高中数学人教A版（2019）必修2 8.1 基本立体图形章节综合练习题（答案+解析）

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8.1 基本立体图形
一、选择题
1．（2023高一下·浙江期中）下列说法正确的是（　　）
A．以直角三角形的一条边所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的几何体是圆锥
B．以正方体的顶点为顶点可以构成正四棱锥
C．将三棱锥展开后，所得平面图形一定不可能是正方形
D．任何直三棱柱都可以找到一个球，使得三棱柱的6个顶点都在该球面上
2．（2022高三上·铁岭月考）足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的．即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的处将其顶角截去，截去12个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构．已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱的边数为（　　）．
A．60 B．90 C．105 D．120
3．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　）
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③不是多面体 D．④是棱柱
4．下列说法不正确的是（　　）
A．三角形一定是平面图形
B．若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．三条平行线最多可确定三个平面
5．（2019高二下·金华期末）如图，在菱形ABCD中， ，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现将 绕对角线BD旋转，令二面角A－BD－C的平面角为 ，则在旋转过程中有（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高一下·海林期末）某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)（　　）
A． B．
C． D．
7．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为（　　）
A． B． C． D．
9．（2018高一下·临川期末）下列图形不一定是平面图形的是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．圆 D．梯形
10．如图是一几何体的平面展开图，其中 为正方形， ， 分别为 ， 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线 与直线 异面；②直线 与直线 异面；③直线 平面 ；④平面 平面 ．
其中一定正确的选项是（　　）
A．①③ B．②③ C．②③④ D．①③④
11．（2017高一下·宜昌期末）下列结论正确的是（　　）
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
12．（2016高一上·吉林期中）下列命题中，正确的是（　　）
A．底面是正方形的四棱柱是正方体
B．棱锥的高线可能在几何体之外
C．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
13．下列命题中正确的是?（　　）
A．正方形的直观图是正方形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
14．（2023高一下·衢州期末） 用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为：（　　）
①三角形②四边形③五边形④六边形⑤圆
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤
15．（2023高一下·深圳期中）从正方体的个顶点上任取个顶点，则这个顶点构成的几何图形不可能是（　　）
A．三个面是直角三角形的正三棱锥
B．有一个面是钝角三角形的四面体
C．每个面都是等边三角形的四面体
D．每个面都是直角三角形的四面体
16．（2023高一下·湖口期中）下面关于空间几何体的定义或结构特征叙述错误的是（　　）
A．空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱
B．有两个侧面都是矩形的三棱柱，它的侧棱垂直于底面
C．以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥
D．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心
17．（2023高二下·杨浦期末） 下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥.
其中真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．（2023高一下·安徽月考）下列叙述正确的是（　　）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
19．（2023高一下·光明期中）下列四个命题正确的是（　　）
A．所有的几何体的表面都能展成平面图形
B．棱锥的侧面的个数与底面的边数相等
C．棱柱的各条棱长度都相等
D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面
20．（2023高一下·宁波期中）若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是（　　）
A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥
21．（2023·南宁模拟）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（　　）
A． B． C．6 D．
22．（2022高二上·怀化期中）以下四个命题中，真命题为（　　）
A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B．底面是矩形的四棱柱是长方体
C．正三棱锥是正四面体
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
