湖北省宜昌市宜都市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省宜昌市宜都市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 901.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-27 22:33:10 | ||
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文档简介
宜都市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知，则（ ）
A.-19 B.-20 C.20 D.19
2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
3.从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为1，2）的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个随机事件是（ ）
A.至少有1个白球，都是白球
B.至少有1个白球，至少有1个红球
C.恰有1个白球，恰有2个白球
D.至少有1个白球，都是红球
4.已知一组数据从小到大为，若这组数据的分位数是中位数的两倍，则（ ）
A.12 B.11 C.10 D.9
5.已知直线与直线平行，则（ ）
A.0 B.0或 C. D.0或
6.若方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.两定点的距离为3，动点满足，则点的轨迹长为（ ）
A. B. C. D.
8.若直线：平分圆的面积，则的最小值为（ ）.
A.6 B.8 C.4 D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.
9.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A.的倾斜角等于
B.在轴上的截距等于
C.与直线垂直
D.与直线平行
10.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兄奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果每次兑奖活动中奖概率都是0.05，且每次中奖互不影响，则两次抽奖中（ ）
A.都中奖的概率为0.05
B.都没有中奖的概率为0.95
C.恰有一次中奖的概率为0.095
D.至少有一次中奖的概率为0.0975
11.设有一组圆，下列命题正确的是（ ）
A.不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B.所有圆均不经过点
C.经过点的圆有且只有一个
D.所有圆的面积均为
12.如图，正方体的棱长为分别为的中点，则（ ）
A.直线与直线垂直
B.直线与平面平行
C.平面截正方体所得的截面面积为
D.点与点到平面的距离相等
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.平行线与间的距离为__________.
14.已知，若四点共面，则__________.
15.已知棱长为1的正方体为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是__________.
16.点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
18.（12分）
如图，二面角的大小为，四边形与均为正方形，，，记.
（1）请用表示，并求；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
19.（12分）
如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段的中点.
（1）求证：
（2）求三棱锥的体积.
20.2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行 也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率.
21.已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.
（1）已知点 点和点分别是三条直线上的点（与均不重合），且直线是“共轭线对”，直线是“共轭线对”，直线是“共轭线对”，求点的坐标；
（2）已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线的距离之积的取值范围.
22.如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是.
（1）证明：平面平面；
（2）设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，请说明理由.
宜都市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1-4DACC 5-8CAAB
9.CD 10.CD 11.ABD 12.BC
13. 14.5 15. 16.
17.【详解】（1）直线的方程为，
化简可得，
所以点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，得
，即
解得；
故所求圆的方程为.
18.【详解】（1）由已知得：，
，
∴，
∴
（2）四边形与均为正方形，平面平面，
所以即二面角的大小为，且
∴，
∴===，
∴异面直线AB与PQ所成角的余弦值为.
19.【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
，
所以，显然，易知两者不共线，
所以有；
（2）由（1）可得：，
所以，
设平面的法向量为，
所以有，
因此点到平面的距离为，
在等腰三角形中，，
所以等腰三角形的面积为，
所以三棱锥的体积为
20.【详解】（1）解：由频率分布直方图性质得：
，
解得
平均数为
，
∴估计样本数据的平均数为157.6；
（2）解：采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，
则中抽取人，
分别记为，，，，中抽取人，分别记为，，
现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，共15个，
抽取的2人恰好观看时长在基本事件有：
，，，，，共6个，
所以抽取的3人中恰有2人的观看时长在的概率为.
21.【详解】（1）设直线RP，PQ，QR的斜率分别为，，，
则，得，，或，，.
当，，时，直线RP的方程为，直线PQ的方程为，
由，解得，则；
当，，时，直线PR的方程为，直线PQ的方程为，
由，解得，则；
故所求为或；
（2）设：，：，其中，
故
由于（等号成立的条件是），
故，.
