第二十八锐角三角形导学案
文档属性
| 名称 | 第二十八锐角三角形导学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 965.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-07 10:59:39 | ||
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文档简介
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28.1锐角三角函数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.初步了解正弦、余弦、正切概念.
2.能较正确地用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.
3.熟记30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
【重点难点】
1.正弦，余弦，正切概念
2.用含有几个字母的符号组sinA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切
知识概览图
锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数
特殊角的三角函数值
sin2 A＋cos2 A＝1
sin(90°－A)＝cos A，cos(90°－A)＝sin A
正弦(正切)值随角度的增大而增大
余弦值随角度的增大而减小
O＜sin α＜1，0＜cos α＜1(0°＜α＜90°)
tanα＞0(0°＜α＜90°)，
新课导引
【生活链接】 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为了使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管
【问题探究】 这个问题可以归结为：如右图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB．根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即，可得AB＝2BC＝70 m，也就是说，需要准备70 m长的水管．在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管
教材精华
知识点1 当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值
(1)任意画一个锐角A，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，从而得到一个Rt△ABC，如图28－1所示．Rt△ABC中的三条边每两边构成一个比，一共可以得到如下六个比例式：
(2)在锐角A的AB边上再另取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，从而得到另一个Rt△AB1C1，Rt△AB1C1中的三条边也构成如下六个比例式：, .
那么由两个直角三角形所得到的对应比有怎样的关系呢
∵BC⊥AC，B1C1⊥AC1，∴BC∥B1C1，∴Rt△ABC∽Rt△AB1C1，
∴…都为定值．
∵点B1在AB边上是任取的，∴前面的操作方法具有普遍性．
∴当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值．
知识点2 正弦和余弦的定义
由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值，∠A的邻边与斜边的比值也是一个固定的值．
在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如图28－2所示．
(1)我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sin A，即sin A＝.
(2)我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦．记作cos A，即cos A＝.
拓展 (1)正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值．
(2)正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．
(3)sin A，cos A是整体符号，不能写成sin·A，cos·A．
(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如sin∠ABC．
(5)sin2 A表示(sin A)2，而不能写成sin A2．
(6)三角函数还可以表示成sinα，cosβ等．
探究交流 计算30°，45°，60°角的正弦、余弦值．
点拨 如图28－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°．
由在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可知BC＝AB，再由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，
得AB2＝AC2＋(AB)2，即AC2＝AB2，∴AC＝AB，
∴sin A＝，cos A＝
即sin 30°＝，cos 30°＝．
类似地，sin 60°＝,cos 60°＝.
如图28－4所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°．
∴CB＝CA，由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，
得AB＝BC＝AC，即．
∴sin A＝，cos A＝，即sin 45°＝cos 45°＝.
知识点3 正切的定义
由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与邻边的比值是一个固定的值，如图28－5所示．
在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．记作tan A，即tan A＝.21·cn·jy·com
拓展 (1)正切是一个比值，是一个没有单位的数值．
(2)正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．
(3)tan A是整体符号，不能写成tan·A．
(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC．
(5)tan2A表示(tan A)2，而不能写成tan A2．
(6)三角函数也可以表示成tan α等．
探究交流 计算30°，45°，60°角的正切值．
点拨 如图28－6所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
∴BC＝AB，AC＝AB；∴tan A＝.
类似地，tan B＝.
即tan 30°＝，tan 60°＝.
如图28－7所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°．
∴∠A＝∠B，∴CA＝CB，
∴tan A＝＝1，tan B＝＝1，即tan 45°＝1．
知识点4 锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
(1)三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化．
(2)由定义可知，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1，tan A＞0．
令y＝sin A，y＝cos A，y＝tan A，则函数中自变量的取值范围均为0°＜A＜90°．
函数的增减性分别为：
①y＝sin A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大．
②y＝cos A在自变量的取值范围内，y随A的增大而减小．
③y＝tan A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大．
(3)常见的特殊角的三角函数值如下表：
锐角α三角函数 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
拓展 (1)锐角的三个三角函数都是一个比值．当锐角不变时，该角的正弦、余弦、正切值也不变．
(2)锐角的三角函数值与角的两边的长短无关．
(3)当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，构造出直角三角形，从而求出sin A，cos A，tan A．【来源：21cnj*y.co*m】
知识点5 同角三角函数之间的关系
如图28－8所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，令∠A＝α，则sinα＝，cos a＝，tan α＝．
(1)平方关系．
∵sin2α＋cos2α＝()2＋()2＝，
又∵a2＋b2＝c2，∴sin2α＋cos2 α＝＝1．
(2)商数关系．
∵，tan α＝，∴＝tan α．
拓展 对公式sin2α＋cos 2α＝1(α为锐角)的理解与应用要注意：sin2α代表的含义是sinα的平方(即比值的平方)，书写格式应为sin2α，而不是sinα2．
知识点6 互为余角的三角函数关系
观察下列等式：
sin 30°=cos 60°＝，sin 45°＝cos 45°＝．
cos 30°=sin 60°＝，cos 45°＝sin 45°＝．
不难发现等式有下面三个特点：(1)三角函数名称互换，即正弦变余弦，余弦变正弦；(2)角度互余；(3)三角函数值相等．
上述规律可以推广到任意锐角，即sin A＝cos(90°－A)，cos A＝sin(90°－A)．
用语言叙述上述规律为：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
拓展 对公式sin A＝cos(90°－A)和cos A＝sin(90°－A)的理解要注意以下两点：
(1)∠A为锐角．
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻边与斜边的比，实际上就是∠B(即90°－∠A)的对边与斜边的比．
规律方法小结 求锐角三角函数值时，应构造一个直角三角形，运用数形结合思想来解决数量问题．
课堂检测
基础知识应用题
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cos B的值为 ( )
A. B． C． D．
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则BC：AC等于 ( )
A．3：4 B．4：3
C．3：5 D．4：5
3、在Rt△ABC中，如果各边都缩小4倍，则锐角A的正切值 ( )
A．缩小4倍 B．扩大4倍 C．没有变化 D．不能确定
4、如图28－10所示，在Rt△OPQ中，求sin P，cos P，sin Q，cos Q的值．
5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．
(1)求AB的长；
(2)求sin A，cos A的值；
(3)求sin2 A＋cos2 A的值；
(4)比较sin A与cos B的大小；
(5)比较tan A与的大小．
6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值为 ( )
A． B． C． D．
7、sin 30°＋cos 60°－cos 45°－tan 60°·tan 30°＝ ．【来源：21·世纪·教育·网】
8、若sin α＝2m－3(α为锐角)，求m的取值范围．
综合应用题
9、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，0)和点B(0，－4)，则cos∠OAB等于 ( )
A． B．－
C． D．
10、如图28－12所示，已知△ABC的两边长AC＝3，AB＝5，且第三边长BC为关于x的方程x2－4x＋m＝0的两个正整数根之一，求sin A的值．
11、已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别是一个直角三角形两锐角的余弦值，且－n＝，求m，n的值．
12、已知△ABC的三边a，b，c中，b＝5，c＝3，锐角θ的正弦值是关于x的方程5x2－15x－ax＋3a＝0的一个根，试求a的取值范围．
13、已知0°＜θ＜90°，且关于x的方程x2－2xtan θ－3＝0的两个根的平方和等于10，求以tan θ，为根的一元二次方程．
14、如图28－13所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC＝2－，求BC的长．
15、如图28－14所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，sin B＝，求四边形AECD的周长．
探索与创新题
16、用几何方法求tan15°的值．
17、曙光中学有一块三角形形状的花圃，现可直接测得∠A＝30°，AC＝40米，BC＝25米，请你求出这块花圃的面积．21教育名师原创作品
18、阅读下面的材料，再回答问题．
三角函数中有常用公式：sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，求sin(A＋B)的值．
例如：sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝ .
试用公式cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B求cos 75°的值．
19、(1)如图28－18所示，在△ABC中，∠B，∠C均为锐角，其对边分别为b，c，求证；
(2)在△ABC中，AB＝，AC＝，∠B＝45°，则这样的△ABC有几个 请作出来(不写作法和理由)，并求出∠C的度数．
体验中考
如图28－20(1)所示，在正方形网格中，sin∠AOB等于 ( )
A． B． C． D．2
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 由勾股定理可知AB＝＝5，根据余弦的定义可知cos B＝，即cos B＝＝．故选B．【版权所有：21教育】
2、分析 根据题意画出图形，如图28－9所示，由正弦的定义可知sin A＝，即sin A＝＝，故可设BC＝3 k，AB＝5 k(k＞0)，由勾股定理可知AC＝ ＝＝4 k，∴BC：AC＝(3k)：(4k)＝3：4．故选A．
【解题策略】 本题中BC：AC的值实际上是∠A的正切值，即tan A，可借助图形来解决问题．
3、分析 锐角A的正切值是一个比值，它只与∠A的大小有关，而与△ABC的大小无关．故选C.
4、分析 无论直角三角形如何放置，其顶点字母如何标记，正弦值总是等于这个锐角的对边比斜边，余弦值总是等于这个锐角的邻边比斜边，本题已知直角边长，应先求斜边长．
解：在Rt△OPQ中，∠O＝90°，OP＝，OQ＝2，
由勾股定理,得PQ＝，
∴sin P＝，cos P＝，
同理，sin Q＝，cos Q＝.
【解题策略】 此类问题考查的是三角函数的定义与特征，数形结合思想是解决此类问题时常用的思想方法．
5、解：(1)∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13．
(2)sin A＝＝,cos A＝＝．
(3)sin2 A＋cos2 A＝()2＋()2＝＝1．
(4)∵cos B＝＝，∴sin A＝cos B．
(5)∵tan A＝＝，＝，∴tan A＝．
【解题策略】 解答本题的关键是正确理解锐角三角函数的概念，并找准相应的边．
6、分析 利用特殊角的三角函数值即可求得cos B的值．在Rt△ABC中，∵sin A＝，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴cos B＝cos 30°＝.故选C.
【解题策略】 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即sin A＝cos(90°－A)．任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即cos A＝sin(90°－A)，同时有sin2α＋cos2α＝1(α为锐角)，tanα＝．
7、分析 sin 30°＋cos 60°－cos 45°－tan 60°·tan 30°＝＋－－×＝1－－1＝－．故填－.
【解题策略】 解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
8、分析 由α为锐角，0＜sin α＜1，知0＜2m－3＜1，由此可求得m的取值范围．
解：∵0°＜α＜90°，∴0＜sin α＜1，即0＜2m－3＜1，∴＜m＜2．
【解题策略】 当α为锐角时，正弦值随着a的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着α的增大(或减小)而减小(或增大)．2·1·c·n·j·y
9、分析 如图28－11所示，易知OA＝3，OB＝4，则AB＝ ＝5，此时cos∠OAB＝．故选C.
【解题策略】 本题从表面上看是三角函数与平面直角坐标系的综合应用，实际上还是在直角三角形中研究边与角的关系，注意运用转化思想来求解．
10、解：设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两个正整数根，
由根与系数的关系可知x1＋x2＝4，x1x2＝m．
又∵x是正整数，∴x1＝1，x2＝3，或x1＝x2＝2，或x1＝3，x2＝1，
∴BC只能取1，2，3．
根据三角形三边之间的关系可知5－3＜BC＜5＋3，
即2＜BC＜8，∴BC＝3．
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∴AC＝BC＝3，AD＝AB＝×5＝2.5．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，CA＝3，AD＝2.5，
∴CD＝，
∴sin A＝.
【解题策略】 解题的关键是先根据根与系数的关系求出BC的值，再构造直角三角形求出sin A的值．
11、分析 利用两锐角的余弦值、根与系数的关系组成方程组，求得m，n的值，再检验m，n是否符号题意.
解：设方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别为cosα，cosβ(α＋β＝90°)，
由根与系数的关系得
∵α＋β＝90°，∴cosβ＝sin α，
∴
将①两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝m2，③
把②代入③，得1＋2·n＝m2，∴m2－2n－1＝0．④
又∵－n＝，即m＋5n－1＝0，⑤
∴解得或
当m1＝1，n1＝0时，sin α＋cos α＝－m＝－1＜0，应舍去，即
【解题策略】 此题综合运用根与系数的关系以及锐角的三角函数值来求解．
12、分析 对于a，实际上有两个限制条件：(1)a是△ABC的一边，则5－3＜a＜5＋3，即2＜a＜8；(2)由5x2－15x－ax＋3a＝0，得(x－3)(5x－a)＝0，因为sin θ是该方程的根，所以必有5sin θ－a＝0，即a＝5sin θ，再由sin θ来确定a的取值范围．
解：由5x2－15x－ax＋3a＝0，得(x－3)(5x－a)＝0，
∴x1＝3，x2＝．
∵sin θ是该方程的根，且0＜sin θ＜1(θ是锐角)，
∴＝sin θ，即a＝5sin θ，∴0＜a＜5．①
又∵a是△ABC的一边，∴b－c＜a＜b＋c，
即5－3＜a＜5＋3，∴2＜a＜8，②
由①②得a的取值范围是2＜a＜5．
【解题策略】 此题综合运用了锐角正弦值的取值范围以及三角形的三边关系，这些都是确定不等关系的依据．
13、分析 构造一元二次方程的关键是求tan θ＋和tan θ·的值，故应由已知条件求出θ的度数．
解：设x1，x2是方程x2－2xtan θ－3＝0的两个根.
由根与系数的关系可知x1＋x2＝2tan θ，x1x2＝－3．
∵x12＋x22＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，
即(2tan θ)2－2×(－3)＝10，∴4tan2 θ＝4，tan θ＝±1．
又∵0°＜θ＜90°，∴tan θ＝－1不符合题意，舍去，
∴tan θ＝1，θ＝45°,∴＝＝ ＝ ，
∴tanθ＋＝1＋，tan θ·＝1×＝，
∴以tanθ，为根的一元二次方程是x2－(1＋)x＋＝0.
【解题策略】 此类题是锐角三角函数与一元二次方程的有关知识相结合的题目，主要考查综合运用知识的能力．
14、分析 BC不在直角三角形中，故应作辅助线将其转化到直角三角形中，因此可作AD⊥BC，垂足为D，此时分BC的两条线段CD，BD可分别在Rt△ACD和Rt△ADB中求得．
解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ACD中，sin C＝，∠C＝45°，
∴AD＝AC·sin C＝AC·sin 45°＝AC．①
在Rt△ADB中，sin B＝，∠B＝30°，
∴＝sin 30°，∴AD＝AB·sin 30°＝AB．②
由①②可知AC＝AB，∴AB＝AC③
又∵AB－AC＝2－，∴AC－AC＝2－，∴AC＝.
∵cos C＝，∴CD＝AC·cos C＝·cos 45°＝×＝1．
∵cos B＝，∴BD＝AC·cos B＝×·cos 30°＝2×＝．
∴BC=CD＋DB=1＋.