23．（2022高二上·浙江开学考）下列说法中正确的是（　　）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．上下底面全等，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．棱台的底面是两个相似的正方形
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
24．（2022高一下·商丘期末）下列关于棱锥 棱台的说法正确的是（　　）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
25．（2022高一下·清远期中）下列命题中正确的是（　　）
A．棱锥的高线可能在几何体之外
B．上下底面平行且都是四边形的几何体是四棱台
C．圆锥的底面半径可以比圆锥的母线长
D．圆柱的侧面展开图不可能是正方形
26．（2022高一下·合肥期中）下列说法：
（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；（2）棱锥至少有条棱；（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；（4）以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
正确的个数有（　　）个
A．0 B．1 C．2 D．3
27．（2022高一下·洛阳期中）下列说法正确的有（　　）
A．两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．利用斜二测画法得平行四边形的直观图可能是梯形
D．存在四个面都是直角三角形的三棱锥
28．（2023高一下·安徽月考）下列结论错误的是（　　）
A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形
B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体
C．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
D．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
29．（2023高二下·深圳期中）九章算术卷商功记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是说：圆堡瑽圆柱体的体积为底面圆的周长的平方高，则由此可推得圆周率的取值为（　　）
A． B． C． D．
30．（2023高二上·浦东期末）下列说法正确的是（　　）
A．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆
B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
D．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的几何体是圆锥，A不符合题意；
底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形的几何体图形为正四棱锥，有定义可知正方体的顶点为顶点不可以构成正四棱锥，B不符合题意；
如图即可将一个正方形折叠为三角锥形，其中A、B为正方形两个边的中点，C为正方形的顶点，C不符合题意；
直三棱柱的两个底面的外接圆圆心连线中点就是该三棱柱外接球球心，且使得三棱柱的6个顶点都在该球面上，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据空间几何体的概念和性质，逐项进行判断，可得答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】由题意可知原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面3条棱，
每条棱属于两个面，则原来共有 条棱，
此外每个面会产生3条新棱，共产生条新棱，
∴共有 条棱，
故答案为：B．
【分析】由题意可知原来正二十面体的每一条棱都会保留，且正二十面体共有棱，以及每个面会产生3条新棱，即可求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】对①，上底是梯形，下底平行四边形，上下底部不相似，故不是棱台；
对②，上下底面不平行，故不是圆台，
对③，是三棱锥，是多面体，
对④，侧棱平行，有一组对面全等且平行，满足棱柱特征，是棱柱.
故答案为：D.
【分析】根据几何体的特征逐个分析，即可得解.
4．【答案】C
【解析】【解答】由定义可知，三角形一定是平面图形，A不符合题意；
由相交直线确定一个平面可知，若四边形两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形，B不符合题意；
当圆心和圆上两点构成直径时，此时可有无数平面经过此三点，C错误，符合题意；
三条平行线可确定三个平面，正确，如三棱柱的三条侧棱，D不符合题意
故答案为：C
【分析】利用确定平面的公理及其推断进行判断即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】如图，
绕 旋转形成以圆 为底面的两个圆锥，( 为圆心， 为半径， 为 的中点)， ， ，
当 且 时， 与等腰 中， 为公共边， ，
,
.
当 时， ,
当 时， ,
综上， 。
C.D选项比较 与 的大小关系，如图即比较 与 的大小关系，根据特殊值验证：
又当 时， ,
当 时， ，
都不正确.
故答案为：B.
【分析】首先根据旋转前后的几何体，表示 和 ，转化为在两个有公共底边的等腰三角形比较顶角的问题，还需考虑 和 两种特殊情况.
6．【答案】A
【解析】【解答】其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．
故答案为：A.
【分析】由题意，对面图案均相同的正方体礼盒，则两个相同图案一定不能相邻，即可得出答案。
7．【答案】D
【解析】【解答】A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．
故答案为：D．
【分析】分析可知，要想围成一个棱柱，A选项底面必须是长方形，B底面必须是五边形，D底面必须是三角形，即可得出答案。
8．【答案】C
【解析】【解答】截面图形应为图C所示的圆环面．故C符合题意。
故选C
【分析】根据圆柱为实心体，挖去的圆锥也为实心体，剩余的部分也是实体的。
9．【答案】B
【解析】【解答】三角形，圆，梯形一定是平面图形，但是四边形可以是空间四边形，
故答案为：B.
