数学人教A版（2019）必修第一册4.2.1指数函数的概念 课件（共28张ppt）

(共28张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.2.1 指数函数的概念
1.通过实际问题了解指数函数的实际背景
2.理解指数函数的概念与意义(重点)
3.理解指数函数增长变化迅速的特点(难点)
学习目标
1.数学抽象：指数函数的概念；
2.逻辑推理：用待定系数法求函数解析式及解析值；
3.数学运算：利用指数函数的概念求参数；
4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结指数函数概念.
数学学科素养
对于幂，我们已经把指数的范围拓展到了实数.上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法，即：实例函数定义图象性质.
这个路径对于其他基本初等函数的研究具有普适性，下面将按照这样的路径研究其他类型的基本初等函数.
新知探究
问题1：通过实例，理解指数函数的概念与掌握指数函数的解析式
引例1 随着中国经济的高速增长,旅游人数不断增加，两个景区自 2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格,B地则取消了门票.下表给了两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量.
A景区 B景区 年份 人次 增加量 人次 增加量
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 53
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1005 102
2014 732 11 1118 113
2015 743 11 1224 126
思考1 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？
单纯的数据，我们无法观测出里面的变化！
我们得借用工具进行协助观察！
表格、图像
我们先将A景区的数据进行分析
列表
描点
连线
你能发现有什么规律？
1.表格中，数据的增长量相同，为10(左右)
2.图像中，连线近似域一条直线
线性变化
增加量=变后量-变前量
思考3 从表格与图像中，景区人次与年份是不是函数关系？如果是，你能用函数表达式表示吗？
对于A景区，设年份为自变量x，游客人次y为因变量。用中间量10刻画它的增长规律：
你能否用相同的方法判断B景区是否有函数关系？有的话求出它的解析式！
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.
追问 我们能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？
增加量=变后量-变前量
但B景区的增加量不是一个定值！
减法
除法！
……
增加量=变后量-变前量
增长率=
增加量
变前量
=
变前量
变后量-变前量
=
变前量
变后量
-1
增长量、增长率都是描述事物变化规律的两个量
结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.
B景区的游客人次的年增长率都约为0.11.增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长，因此，B景区的游客人次近似于指数增长.
B景区：2001年的游客人次为278万；
1年后，游客人次是2001年的1.11倍；
2年后，游客人次是2001年的1.11 ；
3年后，游客人次是2001年的1.11 ；
··· ··· ··· ···
x年后，游客人次是2001年的1.11x；
如果设x年后的游客人次是2001年的y倍，那么
y=1.11x(x∈[0,+∞)).
指数增长！
问题2 探寻古生物
科普 科学研究表明宇宙射线在大气中能产生包括碳14在内的放射性物资，碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”。动植物在生产过程中衰减的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物体内的碳14含量不变，死亡后的植物停止了与外界相互作用，体内原有的碳14按确定的规律衰减，半衰期为5730年，这也是考古学中用碳14来推断年代的原因.
死亡生物体内碳14含量的年衰减率为多少？能否用函数解析式刻画死亡生物体内碳14含量随时间的变化情况？
思考：
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为P，刚死亡时碳14含量为1个单位。
那么，
死亡1年后，生物体内碳14含量为
死亡2年后，生物体内碳14含量为
死亡3年后，生物体内碳14含量为
死亡5730年后，生物体内碳14含量为
由已知条件：
从而 ，
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y,则
这是一个函数，指数x是自变量。
像这样，衰减率为常数的变化方式，称为指数衰减。
如果用字母a代替上述 两式中的底数1.11和 ，
则得“ ”形式.
①②
其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常量ax的系数是1
y＝ 1.11x （x∈[０，＋∞）） ①
②
一般地，函数y=f(x)=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数，
其中指数x是自变量，函数的定义域是实数集R.
指数函数的定义
(1)底数a>0且a≠1，也不含有自变量x.
(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
指数函数和幂函数有何不同？
(1)均是以自变量为底的幂；
(2)指数为常数；
(3)自变量前的系数为1。
1、(1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；
⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是
A.0 　　 B.1 　　 C.2 　　 D.4
练习
①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；
⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
√
判断一个函数是否为指数函的方法
(1)底数的值是否符合要求.
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求.
反思感悟
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
A.(0，1)∪(1，＋∞) B.[0,1)∪(1，＋∞)
依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，
√
一个函数是指数函数则：它的底数部分一定满足大于0且不等于1
概念应用
你能举出生活学习中指数函数的例子？
如细胞分裂、折纸思考、银行复利计算利息、生产量每年平均增长率等等。
假定现在获取的知识是1，学习的知识按照1%的速度增长，那么，一年后会怎样？若学习的知识按照1%的速度减少，那么，一年后会怎样？
一天后
两天后
三天后
365天后
例２（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．
解：（１）设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为f（x）
和g（x），
利用计算工具可得，
当x=0时，f（０）－g（０）＝412000．
当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）．
结合图可知：
当x＜10.22时，f（x）＞g（x），
当x＞10.22时，f（x）＜g（x）．
当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303．
则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）=1000×278×1.11x．
这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x），
这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．
（2）在问题2中，生物体死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
解：设生物体死亡x年后，它体内碳14的含量为h(x)
如果把刚死亡的生物体内碳14的含量看成1个单位，那么
h(x), （x∈[０，＋∞））．
当生物体死亡10000年后，利用计算工具求得h(10000)=
所以，生物体死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的30%
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，
每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y=N(1+p)x ，
x∈N.形如y=kax (k∈R，a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长
或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
指数增长模型
限时小练
简解答：
课下作业
1、教科书 115页 练习1， 3
2、115 阅读与思考
指数函数概念
函数y = ax(a 0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R .
课堂小结