【解题策略】 对于非直角三角形，常通过添加辅助线构造直角三角形来求解．
15、分析 要求四边形的周长，就要知道各边长，利用勾股定理及三角函数值可求得各边长．
解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA．
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．
在Rt△ABE中，sin B＝，
设AE＝5x，则AB＝13x，由勾股定理得BE＝12x，
∵EC＝1，∴BC－BE＝1，
即AB－BE＝1，∴13x－12x＝1，x＝1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝13，AE＝5，EC＝1，
∴四边形AECD的周长为AE＋EC＋CD＋DA＝5＋1＋13＋13＝32．
【解题策略】 解此类问题时，首先应明确所求的边(或角)在哪个三角形中，然后根据图形并结合已知条件选择合适的方法来求解．【出处：21教育名师】
16、分析 同求30°，45°，60°角的三角函数值一样，要把15°角放在一个直角三角形中，如图28－15所示，考虑到15°＝×30°，所以可以通过构造∠BDC＝30°，从而表示出各边长．
解：作如图28－15所示的直角三角形，
使∠C＝90°，∠A＝15°，在AC上取一点D，使∠BDC＝30°，
∵∠BDC＝∠A＋∠DBA，∴∠DBA＝15°，∴DA＝DB．
设BC＝x，则BD＝DA＝2x，DC＝x，
∴AC＝AD＋DC＝2x＋x＝(2＋)x.
在Rt△ACB中，tan15°＝.
【解题策略】 此题的方法使我们进一步加深了对锐角三角函数的概念的理解，此题的方法还可以用来求75°角的三角函数值．
17、解：①如图28－16所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝40，
∴CD＝20，AD＝AC·cos 30°＝20(米)．
在Rt△CDB中，CD＝20，CB＝25，
∴DB＝＝15，
∴S△ABC＝AB·CD＝(AD＋DB)·CD
＝(20＋15)×20＝200＋150(米2)．
②如图28－17所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，
由①可知CD＝AC＝20，AD＝20，BD＝15，
∴S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝AD·CD－BD·CD＝(AD－
BD)·CD＝(20－15)×20＝200－150(米2)．
【解题策略】 解此题的关键是应用分类讨论思想，千万不要忽略第二种情况．
18、分析 欲求cos 75°的值，必须牢记特殊角的三角函数值，然后代入已知公式求解即可．
解：∵cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
∴cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝.
【解题策略】 解此题的关键是将75°分解为45°和30°的和．
19、证明：(1)过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B，即AD＝c·sin B，
在Rt△ACD中，AD＝AC·sin C，即AD＝b·sin C，
∴c·sin B＝b·sin C，∴.
解：(2)符合条件的△ABC有两个，如图28－19所示的△ABC1和△ABC2，
此时∠AC1B＝120°或∠C2＝60°．
【解题策略】 解此题的关键是将斜三角形转化为直角三角形．
体验中考
分析 如图28－20(2)所示，设OD＝l，则CD＝2，从而由勾股定理得OC=，∴sin∠AOB＝sin∠COD＝．故选B．
【解题策略】 解此题的关键是找出锐角∠AOB所在的直角三角形．
28.2.1解直角三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2．会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
【重点难点】
1.直角三角形的解法．
2.三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3.实际问题转化成数学模型.
知识概览图
解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程
三边关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)
两锐角关系：两锐角互余
边角关系：三角函数
30°角所对的直角边等于斜边的一半
两边一角：由勾股定理求另一边，再求角
一边一角：由三角函数求另两边，再求角
新课导引
【生活链接】如右图所示，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一个长6 m的梯子．
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙 (结果保留小数点后一位)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角a等于多少 这时人是否能够安全使用这个梯子 (结果保留整数)21cnjy.com
【问题探究】 对于问题(1)，当梯子与地面所成的角α为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能安全攀到的最大高度，即在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．由sin A＝，得BC＝AB·sin A＝6sin75°．由计算器求得sin 75°≈0.97，∴BC≈6×0.97≈5.8(m)．那么对于问题(2)，该如何求解呢
教材精华
知识点1 解直角三角形的概念
如图28－30所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，c＝5，如何求∠B，a，b呢
由∠A＋∠B＝90°，∠A＝50°，得∠B＝90°－∠A＝40°．
由sin A＝，得a＝c·sin A＝5·sin 50°≈5×0.7660＝3.83．
由cos A＝，得b＝c·cos A＝5·cos 50°≈5×0.6428＝3.214．
上述问题中，除直角外，已知一条边和一个锐角，求另外两条边和一个锐角，于是有：
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
拓展 直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素．
知识点2 解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)．
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．
(3)边角之间的关系：sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝.
(4)直角三角形中的有关定理．
①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
②直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
③直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°．
④直角三角形中，斜边上的高是这条高分斜边所得两条线段的比例中项．如图28－31所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则CD2＝AD·DB．同理AC2＝AD·AB，CB2＝BD·BA．
⑤面积公式：如图28－31所示，S△ABC＝CA·CB＝AB·CD．
拓展 运用关系式解直角三角形时，常用到下列变形：(1)锐角之间的关系：∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A．(2)三边之间的常用变形：a＝，b＝，c＝. (3)边角之间的常用变形：a＝c·sin A，b＝c·cos A，a＝b﹒tan A，a＝c·cos B，b＝c·sin B，b＝a·tan B.
知识点3 解直角三角形的基本类型及其解法
解直角三角形有四种基本类型：(1)已知斜边和一直角边；(2)已知两直角边；(3)已知斜边和一锐角；(4)已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下：
图 形 已知类型 已知条件 解法步骤
两边 斜边，一直角边(如c，d) (1)b＝ (2)由sin A＝，求∠A(3)∠B＝90°－∠A
两直角边(如a，b) (1)c＝ (2)由tan A＝，求∠A(3)∠B＝90°－∠A
一边一角 斜边，一锐角(如c，∠A) (1)∠B＝90°－∠A(2)由sinA＝，求a＝c·sin A(3)由cos A＝，求b＝c·cos A
一直角边，一锐角(如a，∠A) (1)∠B＝90°－∠A(2)由tanA＝，求b＝ (3)由sin A＝，求c＝
拓展 虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种，但为了计算方便，最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则．
规律方法小结 本节知识利用数形结合思想，将锐角三角函数运用到直角三角形中．使问题得以解决，在解决问题时，有时也会用到分类讨论思想．
课堂检测
基础知识应用题
1、根据下列条件解直角三角形．(结果保留小数点后两位)
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝5；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°；
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝2 ；
(4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝15，∠A＝42°6′．
2、如图28－32所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，BC＝10，求它的腰长和底角．(腰长保留小数点后两位) 21*cnjy*com
3、如图28－33所示，在△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD＝，求∠A的各个三角函数值．
4、如图28－34所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，D为AC边上一点，∠DBC＝30°，CD＝12，求AD的长和△ABD的面积．(长度保留小数点后一位，面积保留小数点后两位)
5、如图28－35所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD＝1，设∠CAD＝α．
(1)求α的各个三角函数值；
(2)若∠B＝α，求BD的长．
6、在Rt△ABC中，∠C＝30°，a＝10，且S△ABC＝，求∠A．
7、已知17cos A＋13cos B＝17，17sin A＝13sinB，且∠A，∠B都是锐角，求∠A＋∠B的值．www.21-cn-jy.com
8、已知关于x的方程5x2－10xcosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10，且两边夹角为α的菱形的面积．
综合应用题
9、如图28－37所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝6，BC＝4，解这个直角三角形．
10、如图28－38所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
11、如图28－40所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是BC边上的中线，求证cos∠BAD和sin∠BAD是一元二次方程10x2－4x＋3＝0的两个根．21教育网
12、如图28－41所示的是某型号飞机的机翼形状，其中AB∥CD，根据图中的数据计算AC，BD和CD的长度．(结果保留根号)
13、如图28－42所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经过16小时到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知：一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°(即∠NAC＝60°)方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．
(1)B处是否会受到台风的影响 请说明理由；
(2)为了避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物 (参考数据：≈1.4，≈1.7)
探索与创新题
14、如图28－43所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是 ( )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
15、如图28－44所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC边上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为 ( )
A． B．2
C．1 D．2
16、如图28－45所示，在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B．
17、在△ABC中，AB＝AC，它的一个外角为80°，底角平分线的长为cm，求腰上的高．
18、如图28－47所示，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整的地带，该建筑物顶部的宽度AD和高度DC都可以直接测得，从A，D，C三点可看到塔顶H，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪．
(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶距地面的高度HG的方案，具体要求如下：①测量数据越少越好；②在所给图形上画出你所设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上；(如果测A，D间的距离，用m表示，如果测D，C间的距离，用n表示，如果测角，用α，β，γ等表示，测角仪器的高度不计)；
(2)根据你所测得的数据，计算塔顶H距地面的高度HG．(用字母表示)
19、如图28－49所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AD⊥BA，CD⊥BC，测得AB＝30，CB＝50，求四边形ABCD的面积．
体验中考
1、2sin 30°的值等于 ( )
A．1 B． C． D．2
2、如图28－54所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 ( )
A．5cos α B．
C．5sin α D．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 (1)是已知斜边和一直角边解直角三角形；(2)是已知斜边和一锐角解直角三角形；(3)是已知两直角边解直角三角形；(4)是已知一直角边和一锐角解直角三角形．
解：(1)∵sin A＝＝＝，∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°－∠A＝45°，
∴∠A＝∠B＝45°，∴b＝a＝5．
(2)∵∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°．
∵sin A＝，∴a＝c·sin A＝4·sin 60°＝4×＝6，
∴b＝.
(3)∵∠C＝90°，a＝b，b＝2，
∴c＝.
∵tan A＝＝,∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°．
(4)∵∠A＝42°6′，∴∠B＝90°－∠A＝90°－42°6′＝47°54′．
∵tan A＝，∴a＝b·tan A＝15×tan 42°6′≈15×0.9036≈13.55．
又∵cos A＝，∴c＝＝≈≈20.22．
【解题策略】 (1)解直角三角形时，应求出所有未知元素．(2)尽可能选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．(3)若需要使用计算器计算，则计算结果应符合题目要求的精确度．
2、分析 由于△ABC是等腰三角形，所以作底边BC上的高，可得到两个全等的直角三角形，解其中的Rt△ABD，不难求得△ABC的腰长和底角．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB＝AC，BC＝10，∠BAC＝40°，
∴BD＝BC＝5，∠BAD＝∠BAC＝20°，
∴∠B＝∠C＝70°．
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝，
∴AB＝＝≈≈14.62，
即△ABC的底角为70°，腰长约为14．62．
【解题策略】 解有关等腰三角形的题目时，常常作出底边上的高，转化为解直角三角形．
3、分析 已知tan∠BCD的值，但∠BCD不在直角三角形中，若过点D作DE⊥BC于E，则Rt△CDE与Rt△ACD不易建立起联系，若过点D作DE⊥CD交BC于E，则DE∥AC，又∵点D是AB的中点，∴DE＝AC，此时两个直角三角形的边长之间建立起了联系．
解：过点D作DE⊥CD交BC于E，则DE∥AC
∵点D是AB的中点，∴DE＝AC
设DE＝x，则AC＝2x．
又∵tan∠BCD＝＝，∴CD＝3x．
在Rt△ACD中，AD＝＝＝x，
∴sin A＝＝＝，cos A＝
tan A＝＝．
【解题策略】 解此类题时，首先应明确所求的边(或角)在哪个直角三角形中，若没有直角三角形，应构造出直角三角形，再解决问题．
4、分析 由已知条件可得AC＝BC，AD＝AC－DC，因此先解Rt△DBC
解：在Rt△DBC中，∠DBC＝30°，CD＝12．
∵tan∠DBC＝，
∴BC＝≈12×1.732≈20.8．
∵∠C＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°－45°＝45°．
∴∠ABC＝∠BAC，∴CA＝CB≈20．8，
∴AD＝AC－CD≈20．8－12＝8.8．
∴S△ABD＝·AD·BC≈×8.8×20．8＝91.52．
【解题策略】 钝角三角形的高有的在三角形的外部，所以要注意S△ABD＝AD·BC．
5、分析 (1)在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD的长，则α的各个三角函数值可求．(2)若∠B＝α，则有tan B＝tanα＝，可求出BC的长，则BD可求．
解：(1)在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝2，DC＝1，
∴AD＝=，
∴sinα＝，cosα＝，tan α＝.
(2)∵∠B＝α，∴tan B＝tanα＝.
又∵tan B＝，AC＝2，∴BC＝4，
∴BD＝BC－DC＝4－1＝3．
【解题策略】 若所求的问题不能直接求出，可转化为先解其他的直角三角形，再求解．
6、分析 解此题的关键是判断∠A，∠B中哪个角是直角，故应分类讨论．
解：①当∠A＝90°时，a＝BC＝10，∴AB＝5，AC＝5，
∴S△ABC＝·AC·BA＝×5×5＝，
与已知条件S△ABC＝矛盾，故∠A≠90°．
②当∠B＝90°时，a＝BC＝10，
∵tan C＝，∴AB＝BC﹒tan C＝10·tan 30°＝10×＝.
∴S△ABC＝·BC·AB＝×10×＝，符合题意，
∴∠A＝90°－∠C＝60°．
综合可知∠A＝60°．
7、分析 从题面上看，若将正弦化为余弦，再解方程，实际操作起来比较困难，如图28－36所示，可构造△ABC，并将△ABC化分为Rt△ACD和Rt△BCD，17sinA和13sin B均可看作高线CD的长，则17cos A＋13cos B正好为AD＋DB＝17．
解：如图28－36所示，作△ABC，使AB＝AC＝17，BC＝13，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD＝17sin A＝13sin B，
AD＝17cos A，BD＝13cos B，且17cos A＋13cos B＝AB＝17，
∴△ABC为满足题意的三角形．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∴∠A＋2∠B＝180°，即∠A＋∠B＝90°．
【解题策略】 解此题的关键是作CD⊥AB于D，转化为Rt△ACD和Rt△BCD，再利用锐角三角函数的知识来解决问题．
规律·方法 观察题中的已知条件，联想它的几何图形，构造出符合条件的几何图形，将“数”转化为“形”，这是数形结合思想的应用，也是数学中的一种主要解题方法，它可使问题显得直观，便于解决．
8、分析 由一元二次方程有两个等根，即Δ＝0，可求得cosα，再转化为sinα，即可求出菱形一边上的高，于是可求出菱形的面积．
解：∵关于x的方程5x2－10xcosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(－10cosα)2－4×5×(－7cos a＋6)＝0，
即5cos2α＋7cos α－6＝0，∴cosα＝或cosα＝－2．
∵0＜cosα＜1，∴cosα＝－2不符合题意，舍去，∴cosα＝．
又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝，∴sinα＝±．
又∵0＜sinα＜1，∴sinα＝－不符合题意，舍去，∴sinα＝，
∴菱形一边上的高为10·sinα＝10×＝8，
∴S菱形＝10×8＝80．
【解题策略】 此题通过作菱形的高转化为已知直角三角形中锐角的正弦值和斜边求该锐角所对的边(即菱形的高)，从而可求出菱形的面积．
9、分析 要解Rt△ABC，需要(除直角外)两个条件，已知条件中有一条边BC＝4，还需要一个条件(边或角)，而这个条件应从另一个已知条件中得到，由已知可得到△BDC∽△BCA，则BC2＝BD·AB，其中BD＝AB－AD＝AB－6，从而可得到所需的另一个条件．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB于D，∴∠CDB＝∠ACB＝90°．
又∵∠B＝∠B，∴△BDC∽△BCA，
∴，∴BC2＝DB·AB，
即(4)2＝(AB－AD)·AB，
∴48＝(AB－6)·AB，
即AB2－6AB－48＝0，
∴AB＝8或AB＝－2(舍去)．
∴sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°，∠B＝90°－∠A＝60°．
∴cosA＝，∴AC＝AB·cos A＝8·cos 30°＝8×＝12．
【解题策略】 借助三角形相似得出边与边的关系，再解直角三角形，从而求出相应的边或角．
10、分析 由已知∠B＝90°，∠A＝60°，可联想到延长BC，AD，使它们相交，从而构成直角三角形．21世纪教育网版权所有
解：如图28－39所示，延长BC，AD相交于点E，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°．
在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4．
∵cos E＝，∴BE＝AE·cos E＝4·cos 30°＝2.
