高中数学人教A版（2019）必修2 8.2立体图形的直观图 解答题专项章节综合练习题（答案+解析）

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8.2立体图形的直观图 解答题专项
一、解答题
1．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形.
2．（2022高一下·浙江期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知，，且．
（1）求原平面图形的面积；
（2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积．
3．（2021高一下·温州期中）如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，．
（1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
4．（2017高一上·辽宁期末）如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）．
（1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；
（2）求这个几何体的表面积及体积．
5．分别画一个三棱锥和一个四棱台．
6．如图是某几何体的三视图．试说明该几何体的结构特征，并用斜二测画法画出它的直观图．
7．已知某组合体的三视图如下图所示，试画出该几何体的直观图
8．由几何体的三视图画出它的直观图．
9．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图，并求几何体的体积．
10．如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E,F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.过点E,F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
（1）（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（2）（II）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.
11．（2023高一下·太原期中）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，.
（1）画出平面四边形的平面图，并计算其面积；
（2）若该四边形以为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.
12．（2022高一下·云县期中）如图所示，正方形是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中．
（注：图形OABC与正方形的各点分别一对应，如OB对应直观图中的）
（1）求原图形的面积；
（2）将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．
13．（2022高一下·洛阳期中）如图所示，正方形 是一个水平放置的平面图形的直观图，其中 ．
（1）求原图形的面积；
（2）将原图形以所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形与正方形的各点分别一一对应，如对应直观图中的 ）
14．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形OABC的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．
15．画出一个上、下底面边长分别为1，2，高为2的正三棱台的直观图．
16．如图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的原图形并求出其面积．
17．（2021高一下·浙江期中）已知直三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ，且侧棱 ．
（1）在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图（不要求写出画法，但要标上字母，并注意，先用铅笔作出草图，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，以保证扫描效果）
（2）求该三棱柱 的外接球的表面积．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图.
19．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.
20．画正六棱柱的直观图．
21．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．
22．画棱长为2 cm的正方体的直观图．
23．用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB的直观图．
24．用斜二测画法画出下列水平放置的正五边形和四边形的直观图．
25．画出一个正三棱台的直观图（尺寸：上、下底面边长分别为1cm，2cm，高为2cm）．
26．用斜二测画法画出水平放置的一角为60°、边长为4cm的菱形的直观图．
27．用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．
28．在如图所示直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=AD=2DC=4，画出该梯形的直观图A′B′C′D′，并写出其做法（要求保留作图过程的痕迹．）
29．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
30．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
答案解析部分
1．【答案】解：图1是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图2是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．
【解析】【分析】（1）由图像可知，该展开图是由四个三角形和一个四边形组成的，椎体的侧面都是三角形，即可得出答案。
（2）由图像可知，该展开图是由六个正方形组成的，也就是该几何体由6个面，各面均为正方形，即可得出答案。
2．【答案】（1）解：如图所示：作，
因为，，，，
所以，，，
故
（2）解：由题意得：该几何体是一个以为底面半径的圆锥和一个以为底面半径的圆柱组成，
所以所形成的几何体的表面积为
所以所形成的几何体的体积为
【解析】【分析】（1）根据斜二测画法作出原图形ABCD，由此求出原图形面积即可；
（2）由题意知该几何体是一个以为底面半径的圆锥和一个以为底面半径的圆柱组成，由此能求出所形成的几何体的表面积和体积.
3．【答案】（1）解：平面四边形的平面图如下图所示：
由直观图可知菱形的高为：，
所以面积为；
（2）解：旋转而成的几何体如下图所示：
该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，
由（1）可知圆柱的底面圆半径为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
【解析】【分析】（1）根据斜二测画法所画的直观图与平面图的关系作出平面图形OABC ，然后根据面积公式求解出面积即可；
（2）画出几何体的直观图，然后根据圆柱、圆锥的体积和表面积公式求解出旋转形成的几何体的体积及表面积.
4．【答案】（1）解：这个几何体的直观图如图所示．
（2）解：这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体．
由PA1=PD1= ，A1D1=AD=2，
可得PA1⊥PD1．
故所求几何体的表面积
S=5×22+2× 2×1+2× ×2
=22+4 （cm2），
所求几何体的体积V=23+ ×（ ）2×2=10（cm3）．
【解析】【分析】（1）根据三视图的画出，进行复原画出几何体的图形即可．（2）几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体，求出底面面积，然后求出体积即可．
5．【答案】解：画三棱锥可分三步完成
第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；
第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；
第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．
画四棱可分三步完成
第一步：画一个四棱锥；
第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；
第三步：将多余线段擦去．
【解析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．
6．【答案】解：根据几何体的三视图，得，
该几何体是上部为正六棱柱，下部为正六棱锥的组合体；
画出该几何体的直观图，如图所示；
【解析】【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是上部为正六棱柱，下部为正六棱锥的组合体；
画出它的直观图即可．
7．【答案】解：由三视图可知几何体是下部是正四棱柱，底面边长为2，高为1，上部是正四棱锥，棱锥的底面是正方形边长为2，棱锥的高为1．
几何体是直观图如图：
【解析】【分析】判断几何体的形状，然后画出直观图即可．
8．【答案】解：由题意可知几何体的直观图为：共有6个正方体组成．
【解析】【分析】利用三视图画出几何体的直观图即可．
9．【答案】解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2
故体积为×2×2×2=．直观图如下图所示
【解析】【分析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，由此易求得它的体积
10．【答案】（1）交线围成的正方形EHGF 如图:
（2）或
【解析】【解答】
（II）作EMAB,垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8，因为EHGF是正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH=，AH=10，HB=6，因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积比值为（也正确）。
【分析】立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于得分题，往年第一问多为线位置关系得证明，今年试题有所创新，改为作截面图，令人耳目一新。第二问求两几何体体积之比，方法容易想到，注意运算不要出现错误
11．【答案】（1）解：
如图1，设与交点为，
因为，，所以，.
