人教A版（2019）选择性必修第一册 2.4.2圆的一般方程 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
复习回顾
二、点与圆的位置关系：
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点P在圆上
点P在圆外
点P在圆内
C
P
P
P
一、圆的标准方程
以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程 为 .
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
|PC||PC|=r
|PC|>r
2.4.2圆的一般方程
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
问题1 圆的标准方程(x a)2+(y b)2=r2展开后可得到什么式子？
(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
x2+y2+Dx+Ey+F=0
问题2反过来, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆呢
探究1：观察以下三个方程：
(1)x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0；
(2)x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0；
(3)x2＋y2＋2x＋2y＝0.
先将它们分别配方，分析它们分别表示什么图形？
(1)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，不表示任何图形．
(2)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，表示点(－1，－1)．
(3)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，表示圆．
问题2反过来, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆呢
探究2：将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0进行配方，并分析什么情况下此方程能表示圆？
表示以( )为圆心， 以 为半径的圆.
方程无实数解，所以不表示任何图形.
方程只有一组解 ，表示一个点( ).
D2+E2 4F
>0，
=0，
<0，
一、圆的一般方程
当D2+E2 4F>0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆, 我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
问题3 圆的一般方程有哪些结构特征？
注意：①关于x，y的二元二次方程，x2与y2系数都是1；
②没有xy这样的二次项；
③圆心为( , )，半径为 .
标准方程 一般方程
方程
代数特征
系数
圆心
半径
平方和
特殊的二元二次方程
（a,b）
r
问题4 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
重“形”
重“数”
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，
（1）求实数m的取值范围，
（2）写出圆心坐标和半径.
题型一 圆的一般方程的辨析
练1：已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为___________，半径为___.
练2：若点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为____.
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，
（1）求实数m的取值范围，
（2）并写出圆心坐标和半径.
解：由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
一、圆的一般方程
练1 已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为___________，半径为___.
解：由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋ ＝0，
∵D2＋E2－4F＝12＋22－4× ＜0， ∴a＝2不符合题意.
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
(－2，－4)
5
练2 若点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为____.
9π
由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴该圆的面积为9π.
例2 当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m的值为____________.
题型二 与圆的一般方程有关的最值问题
求半径最小值
例3 求过三点 A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
题型三 求圆的方程
笔记：过三点圆的方程：
（1）待定系数法
（2）几何法：边的垂直平分线
变式 已知四点 , , , ,问这四个点是否在同一个圆上？
解1：(待定系数法)
设过O, M1, M2的圆方程为
则
∴过O, M1, M2的圆方程为
解2：(待定系数法)
设过O, M1, M2的圆方程为
则
∴过O, M1, M2的圆方程为
标准方程
三元二次方程组
一般方程
三元一次方程组
D,E,F
(a,b) r
例3 求过三点 A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
题型三 求圆的方程
解3：

l′

x
O(0,0)
y
M1(1,1)


M2(4,2)
l
例3 求过三点 A(5, 1), B(7, -3), C(2, -8) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
题型三 求圆的方程
变式 已知四点 , , , ,问这四个点是否在同一个圆上？
为过 的圆的直径
法一：
法二：
例4已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
题型四 动点的轨迹方程
问题5 如何理解轨迹和轨迹方程呢？
（1）点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满足的关系式.
（2）轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形. 在解析几何中, 我们常常把图形看作点的轨迹(集合).
直接法:
例4已知动点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状.
题型四 动点的轨迹方程
解：设动点 ，
∴
化简，得 ，
曲线是以 为圆心，2为半径的圆．
三、阿波罗尼斯圆
平面内到两个定点的距离之比为常数m（ m且的点的轨迹是圆．这个圆叫做阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．
三、阿波罗尼斯圆
平面内到两个定点的距离之比为常数m（ m且的点的轨迹是圆．这个圆叫做阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．
人物介绍
阿波罗尼奥斯（约公元前262-190年），古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，阿波罗尼斯圆是他论著中的一个著名问题，也是其研究成果之一．
《圆锥曲线论》是一部经典巨著，书中蕴含坐标思想，这对后世坐标的建立具有很大启发．
2.阿波罗尼斯圆的方程推导
已知点M与两个定点距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（时）．
（1）建系
以线段所在直线为ｘ轴，线段的中垂线为ｙ轴建立平面直角坐标系，如图所示：
y
x
O
设 ，则
（2）设点 设 ；
（3）列式 由 得
（4）化简
即
（5）结论
表示以 为圆心，以 为半径的圆．
例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动, 求线段AB的中点M的轨迹方程.
题型四 动点的轨迹方程
定点： ，
A (主动点)
M (从动点)
定圆： .
相关点法： 用从动点坐标表示主动点坐标，代入给定的曲线方程.
例5 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动, 求线段AB的中点M的轨迹方程.

x
O
y
A


B(4,3)

M
1
3
4
解1：
整理得
∵B(4，3),且M是AB的中点，
∴M的轨迹是以( )为圆心，1为半径的圆.
这就是点M的轨迹方程，
定点： ，
A (主动点)
M (从动点)
定圆： .
题型四 动点的轨迹方程
(2)定义法：先由已知及曲线定义得到所求轨迹为何种曲线，再由该种曲线的标准方程求得轨迹方程．
(3)相关点法：若动点P(x, y)依赖于某圆上的一个动点Q(x0, y0)而运动,把x0, y0用x,y表示,再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中,得P点的轨迹方程.
(1)直接法: 根据题目条件,设动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明.
求动点的轨迹方程的常用方法
跟踪训练5 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
变式1 在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
变式2 若本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.
题型四 动点的轨迹方程
【教材89页·10】在平面直角坐标系中, 如果点P的坐标(x, y)满足
证明: 点P的轨迹是圆心为(a, b), 半径为r的圆.
证明：
∴点P的轨迹是圆心为(a, b), 半径为r的圆.
方程特征：直接体现了圆上点的坐标x, y的间接关系, 体现了变元(改变变量形式)和换元思想.
圆心为(a, b), 半径为r 的圆 的参数方程为：
特别地, 圆心为(0, 0), 半径为r 的圆 的参数方程为：
三、圆的参数方程
【巩固训练】已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
A
B
D
C
-2
x
O
y
2
特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点.
THANKS