3.3 幂函数 一课一练 (含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
3.3 幂函数一课一练
一、单选题
1．幂函数的图象过点 ，则它的单调递增区间是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0）
C．（0，﹣∞） D．（﹣∞，+∞）
2．已知幂函数的图像过点，则（　　）
A． B． C． D．
3．幂函数 经过点 ，则 是（　　）
A．偶函数，且在 上是增函数
B．偶函数，且在 上是减函数
C．奇函数，且在 上是增函数
D．奇函数，且在 上是减函数
4．已知幂函数 在 上单调递减，则 （　　）
A．3 B．-1 C．-1或3 D．1或-3
5．有四个幂函数：① ；② ；③ ；④ .某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是 ，且 ；（3）在 上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
6．幂函数y=xa，y=xb，y=xc的图象如图所示，则实数a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
7．设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=3，这时a的取值集合为（　　）
A．{a|1＜a≤2} B．{a|a≥2}
C．{a|2≤a≤3} D．{2，3}
二、多选题
8．已知幂函数 ，下列说法正确的有（　　）
A．
B．如果 是偶函数，则 一定是偶数
C． 的图像恒经过定点 和
D． 的图像与x轴正半轴没有交点
9．已知函数 的图象过点（3，27），下列说法正确的是（　　）
A．函数 的图象过原点 B．函数 是奇函数
C．函数 是单调减函数 D．函数 的值域为
三、填空题
10．幂函数 的图象过点 ，那么 　 　．
11．已知幂函数在上单调递增，则实数的值为　 　.
四、解答题
12．已知函数（是常数）为幂函数，且在上单调递增.
（1）求的表达式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明.
13．已知幂函数 在区间 上单调递增.
（1）求 的解析式；
（2）用定义法证明函数 在区间 上单调递减.
14．已知幂函数的图象关于轴对称，集合.
（1）求的值；
（2）当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】解答：设幂函数为y=xa，
把点 ，得 ，
解得a=﹣2．
∴幂函数为y=x﹣2．
∴它的单调递增区间是（﹣∞，0）．
故选B．
分析：设幂函数为y=xa，把点 ，求出a的值，从而得到幂函数的方程，由此能得到幂函数的单调递增区间．
2．【答案】B
【解析】【解答】为幂函数，设，依题意，解得，
所以，则．
故答案为：B．
【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，求得，进而可求得值.
3．【答案】C
【解析】【解答】依题意，设 ，将点 代入上式，则 ，得到 ，即 ，
所以该函数为奇函数，且在 上是增函数，
故答案为：C.
【分析】首先根据题意把点的坐标代入到函数的解析式计算出从而得到函数的解析式再由奇函数的定义即可判断出函数为奇函数，然后结合幂函数的性质得到函数的单调性。
4．【答案】B
【解析】【解答】幂函数 在 上单调递减，则 ，解得 ，
故答案为：B。
【分析】利用幂函数的定义结合幂函数的单调性，从而求出满足要求的m的值。
5．【答案】B
【解析】【解答】① 只满足值域是 ，且 ；③ 只满足在 上是增函数；④ 只满足在 上是增函数；② 是偶函数，在 上是增函数，但其值域是 .
故答案为：B.
【分析】根据幂函数的单调性、值域和奇偶性，结合三个性质两个正确一个错误，对四个幂函数逐一分析，由此确定正确选项.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：由幂函数图象和单调性可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0．
∴a＞b＞c．
故选：A．
【分析】利用幂函数图象和单调性即可得出．
7．【答案】B
【解析】解答：易得 ，在[a，2a]上单调递减，
所以 ，
故 a≥2
故选B．
分析：先由方程logax+logay=3解出y，转化为函数的值域问题求解．
8．【答案】A,D
【解析】【解答】对于A：根据幂函数的定义得； ，A符合题意；
对于B：当 时， 是偶函数，B不符合题意；
对于C： 恒过 ，（ 时，不过 ），C不符合题意；
对于D：令 ，不成立，即与 正半轴不相交，D符合题意；
故答案为：AD.
【分析】 根据幂函数的定义以及性质分别判断即可.
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】因为函数 的图象过点（3，27），
所以 ，
A：因为 ，所以函数 的图象过原点，因此本说法正确；
B：因为 ，所以函数 是奇函数，因此本说法正确；
C：因为 是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；
D：因为 的值域是全体实数集，所以本说法正确.
故答案为：ABD
【分析】根据幂函数的定义和性质分别判断即可.
10．【答案】8
【解析】【解答】∵幂函数f（x）的图象过点（2， ），设幂函数为y=xn，则有2n= ，∴n= ，幂函数f（x）= ，那么f（64）= =8，
故答案为：8．
【分析】设出幂函数表达式，求出n值，将x=64代入即可.
11．【答案】2
【解析】【解答】由题意，幂函数，可得，解得或，
当时，函数在区间上单调递增，符合题意；
当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，
所以实数的值为2.
故答案为：2.
【分析】利用幂函数的定义和单调性列出方程，求解可得m的值.
12．【答案】（1）由题意可得.，.
（2），在上单调递增.
证明如下：任取，则
.
，，，，
，，即，
在上单调递增.
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的概念以及幂函数的单调性，即可求解出a的取值，由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意由函数单调性的定义，即可得证出结论。
13．【答案】（1）解：由题可知： ，解得 或 .
若 ，则 在区间 上单调递增，符合条件；
若 ，则 在区间 上单调递减，不符合条件.
故
（2）证明：由（1）可知， .
任取 ， ，且 ，
则 .
因为 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
即 ，故 在区间 上单调递减
【解析】【分析】（1）由幂函数的系数为1得 ，再根据函数为 增函数得 ；
（2）由（1）得 ，再根据函数单调性的定义证明即可。
14．【答案】（1）解：由幂函数定义，知，解得或，
当时，的图象不关于轴对称，舍去，
当时，的图象关于轴对称，
因此.
（2）解：当时，的值域为，则集合，
由题意知 ，得，解得.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合幂函数的定义和偶函数的图象的对称性，进而得出m的值。
（2）利用已知条件结合充分条件】必要条件的判断方法，进而求出实数a的取值范围。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)