【分析】四边形可以是空间四边形。
10．【答案】B
【解析】【解答】 如图所示：
①连接 ，则 分别为 的中点，所以 ，所以 ，
所以 共面，所以直线 与 不是异面直线，所以错误；
②因为 平面 平面 平面 ，
所以直线 与直线 是异面直线，所以是正确的；
③由①知 ，因为 平面 平面 ，所以直线 平面 ，所以正确；
④假设平面 平面 ，过点 作 分别交 于点 ，在 上取一点 ，连接 ，所以 ，又 ，所以 ．
若 时，必然平面 与平面 不垂直，所以不正确，
故答案为：B．
【分析】①根据三角形的中位线定理可得四边形EFBC是平面四边形，直线BE与直线CF共面；
②由异面直线的定义即可得出；
③由线面平行的判定定理即可得出；
④可举出反例进行说明其不正确．
11．【答案】D
【解析】【解答】解：在A中，如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，
各面都是三角形，但它不是棱锥．故A错误；
在B中，一平面截一棱锥，只有当平面与底面平行时，才能得到一个棱锥和一个棱台，故B错误；
在C中，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．
由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；
在D中，根据圆锥母线的定义知圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线，故D正确．
故选：D．
【分析】通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线进行判断知D正确．
12．【答案】B
【解析】【解答】解：底面是正方形的四棱柱不一定是正方体，故A错误；
斜棱锥的高线有可能在几何体之外，故B正确；
根据棱柱的定义可得，有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，故C错误；
有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误．
故选：B．
【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．
13．【答案】B
【解析】【解答】解：在A中，正方形的直观图是平行四边形，故A错误；
在B中，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；
在C中，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，
要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C错误；
在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误．
故选：B．
【分析】在A中，正方形的直观图是平行四边形；在B中，由斜二测画法规则知平行性不变知②正确；在C中，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行；在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
14．【答案】C
【解析】【解答】用一个平面去截一个正方体，分别是所在棱A，B，C，D，E，F的中点，所得截面形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形.
故选：C.
【分析】由正方体的结构特征，做出截面即可判断出正确选项.
15．【答案】B
【解析】【解答】 根据题意，正方体ABCD- A1B1C1D1中，四面体A-A1BD就是三个面是直角三角形的正三棱锥，故A正确；
先选取其中一点A，与其余的7个点中的任意2个都不会构成钝角三角形，则不可能构成有一个面是钝角三角形的四面体，故B错误；
四面体C1-A1BD就是每个面都是等边三角形四面体，故C正确；
四面体A-A1BC就是每个面都是直角三角形的四面体，故D正确.
故选：B.
【分析】根据题意，正方体ABCD- A1B1C1D1中，根据正方体的结构特征逐项进行判断，可得答案.
16．【答案】D
【解析】【解答】解：对于A，由四棱柱的定义：空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱，故A正确；
对于B，根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，是真命题，故B正确；
对于C，由圆锥的定义：以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥，故C正确；
对于D，底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心，故D错误．
故选：D．
【分析】根据四棱柱的定义可知A正确；直线与平面的判定定理可知B正确；根据圆锥的定义可知C正确；根据正棱锥的定义可知D错误．
17．【答案】A
【解析】【解答】正棱锥的定义： （1）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（2）侧面是全等的等腰三角形。
对于①不满足（2）；对于②③不满足（1）.
故答案为：A
【分析】根据正棱锥的定义判断命题。
18．【答案】D
【解析】【解答】解：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分是棱台，故A错误；由棱台的概念可知，棱台的侧棱延长后交于一点（原棱锥的顶点），所以B、C选项中的不一定是棱台，故B、C错误，D正确；
故选：D.
【分析】根据棱台的概念求及棱锥和棱台的关系判定即可.
19．【答案】B
【解析】【解答】对于A，球的表面不能展成平面图形，错误；
对于B，棱锥的侧面的个数与底面的边数相等，正确；
对于C，棱柱的各条侧棱长度都相等，但是侧棱长度与底面中的棱长不一定相等，错误；
对于D，正六棱柱中，相对的两个侧面互相平行，但它们不是正六棱柱的底面，错误；
故答案为：B
【分析】根据球的表面特征可判断A；根据棱锥的结构特征可判断B；根据棱柱的结构特征可判断C、D.
20．【答案】D
【解析】【解答】对于A，正四面体为满足条件的正三棱锥，故排除A；
对于B，考虑如图所示的正四棱锥.
满足，
为底面正方形中心，EO平面ABCD.
因底面为正方形，故，
则，，，两两全等，得.
故存在满足条件的正四棱锥，排除B；
对于C，考虑如图所示的五棱锥.
满足，
O为底面正五边形中心，FO平面ABCDE.
因底面为正五边形，故，
则，，，，两两全等.得.