∴S△ABE＝AB·BE＝×2×2＝2，
在Rt△CDE中，tan E＝，∴DE＝，
∴S△CDE＝DE·DC＝××1＝.
∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝．
【解题策略】 对于一些较复杂而又不规则的几何图形，可以通过作适当的辅助线转化为规则的直角三角形来求解．
11、分析 证明此题的关键是验证等式cos∠BAD＋sin∠BAD＝，cos∠BAD·sin∠BAD＝成立，故应先分别求出cos∠BAD，sin∠BAD的值．
证明：过点D作DE⊥AB于E，设DE＝k，
∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝45°．
又∵∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠B＝45°，
∴DE＝BE＝k，BD＝＝＝k，
∴AC＝BC＝2BD＝2k，
∴AB＝＝4k．
∴AE＝3k，∴AD＝
在Rt△ADE中，cos∠DAE＝，
sin∠DAE＝＝，
∴cos∠DAE＋sin∠DAE＝＋＝，
cos∠DAE·sin∠DAE＝×＝，
∴cos∠BAD和sin∠BAD是一元二次方程x2－x＋＝0的两个根，即是一元二次方程10x2－4x＋3＝0的两个根．
【解题策略】 本题综合运用了一元二次方程根与系数的关系及解直角三角形的相关知识．
12、分析 本题主要考查直角三角形的边角关系，即把实际问题转化为解直角三角形问题，过点A，B分别作CD的垂线，得到两个直角三角形，解这两个直角三角形，可求出AC，BD，CE，DF，要注意CD＝CE＋EF－DF．
解：过点A，B作AE⊥CD，BF⊥CD，分别交CD的延长线于
E，F两点，
在Rt△ACE中，cos 45°＝，∴AC＝＝＝3 (米)．
在Rt△BDF中，cos 30°＝，∴BD＝＝6 (米)．
∵CE＝AE＝3 (米)，DF＝BD＝3(米)，EF＝AB＝(米)，
∴CD＝CE＋EF－DF＝3＋－3＝－3(米)．
【解题策略】 同时解含有两个或两个以上的直角三角形的实际问题，一定要注意各边的联系．
13、分析 (1)过点B作BD⊥AC于D，先根据题意求得BD，然后用BD和200进行比较，如果BD＞200，则不会受到台风的影响，否则会．(2)以点B为圆心，200为半径画圆，交AC于E，F两点，连接BE，BF，先由勾股定理求得DE，AD，从而求得AE，再根据题意求得该货船卸完货物所需的时间．
解：(1)过点B作BD⊥AC，垂足为D，由题意可知∠BAC＝30°．
在Rt△ABD中，BD＝AB＝×(20×16)＝160＜200，
∴B处会受到台风的影响．
(2)以点B为圆心，200为半径画圆，交AC于E，F两点，连接BE，BF，
由勾股定理得DE＝120，AD＝160.
∵AE＝AD－DE＝160－120，
∴t＝＝4－3≈4×1.7－3＝3.8(小时)，
即该船应在3.8小时内卸完货物．
【解题策略】 解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决，此题通过作高转化为直角三角形，从而利用直角三角形的三边关系来解决问题．
14、分析 在Rt△CDB中，cos∠BDC＝，设DC＝3x，则BD＝5x，∴BC＝＝4x．∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB＝5x，∴AC＝AD＋DC＝5x＋3x＝8x，∴8x＝8，x＝1，∴BC＝4x＝4(cm)．故选A．
【解题策略】 锐角的三角函数值可以转化为直角三角形中两边的份数比．
15、分析 过A作AE⊥AB交BD的延长线于正，过D作DF上AB于F，则∠DAF＝∠ADF＝45°，∴FD＝FA．又∵CA＝CB＝6，∠C＝90°，∴AB＝6.∵tan∠DBA＝，∴．设DF＝x，则FB＝5x，AB＝AF＋FB＝x＋5x＝6x，∴x＝，∴AD＝=2．故选B．
16、分析 要求面积，关键是作高，从而构造出直角三角形，再利用锐角三角函数的知识来解决．
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，sinB＝，∴AD＝AB·sinB＝c·sinB，
∴S△ABC＝BC·AD＝·a·(c·sinB)＝acsinB．
同理可证S△ABC＝absin C＝bcsin A．
【解题策略】 由S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B，得.
17、分析 80°不可能是底角的外角，只能是顶角的外角，因此△ABC的各角度数可求，如图28－46所示，作CD平分∠ACB，CH⊥AB，交BA的延长线于H，由于CD已知，所以只要解直角三角形CDH即可求出高CH．
解：如图28－46所示，由题意可知∠BAC＝180°－80°＝100°，
∴∠B=∠ACB＝＝40°．
作△ABC的底角平分线CD，
则CD＝，∠ACD＝20°．
过点C作CH⊥AB，交BA的延长线于H，
则∠HAC＝80°，∠HCA＝90°－80°＝10°．
在Rt△CDH中，∠DCH＝20°＋10°＝30°，
∵cos∠DCH＝，∴CH＝CD·cos 30°＝＝10(cm)．
【解题策略】 (1)本题的图形中有三个直角三角形，到底选用哪一个，要视具体情况而定．(2)寻找或构造可解的直角三角形是解此类问题的关键．
18、分析 本题考查如何利用解直角三角形的知识来解决实际问题(测量物体的高度)，开放性较强，且解法较多，现给出一种解法，仅供参考．
解：(1)如图28－48所示，测出α，β，n三个数据．
(2)设HG＝x,在Rt△CHG中，tanβ＝，∴CG＝.
在Rt△DHM中，tanα＝，
∵DM＝CG，MG＝DC，
∴CG＝DM＝.
∴，∴x＝.
【解题策略】 解决这种类型题的方法是：先根据题意准确地画出示意图，然后根据图形及条件挖掘出图形中可解的直角三角形，再利用可解的直角三角形来解题．
19、分析 适当地添加辅助线，把不规则的四边形转化为直角三角形和规则的四边形来求解．
解法1：如图28－49所示，过点B作BE∥AD交CD于E，过点E作EF∥AB交AD于F，
则BE⊥AB，EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形，
∴∠CBE＝30°，∠D＝60°．
在Rt△BCE中，BE＝＝100，
CE＝BE·sin∠CBE＝100×sin 30°＝100×＝50．
在Rt△DEF中，DF＝＝30．
∴AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝130．
∴S四边形ABCD＝S四边形ABED＋S△BCE
＝(AD＋BE)·AB＋BC·EC
＝(130＋100)×30＋×50×50
＝3450＋1250＝4700.
解法2：如图28－50所示，延长DA，CB交于点E，
则∠ABE＝60°，∠E＝30°．
在Rt△ABE中，AE＝AB·tan 60°＝30×＝90，
BE＝＝60,
∴CE＝BE＋BC＝60＋50＝110.
在Rt△DCE中，DC＝EC·tan 30°＝110×＝110，
∴S四边形ABCD＝S△EDC－S△EAB＝×110×110－×90×30
＝4700.
【解题策略】 本题主要考查对已知图形进行转化、割补的能力，解题关键是构造可解的三角形．
体验中考
1、分析 因为sin 30°＝，所以2sin 30°＝1．故选A.
2、 分析 在Rt△ABC中，∠BAC＝α，则cos α＝，AB＝．故选B．
28.2．2直角角三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.了解什么是仰角和俯角，学会解决观测问题．
2.了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角,学会解决方位角问题．
3.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
4.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
【重点难点】
1.用三角函数有关知识解决观测问题.
2.用三角函数有关知识解决方位角问题.
3.理解坡度的有关术语, 解决有关坡度的实际问题．
4.学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.
知识概览图
仰角、俯角
坡角、坡度
方向角、方位角
新课导引
【生活链接】如右图所示，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高 (精确到0.1 m)
【问题探究】我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，α＝30°，β＝60°，那么如何才能求出这栋高楼的高度呢
【点拨】 如右图所示，α＝30°，β＝60°，AD＝120．
∵tan α＝，tanβ＝，
∴BD＝AD·tan α＝120×tan 30°
＝120×＝40，
CD＝AD·tanβ＝120×tan 60°＝120×＝120，
∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277．1．
答：这栋楼高约为277．1 m．
教材精华
知识点1 仰角、俯角
如图28－65所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA，OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的∠AOC称为仰角；把视线OB与水平线OC所形成的∠BOC称为俯角．在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角．
例如：如图28－66所示，从地面上C，D两处望山顶A，仰角分
别是30°，45°，若C，D两处相距200 m，那么山高AB为多少
解：由题意可知BC⊥BA，且∠C＝30 °，∠ADB＝45 °．
在Rt△ACB中，tan C＝，∴BC＝＝＝AB.
在Rt△ADB中，∵∠BDA＝45°，∠B＝90°，∴BD＝BA，
∴CD＝CB－DB＝AB－AB＝(－1)AB．
∵CD＝200，∴200＝(－1)AB，∴AB＝100(＋1)，
即山高AB约为100(＋1)m．
拓展 仰角与俯角都是视线与水平线的夹角．
知识点2 坡角、坡度
如图28－67所示，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角．21*cnjy*com
一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅垂高度．如图28－67所示，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，用i表示，记作i＝h：l，坡度通常写成h：l的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．于是i＝＝tanα，显然，坡度越大，α越大，坡面就越陡．
例如：如图28－68所示，有一山坡，在水平方向上每前进100 m就升高50 m，那么山坡的坡度(即tanα)就是tan α＝＝.
拓展 (1)坡度也叫做坡比，即i＝，一般写成1：m的形式(比的前项是1，后项可以是整数，也可以是小数或根式)．
(2)坡度i和坡角α的关系为i＝tan α．
(3)坡角越大，坡度越大，坡面越陡.
知识点3 方位角、方向角
方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．如图28－69所示，∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角．
方向角；从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角．如图28－70所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角．
如图28－69所示，目标方向OA表示的方位角为50°；目标方向OB表示的方位角为110°；目标方向OC表示的方位角为250°．如图28－70所示，目标方向OA表示的方向角为北偏东35°；目标方向OB表示的方向角为南偏东75°；目标方向OC表示的方向角为南偏西45°，也称西南方向；目标方向OD表示的方向角为北偏西40°．
拓展 解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解．
规律方法小结 在学习本节内容时，要注意运用转化思想将所求的线段转化到直角三角形中，利用三角函数建立已知线段与未知线段的联系．另外，在测量某参照物的仰角、俯角或方向角的度数时，对在两个不同位置观测到的度数要分类讨论，即有时要运用分类讨论思想来解决问题．
课堂检测
基础知识应用题
1、如图28－71所示，某电信部门计划修建一条连接B，C两地的电缆，测量人员在山脚A测得B，C两地的仰角分别为30°，45°，在B地测得C地的仰角为60°，已知C地比A地高200m，则电缆BC至少需要 m(结果保留整数)
2、如图28－72所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果保留小数点后两位)
3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进了10m，则他所在的位置比原来的位置升高了
m．
综合应用题
4、如图28－74所示，河对岸有一座铁塔AB，在河边C，D处用测角仪器测得塔顶B的仰角分别为30°，60°，已知测角仪器的高为1．5米，CD＝20米，求铁塔的高．(结果保留小数点后一位)
5、如图28－75所示，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度为1：2(AR：BR)，现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长为50米的大坝，需要多少立方米土石料
6、如图28－76所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°方向上，已知以小岛C为中心，周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的危险区，则这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能
7、某种吊车的车身高EF＝2m，吊车臂AB＝24m，现要把如图28－77所示的圆柱形装饰物吊到14 m高的屋顶上安装．吊车在起吊的过程中，圆柱形装饰物始终保持水平，如图28－78所示，若吊车臂与水平方向的夹角为59°，则能否吊装成功 (sin 59°≈0.8572，cos 59°≈0.5150，tan 59°≈1.6643)
8、如图28－80所示，在一个高为10m的建筑物顶部c处测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°．
(1)求建筑物与旗杆的水平距离BD；(结果可保留根号)
(2)计算旗杆的高度．(结果保留小数点后一位，供选用的数据：sin 20°≈0.3420，cos 20°≈0.9397，tan 20°≈0.3640，≈1.732)
9、如图28－81所示，两个建筑物的水平距离BC为27米，从点A测得点D的俯角α＝30°，测得点C的俯角β＝60°，求AB和CD两个建筑物的高．
10、如图28－82所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝1，D是AB边上的一点，且DE⊥BC，垂足为E，ED的延长线交CA的延长线于F，则当点D在AB边上的何处时，△ADF与△BDE的面积之和最小 并求出最小值．
探索与创新题
11、如图28－83(1)所示，一个长为4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的夹角α为60°．2-1-c-n-j-y
(1)求AO与BO的长；
(2)若梯子的顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．
①如图28－83(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD＝2：3，求梯子的顶端A沿NO下滑了多少米；
②如图28－83(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′ 点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．
12、如图28－84(1)所示，在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，图中虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ越小，楼梯的安全程度越高，但占地面积较大．如图28－84(2)所示，设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4 m,θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(结果保留小数点后两位)
13、如图28－85所示，在小山的东侧A处有一热气球，它以每分钟28米的速度沿着与铅直方向的夹角为30°的方向飞行，半小时后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正西方向有一着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是15°，求热气球的升空点A与着火点B的距离．(结果保留根号，参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2－)
14、如图28－86所示的是某立式家具(角书橱)的横断面，请你设计一个方案(角书橱高2米，房间高2.6米，所以不必从高度方面考虑设计方案)，按此方案可使该家具通过如图28－87所示的长廊搬入房间，在图中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由．(注：搬迁过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁)
15、某学校为了改善教职工的居住条件，准备在教学楼(正楼)的正南方建筑一栋住宅楼(正楼)，要求教学楼与住宅楼等高，且均为15.6 m．已知该地区冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为30°，教学楼与住宅楼相距19.2 m，如图28－90所示．
(1)冬至正午时分住宅楼的影子落在教学楼上有多高 (结果保留小数点后一位)
(2)要使冬至正午时分的太阳能够照到教学楼的墙角，则两楼间的距离至少应为多少 (结果保留小数点后一位)
16、飞机在高空中的A处测得地面C的俯角为45°，水平飞行2 km到达B处，再测得其俯角为30°，求飞机飞行的高度．(结果保留小数点后一位，≈1.73)
体验中考
腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图，28－96(1)所示)，为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°(如图28－96(2)所示)．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73)
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 过点C作CD⊥AD于D，过点B分别作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，由题意可知CD＝200 m．在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝200 m，设DE＝x m，由图可知BF＝DE＝xm．在Rt△CBF中，tan∠CBF＝，∴CF＝BF·tan 60°＝x．在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，AE＝AD－DE＝200－x，∴BE＝AE·tan 30°＝(200－x)，∴DF＝BE＝(200－x)．由CF＋FD＝CD，得x＋(200－x)＝200，∴x＝100(－1)．在Rt△CBF中，cos 60°＝，∴BC＝＝200(－1)，即BC＝200(－1)≈146．故埴146．
【解题策略】 解此类问题时，应弄清题中的仰角、俯角的定义，把握题意画出正确的几何图形，再将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
2、分析 在Rt△APC中，由cos∠APC＝，得PC＝PA·cos∠APC，在Rt△PBC中，由cos∠CPB＝，得PB＝，从而求出PB．
解：由已知可得AB⊥PC，∠APC＝90°－65°＝25°，
∠BPC＝90°－34°＝56°，且PA＝80海里．
在Rt△APC中，∵cos∠APC＝，
∴PC＝PA·cos∠APC＝80 cos 25°．
在Rt∠BPC中，∵cos∠BPC＝，
∴BP＝＝≈≈129.66(海里)，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向的B处时，它距离灯塔P大约129．66海里．
【解题策略】 解答本题的关键是抓住实际问题的本质，并将实际问题转化为数学问题，通过本题的解答，培养运用所学知识解决实际问题的能力．www-2-1-cnjy-com
3、分析 如图28－73所示，由坡度的定义可知i＝tanα＝＝，设BC＝3 k，则AC＝4 k，由勾股定理可知AB＝＝＝5k．∵AB＝10，∴5k＝10，即k＝2，∴BC＝3×2＝6(m)，即他所在的位置比原来的位置升高了6 m．故填6．
【解题策略】 将坡度看成铅直高度与水平宽度的份数比，利用勾股定理求出斜边的份数，从而求出每份的数据，此题还可以由＝和BC2＋AC2＝AB2＝100构造方程组来求解．
4、分析 塔高等于BG＋AG，AG是1．5米，关键是求
BG，设BG＝x，用x表示EG，FG，列出关于x的方程来求解．
解：设BG＝x，在Rt△FBG中，∠BGF＝90°，∠BFG＝60°，
∵tan∠BFG＝，∴FG＝x，
在Rt△BEG中，∠BEG＝30°，∵tan∠BEG＝，
∴EG＝x，
∵EG－FG＝EF，EF＝CD＝20，
∴x－x＝20，∴x＝10,
∴AB＝AG＋BG＝1．5＋10≈18.8(米)．
答:铁塔的高约18．8米．
【解题策略】 解决此类含有两个直角三角形的问题耐，应设在两个直角三角形中起桥梁作用的线段为x，其他的边用x表示，列出方程，从而求得x，此法在解题中经常用到，应注意掌握．
5、分析 欲求加固大坝所需的土石料，已知坝长为50米，关键是求加高后的等腰梯形面积与原来的等腰梯形面积之差．
解：过点E作EH⊥BC于H，
∵梯形EPCF为等腰梯形，∴PC＝2PH＋EF．
∵梯形ABCD为等腰梯形，∴BC＝2BR＋AD．
∵斜坡EP，AB的坡度都为1：2，∴，．
∵AR＝10，∴EH＝10＋2＝12，∴PH＝24，BR＝20，
∴PC＝2PH＋EF＝2×24＋6＝54，BC＝2BR＋AD＝2×20＋6＝46，
∴S梯形EPCF＝(EF＋PC)·EH＝(6＋54)×12＝360，
S梯形ABCD＝(AD＋BC)·AR＝(6＋46)×10＝260，
∴V＝50(S梯形EPCF－S梯形ABCD)＝50×(360－260)＝5000(立方米)．
答：需要5000立方米土石料．
【解题策略】 (1)有关大坝加固的问题在近几年的中考中均有出现，这些题往往图形较复杂，计算步骤较多，有一定的难度，且与实际生活关系密切，因此是中考的热点题型之一，要熟练掌握．(2)建立数学模型，找出变量(如坝高增加2米)和不变量(如斜坡的坡度，四边形的形状仍为等腰梯形)是解决此类问题的关键．
6、分析 过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，此时CD在Rt△BCD和Rt△ACD中，利用AB＝AD－BD列方程求解．
解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，
在Rt△BDC中，设CD＝x，则BD＝CD·tan 30°＝x，
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝，
∴AD＝x．
又∵AD－BD＝AB，AB=30×＝20，
∴AD－BD＝20，即x－x＝20，∴x＝10 .