的平面图如图2所示：
则，
.
（2）解：由（1）可得，在中，有，
所以，，所以.
如图3，分别过点作及其延长线的垂线，垂足为.
矩形绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线的圆柱；
绕，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥；
绕及其延长线，旋转一周得到一个底面半径，母线，高的圆锥.
所以，旋转形成的几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥，与一个同底的圆锥构成的组合体.
则旋转形成的几何体的体积即等于圆柱的体积，减去挖去的圆锥体积，加上组合的圆锥的体积，
所以，旋转形成的几何体的体积.
旋转形成的几何体的表面积即等于圆柱的侧面积，加上两个圆锥的侧面积之和，
所以.
【解析】【分析】(1)利用斜二测画法的规则作出图形，由面积公式计算平面四边形OABC的面积；
(2)利用柱体的体积公式求出体积，分别求解圆锥、圆柱的侧面积，再求旋转体的表面积.
12．【答案】（1）解：原图形OABC是个平行四边形，如下图所示
底为OA＝2，高为 ，
∴；
（2）解：得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥，
∴几何体体积
∴几何体表面积
【解析】【分析】(1)将直观图还原为原图，根据长度关系求面积；
(2)由题意旋转后得到的几何体是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥 ，再计算几何体的表面积和体积.
13．【答案】（1）解：由图可知， ，根据斜二测画法的规则，
可知在平面直角坐标系中， ，
所以，OABC的形状如下图：
是平行四边形，面积
（2）解：由上图可知 ，过点C作x轴垂线，垂足为D，则四边形OBCD是矩形，
绕OA旋转后得到的几何体可以看作是绕OA旋转后得到的圆锥 和四边形OBCD绕OA旋转后得到的圆柱减去 绕OD旋转得到的圆锥的组合体，
，
表面积 ，
体积 ；
综上，原图的面积为 ，所得几何体的表面积为 ，体积为 .
【解析】【分析】 (1)由二测法得到四边形OABC是平行四边形，OA= 2， OB=由此能求出原图形的面积；
(2) 绕OA旋转后得到的几何体可以看作是绕OA旋转后得到的圆锥 和四边形OBCD绕OA旋转后得到的圆柱减去 绕OD旋转得到的圆锥的组合体， 由此能求出该几何体的表面积和体积.
14．【答案】解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；
在y轴上取OB＝2O′B′＝2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.
连接O，A，B，C各点，即得到了原图形．
由作法可知OABC为平行四边形，OC＝ ＝3(cm)，∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8(cm)，面积为S＝1×2 ＝2 (cm2)．
【解析】【分析】利用已知条件建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm，在y轴上取OB＝2O′B′＝2 cm，在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm，连接O，A，B，C各点，即得到了原图形，由作法可知OABC为平行四边形，再利用勾股定理得出OC的长，再结合平行四边形周长公式和面积公式得出得出平行四边形OABC的周长和面积。
15．【答案】解：⑴画轴．如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
⑵画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝ .连接BC，CA，则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．
⑶画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.
⑷连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．
【解析】【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的步骤方法，从而画出一个上、下底面边长分别为1，2，高为2的正三棱台的直观图。
16．【答案】解：四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形，
所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC.
因为AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝ ，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2 .
【解析】【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法得出四边形ABCD的真实图形，再利用A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形， 进而得出∠D′A′C′，∠A′C′B′的值，所以结合三角形内角和为180度的性质，得出在原四边形ABCD中，AD⊥AC，AC⊥BC，再利用AD＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝ 结合四边形的面积公式得出该四边形的原图形的面积。
17．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：取直三棱柱上下底面的外心分别为 ，则 的中点 为外接球的球心，
，
，
【解析】【分析】（1）由斜二测作图原理即可直接作图。
（2） 取直三棱柱上下底面的外心分别为 ，易知 的中点 为外接球的球心，从而求出外接球半径，解决问题。
18．【答案】解：画法：⑴先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°(如图1).
⑵在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0).
⑶在x′轴上截取O′E′=OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′=1.5.
⑷同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′=0.5，C′H′=3，
D′F′=2.5.
⑸连线成图(去掉辅助线)(如图2).
