高中数学人教A版（2019）必修2 8.3 简单几何体体积与表面积章节综合练习题（答案+解析）

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8.3 简单几何体体积与表面积
一、选择题
1．（2023高一下·德州月考）如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高一下·太原期中）已知一圆锥的母线长为，侧面积为，则该圆锥的高为（　　）
A．2 B． C．4 D．10
3．（2023高一下·光明期中）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏会考）若圆柱的上 下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023高三下·安徽开学考）已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（　　）．
A． B． C． D．
6．（2023高一下·金华期末）一个圆柱形粮仓，高1丈3尺寸，可容纳米2000斛，已知1丈尺寸，1斛米立方寸，若取3，则该圆柱形粮仓底面的周长是（　　）
A．440寸 B．540寸 C．560寸 D．640寸
7．（2023高一下·深圳期中）阿基米德（，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的体积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高一下·台州期中）如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为，底面是对角线长分别是和的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·黄埔）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
10．（2023·全国乙卷）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（　　）

A．24 B．26 C．28 D．30
11．（2023高一下·普宁期末） 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（　　）
A．3 B． C． D．
12．（2023·内江模拟）已知圆锥的母线长为2，侧面积为，则过顶点的截面面积的最大值等于（　　）
A． B． C．3 D．2
13．（2023·资阳模拟）已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3，高为，则三棱锥P—ABC的内切球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
14．（2022·南阳模拟）传说古希腊数学家阿基米德的募碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则（　　）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面截得球的截面面积取值范围为
C．四面体的体积的最大值为16
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围
15．（2023·商洛模拟）若圆锥高的平方等于其底面圆的半径与母线的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”.现有一个黄金圆锥，则该黄金圆锥侧面积与表面积的比值是（　　）
A． B． C． D．
16．（2023·曲靖模拟）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（　　）克（精确到个位数）
A．176 B．207 C．239 D．270
17．（2023·潍坊模拟）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
18．（2023·郑州模拟）河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（　　）
A．24 B．12 C． D．
19．（2023高三上·山西期末）在三棱锥中，，且，，则该三棱锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
20．（2023高三上·海南期末）如图所示，某制药厂以前生产的维C药片的形状是由一个圆柱和两个直径为的半球组成的几何体，总长度为．现根据市场需求进行产品升级，要将药片形状改为高为的圆柱，且升级前后药片的表面积相同，则升级后的药片体积相比升级前（　　）
A．减少了 B．增加了
C．减少了 D．增加了
21．（2023高三上·辽宁期末）已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，侧面均为腰长为4的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（　　）
A． B．34 C． D．68
22．（2023高三上·湖北期末）2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场，歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部侧面积约为（　　）平方米
A． B． C． D．
23．龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．如图，现有一龙洗盆高15cm，盆口直径为40cm，盆底直径为20cm．往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（　　）
A． B． C． D．
24．（2024高三上·硚口）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖 三角攒尖 四角攒尖 八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑 园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为米，侧棱长为5米，则其体积为（　　）立方米.
A． B．24 C． D．72
25．（2023高一下·荔湾期末）已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（　　）
A． B． C． D．
26．（2023高一下·宁波期末）如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过、、三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为（　　）
A． B． C． D．
27．（2023·黄埔）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新几何体与半球的体积相等，即．现将椭圆绕轴旋转一周后得到如图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（　　）
A． B． C． D．
28．（2022·雅安模拟）在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示．若在图2中，则在图1中（　　）
A． B． C． D．
29．（2023·张家界模拟）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
30．（2023高二下·嘉兴期末）在三棱锥中，，平面平面，则该三棱锥体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为r，母线长为l
因为四面体各个面都是边长为1的正三角形，可得 ，解得 ，
又由四面体各个面都是边长为1的正三角形，
可得棱锥的高为 ，即圆柱的母线长为 ，
所以圆柱的侧面积为 .
故选：C.
【分析】设圆柱的底面半径为r，母线长为l ，根据正三棱锥的性质，以及圆柱的侧面积公式，即可求解.
2．【答案】A
【解析】【解答】设该圆锥的底面半径为，高为，圆锥的侧面积为，解得，
因此，该圆锥的高为.