∵10＞10，∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区．
7、解：过点B作BK⊥AH，垂足为K，如图28－79所示．
在Rt△ADC中，DC＝3m，∠ADC＝59°，∵tan∠ADC＝，
∴AC＝DC·tan∠ADC＝3×tan 59°≈3×1.6643＝4.9929(m)．
在Rt△ABK中，AB＝24m，∠ABK＝59°，∵sin∠ABK＝，
∴AK＝AB·sin∠ABK＝24×sin 59°≈24×0.8572＝20.5728(m)．
∴GH＝(AK＋KH)－(AC＋OG)≈(20.5728＋2)－(4.9929＋3)＝14.5799＞14，
∴能吊装成功．
【解题策略】 本题是一道实际应用问题，应转化为数学问题来解决，即利用直角三角形的知识来求解．
8、分析 (1)在Rt△BCD中，由∠CDB＝90°，∠CBD＝60°，CD＝10 m，可求得建筑物与旗杆的水平距离．(2)由图可知，求旗杆AB的高，可以过C作CE⊥AB于E，则AB可化为AE＋EB，其中EB＝CD是已知的，在Rt△AEC中可以求出AE的长，从而可求出旗杆的高．
解法1：(1)在Rt△CBD中，由题意可知∠CBD＝60°，
CD＝10m，tan∠CBD＝，
∴BD＝(m)．
答：建筑物与旗杆的水平距离BD为m．
解法2：(1)在Rt△CBD中，∠BCD＝90°－∠CBD＝30°，CD＝10 m，
则BD＝BC，设BD＝x,则BC＝2x，
由勾股定理得(2x)2＝x2＋102，∴x＝.
答：建筑物与旗杆的水平距离BD为m.
解：(2)过C作CE⊥AB，垂足为E．
在Rt△ACE中，∠ACE＝20°，CE＝BD＝，
∵tan∠ACE＝，
∴AE＝CE·tan∠ACE＝×tan 20°≈×1．732×0.3640≈2.1，
∴AB＝AE＋BE≈2.1＋10＝12．1(m)．
答：旗杆的高度约为12．1 m．
【解题策略】 解此题时要注意结果按要求取近似值．
9、分析 在Rt△ABC中，∠BCA＝β＝60°，BC＝27，从而可求得AB，而求CD需要过点D作DE⊥AB于E，先求AE，再求BE，从而求出CD．
解：过点D作DE⊥AB于E，
则DE＝BC＝27，∠ADE＝α＝30°，∠ACB＝β＝60°，
在Rt△ADE中，tan 30°＝，∴AE＝tan 30°·DE＝×27＝9 .
在Rt△ABC中，tan 60°＝，∴AB＝tan 60°·BC＝27，
∴BE＝AB－AE＝18，∴CD＝18 ，
答：AB和CD两个建筑物的高分别为27米和18米．
【解题策略】 在此类问题中，如果所给的图形不是直角三角形，就应作适当的辅助线，把原图形转化为直角三角形或矩形，作辅助线时要注意观察原图形，如果有特殊角要保留，以便于进一步的计算．
10、分析 本题中涉及到最值问题，往往使我们联想到与函数有关，结合已知条件可以发现，所求面积之和由点D的位置所决定，若设AD＝x，则面积之和可以看作是关于x的函数，求出函数关系式，再求最小值．
解：设所求面积之和为y，AD＝x，则DF＝x，
∴BD＝1－x，DE＝(1－x)，
∴y＝S△ADF＋S△DEB＝AD·DF·sin 45°＋BD·DE·sin 45°
＝x·x＋＋(1－x)·(1－x)·＝＋.
当x＝时，y取得最小值，
∴当AD＝AB时，△ADF与△BDE的面积之和最小，最小值为.
【解题策略】 本题把解直角三角形与函数知识结合起来，运用函数思想建立了面积与相关线段之间的函数关系，再利用函数的增减性求其最值．
11、分析 (1)AO与BO的长可直接根据直角三角形中的边角关系求出；(2)①由AC：BD＝2：3，不妨设AC＝2x，则BD＝3x，再根据OC2＋OD2＝CD2这个等量关系列方程求得x，从而确定AC的长；②根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得到两个等腰三角形，从而求得∠P′A′O＝45°，解Rt△A′OB′，求得A′O的长度，则AA′可求．
解：(1)在Rt△AOB中，∠O＝90°，α＝60°，∴∠OAB＝30°．
又∵AB＝4，∴OB＝AB＝×4＝2．
OA＝AB·sin 60°＝4×＝2，
(2)①∵AC：BD＝2：3，∴设AC＝2x，则BD＝3x，
在Rt△COD中，OC＝2－2x，OD＝2＋3x，CD＝4，
根据勾股定理得OC2＋OD2＝CD2，
∴(2－2x)2＋(2＋3x)2＝42，
即13x2＋(12－8)x＝0．
∵x≠0，∴13x＋12－8＝0，
∴x＝，AC＝2x＝，
即梯子的顶端A沿NO下滑了米．
②∵点P和P′分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点，
∴PA＝PO，P′A′＝P′O，
∴∠PAO＝∠AOP，∠P′A′O＝∠A′OP′，
∴∠P′A′O－∠PAO＝∠A′OP′－∠AOP，
即∠P′A′O－∠PAO＝∠POP′＝15°．
∵∠PAO＝30°，∴∠P′A′O＝45°，
∴A′O＝A′B′·cos 45°＝4×＝2，
∴AA′＝OA－A′O＝(2－2)米．
【解题策略】 解决此题的关键是要认识到梯子在移动的过程中长度不变．
12、解：在Rt△ABC中，BC＝d1，∠ACB＝θ1，
∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC·tan∠ACB＝d1tan θ1＝4tan40°．21·世纪*教育网
在Rt△ABD中，BD＝d2，∠ADB＝θ2，
∵tan∠ADB＝，∴AB＝BD·tan∠ADB＝d2tanθ2＝d2tan 36°，
∴4tan 40°＝d2tan 36°，d2＝≈≈4.62，
∴d2－d1≈4.62－4＝0.62．
答：楼梯占用地板的长度增加了约0．62 m．
【解题策略】 本题是解直角三角形的实际应用问题，解此题的关键是将其转化为数学问题，本题求楼梯占用地板的长度增加了多少，实际上是求d2－d1，d2的长可在Rt△ABD中利用边角关系求得。
13、分析 过点D作DH⊥BA，交BA的延长线于H，构造出直角三角形，在Rt△DAH中求出DH和AH，在Rt△DBH中求出BH后，即可求得AB的长．
解：过点D作DH⊥BA，交BA的延长线于H，
根据题意可知AD＝(30＋5)×28＝980．
在Rt△DAH中，DH＝AD·sin 60°＝980×＝490，
AH＝AD·cos 60°＝980×＝490．
在Rt△DBH中，∵BH＝，
∴BH＝490×(2＋)＝1470＋980，
∴AB＝BH－AH＝(1470＋980)－490＝980(1＋)．
答：热气球的升空点A与着火点B的距离为980(1＋)米．
【解题策略】 此类问题需将实际问题转化为数学问题，然后利用解直角三角形的知识来解决．
14、分析 本题是近几年中考的热门问题，利用相关的数学知识将实际问题转化为数学模型来求解．
解：设计方案草图如图28－88所示．
如图28－89所示，作直线AB，并延长DC交AB于E，
由题意可知△ACE是等腰直角三角形．
∴CE＝0.5，DE＝DC＋CE＝1.5＋0.5＝2，
过点D作DH⊥AB于H，
则DH＝DE·sin∠HED＝2sin 45°＝2×＝．
∵＜1.45，∴可按设计方案将家具搬入房间．
【解题策略】 解此题的关键是根据题意画出正确的几何图形．
15、分析 (1)如图28－91所示，设冬至正午时分大阳高度最低时，住宅楼楼顶A点的影子落在教学楼上的C处，则CD的长就是住宅楼的影子落在教学楼上的高度．
(2)如图28－92所示，BC的长就是两楼间的距离.
解：(1)如图28-91所示，过点C作CE⊥AB于E，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，EC＝19.2 m，
∴AE＝EC·tan 30°＝19．2×tan 30°≈11.1(m)，
∴CD＝EB＝AB－AE≈15.6－11.1＝4.5(m)．
(2)如图28－92所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝15.6 m，
∴BC＝≈≈27.0(m)．
答：(1)住宅楼的影子落在教学楼上约有4．5m高．(2)要使冬至正午时分的太阳能够照到教学楼的墙角，则两楼间的距离至少应为27.0 m．
【解题策略】 此题属于探索性问题，这类题的特点在于题目的结论并不直接给出，而是需要通过观察、比较、分析、概括、推理、判断等一系列活动来逐步确定结论．
16、分析 飞机在空中观测地面的某参照物时有两种情况，如图28－93所示，CA，CB在CE的同侧，CA，CB在CE的两侧．
解：如图28－93(1)所示，∠B＝30°，AB＝2，∠CAD＝45°，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E，设CE＝x km．
在Rt△CBE中，tan B＝，∴BE＝＝CE，
在Rt△CAE中，tan∠CAE＝，∴AE＝CE．
∵BE－AE＝AB，即 CE－CE＝2，
∴CE＝＝＋1≈2.7(km)
如图28－93(2)所示，同理可得CE＝－1≈0.7(km)．
答：飞机飞行的高度约为2．7 km或0.7 km．
【解题策略】 此题运用方程思想求得CE，通过设未知数建立方程来求解．
体验中考
解：过点C作CE⊥AB于E，
∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝90°．
∵CD＝10，∴AC＝CD＝5．
在Rt△ACE中，
AE＝AC·sin∠ACE＝5·sin 30°＝，
CE＝AC·cos∠ACE＝5·cos 30°＝.
在Rt△BCE中，
∵∠BCE＝45°，∴BE＝CE·tan 45°＝.
∴AB＝AE＋BE＝＋＝ (＋1)≈6.8(米)．
所以雕塑AB的高度约为6．8米．
锐角三角函数
同角、互为余角的三角函数关系
锐角三角函数值的变化情
况及取值范围
解直角三角形
直角三角形的有关性质
解直角三角形的基本类型及方法
→解决实际问题
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28.1锐角三角函数
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.初步了解正弦、余弦、正切概念.
2.能较正确地用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.
3.熟记30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数.