故存在满足条件的正五棱锥，排除C；
对于D，考虑如图所示的正六棱锥.
满足，
O为底面正六边形中心.GO平面ABCDEF.
但注意到OA=AB，，则有.
这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，D符合题意.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合正棱锥的结构特征和正六棱锥的结构特征，从而找出正确的选项。
21．【答案】B
【解析】【解答】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，
一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，设，
圆锥底面周长为，所以，所以，
在中，由，得
故答案为：B．
【分析】 画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为AA'，在△SAA'中，解三角形即可得答案.
22．【答案】D
【解析】【解答】对于A，等腰三角形的腰不一定是侧棱，A是假命题；
对于B，侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题；
对于C，正三棱锥的棱长与底面边长不一定相等，故不一定是正四面体；
对于D，由棱台的定义知D是真命题.
故答案为：D.
【分析】直接利用正棱锥的定义和性质，长方体的定义和性质，棱台的性质，逐项进行判断，可得答案.
23．【答案】D
【解析】【解答】A中， 要用“平行于底面”的平面去截棱锥，棱锥底面与截面间部分才叫棱台， 如果截棱锥的平面不与底面平行，棱锥底面与截面间部分只能叫多面体， A不符合题意；
B中， 如图所示几何体，
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱，B不符合题意；
C中，棱台的底面不一定是两个相似的正方形，只需是相似多边形即可，C不符合题意；
D中， 由棱台的定义知棱台的侧棱延长后必交于一点， D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据棱台的定义判断ACD，举反例图形判断B.
24．【答案】D
【解析】【解答】对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，A不符合题意；
对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，B不符合题意；
对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，C不符合题意；
对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由已知条件结合棱锥和棱台的几何性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
25．【答案】A
【解析】【解答】对于选项 B，上下底面平行且侧棱交于一点的几何体是四棱台，则选项B不正确；
对于选项C，圆锥的底面半径、母线和高构成直角三角形，其中母线为斜边，底面半径为直角边，则圆锥的母线长比圆锥的底面半径要长，则选项C不正确；
对于选项D，当圆柱的母线长等于底面圆周长时，侧面展开图为正方形，则选项D不正确；
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合棱锥的结构特征、棱台的结构特征、母线的结构特征，进而找出真命题的选项。
26．【答案】B
【解析】【解答】图1符合条件但却不是棱柱，故（1）不正确；
三棱锥是棱数最少的棱锥，有6条棱，故（2）正确；
棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，则应保证各侧棱延长后相交于一点，
图2满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是侧棱延长后不相交于一点，故不是棱台，（3）不正确；
以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转得到的是两个底面重合的圆锥的组合体，（4）不正确．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合棱柱、棱锥、棱台和圆锥的结构特征，进而找出说法正确的个数。
27．【答案】D
【解析】【解答】因为不能保证各侧棱的延长线交于一点，A不符合题意；
夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，B不符合题意；
直观图中的平行关系不变，C不符合题意；
如图，存在四个面都是直角三角形的三棱锥，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由棱台、旋转体、斜二测画法、三棱锥的定义逐项进行判断，可得答案.
28．【答案】C
【解析】【解答】对于A：圆柱是由矩形绕着它的一条边旋转一周形成，圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故A正确
对于B：底面是四边形，侧棱垂直于底面的棱柱为直四棱柱，长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，故B正确；
对于C：用一个平行于底面的平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台，故C错误；
对于D：由六面体的定义知，四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故D正确
故选：C
【分析】直接利用圆柱，棱柱，圆台，圆锥的定义判断。
29．【答案】A
【解析】【解答】 圆堡瑽圆柱体的体积为底面圆的周长的平方高 ，
，
解得，
故选：A.
【分析】根据题意可得， 圆堡瑽圆柱体的体积为底面圆的周长的平方高 ，代数求值即可.
30．【答案】B
【解析】【解答】球面上两点与球心共线时，有无数个大圆，A不符合题意.
底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面的射影是底面的中心，所以是正棱锥，B符合题意.
用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，C不符合题意.
以直角三角形任意一直角边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体都是圆锥，D不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据空间几何体的概念和性质可判断.
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