分析】依次找到每次剩下的饮料即可。
7．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由表格可得，
每行都有4个偶数，奇数行按照从小到大排列，空着第一列，偶数行按照从大到小排列，空着第5列，
∵，
因此2022应该在第253行，第4列，
即．
∴，
故答案为：B．
【分析】根据表格中的数字，可以发现数字的变化特点，每行都有4个偶数，奇数行按照从小到大排列，空着第一列，偶数行按照从大到小排列，空着第5列，求出从而2022应该在第253行，第4列，可得答案。
8．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】∵a1＝3，
∴a2＝=-2
a3＝
a4＝
a5＝
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵2023÷4＝505.....3，
∴a2023＝a3＝
【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案
9．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：A、9÷6×2=；
B、18÷3×2=12≠6；
C、；
D、，
∴B图的规律和其它图的规律不一样.
故答案为：B.
【分析】根据图形中的数字找出规律：右边的数除以左边的数再乘以2等于上边的数，从而得出结论．
10．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵每个峰需要5个数，
∴，
，
∴“峰6”中C位置的数的是，
∵，
∴2022应排在中A的位置，
故答案为：A.
【分析】由于每个峰需要5个数，第一个峰从2开始，且数字正负号交替（奇负偶正），据此即可求解.
11．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可知，
，
，
，
…
∴.
故答案为：.
【分析】通过观察发现从左至右任意相邻两个数的和等于后一个数的序号的平方，据此即可得出.
12．【答案】515
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设，
第一次操作后得到新数串的所有数之和是：，
第二次操作后得到新数串的所有数之和是：，
…，
∴第100次操作后得到新数串的所有数之和是：，
故答案为：515．
【分析】设可得第n次操作后得到新数串的所有数之和：，当n=100时，即为所求。
13．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵“莱布尼茨调和三角形”是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，
∴第7行第1个数为：，第2个数字是，
第8行第1个数为：，第2个数为：，第3个数字为：．
故答案为：．
【分析】根据“莱布尼茨调和三角形” 的特征，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，从而求出第8行第3个数。
14．【答案】49
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可得，
每个数的绝对值为序号的平方，负号由序号是奇数还是偶数决定，序号是奇数时，符号为正，序号是偶数时，符号为负．
∴第7个数为．
故答案为：49．
【分析】根据题意找出规律，再求解即可。
15．【答案】-1011
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：a1=0，
a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1，
a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1，
a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2，
a5=-|a4+4|=-|-2+4|=-2，
a6=-|a5+5|=-|-2+5|=-3，
a7=-|a6+6|=-|-3+6|=-3，
…
以此类推，
经过前几个数字比较后发现：
从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，即a2n=-n，
序数为奇数时，其最后的数值a2n+1，
则a2022=-1011
故答案为：-1011.
【分析】计算出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的值，推出从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，即a2n=-n，序数为奇数时，最后的数值a2n+1=-(n+1)+1，据此计算.
16．【答案】（1）解：原式＝1+（2﹣3）+（﹣4+5）+（6﹣7）+（﹣8+9）+…+（2014﹣2015）+（﹣2016+2017）+（2018﹣2019）﹣2020+2021
＝1﹣1﹣2020+2021
＝1．
（2）解：原式＝
＝[﹣1+（﹣2021）+4040+（﹣1013）+（﹣1005）]+
＝
＝﹣．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】（1）观察式子特点：2﹣3=-1，﹣4+5=1，6﹣7=-1；也就是2﹣3﹣4+5=0，利用加法结合律进行计算，可求出结果.
（2）分别将每一个带分数拆成整数与分数之和，然后将整数部分和分数部分分别相加，再进行计算，可求出结果.
17．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）解：原式= .
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1） ， 故答案为：；
（2）第⑤个算式为 ： 故答案为：；
（3） 第 n 个算式为 ：； 故答案为：；
【分析】（1）观察已知等式，即可得出第四个等式；
（2）由（1）观察得到的规律即可得出第五个等式；
（3）根据题干给出的阅读材料发现等式的左边是1与一个分数的和，其中分数的分子是1，分母等于等式的序号与1的和的平方减1，等式的右边是一个分数，分子等于等式序号与1的和的平方，分母是两个因数的乘积，一个因数等于等式的序号，另一个因数比第一个因数大2，据此即可得出一般规律；
（4）原式利用得出的规律变形后，约分即可得到结果.
18．【答案】（1）；
（2）；
（3）
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：（1）第6个数比第3个数大2，
∴第6个数是，
第7个数比第4个数大2，
∴第7个数是，
故答案为：，；
（2）解：第一组数是，
第二组数是，
第三组数是，
……
∴第n组数是，，，
∵……1，
∴第22个数是，第23个数是，
∵第个数是，第个数为，
∴，
∴，
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴第个数是，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）通过观察发现，每组三个数，后一组三个数分别比前一组三个数大2，则第n组数是，，，根据题意可得，，则；
（3）由（2）的规律可得第个数是。
19．【答案】（1）解：图①，面数f=7，顶点数v=9，棱数e=14，
图②，面数f=6，顶点数v=8，棱数e=12，
图③，面数f=7，顶点数v=10，棱数e=15，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）解：f+v-e=2．
（3）解：∵v=2021，e=4035，f+v-e=2
∴f+2021-4035=2，
f=2016，
即它的面数是2016．
【知识点】截一个几何体；探索图形规律
【解析】【分析】（1）观察图形，填写表格即可；
（2）根据表格中数量猜想f，v，e三个数量之间的关系可得 ， f+v-e=2 ；
（3）根据（2）的结论求出f即可。
20．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】（1）解：∵第1次截取后剩余，
第2次截取后剩余，
第3次截取后剩余，
…，
第n次截取后剩余，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵第1次截取后剩余，
第2次截取后剩余，
第3次截取后剩余，
…，
第n次截取后剩余，
∴．
故答案为：．
（3）解：∵第1次截取后剩余，
第2次截取后剩余，
第3次截取后剩余，
…，
第n次截取后剩余，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）有代数式的特点，结合图1可知， 表示，图1中除了右下最后一块小正方形后整个正方形剩余面积，有规律可知，右下最后一块小正方形的面积为，所以；
（2）同（1）可知，由于右下角最后一块小正方形的面积为，所以；
（3）同理于（1）（2）即可求得。
21．【答案】解：素材：13+15+17+19；
规律总结：49；99，101；
综合应用：
=1+（3+5）+（7+9+11）+……+（111+113+115+117+119+121+123+125+127+129+131）
=×66×（1+131）
=4356
拓展延伸：64或216
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：素材：设，
解得：，
；
故答案为：；
规律总结：设，
解得：，
当时，，，
故答案为：49，99，101；
拓展延伸：当时，，
解得：，
此时的值为64，
当时，，
解得，
此时的值为216.
故答案为：64或216.
【分析】素材：设43=(a-2)+a+(a+2)+(a+4)，求出a的值，进而可得43的值；
规律总结：设73=(a-6)+(a-4)+(a-2)+a+(a+2)+(a+4)+(a+6)，求出a的值，据此解答；
综合应用：13+23+33+……+93+103+113=1+(3+5)+(7+9+11)+……+(111+113+115+117+119+121+123+125+127+129+131)=×66×(1+131)，计算即可；
拓展延伸：当m=2时，2n-1-1=31，求出n的值，进而可得mn的值，同理可得m=6对应的值.
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