【重点难点】
1.正弦，余弦，正切概念
2.用含有几个字母的符号组sinA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切
知识概览图
锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数
特殊角的三角函数值
sin2 A＋cos2 A＝1
sin(90°－A)＝cos A，cos(90°－A)＝sin A
正弦(正切)值随角度的增大而增大
余弦值随角度的增大而减小
O＜sin α＜1，0＜cos α＜1(0°＜α＜90°)
tanα＞0(0°＜α＜90°)，
新课导引
【生活链接】 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为了使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管
【问题探究】 这个问题可以归结为：如右图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB．根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即，可得AB＝2BC＝70 m，也就是说，需要准备70 m长的水管．在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管
教材精华
知识点1 当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值
(1)任意画一个锐角A，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，从而得到一个Rt△ABC，如图28－1所示．Rt△ABC中的三条边每两边构成一个比，一共可以得到如下六个比例式：
(2)在锐角A的AB边上再另取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，从而得到另一个Rt△AB1C1，Rt△AB1C1中的三条边也构成如下六个比例式：, .
那么由两个直角三角形所得到的对应比有怎样的关系呢
∵BC⊥AC，B1C1⊥AC1，∴BC∥B1C1，∴Rt△ABC∽Rt△AB1C1，
∴…都为定值．
∵点B1在AB边上是任取的，∴前面的操作方法具有普遍性．
∴当锐角A的大小确定后，它所在的直角三角形每两边所构成的比都有唯一确定的值．
知识点2 正弦和余弦的定义
由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值，∠A的邻边与斜边的比值也是一个固定的值．
在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如图28－2所示．
(1)我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sin A，即sin A＝.
(2)我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦．记作cos A，即cos A＝.
拓展 (1)正弦、余弦都是一个比值，是没有单位的数值．
(2)正弦、余弦只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．
(3)sin A，cos A是整体符号，不能写成sin·A，cos·A．
(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如sin∠ABC．
(5)sin2 A表示(sin A)2，而不能写成sin A2．
(6)三角函数还可以表示成sinα，cosβ等．
探究交流 计算30°，45°，60°角的正弦、余弦值．
点拨 如图28－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°．
由在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可知BC＝AB，再由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，
得AB2＝AC2＋(AB)2，即AC2＝AB2，∴AC＝AB，
∴sin A＝，cos A＝
即sin 30°＝，cos 30°＝．
类似地，sin 60°＝,cos 60°＝.
如图28－4所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°．
∴CB＝CA，由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，
得AB＝BC＝AC，即．
∴sin A＝，cos A＝，即sin 45°＝cos 45°＝.
知识点3 正切的定义
由知识点1可知，当锐角A固定时，∠A的对边与邻边的比值是一个固定的值，如图28－5所示．
在Rt△ABC中，把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切．记作tan A，即tan A＝.21·cn·jy·com
拓展 (1)正切是一个比值，是一个没有单位的数值．
(2)正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．
(3)tan A是整体符号，不能写成tan·A．
(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC．
(5)tan2A表示(tan A)2，而不能写成tan A2．
(6)三角函数也可以表示成tan α等．
探究交流 计算30°，45°，60°角的正切值．
点拨 如图28－6所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
∴BC＝AB，AC＝AB；∴tan A＝.
类似地，tan B＝.
即tan 30°＝，tan 60°＝.
如图28－7所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°．
∴∠A＝∠B，∴CA＝CB，
∴tan A＝＝1，tan B＝＝1，即tan 45°＝1．
知识点4 锐角三角函数的定义
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
(1)三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化．
(2)由定义可知，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1，tan A＞0．
令y＝sin A，y＝cos A，y＝tan A，则函数中自变量的取值范围均为0°＜A＜90°．
函数的增减性分别为：
①y＝sin A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大．
②y＝cos A在自变量的取值范围内，y随A的增大而减小．
③y＝tan A在自变量的取值范围内，y随A的增大而增大．
(3)常见的特殊角的三角函数值如下表：
锐角α三角函数 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
拓展 (1)锐角的三个三角函数都是一个比值．当锐角不变时，该角的正弦、余弦、正切值也不变．
(2)锐角的三角函数值与角的两边的长短无关．
(3)当锐角A所在的三角形不是直角三角形时，可适当地作辅助线，构造出直角三角形，从而求出sin A，cos A，tan A．【来源：21cnj*y.co*m】
知识点5 同角三角函数之间的关系
如图28－8所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，令∠A＝α，则sinα＝，cos a＝，tan α＝．
(1)平方关系．
∵sin2α＋cos2α＝()2＋()2＝，
又∵a2＋b2＝c2，∴sin2α＋cos2 α＝＝1．
(2)商数关系．
∵，tan α＝，∴＝tan α．
拓展 对公式sin2α＋cos 2α＝1(α为锐角)的理解与应用要注意：sin2α代表的含义是sinα的平方(即比值的平方)，书写格式应为sin2α，而不是sinα2．
知识点6 互为余角的三角函数关系
观察下列等式：
sin 30°=cos 60°＝，sin 45°＝cos 45°＝．
cos 30°=sin 60°＝，cos 45°＝sin 45°＝．
不难发现等式有下面三个特点：(1)三角函数名称互换，即正弦变余弦，余弦变正弦；(2)角度互余；(3)三角函数值相等．
上述规律可以推广到任意锐角，即sin A＝cos(90°－A)，cos A＝sin(90°－A)．
用语言叙述上述规律为：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
拓展 对公式sin A＝cos(90°－A)和cos A＝sin(90°－A)的理解要注意以下两点：
(1)∠A为锐角．
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻边与斜边的比，实际上就是∠B(即90°－∠A)的对边与斜边的比．
规律方法小结 求锐角三角函数值时，应构造一个直角三角形，运用数形结合思想来解决数量问题．
课堂检测
基础知识应用题
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cos B的值为 ( )
A. B． C． D．
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则BC：AC等于 ( )
A．3：4 B．4：3
C．3：5 D．4：5
3、在Rt△ABC中，如果各边都缩小4倍，则锐角A的正切值 ( )
A．缩小4倍 B．扩大4倍 C．没有变化 D．不能确定
4、如图28－10所示，在Rt△OPQ中，求sin P，cos P，sin Q，cos Q的值．
5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．
(1)求AB的长；
(2)求sin A，cos A的值；
(3)求sin2 A＋cos2 A的值；
(4)比较sin A与cos B的大小；
(5)比较tan A与的大小．
6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B的值为 ( )
A． B． C． D．
7、sin 30°＋cos 60°－cos 45°－tan 60°·tan 30°＝ ．【来源：21·世纪·教育·网】
8、若sin α＝2m－3(α为锐角)，求m的取值范围．
综合应用题
9、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，0)和点B(0，－4)，则cos∠OAB等于 ( )
A． B．－
C． D．
10、如图28－12所示，已知△ABC的两边长AC＝3，AB＝5，且第三边长BC为关于x的方程x2－4x＋m＝0的两个正整数根之一，求sin A的值．
11、已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别是一个直角三角形两锐角的余弦值，且－n＝，求m，n的值．
12、已知△ABC的三边a，b，c中，b＝5，c＝3，锐角θ的正弦值是关于x的方程5x2－15x－ax＋3a＝0的一个根，试求a的取值范围．
13、已知0°＜θ＜90°，且关于x的方程x2－2xtan θ－3＝0的两个根的平方和等于10，求以tan θ，为根的一元二次方程．
14、如图28－13所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC＝2－，求BC的长．
15、如图28－14所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，sin B＝，求四边形AECD的周长．
探索与创新题
16、用几何方法求tan15°的值．
17、曙光中学有一块三角形形状的花圃，现可直接测得∠A＝30°，AC＝40米，BC＝25米，请你求出这块花圃的面积．21教育名师原创作品
18、阅读下面的材料，再回答问题．
三角函数中有常用公式：sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，求sin(A＋B)的值．
例如：sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝ .
试用公式cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B求cos 75°的值．
19、(1)如图28－18所示，在△ABC中，∠B，∠C均为锐角，其对边分别为b，c，求证；
(2)在△ABC中，AB＝，AC＝，∠B＝45°，则这样的△ABC有几个 请作出来(不写作法和理由)，并求出∠C的度数．
体验中考
如图28－20(1)所示，在正方形网格中，sin∠AOB等于 ( )
A． B． C． D．2
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 由勾股定理可知AB＝＝5，根据余弦的定义可知cos B＝，即cos B＝＝．故选B．【版权所有：21教育】
2、分析 根据题意画出图形，如图28－9所示，由正弦的定义可知sin A＝，即sin A＝＝，故可设BC＝3 k，AB＝5 k(k＞0)，由勾股定理可知AC＝ ＝＝4 k，∴BC：AC＝(3k)：(4k)＝3：4．故选A．
【解题策略】 本题中BC：AC的值实际上是∠A的正切值，即tan A，可借助图形来解决问题．
3、分析 锐角A的正切值是一个比值，它只与∠A的大小有关，而与△ABC的大小无关．故选C.
4、分析 无论直角三角形如何放置，其顶点字母如何标记，正弦值总是等于这个锐角的对边比斜边，余弦值总是等于这个锐角的邻边比斜边，本题已知直角边长，应先求斜边长．
解：在Rt△OPQ中，∠O＝90°，OP＝，OQ＝2，
由勾股定理,得PQ＝，
∴sin P＝，cos P＝，
同理，sin Q＝，cos Q＝.
【解题策略】 此类问题考查的是三角函数的定义与特征，数形结合思想是解决此类问题时常用的思想方法．
5、解：(1)∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13．
(2)sin A＝＝,cos A＝＝．
(3)sin2 A＋cos2 A＝()2＋()2＝＝1．
(4)∵cos B＝＝，∴sin A＝cos B．
(5)∵tan A＝＝，＝，∴tan A＝．
【解题策略】 解答本题的关键是正确理解锐角三角函数的概念，并找准相应的边．
6、分析 利用特殊角的三角函数值即可求得cos B的值．在Rt△ABC中，∵sin A＝，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴cos B＝cos 30°＝.故选C.
【解题策略】 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即sin A＝cos(90°－A)．任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，即cos A＝sin(90°－A)，同时有sin2α＋cos2α＝1(α为锐角)，tanα＝．
7、分析 sin 30°＋cos 60°－cos 45°－tan 60°·tan 30°＝＋－－×＝1－－1＝－．故填－.
【解题策略】 解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
8、分析 由α为锐角，0＜sin α＜1，知0＜2m－3＜1，由此可求得m的取值范围．
解：∵0°＜α＜90°，∴0＜sin α＜1，即0＜2m－3＜1，∴＜m＜2．
【解题策略】 当α为锐角时，正弦值随着a的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着α的增大(或减小)而减小(或增大)．2·1·c·n·j·y
9、分析 如图28－11所示，易知OA＝3，OB＝4，则AB＝ ＝5，此时cos∠OAB＝．故选C.
【解题策略】 本题从表面上看是三角函数与平面直角坐标系的综合应用，实际上还是在直角三角形中研究边与角的关系，注意运用转化思想来求解．
10、解：设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两个正整数根，
由根与系数的关系可知x1＋x2＝4，x1x2＝m．
又∵x是正整数，∴x1＝1，x2＝3，或x1＝x2＝2，或x1＝3，x2＝1，
∴BC只能取1，2，3．
根据三角形三边之间的关系可知5－3＜BC＜5＋3，
即2＜BC＜8，∴BC＝3．
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∴AC＝BC＝3，AD＝AB＝×5＝2.5．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，CA＝3，AD＝2.5，
∴CD＝，
∴sin A＝.
【解题策略】 解题的关键是先根据根与系数的关系求出BC的值，再构造直角三角形求出sin A的值．
11、分析 利用两锐角的余弦值、根与系数的关系组成方程组，求得m，n的值，再检验m，n是否符号题意.
解：设方程x2＋mx＋n＝0的两个根分别为cosα，cosβ(α＋β＝90°)，
由根与系数的关系得
∵α＋β＝90°，∴cosβ＝sin α，
∴
将①两边同时平方，得1＋2sin αcos α＝m2，③
把②代入③，得1＋2·n＝m2，∴m2－2n－1＝0．④
又∵－n＝，即m＋5n－1＝0，⑤
∴解得或
当m1＝1，n1＝0时，sin α＋cos α＝－m＝－1＜0，应舍去，即
【解题策略】 此题综合运用根与系数的关系以及锐角的三角函数值来求解．
12、分析 对于a，实际上有两个限制条件：(1)a是△ABC的一边，则5－3＜a＜5＋3，即2＜a＜8；(2)由5x2－15x－ax＋3a＝0，得(x－3)(5x－a)＝0，因为sin θ是该方程的根，所以必有5sin θ－a＝0，即a＝5sin θ，再由sin θ来确定a的取值范围．
解：由5x2－15x－ax＋3a＝0，得(x－3)(5x－a)＝0，
∴x1＝3，x2＝．
∵sin θ是该方程的根，且0＜sin θ＜1(θ是锐角)，
∴＝sin θ，即a＝5sin θ，∴0＜a＜5．①
又∵a是△ABC的一边，∴b－c＜a＜b＋c，
即5－3＜a＜5＋3，∴2＜a＜8，②
由①②得a的取值范围是2＜a＜5．
【解题策略】 此题综合运用了锐角正弦值的取值范围以及三角形的三边关系，这些都是确定不等关系的依据．
13、分析 构造一元二次方程的关键是求tan θ＋和tan θ·的值，故应由已知条件求出θ的度数．
解：设x1，x2是方程x2－2xtan θ－3＝0的两个根.
由根与系数的关系可知x1＋x2＝2tan θ，x1x2＝－3．
∵x12＋x22＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，
即(2tan θ)2－2×(－3)＝10，∴4tan2 θ＝4，tan θ＝±1．
又∵0°＜θ＜90°，∴tan θ＝－1不符合题意，舍去，
∴tan θ＝1，θ＝45°,∴＝＝ ＝ ，
∴tanθ＋＝1＋，tan θ·＝1×＝，
∴以tanθ，为根的一元二次方程是x2－(1＋)x＋＝0.
【解题策略】 此类题是锐角三角函数与一元二次方程的有关知识相结合的题目，主要考查综合运用知识的能力．
14、分析 BC不在直角三角形中，故应作辅助线将其转化到直角三角形中，因此可作AD⊥BC，垂足为D，此时分BC的两条线段CD，BD可分别在Rt△ACD和Rt△ADB中求得．
解：过A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ACD中，sin C＝，∠C＝45°，
∴AD＝AC·sin C＝AC·sin 45°＝AC．①
在Rt△ADB中，sin B＝，∠B＝30°，
∴＝sin 30°，∴AD＝AB·sin 30°＝AB．②
由①②可知AC＝AB，∴AB＝AC③
又∵AB－AC＝2－，∴AC－AC＝2－，∴AC＝.
∵cos C＝，∴CD＝AC·cos C＝·cos 45°＝×＝1．
∵cos B＝，∴BD＝AC·cos B＝×·cos 30°＝2×＝．
∴BC=CD＋DB=1＋.