故答案为：A.
【分析】 由侧面积求出圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求出该圆锥的高 .
3．【答案】A
【解析】【解答】根据题意作圆锥的轴截面，如图，
设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .
若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
则有，所以.
该圆锥的底面积与侧面积比值为.
故答案为：A.
【分析】根据圆锥的结构特征可得底面半径与高相等，代入面积公式，求出比值.
4．【答案】B
【解析】【解答】设底面圆半径为，则圆柱的高为，
圆柱侧面积为，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：B.
【分析】设底面圆半径为，则圆柱的高为，圆柱侧面积为，利用均值等式计算得到答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】记圆锥的底面半径为r，则，解得，
∴圆锥的高，
∴该圆锥的体积为．
故答案为：D．
【分析】由侧面展开图求得圆锥底面半径、高，然后由体积公式计算可得答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】依题意得，圆柱形粮仓底面半径为r尺，粮仓高尺，
则粮仓的体积，解得r=9尺，
故该圆柱形粮仓底面的周长为2πr=2x3x9=54尺=540寸.
故选： B.
【分析】 利用圆柱的体积公式求出圆柱形粮仓底面半径，再根据圆的周长公式即可求解出答案.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：设球的半径为R，则πR3= 36π，所以R=3，
所以圆柱的底面半径为R= 3，圆柱的高为2R=6，
所以圆柱的体积为πR2x2R=2πR2=54π，
故选：C.
【分析】根据球的体积公式求出半径，根据圆柱的体积公式可求得结果.
8．【答案】D
【解析】【解答】根据题意，直四棱柱的底面是对角线长分别是9和13的菱形，
菱形的边长为
又直四棱柱的侧棱长为
则这个四棱柱的侧面积
故选：D.
【分析】 根据题意，由菱形的性质求出直四棱柱的底面边长，结合直四棱柱的侧面积公式计算可得答案.
9．【答案】D
【解析】【解答】设圆台的母线长为，
根据题意，由圆台侧面积公式可得
解得
因为由圆锥截得的圆台上、下底面半径分别为1和2，所以原圆锥的母线长为，
即原圆锥的母线长为
故选： D.
【分析】根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及平行线段的性质，即可求解出答案.
10．【答案】D
【解析】【解答】 如图该几何体是由边长为2的正方体和边长为1，2，2的长方体组成：
表面积为：
故选：D
【分析】 先将三视图还原空间几何体，再求解表面积。
11．【答案】A
【解析】【解答】∵侧面展开为一个半圆，
∴l=6，r=3，∴A
【分析】根据圆锥表面积公式进行列式求解
12．【答案】D
【解析】【解答】由圆锥的母线长为2，侧面积为，假设底面圆周长为，因此，
故底面圆周长为，底面圆的半径为.
由于轴截面为腰长为2，底边长为底面圆直径的等腰三角形，因此轴截面的顶角是.故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，此时.
故答案为：D
【分析】 利用圆锥的侧面积求出圆锥的底面周长，从而得到底面圆的半径，则两圆锥母线夹角的最大值为，所以当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大，求解即可得答案.
13．【答案】A
【解析】【解答】如图，取棱AB的中点D，连接CD，作平面，垂足为H，则．由正三棱锥的性质可知在上，且．
因为，所以，则．因为，所以，则三棱锥P—ABC的表面积，设三棱锥P—ABC的内切球的半径为r，则．解得，
从而三棱锥P—ABC的内切球的表面积为．
故答案为：A.
【分析】取棱AB的中点D，连接CD，作平面，垂足为H，根据正三棱锥的性质，可得三棱锥P—ABC的表面积，设三棱锥P—ABC的内切球的半径为r，根据棱锥的体积公式可得，可求解出r，再根据球的表面积公式可得答案.