【解析】【分析】每一点的横坐标不变，纵坐标减半，在连接四个点得到直观图形.
19．【答案】解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝ OD，梯形的高D′E′＝ ，于是梯形A′B′C′D′的面积为 ×(1＋2)× ＝ .
【解析】【分析】由斜二测画法规则，得到原图形与直观的面积的关系，求解.
20．【答案】解: 画法如下：
⑴画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；
⑵画底面：画正六边形的直观图ABCDEF(O′为正六边形的中心)；
⑶画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′，使AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′；
⑷连线成图：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F′，F′A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′，如图所示．
【解析】【分析】根据题意结合已知条件首先画出坐标轴使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；再结合直观图与实际图形的画法特点：平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，找到各个点在斜二测画法坐标系下的位置，连接各个点即可得到正六棱柱的直观图。
21．【答案】解：如图所示：
【解析】【解答】题目中给了直观图，要画出一般的图；规律是，横坐标不变，即和横轴平行或者重合的线段长度不变，故原图的长还是3 ，和纵轴平行或者重合的线段变为原来的二倍，高变为原来的2倍。按照这个画出即可。
【分析】根据题意结合已知条件利用直观图与实际图形的转换特点：平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，即可得出原来的图形。
22．【答案】解：①作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，AD＝1 cm.
②过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2 cm.
③连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．
【解析】【分析】根据题意结合已知条件利用直观图与实际图形的转换特点：平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半。首先作出水平放置的正方形的直观图，再作出垂直于平面的z轴结合平行于z轴的长度不变得到各个点的位置最后连接起来即可得到图形的直观图。
23．【答案】解：⑴在已知图中，以O为坐标原点，以OB所在的直线及垂直于OB的直线分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系，过点A作AM垂直x轴于点M，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O′，画出相应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
⑵在x′轴上取点B′，M′，使O′B′＝OB，O′M′＝OM，过点M′作MA′∥y′轴，取M′A′＝ MA.连接O′A′，B′A′，如图2.
⑶擦去辅助线，则△O′A′B′为水平放置的△OAB的直观图．
【解析】【分析】根据题意结合已知条件首先作出坐标系，再利用直观图与实际图形的画法转化特点：平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，分别画出边的长度进而得到△O′A′B′为水平放置的△OAB的直观图。
24．【答案】解：（1）作出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
连结EC交y轴为F，
在x′轴上作线段A′B′=AB，
则y′轴上分别作线段O′D′=OD，O′F′=OF，
过F′作线段E′C′=EC，且E′C′∥O′x′，
连结A′B′C′D′E′，即为正五边形的直观图．
（2）作出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
在x′轴上作线段O′C′=OC，
则y′轴上分别作线段O′A′=OA，
过A′作线段A′B′=AB，且A′B′∥O′x′，
连结A′B′C′O′，即为四边形的直观图．
【解析】【分析】根据斜二测画法的原则即可得到结论．
25．【答案】解：正三棱台的直观图（尺寸：上、下底面边长分别为1cm，2cm，高为2cm） 如图：
【解析】【分析】按照斜二测直观图的画法，画出三棱台的直观图即可．
26．【答案】解：建立如图所示的坐标系，在x轴上取点B（﹣2，0），D（2，0），在y轴上取点A（0，1），C（0，﹣1），
依次连接AB，BC，DA，则四边形ABCD为所求．
【解析】【分析】建立如图所示的坐标系，在x轴上取点B（﹣2，0），D（2，0），在y轴上取点A（0，1），C（0，﹣1），即可得出结论．
27．【答案】【解答】解：在原图形中作BF⊥x轴，EG⊥x轴，垂足分别为F、G，
1、作坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
2、在x′轴上取点C′，D′，F′，G′使O′C′=OC，O′D′=OD，O′F′=OF，O′G′=OG；
3、在y′轴上取点A′，使O′A′=OA，作F′B′∥y′，使F′B′=FB，作G′E′∥y′，使G′E′=GE；
4、连接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，得五边形ABCDE的直观图．
（正五边形的直观图的形状如下图所示）
【解析】【分析】在原图形中建立平面直角坐标系，作BF⊥x轴于F，EG⊥y轴于G，利用斜二测画法画出直观图．
28．【答案】解：（1）在已知的直角梯形ABCD中，以AB所在直线为x轴，垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系；（2）画相应的x′轴和y′轴，使得∠x′O′y′=45°，在x′轴上取O′B′=AB，在y′轴上取O′D′=AD，过D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′=DC；（3）连接B′C′，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形ABCD的直观图．
【解析】【分析】根据平面图形的直观图的画法，即可得出结论．
29．【答案】解：①作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；
②以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；
③擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c．
【解析】【分析】由三视图还原出几何体是一个长方体与四棱锥的组合体.由斜二测画法规则,画出几何体的直观图.
30．【答案】解：画法如下
①画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
②画圆柱的两底面.在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
③画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
④成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．
【解析】【分析】几何体是一个圆柱与一个圆锥体的组合体.由斜二测画法规则,画出几何体的直观图.
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