【解题策略】 对于非直角三角形，常通过添加辅助线构造直角三角形来求解．
15、分析 要求四边形的周长，就要知道各边长，利用勾股定理及三角函数值可求得各边长．
解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA．
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．
在Rt△ABE中，sin B＝，
设AE＝5x，则AB＝13x，由勾股定理得BE＝12x，
∵EC＝1，∴BC－BE＝1，
即AB－BE＝1，∴13x－12x＝1，x＝1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝13，AE＝5，EC＝1，
∴四边形AECD的周长为AE＋EC＋CD＋DA＝5＋1＋13＋13＝32．
【解题策略】 解此类问题时，首先应明确所求的边(或角)在哪个三角形中，然后根据图形并结合已知条件选择合适的方法来求解．【出处：21教育名师】
16、分析 同求30°，45°，60°角的三角函数值一样，要把15°角放在一个直角三角形中，如图28－15所示，考虑到15°＝×30°，所以可以通过构造∠BDC＝30°，从而表示出各边长．
解：作如图28－15所示的直角三角形，
使∠C＝90°，∠A＝15°，在AC上取一点D，使∠BDC＝30°，
∵∠BDC＝∠A＋∠DBA，∴∠DBA＝15°，∴DA＝DB．
设BC＝x，则BD＝DA＝2x，DC＝x，
∴AC＝AD＋DC＝2x＋x＝(2＋)x.
在Rt△ACB中，tan15°＝.
【解题策略】 此题的方法使我们进一步加深了对锐角三角函数的概念的理解，此题的方法还可以用来求75°角的三角函数值．
17、解：①如图28－16所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝40，
∴CD＝20，AD＝AC·cos 30°＝20(米)．
在Rt△CDB中，CD＝20，CB＝25，
∴DB＝＝15，
∴S△ABC＝AB·CD＝(AD＋DB)·CD
＝(20＋15)×20＝200＋150(米2)．
②如图28－17所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，
由①可知CD＝AC＝20，AD＝20，BD＝15，
∴S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝AD·CD－BD·CD＝(AD－
BD)·CD＝(20－15)×20＝200－150(米2)．
【解题策略】 解此题的关键是应用分类讨论思想，千万不要忽略第二种情况．
18、分析 欲求cos 75°的值，必须牢记特殊角的三角函数值，然后代入已知公式求解即可．
解：∵cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
∴cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝.
【解题策略】 解此题的关键是将75°分解为45°和30°的和．
19、证明：(1)过点A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B，即AD＝c·sin B，
在Rt△ACD中，AD＝AC·sin C，即AD＝b·sin C，
∴c·sin B＝b·sin C，∴.
解：(2)符合条件的△ABC有两个，如图28－19所示的△ABC1和△ABC2，
此时∠AC1B＝120°或∠C2＝60°．
【解题策略】 解此题的关键是将斜三角形转化为直角三角形．
体验中考
分析 如图28－20(2)所示，设OD＝l，则CD＝2，从而由勾股定理得OC=，∴sin∠AOB＝sin∠COD＝．故选B．
【解题策略】 解此题的关键是找出锐角∠AOB所在的直角三角形．
28.2.1解直角三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2．会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
【重点难点】
1.直角三角形的解法．
2.三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3.实际问题转化成数学模型.
知识概览图
解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程
三边关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)
两锐角关系：两锐角互余
边角关系：三角函数
30°角所对的直角边等于斜边的一半
两边一角：由勾股定理求另一边，再求角
一边一角：由三角函数求另两边，再求角
新课导引
【生活链接】如右图所示，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一个长6 m的梯子．
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙 (结果保留小数点后一位)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角a等于多少 这时人是否能够安全使用这个梯子 (结果保留整数)21cnjy.com
【问题探究】 对于问题(1)，当梯子与地面所成的角α为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能安全攀到的最大高度，即在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．由sin A＝，得BC＝AB·sin A＝6sin75°．由计算器求得sin 75°≈0.97，∴BC≈6×0.97≈5.8(m)．那么对于问题(2)，该如何求解呢
教材精华
知识点1 解直角三角形的概念
如图28－30所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，c＝5，如何求∠B，a，b呢
由∠A＋∠B＝90°，∠A＝50°，得∠B＝90°－∠A＝40°．
由sin A＝，得a＝c·sin A＝5·sin 50°≈5×0.7660＝3.83．
由cos A＝，得b＝c·cos A＝5·cos 50°≈5×0.6428＝3.214．
上述问题中，除直角外，已知一条边和一个锐角，求另外两条边和一个锐角，于是有：
一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
拓展 直角三角形中一共有六个元素，即三条边和三个角，除直角外，另外的五个元素中，只要已知一条边和一个角或两条边，就可以求出其余的所有未知元素．
知识点2 解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)．
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．
(3)边角之间的关系：sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝.
(4)直角三角形中的有关定理．
①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
②直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
③直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°．
④直角三角形中，斜边上的高是这条高分斜边所得两条线段的比例中项．如图28－31所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则CD2＝AD·DB．同理AC2＝AD·AB，CB2＝BD·BA．
⑤面积公式：如图28－31所示，S△ABC＝CA·CB＝AB·CD．
拓展 运用关系式解直角三角形时，常用到下列变形：(1)锐角之间的关系：∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A．(2)三边之间的常用变形：a＝，b＝，c＝. (3)边角之间的常用变形：a＝c·sin A，b＝c·cos A，a＝b﹒tan A，a＝c·cos B，b＝c·sin B，b＝a·tan B.
知识点3 解直角三角形的基本类型及其解法
解直角三角形有四种基本类型：(1)已知斜边和一直角边；(2)已知两直角边；(3)已知斜边和一锐角；(4)已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下：
图 形 已知类型 已知条件 解法步骤
两边 斜边，一直角边(如c，d) (1)b＝ (2)由sin A＝，求∠A(3)∠B＝90°－∠A
两直角边(如a，b) (1)c＝ (2)由tan A＝，求∠A(3)∠B＝90°－∠A
一边一角 斜边，一锐角(如c，∠A) (1)∠B＝90°－∠A(2)由sinA＝，求a＝c·sin A(3)由cos A＝，求b＝c·cos A
一直角边，一锐角(如a，∠A) (1)∠B＝90°－∠A(2)由tanA＝，求b＝ (3)由sin A＝，求c＝
拓展 虽然求未知元素时可选择的关系式有很多种，但为了计算方便，最好遵循“先求角后求边”和“宁乘不除”的原则．
规律方法小结 本节知识利用数形结合思想，将锐角三角函数运用到直角三角形中．使问题得以解决，在解决问题时，有时也会用到分类讨论思想．
课堂检测
基础知识应用题
1、根据下列条件解直角三角形．(结果保留小数点后两位)
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝5；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，∠A＝60°；
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝2 ；
(4)在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝15，∠A＝42°6′．
2、如图28－32所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，BC＝10，求它的腰长和底角．(腰长保留小数点后两位) 21*cnjy*com
3、如图28－33所示，在△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD＝，求∠A的各个三角函数值．
4、如图28－34所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，D为AC边上一点，∠DBC＝30°，CD＝12，求AD的长和△ABD的面积．(长度保留小数点后一位，面积保留小数点后两位)
5、如图28－35所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AC＝2，CD＝1，设∠CAD＝α．
(1)求α的各个三角函数值；
(2)若∠B＝α，求BD的长．
6、在Rt△ABC中，∠C＝30°，a＝10，且S△ABC＝，求∠A．
7、已知17cos A＋13cos B＝17，17sin A＝13sinB，且∠A，∠B都是锐角，求∠A＋∠B的值．www.21-cn-jy.com
8、已知关于x的方程5x2－10xcosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10，且两边夹角为α的菱形的面积．
综合应用题
9、如图28－37所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝6，BC＝4，解这个直角三角形．
10、如图28－38所示，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
11、如图28－40所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是BC边上的中线，求证cos∠BAD和sin∠BAD是一元二次方程10x2－4x＋3＝0的两个根．21教育网
12、如图28－41所示的是某型号飞机的机翼形状，其中AB∥CD，根据图中的数据计算AC，BD和CD的长度．(结果保留根号)
13、如图28－42所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经过16小时到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知：一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°(即∠NAC＝60°)方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．
(1)B处是否会受到台风的影响 请说明理由；
(2)为了避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物 (参考数据：≈1.4，≈1.7)
探索与创新题
14、如图28－43所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是 ( )
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
15、如图28－44所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC边上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为 ( )
A． B．2
C．1 D．2
16、如图28－45所示，在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B．
17、在△ABC中，AB＝AC，它的一个外角为80°，底角平分线的长为cm，求腰上的高．
18、如图28－47所示，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整的地带，该建筑物顶部的宽度AD和高度DC都可以直接测得，从A，D，C三点可看到塔顶H，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪．
(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶距地面的高度HG的方案，具体要求如下：①测量数据越少越好；②在所给图形上画出你所设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上；(如果测A，D间的距离，用m表示，如果测D，C间的距离，用n表示，如果测角，用α，β，γ等表示，测角仪器的高度不计)；
(2)根据你所测得的数据，计算塔顶H距地面的高度HG．(用字母表示)
19、如图28－49所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AD⊥BA，CD⊥BC，测得AB＝30，CB＝50，求四边形ABCD的面积．
体验中考
1、2sin 30°的值等于 ( )
A．1 B． C． D．2
2、如图28－54所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为 ( )
A．5cos α B．
C．5sin α D．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 (1)是已知斜边和一直角边解直角三角形；(2)是已知斜边和一锐角解直角三角形；(3)是已知两直角边解直角三角形；(4)是已知一直角边和一锐角解直角三角形．
解：(1)∵sin A＝＝＝，∴∠A＝45°，
∴∠B＝90°－∠A＝45°，
∴∠A＝∠B＝45°，∴b＝a＝5．
(2)∵∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°．
∵sin A＝，∴a＝c·sin A＝4·sin 60°＝4×＝6，
∴b＝.
(3)∵∠C＝90°，a＝b，b＝2，
∴c＝.
∵tan A＝＝,∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°．
(4)∵∠A＝42°6′，∴∠B＝90°－∠A＝90°－42°6′＝47°54′．
∵tan A＝，∴a＝b·tan A＝15×tan 42°6′≈15×0.9036≈13.55．
又∵cos A＝，∴c＝＝≈≈20.22．
【解题策略】 (1)解直角三角形时，应求出所有未知元素．(2)尽可能选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．(3)若需要使用计算器计算，则计算结果应符合题目要求的精确度．
2、分析 由于△ABC是等腰三角形，所以作底边BC上的高，可得到两个全等的直角三角形，解其中的Rt△ABD，不难求得△ABC的腰长和底角．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB＝AC，BC＝10，∠BAC＝40°，
∴BD＝BC＝5，∠BAD＝∠BAC＝20°，
∴∠B＝∠C＝70°．
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝，
∴AB＝＝≈≈14.62，
即△ABC的底角为70°，腰长约为14．62．
【解题策略】 解有关等腰三角形的题目时，常常作出底边上的高，转化为解直角三角形．
3、分析 已知tan∠BCD的值，但∠BCD不在直角三角形中，若过点D作DE⊥BC于E，则Rt△CDE与Rt△ACD不易建立起联系，若过点D作DE⊥CD交BC于E，则DE∥AC，又∵点D是AB的中点，∴DE＝AC，此时两个直角三角形的边长之间建立起了联系．
解：过点D作DE⊥CD交BC于E，则DE∥AC
∵点D是AB的中点，∴DE＝AC
设DE＝x，则AC＝2x．
又∵tan∠BCD＝＝，∴CD＝3x．
在Rt△ACD中，AD＝＝＝x，
∴sin A＝＝＝，cos A＝
tan A＝＝．
【解题策略】 解此类题时，首先应明确所求的边(或角)在哪个直角三角形中，若没有直角三角形，应构造出直角三角形，再解决问题．
4、分析 由已知条件可得AC＝BC，AD＝AC－DC，因此先解Rt△DBC
解：在Rt△DBC中，∠DBC＝30°，CD＝12．
∵tan∠DBC＝，
∴BC＝≈12×1.732≈20.8．
∵∠C＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°－45°＝45°．
∴∠ABC＝∠BAC，∴CA＝CB≈20．8，
∴AD＝AC－CD≈20．8－12＝8.8．
∴S△ABD＝·AD·BC≈×8.8×20．8＝91.52．
【解题策略】 钝角三角形的高有的在三角形的外部，所以要注意S△ABD＝AD·BC．
5、分析 (1)在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD的长，则α的各个三角函数值可求．(2)若∠B＝α，则有tan B＝tanα＝，可求出BC的长，则BD可求．
解：(1)在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝2，DC＝1，
∴AD＝=，
∴sinα＝，cosα＝，tan α＝.
(2)∵∠B＝α，∴tan B＝tanα＝.
又∵tan B＝，AC＝2，∴BC＝4，
∴BD＝BC－DC＝4－1＝3．
【解题策略】 若所求的问题不能直接求出，可转化为先解其他的直角三角形，再求解．
6、分析 解此题的关键是判断∠A，∠B中哪个角是直角，故应分类讨论．
解：①当∠A＝90°时，a＝BC＝10，∴AB＝5，AC＝5，
∴S△ABC＝·AC·BA＝×5×5＝，
与已知条件S△ABC＝矛盾，故∠A≠90°．
②当∠B＝90°时，a＝BC＝10，
∵tan C＝，∴AB＝BC﹒tan C＝10·tan 30°＝10×＝.
∴S△ABC＝·BC·AB＝×10×＝，符合题意，
∴∠A＝90°－∠C＝60°．
综合可知∠A＝60°．
7、分析 从题面上看，若将正弦化为余弦，再解方程，实际操作起来比较困难，如图28－36所示，可构造△ABC，并将△ABC化分为Rt△ACD和Rt△BCD，17sinA和13sin B均可看作高线CD的长，则17cos A＋13cos B正好为AD＋DB＝17．
解：如图28－36所示，作△ABC，使AB＝AC＝17，BC＝13，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD＝17sin A＝13sin B，
AD＝17cos A，BD＝13cos B，且17cos A＋13cos B＝AB＝17，
∴△ABC为满足题意的三角形．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∴∠A＋2∠B＝180°，即∠A＋∠B＝90°．
【解题策略】 解此题的关键是作CD⊥AB于D，转化为Rt△ACD和Rt△BCD，再利用锐角三角函数的知识来解决问题．
规律·方法 观察题中的已知条件，联想它的几何图形，构造出符合条件的几何图形，将“数”转化为“形”，这是数形结合思想的应用，也是数学中的一种主要解题方法，它可使问题显得直观，便于解决．
8、分析 由一元二次方程有两个等根，即Δ＝0，可求得cosα，再转化为sinα，即可求出菱形一边上的高，于是可求出菱形的面积．
解：∵关于x的方程5x2－10xcosα－7cosα＋6＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(－10cosα)2－4×5×(－7cos a＋6)＝0，
即5cos2α＋7cos α－6＝0，∴cosα＝或cosα＝－2．
∵0＜cosα＜1，∴cosα＝－2不符合题意，舍去，∴cosα＝．
又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝，∴sinα＝±．
又∵0＜sinα＜1，∴sinα＝－不符合题意，舍去，∴sinα＝，
∴菱形一边上的高为10·sinα＝10×＝8，
∴S菱形＝10×8＝80．
【解题策略】 此题通过作菱形的高转化为已知直角三角形中锐角的正弦值和斜边求该锐角所对的边(即菱形的高)，从而可求出菱形的面积．
9、分析 要解Rt△ABC，需要(除直角外)两个条件，已知条件中有一条边BC＝4，还需要一个条件(边或角)，而这个条件应从另一个已知条件中得到，由已知可得到△BDC∽△BCA，则BC2＝BD·AB，其中BD＝AB－AD＝AB－6，从而可得到所需的另一个条件．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB于D，∴∠CDB＝∠ACB＝90°．
又∵∠B＝∠B，∴△BDC∽△BCA，
∴，∴BC2＝DB·AB，
即(4)2＝(AB－AD)·AB，
∴48＝(AB－6)·AB，
即AB2－6AB－48＝0，
∴AB＝8或AB＝－2(舍去)．
∴sinA＝＝＝，
∴∠A＝30°，∠B＝90°－∠A＝60°．
∴cosA＝，∴AC＝AB·cos A＝8·cos 30°＝8×＝12．
【解题策略】 借助三角形相似得出边与边的关系，再解直角三角形，从而求出相应的边或角．
10、分析 由已知∠B＝90°，∠A＝60°，可联想到延长BC，AD，使它们相交，从而构成直角三角形．21世纪教育网版权所有
解：如图28－39所示，延长BC，AD相交于点E，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°．
在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4．
∵cos E＝，∴BE＝AE·cos E＝4·cos 30°＝2.
