第三章 函数概念与性质综合测试（含解析）

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第三章 函数概念与性质综合测试
一、单选题
1．下列函数中既是奇函数，又是减函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．函数的增区间是（　　）
A．(，2] B．[2， ) C．(，3] D．[3， )
3．已知幂函数 在 上单调递增，函数 ，任意 时，总存在 使得 ，则t的取值范围是（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
4．以下给出了四组函数：
（1）与 （2）与
（3）与 （4）与
其中有（　　）组函数是同一个函数
A．4 B．3 C．2 D．1
5．函数 的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
6．奇函数 在区间 上是增函数，最大值为6，最小值为 ，则 的值为（　　）
A．3 B．9 C．-3 D．-9
7．下列四组函数中，表示同一个函数的是（　　）
A． 与
B． 与y=|x|
C． 与
D．f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣1
8． 是一次函数，且 ，则 （　　）
A． B． C． D．
9．下列函数为奇函数的是（　　）
A． B．y= C．y=xsinx D．y=log2
10．已知函数 的图象关于直线 对称，在 时， 单调递增．若 ， ， （其中 为自然对数的底数， 为圆周率），则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
11．已知奇函数 是定义在 上的单调函数，若正实数 ， 满足 则 的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．4
12．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（1，3）内有极小值，则函数g（x）= 在区间（1，+∝）上一定（　　）
A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数
二、多选题
13．下列关于幂函数说法正确的是（　　）
A．图像必过点 B．可能是非奇非偶函数
C．都是单调函数 D．图像不会位于第四象限
14．已知函数，则（　　）
A．的定义域为 B．是偶函数
C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ， .已知函数 ，则关于函数 的叙述中正确的是（　　）
A． 是奇函数 B． 在 上是减函数
C． 是偶函数 D． 的值域是
16．已知函数 ， ，则以下结论错误的是（　　）
A．任意的 ， 且 ，都有
B．任意的 ， 且 ，都有
C． 有最小值，无最大值
D． 有最小值，无最大值
三、填空题
17．函数 的定义域是　 　．（要求用区间表示）
18．已知函数的定义域为，值域为，那么　 　，　 　.
19．已知函数，则使得成立的的取值范围是　 　.
四、解答题
20．已知函数 ，且当 时， .
（1）若函数 是偶函数，求 的值；
（2）若函数 是奇函数，求 的表达式.
21．已知定义在R上的偶函数f（x），当x∈（﹣∞，0]时的解析式为f（x）=x2+2x
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象并直接写出它的单调区间．
22．函数 （其中 ）的部分图象如图所示，把函数 的图像向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位，得到函数 的图像。
（1）当 时，若方程 恰好有两个不同的根 ，求 的取值范围及 的值；
（2）令 ，若对任意 都有 恒成立，求 的最大值
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】因为在定义域内都是增函数，所以BCD不符合题意；因为，所以函数为奇函数，且在上单调递减，A符合题意.
故答案为：A
【分析】根据题意由一次函数、对数函数以及指数函数的单调性，结合奇函数的定义对选项逐一判断即可得出答案。
2．【答案】D
【解析】【解答】易知函数的增区间是[3， )。
【分析】本题主要考查二次函数的单调性。二次函数的单调性主要和对称轴有关。
3．【答案】B
【解析】【解答】由题意 ，则 ，即 ，
当 时， ，
又当 时， ，
∴ ，解得 ，
故答案为：B．
【分析】根据题意由幂函数的性质即可计算出m的值，由此得到函数的解析式结合函数的值域即可得出和，再由已知条件得出关于t的不等式组求解出t的取值范围即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】对于（1），函数的定义域为R，函数的定义域为，故不是同一函数；
对于（2），定义域为R，的定义域为R，故与的定义域及对应关系都相同，故为同一函数；
对于（3），的定义域为，的定义域为R，故不是同一函数；
对于（4），的定义域为，的定义域为，故不是同一函数.
所以有1组函数是同一个函数.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合同一函数的判断方法，即定义域和对应关系都相同，则两函数相同，进而找出同一函数的一组函数。
5．【答案】B
【解析】【解答】函数有意义，则： ，求解不等式组可得： ，
据此可得函数的定义域为 .
故答案为：B.
【分析】被开根号数大于等于0，建立不等式，即可得出答案。
6．【答案】D
【解析】【解答】∵奇函数 在区间 上是增函数，最大值为6，最小值为-3，
∴ ，
∴ .
故答案为：D
【分析】根据题意由奇函数的定义，结合已知条件计算出结果即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：在A选项中，前者的y属于非负数，后者的y≤0，两个函数的值域不同，
在B选项中，前者的定义域x≥0，后者的x∈R，定义域不同．
在C选项中，前者定义域为x＞1，后者为x＞1或x＜﹣1，定义域不同．
在D选项中，两个函数是同一个函数，
故选D．
【分析】分别求函数的定义域和值域，前三个选项，第一个值域不同，第二和第三两个函数的定义域不同，只有最后一个函数，字母不影响函数相同．
8．【答案】C
【解析】【解答】由题意,设f（x）=ax+b,则 解得 ,
故f(x)= x- ,
故答案为：C
【分析】 采用待定系数法，设 f（x）=ax+b，将已知条件进行转化，通过解方程组，求出a和b，即可求出一次函数的表达式.
9．【答案】D
【解析】【解答】由于A、B、C中的函数的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x），故他们都是偶函数．
对于D中的函数y=f（x）=log2的定义域为（﹣3，3），且满足f（﹣x）==﹣f（x），
故它是奇函数，
故选：D．
【分析】由条件判断各个选项中函数的奇偶性，从而得出结论．
10．【答案】A
【解析】【解答】因为函数 的图象关于直线 对称，所以 的图象关于 轴对称，
因为 时， 单调递增，所以 时， 单调递减；
因为 ，
所以 .
