广东省2015中考数学冲刺复习课件：第22课时 锐角三角函数和解直角三角形（共23张PPT）

课件23张PPT。数学第22课时 锐角三角函数和解直角三角形第22课时 锐角三角函数和解直角三角形最新广东省初中毕业生数学学科学业考试大纲：锐角三角形函数与解直角三角形①探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°、45°、60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．②能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些实际问题．第22课时 锐角三角函数和解直角三角形知识考点?对应精练
考点分类一 锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义：若在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C
的对边分别为a、b、c，则sin A= ，cos A= ，tan A= .
1.在△ABC中，∠C=90°，AB=1.5，BC=1.2，则sinB的值为( )
A. B. C. D. 3.如图22-1，在6×3的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ABC的值为( )
A. B. C. D. 2.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、b，已知a:b:c=8:15:7 ，则cosA的值为( )
A. B. C. D.条件不足??????????????ACD第22课时 锐角三角函数和解直角三角形考点分类二 特殊角的三角函数值：4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为( )
A. B. C. D. 15. tan245°+sin45°+cos45°的值等于( )
A. 1 B. C. D. CC??????第22课时 锐角三角函数和解直角三角形考点分类三 解直角三角形的定义 解直角三角形的定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素即3条边和2个锐角)．
直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
(1)三边之间的关系：c2=a2+b2；
(2)两个锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ ，sinB＝ ，cosB＝ ，tanB＝ .??????第22课时 锐角三角函数和解直角三角形 6.(2014?济宁)如图22-2，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 ，则AB的长为 ．?解：过C作CD⊥AB于D，

∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2 ，
∴CD= ，
∴BD=CD= ，
由勾股定理得： ，
∴AB=AD+BD=3+ ．7.(2014?甘孜州)如图22-3，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的长．(结果保留根号)解：∵∠B=90°，∠BDC=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD=BC，
在Rt△ABC中，tanA=tan30°= ，即 ，
解得：BC=2( +1)．?????????第22课时 锐角三角函数和解直角三角形考点分类四 解直角三角形的应用实际应用及相关概念 日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，直角三角形的边角关系在解决实际问题中有较大的作用．
仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．

坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度h和水平宽度 的比叫坡度(或坡比)，即 ，坡面与水平面的夹角α叫坡角．
方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北偏东60°方向的一个角．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．
方位角：从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角．第22课时 锐角三角函数和解直角三角形 8.(2014?德州)如图22-4是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为(　　)
A. 米 B. 米 C. 米 D．24米????9.(2014?苏州)如图22-5，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB的长)为(　　)
A．4km B. km C. km D. km???提示：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，
∴AD= OA=2．
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2， ∴AB= AD=2 ．
即该船航行的距离(即AB的长)为2 km．BC????第22课时 锐角三角函数和解直角三角形 10.(2014?深圳)如图22-6，小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　　)
A．600－250 米 B．600 －250 米
C．350+350 米 D．500 米??提示：∵BE：AE=5：12， ，
∴BE：AE：AB=5：12：13，
∵AB=1300米，∴AE=1200米，BE=500米，
设EC=x米，
∵∠DBF=60°，∴DF= x米．
又∵∠DAC=30°，∴AC= CD．
即：1200+x= (500+ x)，
解得x=600－250 ．
∴DF= x=600 －750，
∴CD=DF+CF=600 －250(米)．
答：山高CD为(600 －250)米．
???B?????????第22课时 锐角三角函数和解直角三角形真题演练?层层推进
基础题1.(2014?湖州)如图22-7，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA= ，则BC的长是(　　)?提示：∵tanA= ，AC=4，∴BC=2．???3.(2014?包头) 计算sin245°+cos30°?tan60°，其结果是(　　)
A．2 B．1 C. D. ???AAB第22课时 锐角三角函数和解直角三角形 4.(2014?衡阳)(坡度)如图22-8，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为(　　)
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米提示：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴AE=1.5BE=18米，
∵BC=10米，
∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米．D5.(2014?绵阳) 如图22-9，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为(　　)
A. 海里 B. 海里 C. 80海里 D. 海里???提示：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，
故CP= AP=40(海里)，
则PB= (海里)． ??A第22课时 锐角三角函数和解直角三角形提高题6.(2014?百色) 如图22-10，从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是(　　)
A. 米 B. 米 C. 米 D．12米???提示：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6m，
∴BC=6m，
在Rt△ABD中，∵tan∠BAD= ，
∴BD=AB?tan∠BAD=6 m，
∴DC=CB+BD=6+6 (m)．7.(2014?重庆) 如图22-11，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD= ，求sinC的值．?A????第22课时 锐角三角函数和解直角三角形拔高题8. (2014?云南) 如图22-12，小明在M处用高1米(DM=1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度(取 ≈1.73，结果保留整数)?解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，
∴∠CBD=60°－∠BDE=30°=∠BDE，
∴BC=CD=10米，
在Rt△BCE中，sin60°= ，即 ，
∴BE=5 ，
AB=BE+AE=5 +1≈10米．
答：旗杆AB的高度大约是10米．????第22课时 锐角三角函数和解直角三角形课时作业一、选择题1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为( )
提示：在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，利用勾股定理可求得斜边AB=5，
所以 .?2.点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )
提示：sin60°= ，cos60°= ，再把纵坐标变成相反数．??3. 如图22-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC= ，BC=2，则sin∠ACD的值为( )
?提示：根据勾股定理可得，AB= ，
由题意，可知∠ACD+∠A=90°，∠B+∠A=90°，∴∠ACD=∠B，
∴sin∠ACD=sin∠B= ．??CBA第22课时 锐角三角函数和解直角三角形课时作业 4.河堤横断面如图22-2所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比1： (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是( )
A．5 米 B．10米 C．15米 D．10 米???5.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图22-3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(　　)
A. 米 B.12米
C. 米 D．10米??提示：延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°.
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2 ，
在Rt△CED中，CE=2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4.
∴BD=BF+EF+ED=12+2 .
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，
.???AA第22课时 锐角三角函数和解直角三角形课时作业二、填空题6.如图22-4，在山坡AB上种树，已知∠C=90°，∠A=28°，AC=6米，则相邻两树的坡面距离AB≈ 米．(精确到0.1米)?7.都匀市某新修“商业大厦”的一处自动扶梯如图22-5，已知扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于　 .6.8提示：在由自动扶梯构成的直角三角形中，已知了坡面l和铅直高度h的长，可用勾股定理求出坡面的水平宽度，进而求出θ的正切值：
如图；在Rt△ABC中，AC=l=10米，BC=h=6米；
根据勾股定理，得：AB= (米)，
∴tanθ= .???第22课时 锐角三角函数和解直角三角形课时作业 8.如图22-6，为了测量电线杆AB的高度，小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处。若测角仪CD的高度为1.5m，在C处测得电线杆顶端A的仰角为 36°，则电线杆AB的高度约为 m(精确到0.1m).(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73) 提示：由DB=9m，CD=1.5m，根据矩形的判定和性质，得CE=9m，BE=1.5m.
在Rt△ACE中，AE=CE?tan∠ACE=9 tan360≈9×0.73=6.57.
∴AB=AE＋BE≈6.57＋1.5=8.07≈8.1(m).9.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行 小时到达B
处，那么tan∠ABP= .?提示：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，
∴PA=20。
∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行 小时到达B处，
∴∠APB=90° ，BP=60× =40。
∴tan∠ABP= .????8.1第22课时 锐角三角函数和解直角三角形课时作业 10. 如图22-7，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度 ，则AC的长度是 cm．?提示：过点B作BD⊥AC于D，
根据题意得：AD=2×30=60(cm)，BD=18×3=54(cm)，
∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5.
∴CD=5BD=5×54=270(cm) .
∴AC=CD－AD=270－60=210(cm) .∴AC的长度是210cm. 210第22课时 锐角三角函数和解直角三角形课时作业三、解答题11. (2014?宁夏)在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= ，AD=1．求BC的长．?解：在Rt△ABD中，∵ ，
又∵AD=1，
∴AB=3，
∵BD2=AB2－AD2，
∴ ．
在Rt△ADC中，∵∠C=45°，
∴CD=AD=1．
∴BC=BD+DC=2 +1．???第22课时 锐角三角函数和解直角三角形课时作业 12.(2014?宁波)如图22-9，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直的公路AB的长；
(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)解：(1)作CH⊥AB于H．
在Rt△ACH中，CH=AC?sin∠CAB=AC?sin25°≈10×0.42=4.2(千米)，
AH=AC?cos∠CAB=AC?cos25°≈10×0.91=9.1(千米)，
在Rt△BCH中，BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6(千米)，
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7(千米)．
故改直的公路AB的长14.7千米；
(2)在Rt△BCH中，BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7(千米)，
则AC+BC－AB=10+7－14.7=2.3(千米)．
答：公路改直后比原来缩短了2.3千米．第22课时 锐角三角函数和解直角三角形课时作业 13.(2014?内江)“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图22-10，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止)．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时(点A、B、C在同一直线上)，竖直高度CF约为多少米？(结果保留整数，参考数值： ≈1.7)解：∵∠BCF=90°，∠CBF=45°，
∴BC=CF，
∵∠CAF=30°，
∴ ,
解得：CF=400 +400≈400(1.7+1)=1080(米)．???第22课时 锐角三角函数和解直角三角形课时作业 14.(2014?盐城)盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图22-11，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB．小明在D处用高1.5m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°．求电视塔的高度AB．( 取1.73，结果精确到0.1m)解：设AG=x，
在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG= ，
∴FG= ，
在Rt△ACG中，
∵tan∠ACG= ，
∴ ，
∴ ，
解得：x≈193.8．
则AB=193.8+1.5=195.3(米)．
答：电视塔的高度AB约为195.3米．?图22-11?????结束谢谢！