∴S△ABE＝AB·BE＝×2×2＝2，
在Rt△CDE中，tan E＝，∴DE＝，
∴S△CDE＝DE·DC＝××1＝.
∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝．
【解题策略】 对于一些较复杂而又不规则的几何图形，可以通过作适当的辅助线转化为规则的直角三角形来求解．
11、分析 证明此题的关键是验证等式cos∠BAD＋sin∠BAD＝，cos∠BAD·sin∠BAD＝成立，故应先分别求出cos∠BAD，sin∠BAD的值．
证明：过点D作DE⊥AB于E，设DE＝k，
∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝45°．
又∵∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠B＝45°，
∴DE＝BE＝k，BD＝＝＝k，
∴AC＝BC＝2BD＝2k，
∴AB＝＝4k．
∴AE＝3k，∴AD＝
在Rt△ADE中，cos∠DAE＝，
sin∠DAE＝＝，
∴cos∠DAE＋sin∠DAE＝＋＝，
cos∠DAE·sin∠DAE＝×＝，
∴cos∠BAD和sin∠BAD是一元二次方程x2－x＋＝0的两个根，即是一元二次方程10x2－4x＋3＝0的两个根．
【解题策略】 本题综合运用了一元二次方程根与系数的关系及解直角三角形的相关知识．
12、分析 本题主要考查直角三角形的边角关系，即把实际问题转化为解直角三角形问题，过点A，B分别作CD的垂线，得到两个直角三角形，解这两个直角三角形，可求出AC，BD，CE，DF，要注意CD＝CE＋EF－DF．
解：过点A，B作AE⊥CD，BF⊥CD，分别交CD的延长线于
E，F两点，
在Rt△ACE中，cos 45°＝，∴AC＝＝＝3 (米)．
在Rt△BDF中，cos 30°＝，∴BD＝＝6 (米)．
∵CE＝AE＝3 (米)，DF＝BD＝3(米)，EF＝AB＝(米)，
∴CD＝CE＋EF－DF＝3＋－3＝－3(米)．
【解题策略】 同时解含有两个或两个以上的直角三角形的实际问题，一定要注意各边的联系．
13、分析 (1)过点B作BD⊥AC于D，先根据题意求得BD，然后用BD和200进行比较，如果BD＞200，则不会受到台风的影响，否则会．(2)以点B为圆心，200为半径画圆，交AC于E，F两点，连接BE，BF，先由勾股定理求得DE，AD，从而求得AE，再根据题意求得该货船卸完货物所需的时间．
解：(1)过点B作BD⊥AC，垂足为D，由题意可知∠BAC＝30°．
在Rt△ABD中，BD＝AB＝×(20×16)＝160＜200，
∴B处会受到台风的影响．
(2)以点B为圆心，200为半径画圆，交AC于E，F两点，连接BE，BF，
由勾股定理得DE＝120，AD＝160.
∵AE＝AD－DE＝160－120，
∴t＝＝4－3≈4×1.7－3＝3.8(小时)，
即该船应在3.8小时内卸完货物．
【解题策略】 解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决，此题通过作高转化为直角三角形，从而利用直角三角形的三边关系来解决问题．
14、分析 在Rt△CDB中，cos∠BDC＝，设DC＝3x，则BD＝5x，∴BC＝＝4x．∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB＝5x，∴AC＝AD＋DC＝5x＋3x＝8x，∴8x＝8，x＝1，∴BC＝4x＝4(cm)．故选A．
【解题策略】 锐角的三角函数值可以转化为直角三角形中两边的份数比．
15、分析 过A作AE⊥AB交BD的延长线于正，过D作DF上AB于F，则∠DAF＝∠ADF＝45°，∴FD＝FA．又∵CA＝CB＝6，∠C＝90°，∴AB＝6.∵tan∠DBA＝，∴．设DF＝x，则FB＝5x，AB＝AF＋FB＝x＋5x＝6x，∴x＝，∴AD＝=2．故选B．
16、分析 要求面积，关键是作高，从而构造出直角三角形，再利用锐角三角函数的知识来解决．
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，sinB＝，∴AD＝AB·sinB＝c·sinB，
∴S△ABC＝BC·AD＝·a·(c·sinB)＝acsinB．
同理可证S△ABC＝absin C＝bcsin A．
【解题策略】 由S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B，得.
17、分析 80°不可能是底角的外角，只能是顶角的外角，因此△ABC的各角度数可求，如图28－46所示，作CD平分∠ACB，CH⊥AB，交BA的延长线于H，由于CD已知，所以只要解直角三角形CDH即可求出高CH．
解：如图28－46所示，由题意可知∠BAC＝180°－80°＝100°，
∴∠B=∠ACB＝＝40°．
作△ABC的底角平分线CD，
则CD＝，∠ACD＝20°．
过点C作CH⊥AB，交BA的延长线于H，
则∠HAC＝80°，∠HCA＝90°－80°＝10°．
在Rt△CDH中，∠DCH＝20°＋10°＝30°，
∵cos∠DCH＝，∴CH＝CD·cos 30°＝＝10(cm)．
【解题策略】 (1)本题的图形中有三个直角三角形，到底选用哪一个，要视具体情况而定．(2)寻找或构造可解的直角三角形是解此类问题的关键．
18、分析 本题考查如何利用解直角三角形的知识来解决实际问题(测量物体的高度)，开放性较强，且解法较多，现给出一种解法，仅供参考．
解：(1)如图28－48所示，测出α，β，n三个数据．
(2)设HG＝x,在Rt△CHG中，tanβ＝，∴CG＝.
在Rt△DHM中，tanα＝，
∵DM＝CG，MG＝DC，
∴CG＝DM＝.
∴，∴x＝.
【解题策略】 解决这种类型题的方法是：先根据题意准确地画出示意图，然后根据图形及条件挖掘出图形中可解的直角三角形，再利用可解的直角三角形来解题．
19、分析 适当地添加辅助线，把不规则的四边形转化为直角三角形和规则的四边形来求解．
解法1：如图28－49所示，过点B作BE∥AD交CD于E，过点E作EF∥AB交AD于F，
则BE⊥AB，EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形，
∴∠CBE＝30°，∠D＝60°．
在Rt△BCE中，BE＝＝100，
CE＝BE·sin∠CBE＝100×sin 30°＝100×＝50．
在Rt△DEF中，DF＝＝30．
∴AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝130．
∴S四边形ABCD＝S四边形ABED＋S△BCE
＝(AD＋BE)·AB＋BC·EC
＝(130＋100)×30＋×50×50
＝3450＋1250＝4700.
解法2：如图28－50所示，延长DA，CB交于点E，
则∠ABE＝60°，∠E＝30°．
在Rt△ABE中，AE＝AB·tan 60°＝30×＝90，
BE＝＝60,
∴CE＝BE＋BC＝60＋50＝110.
在Rt△DCE中，DC＝EC·tan 30°＝110×＝110，
∴S四边形ABCD＝S△EDC－S△EAB＝×110×110－×90×30
＝4700.
【解题策略】 本题主要考查对已知图形进行转化、割补的能力，解题关键是构造可解的三角形．
体验中考
1、分析 因为sin 30°＝，所以2sin 30°＝1．故选A.
2、 分析 在Rt△ABC中，∠BAC＝α，则cos α＝，AB＝．故选B．
28.2．2直角角三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1.了解什么是仰角和俯角，学会解决观测问题．
2.了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角,学会解决方位角问题．
3.巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
4.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
【重点难点】
1.用三角函数有关知识解决观测问题.
2.用三角函数有关知识解决方位角问题.
3.理解坡度的有关术语, 解决有关坡度的实际问题．
4.学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型.
知识概览图
仰角、俯角
坡角、坡度
方向角、方位角
新课导引
【生活链接】如右图所示，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高 (精确到0.1 m)
【问题探究】我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，α＝30°，β＝60°，那么如何才能求出这栋高楼的高度呢
【点拨】 如右图所示，α＝30°，β＝60°，AD＝120．
∵tan α＝，tanβ＝，
∴BD＝AD·tan α＝120×tan 30°
＝120×＝40，
CD＝AD·tanβ＝120×tan 60°＝120×＝120，
∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277．1．
答：这栋楼高约为277．1 m．
教材精华
知识点1 仰角、俯角
如图28－65所示，OC为水平线，OD为铅垂线，OA，OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的∠AOC称为仰角；把视线OB与水平线OC所形成的∠BOC称为俯角．在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角．
例如：如图28－66所示，从地面上C，D两处望山顶A，仰角分
别是30°，45°，若C，D两处相距200 m，那么山高AB为多少
解：由题意可知BC⊥BA，且∠C＝30 °，∠ADB＝45 °．
在Rt△ACB中，tan C＝，∴BC＝＝＝AB.
在Rt△ADB中，∵∠BDA＝45°，∠B＝90°，∴BD＝BA，
∴CD＝CB－DB＝AB－AB＝(－1)AB．
∵CD＝200，∴200＝(－1)AB，∴AB＝100(＋1)，
即山高AB约为100(＋1)m．
拓展 仰角与俯角都是视线与水平线的夹角．
知识点2 坡角、坡度
如图28－67所示，BC表示水平面，AB表示坡面，我们把水平面BC与坡面AB所形成的∠ABC称为坡角．21*cnjy*com
一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅垂高度．如图28－67所示，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，用i表示，记作i＝h：l，坡度通常写成h：l的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．于是i＝＝tanα，显然，坡度越大，α越大，坡面就越陡．
例如：如图28－68所示，有一山坡，在水平方向上每前进100 m就升高50 m，那么山坡的坡度(即tanα)就是tan α＝＝.
拓展 (1)坡度也叫做坡比，即i＝，一般写成1：m的形式(比的前项是1，后项可以是整数，也可以是小数或根式)．
(2)坡度i和坡角α的关系为i＝tan α．
(3)坡角越大，坡度越大，坡面越陡.