14．【答案】D
【解析】【解答】A，球表面积为，圆柱全面积是，，A不符合题意；
B，平面过球心时，截得球的截面最大，此时截面面积为，B不符合题意；
C，绕旋转时，由于始终有（是圆柱的轴，圆柱的底面垂直，因此与底面上的直线垂直），从而为定值，
，当时，易得平面，而当与不垂直时，与平面不垂直，因此到平面的距离小于，到平面的距离小于，因此
，即四面体的体积的最大值为，C不符合题意；
D，如下图，不妨设与重合，与重合，设是圆柱过点的母线与下底面的交点，则与底面圆垂直，从而与底面上的直线，
，
，
设，则，
，
令，收，
，
时，，单调递增，时，，单调递减，
所以，而，所以，
的取值范围是，
所以即的取值范围是，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】求出球与圆柱的表面积之比判断A；由截面积最大为球的大圆面积判断B；用割补法求四面体体积判断C；不妨设E与A重合，F与B重，设Q是圆柱过点P的母线与下底面的交点，计算出PA+ PB，利用导数求出其取值范围从而判断D.
15．【答案】A
【解析】【解答】设该黄金圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，高为h，则.因为，所以，所以.因为该圆锥的侧面积，表面积，所以，则.
故答案为：A
【分析】设该黄金圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，高为h，求得，分别求得圆锥的侧面积和表面积，即可求解.
16．【答案】B
【解析】【解答】由已知得圆锥的母线长，
所以台灯表面积为，
需要涂胶的重量为（克），
故答案为：B.
【分析】根据题意求得圆锥的母线长，结合圆锥侧面积与球的表面积公式，以及体积公式，准确计算，即可求解.
17．【答案】C
【解析】【解答】假设圆锥半径，母线为，则.设圆台上底面为，母线为，则.
由已知可得，，所以.
如图，作出圆锥、圆台的轴截面
则有，所以.
所以圆台的侧面积为.
故答案为：C.
【分析】由已知可得出圆锥的母线，进而根据圆锥、圆台的轴截面，即可得答案.
18．【答案】D
【解析】【解答】由题意可知，记正四棱台为，其底面为正方形，
侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥如图，
设是底面上与的交点，是底面上与的交点
则是正四棱锥的高，为正四棱台的高，
设，，则上、下底面的面积分别为、，
由题意，所以，
在中，，所以为PA的中点，
在中，，所以，所以，
又，解得，，
所以，
所以侧棱长是，由勾股定理可得侧面的高为，
所以侧面积为.
故答案为：D
【分析】由题意可知，记正四棱台为，其底面为正方形，侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥，设是底面上与的交点，是底面上与的交点则是正四棱锥的高，为正四棱台的高，设，，则上、下底面的面积分别为、，由题意，所以，再利用对应边成比例和中点的性质以及正四棱台的体积公式得出a，b的值，再结合勾股定理得出PA的长，进而得出侧棱的长，由勾股定理可得侧面的高，再结合正四棱台侧面积公式得出该“方斗”的侧面积。
19．【答案】A
【解析】【解答】因为，，，
所以为等边三角形，，
在中，利用余弦定理得：，
解得：，
同理可得：，
因为，
由勾股定理逆定理可得，，
所以，，
取的中点，连接，
则，
因为，所以，
由勾股定理得：，
故，
所以四棱锥的表面积.
故答案为：A
【分析】由已知条件可得为等边三角形，，再利用利用余弦定理得BC，AC，由勾股定理逆定理可得，，利用三角形的面积公式可求出该三棱锥的表面积.
20．【答案】D
【解析】【解答】以前的药片表面积为，体积为，
设升级后的药片底面半径为r，则，得，解得，
升级后药片的体积为，
因为，所以升级后体积增加了
故答案为：D
【分析】根据圆柱和半球的表面积公式和体积公式行求解，可得答案.
21．【答案】C
【解析】【解答】设在正四棱台中，取侧面，
则，，，如下图所示：
分别过点、在侧面内作，，垂足分别为、，
因为，，，
所以，，，
因为，，，故四边形为矩形，故，
所以，，，
因此，该四棱台的表面积为.
故答案为：C.
【分析】分别过点、在侧面内作，，证得，得到，再证得四边形为矩形，得到，求得，，结合棱台的表面积公式，即可求解.
22．【答案】A
【解析】【解答】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，
圆锥高为米，母线长为2米，根据圆锥侧面积公式得．
故答案为：A.