故答案为：A.
【分析】由函数 的图象关于直线 对称，可得 的图象关于 轴对称，结合单调性进行比较可得选项.
11．【答案】B
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
因为奇函数 是定义在 上的单调函数，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值是 。
故答案为：B
【分析】利用 ，所以 ，再利用奇函数 是定义在 上的单调函数，再结合奇函数的定义和单调函数的定义，再利用均值不等式求最值的方法得出 的最小值。
12．【答案】A
【解析】解答：∵函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（1，3）内有极小值，
∴f′（x）=2x﹣2a=0在（1，3）有解
∴1＜a＜3．g（x）= ﹣2a在区间（0， ）内单调递减，在区间（ ）内单调递增．
∵ ＞1，
∴函数g（x）在区间（1，+∝）上一定有最小值．
故选A
分析：根据函数在区间（1，3）内有极小值先确定a的取值范围，再化简函数g（x）由基本不等式可得答案．
13．【答案】A,B,D
【解析】【解答】幂函数的解析式为，
当时，无论取何值，都有，
图像必过点，A选项正确；
当时，，定义域为，此函数为偶函数，
当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，
所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；
当时，，此函数先单调递减再单调递增，
则都是单调函数不成立，C选项错误；
当时，无论取何值，都有，
所以图像不会位于第四象限，D选项正确；
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合幂函数的图象特征、奇函数和偶函数的定义、单调函数的定义，进而找出幂函数说法正确的选项。
14．【答案】A,D
【解析】【解答】对A，由解析式可知的定义域为，A符合题意；
对B，因为，可知是奇函数，B不正确；
对C，，得，C不正确；
对D， 当时，，当且仅当时取等号，
D符合题意.
故答案为：AD
【分析】 求出函数定义域判断A；判断函数的奇偶性判断B；求得函数 的零点判断C；求出当x > 0时，f (x)的最大值判断D.
15．【答案】A,D
【解析】【解答】解：∵函数 的定义域为Ｒ，且，
∴函数f(x)是奇函数，故A正确；
∵函数
又y=2x在R上单调递增，则在R上单调递增，故B错误；
∵
∴g(-1)≠g(1)，则g(x)不是偶函数，故C错误；
∵2x>0，1+2x>1
∴
∴
∴g(x)=[f(x)]∈{-1，0}，故D错误.
故答案为：AD
【分析】根据函数的奇偶性可判断AC，根据函数的单调性可判断B，根据高斯函数的定义可判断D.
16．【答案】A,B,C
【解析】【解答】对A, 中 为增函数, 为减函数.故 为增函数.故任意的 , 且 ,都有 .A不符合题意.
对B,易得反例 , .故 不成立.B不符合题意.
对C, 当因为 为增函数,且当 时 ,
当 时 .故 无最小值,无最大值.C不符合题意.
对D, ,当且仅当 即 时等号成立. 当 时 .故 有最小值,无最大值.
故答案为：ABC
【分析】根据 与 的单调性逐个判定即可.
17．【答案】
【解析】【解答】 解得 故 .
【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式的被开方数大于等于0，通过解不等式组即可求出相应的定义域.
18．【答案】±2；3
【解析】【解答】函数的定义域为，故有实数根，即，化简得，依题意，这个不等式的解集为，根据根与系数关系有，解得：。
故填：（1）±2；（2）3。
【分析】利用分式函数求定义域的方法，从而求出函数 的定义域，再利用函数 的定义域为， 从而结合判别式法结合函数求值域的方法和函数值域为， 从而结合韦达定理，进而解方程组求出a，b的值。
19．【答案】-3＜a＜1
【解析】【解答】由且，
所以为偶函数，
若时，，
而，
所以，故在上递增，则上递减，
要使成立，即，可得-3＜a＜1。
故答案为：-3＜a＜1。
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，进而判断出函数为偶函数，再利用单调函数的定义，进而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性和偶函数的定义，进而求出使得成立的的取值范围。
20．【答案】（1）函数 是偶函数，且当 时， ，
则 .
（2）设 ，则 ，
所以 ，
又因为函数 是奇函数，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以 .
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义，可得 ， 代入解析式即可求解；
（2）设 ，则 ，代入解析式，由 即可求解。
21．【答案】（1）解：当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2x=x2﹣2x
又f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）
∴f（x）=x2﹣2x
∴
（2）解：
单调递增区间为：（﹣1，0），（1，+∞）
单调递减区间为：（0，1），（﹣∞，﹣1）
【解析】【分析】（1）由已知中，x∈（﹣∞，0]时的解析式为f（x）=x2+2x，我们可由x＞0时，﹣x＜0，代入求出f（﹣x），进而根据y=f（x）是偶函数，得到x＞0时，f（x）的解析式；（2）根据分段函数分段画的原则，结合（1）中函数的解析式，我们易画出函数的图象，结合图象，我们根据从左到右图象上升，函数为增函数，图象下降，函数为减函数的原则，得到函数的单调性．
22．【答案】（1）解：根据图像可知
，
代入 得， ， ，
把函数 的图像向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位，得到函数
在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
且 ，
，
方程 恰好有两个不同的根 ，
的取值范围
令
对称轴为 ，
或
时， ； 时， .
（2）解：由（1）可知
对任意 都有 恒成立
令
，是关于 的二次函数，开口向上
则 恒成立
而 的最大值，在 或 时取到最大值
则 ， 解得
所以 ，则 的最大值为 .
【解析】【分析】（1）根据图像，求出A，结合周期求出，代入特殊点即可得到函数的表达式，根据函数的根求出相应的值即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的最值，结合不等式组求解，即可得到m的最大值.
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