知识点3 方位角、方向角
方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．如图28－69所示，∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角．
方向角；从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角．如图28－70所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角．
如图28－69所示，目标方向OA表示的方位角为50°；目标方向OB表示的方位角为110°；目标方向OC表示的方位角为250°．如图28－70所示，目标方向OA表示的方向角为北偏东35°；目标方向OB表示的方向角为南偏东75°；目标方向OC表示的方向角为南偏西45°，也称西南方向；目标方向OD表示的方向角为北偏西40°．
拓展 解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解．
规律方法小结 在学习本节内容时，要注意运用转化思想将所求的线段转化到直角三角形中，利用三角函数建立已知线段与未知线段的联系．另外，在测量某参照物的仰角、俯角或方向角的度数时，对在两个不同位置观测到的度数要分类讨论，即有时要运用分类讨论思想来解决问题．
课堂检测
基础知识应用题
1、如图28－71所示，某电信部门计划修建一条连接B，C两地的电缆，测量人员在山脚A测得B，C两地的仰角分别为30°，45°，在B地测得C地的仰角为60°，已知C地比A地高200m，则电缆BC至少需要 m(结果保留整数)
2、如图28－72所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时海轮所在的B处距离灯塔P有多远 (结果保留小数点后两位)
3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进了10m，则他所在的位置比原来的位置升高了
m．
综合应用题
4、如图28－74所示，河对岸有一座铁塔AB，在河边C，D处用测角仪器测得塔顶B的仰角分别为30°，60°，已知测角仪器的高为1．5米，CD＝20米，求铁塔的高．(结果保留小数点后一位)
5、如图28－75所示，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度为1：2(AR：BR)，现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下，加固一条长为50米的大坝，需要多少立方米土石料
6、如图28－76所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°方向上，已知以小岛C为中心，周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的危险区，则这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能
7、某种吊车的车身高EF＝2m，吊车臂AB＝24m，现要把如图28－77所示的圆柱形装饰物吊到14 m高的屋顶上安装．吊车在起吊的过程中，圆柱形装饰物始终保持水平，如图28－78所示，若吊车臂与水平方向的夹角为59°，则能否吊装成功 (sin 59°≈0.8572，cos 59°≈0.5150，tan 59°≈1.6643)
8、如图28－80所示，在一个高为10m的建筑物顶部c处测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°．
(1)求建筑物与旗杆的水平距离BD；(结果可保留根号)
(2)计算旗杆的高度．(结果保留小数点后一位，供选用的数据：sin 20°≈0.3420，cos 20°≈0.9397，tan 20°≈0.3640，≈1.732)
9、如图28－81所示，两个建筑物的水平距离BC为27米，从点A测得点D的俯角α＝30°，测得点C的俯角β＝60°，求AB和CD两个建筑物的高．
10、如图28－82所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝1，D是AB边上的一点，且DE⊥BC，垂足为E，ED的延长线交CA的延长线于F，则当点D在AB边上的何处时，△ADF与△BDE的面积之和最小 并求出最小值．
探索与创新题
11、如图28－83(1)所示，一个长为4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的夹角α为60°．2-1-c-n-j-y
(1)求AO与BO的长；
(2)若梯子的顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．
①如图28－83(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD＝2：3，求梯子的顶端A沿NO下滑了多少米；
②如图28－83(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′ 点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．
12、如图28－84(1)所示，在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，图中虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ越小，楼梯的安全程度越高，但占地面积较大．如图28－84(2)所示，设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4 m,θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(结果保留小数点后两位)
13、如图28－85所示，在小山的东侧A处有一热气球，它以每分钟28米的速度沿着与铅直方向的夹角为30°的方向飞行，半小时后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正西方向有一着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是15°，求热气球的升空点A与着火点B的距离．(结果保留根号，参考数据：sin15°＝，cos15°＝，tan15°＝2－)
14、如图28－86所示的是某立式家具(角书橱)的横断面，请你设计一个方案(角书橱高2米，房间高2.6米，所以不必从高度方面考虑设计方案)，按此方案可使该家具通过如图28－87所示的长廊搬入房间，在图中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由．(注：搬迁过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁)
15、某学校为了改善教职工的居住条件，准备在教学楼(正楼)的正南方建筑一栋住宅楼(正楼)，要求教学楼与住宅楼等高，且均为15.6 m．已知该地区冬至正午时分太阳高度最低，太阳光线与水平线的夹角为30°，教学楼与住宅楼相距19.2 m，如图28－90所示．
(1)冬至正午时分住宅楼的影子落在教学楼上有多高 (结果保留小数点后一位)
(2)要使冬至正午时分的太阳能够照到教学楼的墙角，则两楼间的距离至少应为多少 (结果保留小数点后一位)
16、飞机在高空中的A处测得地面C的俯角为45°，水平飞行2 km到达B处，再测得其俯角为30°，求飞机飞行的高度．(结果保留小数点后一位，≈1.73)
体验中考
腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图，28－96(1)所示)，为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°(如图28－96(2)所示)．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.73)
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 过点C作CD⊥AD于D，过点B分别作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，由题意可知CD＝200 m．在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝200 m，设DE＝x m，由图可知BF＝DE＝xm．在Rt△CBF中，tan∠CBF＝，∴CF＝BF·tan 60°＝x．在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，AE＝AD－DE＝200－x，∴BE＝AE·tan 30°＝(200－x)，∴DF＝BE＝(200－x)．由CF＋FD＝CD，得x＋(200－x)＝200，∴x＝100(－1)．在Rt△CBF中，cos 60°＝，∴BC＝＝200(－1)，即BC＝200(－1)≈146．故埴146．
【解题策略】 解此类问题时，应弄清题中的仰角、俯角的定义，把握题意画出正确的几何图形，再将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
2、分析 在Rt△APC中，由cos∠APC＝，得PC＝PA·cos∠APC，在Rt△PBC中，由cos∠CPB＝，得PB＝，从而求出PB．
解：由已知可得AB⊥PC，∠APC＝90°－65°＝25°，
∠BPC＝90°－34°＝56°，且PA＝80海里．
在Rt△APC中，∵cos∠APC＝，
∴PC＝PA·cos∠APC＝80 cos 25°．
在Rt∠BPC中，∵cos∠BPC＝，
∴BP＝＝≈≈129.66(海里)，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向的B处时，它距离灯塔P大约129．66海里．
【解题策略】 解答本题的关键是抓住实际问题的本质，并将实际问题转化为数学问题，通过本题的解答，培养运用所学知识解决实际问题的能力．www-2-1-cnjy-com
3、分析 如图28－73所示，由坡度的定义可知i＝tanα＝＝，设BC＝3 k，则AC＝4 k，由勾股定理可知AB＝＝＝5k．∵AB＝10，∴5k＝10，即k＝2，∴BC＝3×2＝6(m)，即他所在的位置比原来的位置升高了6 m．故填6．
【解题策略】 将坡度看成铅直高度与水平宽度的份数比，利用勾股定理求出斜边的份数，从而求出每份的数据，此题还可以由＝和BC2＋AC2＝AB2＝100构造方程组来求解．
4、分析 塔高等于BG＋AG，AG是1．5米，关键是求
BG，设BG＝x，用x表示EG，FG，列出关于x的方程来求解．
解：设BG＝x，在Rt△FBG中，∠BGF＝90°，∠BFG＝60°，
∵tan∠BFG＝，∴FG＝x，
在Rt△BEG中，∠BEG＝30°，∵tan∠BEG＝，
∴EG＝x，
∵EG－FG＝EF，EF＝CD＝20，
∴x－x＝20，∴x＝10,
∴AB＝AG＋BG＝1．5＋10≈18.8(米)．
答:铁塔的高约18．8米．
【解题策略】 解决此类含有两个直角三角形的问题耐，应设在两个直角三角形中起桥梁作用的线段为x，其他的边用x表示，列出方程，从而求得x，此法在解题中经常用到，应注意掌握．
5、分析 欲求加固大坝所需的土石料，已知坝长为50米，关键是求加高后的等腰梯形面积与原来的等腰梯形面积之差．
解：过点E作EH⊥BC于H，
∵梯形EPCF为等腰梯形，∴PC＝2PH＋EF．
∵梯形ABCD为等腰梯形，∴BC＝2BR＋AD．
∵斜坡EP，AB的坡度都为1：2，∴，．
∵AR＝10，∴EH＝10＋2＝12，∴PH＝24，BR＝20，
∴PC＝2PH＋EF＝2×24＋6＝54，BC＝2BR＋AD＝2×20＋6＝46，
∴S梯形EPCF＝(EF＋PC)·EH＝(6＋54)×12＝360，
S梯形ABCD＝(AD＋BC)·AR＝(6＋46)×10＝260，
∴V＝50(S梯形EPCF－S梯形ABCD)＝50×(360－260)＝5000(立方米)．
答：需要5000立方米土石料．
【解题策略】 (1)有关大坝加固的问题在近几年的中考中均有出现，这些题往往图形较复杂，计算步骤较多，有一定的难度，且与实际生活关系密切，因此是中考的热点题型之一，要熟练掌握．(2)建立数学模型，找出变量(如坝高增加2米)和不变量(如斜坡的坡度，四边形的形状仍为等腰梯形)是解决此类问题的关键．
6、分析 过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，此时CD在Rt△BCD和Rt△ACD中，利用AB＝AD－BD列方程求解．
解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，
在Rt△BDC中，设CD＝x，则BD＝CD·tan 30°＝x，
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，tan∠CAD＝，
∴AD＝x．
又∵AD－BD＝AB，AB=30×＝20，
∴AD－BD＝20，即x－x＝20，∴x＝10 .
∵10＞10，∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区．
7、解：过点B作BK⊥AH，垂足为K，如图28－79所示．
在Rt△ADC中，DC＝3m，∠ADC＝59°，∵tan∠ADC＝，
∴AC＝DC·tan∠ADC＝3×tan 59°≈3×1.6643＝4.9929(m)．
在Rt△ABK中，AB＝24m，∠ABK＝59°，∵sin∠ABK＝，
∴AK＝AB·sin∠ABK＝24×sin 59°≈24×0.8572＝20.5728(m)．
∴GH＝(AK＋KH)－(AC＋OG)≈(20.5728＋2)－(4.9929＋3)＝14.5799＞14，
∴能吊装成功．
【解题策略】 本题是一道实际应用问题，应转化为数学问题来解决，即利用直角三角形的知识来求解．
8、分析 (1)在Rt△BCD中，由∠CDB＝90°，∠CBD＝60°，CD＝10 m，可求得建筑物与旗杆的水平距离．(2)由图可知，求旗杆AB的高，可以过C作CE⊥AB于E，则AB可化为AE＋EB，其中EB＝CD是已知的，在Rt△AEC中可以求出AE的长，从而可求出旗杆的高．
解法1：(1)在Rt△CBD中，由题意可知∠CBD＝60°，
CD＝10m，tan∠CBD＝，
∴BD＝(m)．
答：建筑物与旗杆的水平距离BD为m．
解法2：(1)在Rt△CBD中，∠BCD＝90°－∠CBD＝30°，CD＝10 m，
则BD＝BC，设BD＝x,则BC＝2x，
由勾股定理得(2x)2＝x2＋102，∴x＝.
答：建筑物与旗杆的水平距离BD为m.
解：(2)过C作CE⊥AB，垂足为E．
在Rt△ACE中，∠ACE＝20°，CE＝BD＝，
∵tan∠ACE＝，
∴AE＝CE·tan∠ACE＝×tan 20°≈×1．732×0.3640≈2.1，
∴AB＝AE＋BE≈2.1＋10＝12．1(m)．
答：旗杆的高度约为12．1 m．
【解题策略】 解此题时要注意结果按要求取近似值．
9、分析 在Rt△ABC中，∠BCA＝β＝60°，BC＝27，从而可求得AB，而求CD需要过点D作DE⊥AB于E，先求AE，再求BE，从而求出CD．
解：过点D作DE⊥AB于E，
则DE＝BC＝27，∠ADE＝α＝30°，∠ACB＝β＝60°，
在Rt△ADE中，tan 30°＝，∴AE＝tan 30°·DE＝×27＝9 .
在Rt△ABC中，tan 60°＝，∴AB＝tan 60°·BC＝27，
∴BE＝AB－AE＝18，∴CD＝18 ，
答：AB和CD两个建筑物的高分别为27米和18米．
【解题策略】 在此类问题中，如果所给的图形不是直角三角形，就应作适当的辅助线，把原图形转化为直角三角形或矩形，作辅助线时要注意观察原图形，如果有特殊角要保留，以便于进一步的计算．
10、分析 本题中涉及到最值问题，往往使我们联想到与函数有关，结合已知条件可以发现，所求面积之和由点D的位置所决定，若设AD＝x，则面积之和可以看作是关于x的函数，求出函数关系式，再求最小值．
解：设所求面积之和为y，AD＝x，则DF＝x，
∴BD＝1－x，DE＝(1－x)，
∴y＝S△ADF＋S△DEB＝AD·DF·sin 45°＋BD·DE·sin 45°
＝x·x＋＋(1－x)·(1－x)·＝＋.
当x＝时，y取得最小值，
∴当AD＝AB时，△ADF与△BDE的面积之和最小，最小值为.
【解题策略】 本题把解直角三角形与函数知识结合起来，运用函数思想建立了面积与相关线段之间的函数关系，再利用函数的增减性求其最值．
11、分析 (1)AO与BO的长可直接根据直角三角形中的边角关系求出；(2)①由AC：BD＝2：3，不妨设AC＝2x，则BD＝3x，再根据OC2＋OD2＝CD2这个等量关系列方程求得x，从而确定AC的长；②根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得到两个等腰三角形，从而求得∠P′A′O＝45°，解Rt△A′OB′，求得A′O的长度，则AA′可求．
解：(1)在Rt△AOB中，∠O＝90°，α＝60°，∴∠OAB＝30°．
又∵AB＝4，∴OB＝AB＝×4＝2．
OA＝AB·sin 60°＝4×＝2，
(2)①∵AC：BD＝2：3，∴设AC＝2x，则BD＝3x，
在Rt△COD中，OC＝2－2x，OD＝2＋3x，CD＝4，
根据勾股定理得OC2＋OD2＝CD2，
∴(2－2x)2＋(2＋3x)2＝42，
即13x2＋(12－8)x＝0．
∵x≠0，∴13x＋12－8＝0，
∴x＝，AC＝2x＝，
即梯子的顶端A沿NO下滑了米．
②∵点P和P′分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点，
∴PA＝PO，P′A′＝P′O，
∴∠PAO＝∠AOP，∠P′A′O＝∠A′OP′，
∴∠P′A′O－∠PAO＝∠A′OP′－∠AOP，
即∠P′A′O－∠PAO＝∠POP′＝15°．
∵∠PAO＝30°，∴∠P′A′O＝45°，
∴A′O＝A′B′·cos 45°＝4×＝2，
∴AA′＝OA－A′O＝(2－2)米．
【解题策略】 解决此题的关键是要认识到梯子在移动的过程中长度不变．
12、解：在Rt△ABC中，BC＝d1，∠ACB＝θ1，
∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC·tan∠ACB＝d1tan θ1＝4tan40°．21·世纪*教育网
在Rt△ABD中，BD＝d2，∠ADB＝θ2，
∵tan∠ADB＝，∴AB＝BD·tan∠ADB＝d2tanθ2＝d2tan 36°，
∴4tan 40°＝d2tan 36°，d2＝≈≈4.62，
∴d2－d1≈4.62－4＝0.62．
答：楼梯占用地板的长度增加了约0．62 m．
【解题策略】 本题是解直角三角形的实际应用问题，解此题的关键是将其转化为数学问题，本题求楼梯占用地板的长度增加了多少，实际上是求d2－d1，d2的长可在Rt△ABD中利用边角关系求得。
13、分析 过点D作DH⊥BA，交BA的延长线于H，构造出直角三角形，在Rt△DAH中求出DH和AH，在Rt△DBH中求出BH后，即可求得AB的长．
解：过点D作DH⊥BA，交BA的延长线于H，
根据题意可知AD＝(30＋5)×28＝980．
在Rt△DAH中，DH＝AD·sin 60°＝980×＝490，
AH＝AD·cos 60°＝980×＝490．
在Rt△DBH中，∵BH＝，
∴BH＝490×(2＋)＝1470＋980，
∴AB＝BH－AH＝(1470＋980)－490＝980(1＋)．
答：热气球的升空点A与着火点B的距离为980(1＋)米．
【解题策略】 此类问题需将实际问题转化为数学问题，然后利用解直角三角形的知识来解决．
14、分析 本题是近几年中考的热门问题，利用相关的数学知识将实际问题转化为数学模型来求解．
解：设计方案草图如图28－88所示．
如图28－89所示，作直线AB，并延长DC交AB于E，
由题意可知△ACE是等腰直角三角形．
∴CE＝0.5，DE＝DC＋CE＝1.5＋0.5＝2，
过点D作DH⊥AB于H，
则DH＝DE·sin∠HED＝2sin 45°＝2×＝．
∵＜1.45，∴可按设计方案将家具搬入房间．
【解题策略】 解此题的关键是根据题意画出正确的几何图形．
15、分析 (1)如图28－91所示，设冬至正午时分大阳高度最低时，住宅楼楼顶A点的影子落在教学楼上的C处，则CD的长就是住宅楼的影子落在教学楼上的高度．
(2)如图28－92所示，BC的长就是两楼间的距离.
解：(1)如图28-91所示，过点C作CE⊥AB于E，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，EC＝19.2 m，
∴AE＝EC·tan 30°＝19．2×tan 30°≈11.1(m)，
∴CD＝EB＝AB－AE≈15.6－11.1＝4.5(m)．
(2)如图28－92所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝15.6 m，
∴BC＝≈≈27.0(m)．
答：(1)住宅楼的影子落在教学楼上约有4．5m高．(2)要使冬至正午时分的太阳能够照到教学楼的墙角，则两楼间的距离至少应为27.0 m．
【解题策略】 此题属于探索性问题，这类题的特点在于题目的结论并不直接给出，而是需要通过观察、比较、分析、概括、推理、判断等一系列活动来逐步确定结论．
16、分析 飞机在空中观测地面的某参照物时有两种情况，如图28－93所示，CA，CB在CE的同侧，CA，CB在CE的两侧．
解：如图28－93(1)所示，∠B＝30°，AB＝2，∠CAD＝45°，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E，设CE＝x km．
在Rt△CBE中，tan B＝，∴BE＝＝CE，
在Rt△CAE中，tan∠CAE＝，∴AE＝CE．
∵BE－AE＝AB，即 CE－CE＝2，
∴CE＝＝＋1≈2.7(km)
如图28－93(2)所示，同理可得CE＝－1≈0.7(km)．
答：飞机飞行的高度约为2．7 km或0.7 km．
【解题策略】 此题运用方程思想求得CE，通过设未知数建立方程来求解．
体验中考
解：过点C作CE⊥AB于E，
∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝90°．
∵CD＝10，∴AC＝CD＝5．
在Rt△ACE中，
AE＝AC·sin∠ACE＝5·sin 30°＝，
CE＝AC·cos∠ACE＝5·cos 30°＝.
在Rt△BCE中，
∵∠BCE＝45°，∴BE＝CE·tan 45°＝.
∴AB＝AE＋BE＝＋＝ (＋1)≈6.8(米)．
所以雕塑AB的高度约为6．8米．
锐角三角函数
同角、互为余角的三角函数关系
锐角三角函数值的变化情
况及取值范围
解直角三角形
直角三角形的有关性质
解直角三角形的基本类型及方法
→解决实际问题
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