【分析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知，圆锥底面半径为1米，圆锥高为米，根据圆锥体积公式即可得答案.
23．【答案】B
【解析】【解答】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC与FD于点G.
根据题意，AB=20cm，CD=10cm，AC=15cm，EC=6cm，
设CG=xcm，EF=ycm，
得，
解得x=15，y=14，
∴
故答案为：B.
【分析】由题意画出轴截面图，设CG=xcm，EF=ycm，再由相似关系列式求解x与y的值，然后利用圆台体积公式求解.
24．【答案】B
【解析】【解答】解： 如图所示，在正四棱锥中，连接，交于，连接，
由题意得，
，，
又，
正四棱锥的高，该正四棱锥体积为.
故答案为：B.
【分析】根据正四棱锥的性质先求出高，进而求体积.
25．【答案】B
【解析】【解答】设圆锥底面半径为R，高为H，
因为 圆锥的侧面展开图为半圆， 则，解得，可得，
设圆柱底面半径为r，高为h，如图所示，
因为，解得，
则圆柱的侧面积，
当且仅当，即时，等号成立，可得，
所以圆柱的体积为.
故答案为：B.
【分析】设圆锥底面半径为R，高为H， 根据题意结合 侧面展开图为半圆可得，设圆柱底面半径为r，高为h，再结合圆锥的结构特征可得，进而根据圆柱的侧面积以及基本不等式可得当时， 圆柱的侧面积最大 ，进而可求圆柱的体积.
26．【答案】B
【解析】【解答】取中点，连接，，
又是的中点，，，
是直三棱柱，，，是棱台，
延长，，交于点，
则，，
，又，
顶点所在部分的体积.
故答案为：B
【分析】取中点，连接，则顶点所在部分的体积等于直三棱柱体积减去棱台体积.
27．【答案】A
【解析】【解答】构造一个底面半径为4，高为6的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体.
当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为h(0≤h≤6)时，小圆锥底面半径为r，
则，即
则新几何体的截面面积为
如图3所示，代入 可得，即
可得半椭球的截面面积为，
由可得a=6，b=4
由祖眶原理，可得椭球的体积为V= 2(V圆柱-V圆锥)=2
故选： A.
【分析】构造一个底面半径为4，高为6的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖眶原理可得橄榄球形几何体的体积的等于圆柱的体积减去圆锥的体积的2倍，再利用圆柱、圆锥的体积公式可求出答案.
28．【答案】B
【解析】【解答】不妨设正方体的边长为，DA，DB，DC 三条棱与水平面所成角均相等，三棱锥是正三棱锥， ，，，
图1中水的体积，求得， .
故答案为：D
【分析】利用条件求出，再利用图1和图2中水的体积相等求出EF，从而求出结果.
29．【答案】D
【解析】【解答】将鲁班锁补成正方体，然后以点A为坐标原点，
AB、AD、所在直线分別为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
在鲁班锁所在几何体上任取一个顶点，
观察图形可知，P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值在
、、、、、、、中取得，
结合图形可知、，，、，，，，
则，
，
，
，，
，
，
，
所以P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值为，
所以，若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），
设该正方体的棱长的最小值为，则，
该正方体的表面积为.
故答案为：D.
【分析】将鲁班锁补成正方体，然后以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分別为x、y、z轴建立空间直角坐标系，在鲁班锁所在几何体上任取一个顶点，观察图形可知，P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值在、、、、、、、中取得，结合图形可知点的坐标，再结合两点距离公式得出P到鲁班锁所在几何体上其他顶点的距离的最大值，所以，若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），设该正方体的棱长的最小值为，再结合勾股定理得出a的值，再结合正方体的表面积公式得出该正方体的表面积。
30．【答案】B
【解析】【解答】取中点，连接，，设，
，，，，
又平面平面 ， 平面平面，平面，
平面，，，
该三棱锥体积，
得，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，，即时，三棱锥体积最大值.
故答案为：B
【分析】取中点，连接，，设，利用面面垂直的性质定理得平面，结合勾股定理求出，，进而利用导数求三棱锥体积最大值.
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