22.【详解】（1）因为为正方形，所以，又，，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，即，
又平面平面，，
所以平面，即为二面角的平面角，即，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，即，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
（2）由点在上，设点，其中，点，
所以，平面的法向量可以为，
设与平面所成角为，
则，
即，化简得，
解得或（舍去），
所以存在点满足条件，且点到平面的距离为
数学
一 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知，则（ ）
A.-19 B.-20 C.20 D.19
2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
3.从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为1，2）的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个随机事件是（ ）
A.至少有1个白球，都是白球
B.至少有1个白球，至少有1个红球
C.恰有1个白球，恰有2个白球
D.至少有1个白球，都是红球
4.已知一组数据从小到大为，若这组数据的分位数是中位数的两倍，则（ ）
A.12 B.11 C.10 D.9
5.已知直线与直线平行，则（ ）
A.0 B.0或 C. D.0或
6.若方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.两定点的距离为3，动点满足，则点的轨迹长为（ ）
A. B. C. D.
8.若直线：平分圆的面积，则的最小值为（ ）.
A.6 B.8 C.4 D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.
9.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A.的倾斜角等于
B.在轴上的截距等于
C.与直线垂直
D.与直线平行
10.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兄奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果每次兑奖活动中奖概率都是0.05，且每次中奖互不影响，则两次抽奖中（ ）
A.都中奖的概率为0.05
B.都没有中奖的概率为0.95
C.恰有一次中奖的概率为0.095
D.至少有一次中奖的概率为0.0975
11.设有一组圆，下列命题正确的是（ ）
A.不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B.所有圆均不经过点
C.经过点的圆有且只有一个
D.所有圆的面积均为
12.如图，正方体的棱长为分别为的中点，则（ ）
A.直线与直线垂直
B.直线与平面平行
C.平面截正方体所得的截面面积为
D.点与点到平面的距离相等
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.平行线与间的距离为__________.
14.已知，若四点共面，则__________.
15.已知棱长为1的正方体为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是__________.
16.点在动直线上的投影为点，若点，那么的最小值为__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
18.（12分）
如图，二面角的大小为，四边形与均为正方形，，，记.
（1）请用表示，并求；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
19.（12分）
如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段的中点.
（1）求证：
（2）求三棱锥的体积.
20.2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行 也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率.
21.已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.
（1）已知点 点和点分别是三条直线上的点（与均不重合），且直线是“共轭线对”，直线是“共轭线对”，直线是“共轭线对”，求点的坐标；
（2）已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线的距离之积的取值范围.
22.如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是.
（1）证明：平面平面；
（2）设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，请说明理由.
宜都市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1-4DACC 5-8CAAB
9.CD 10.CD 11.ABD 12.BC
13. 14.5 15. 16.
17.【详解】（1）直线的方程为，
化简可得，
所以点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，得
，即
解得；
故所求圆的方程为.
18.【详解】（1）由已知得：，
，
∴，
∴
（2）四边形与均为正方形，平面平面，
所以即二面角的大小为，且
∴，
∴===，
∴异面直线AB与PQ所成角的余弦值为.
19.【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
，
所以，显然，易知两者不共线，
所以有；
（2）由（1）可得：，
所以，
设平面的法向量为，
所以有，
因此点到平面的距离为，
在等腰三角形中，，
所以等腰三角形的面积为，
所以三棱锥的体积为
20.【详解】（1）解：由频率分布直方图性质得：
，
解得
平均数为
，
∴估计样本数据的平均数为157.6；
（2）解：采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，
则中抽取人，
分别记为，，，，中抽取人，分别记为，，
现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，共15个，
抽取的2人恰好观看时长在基本事件有：
，，，，，共6个，
所以抽取的3人中恰有2人的观看时长在的概率为.
21.【详解】（1）设直线RP，PQ，QR的斜率分别为，，，
则，得，，或，，.
当，，时，直线RP的方程为，直线PQ的方程为，
由，解得，则；
当，，时，直线PR的方程为，直线PQ的方程为，
由，解得，则；
故所求为或；
（2）设：，：，其中，
故
由于（等号成立的条件是），
故，.
22.【详解】（1）因为为正方形，所以，又，，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，即，
又平面平面，，
所以平面，即为二面角的平面角，即，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，即，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
（2）由点在上，设点，其中，点，
所以，平面的法向量可以为，
设与平面所成角为，
则，
即，化简得，
解得或（舍去），
所以存在点满足条件，且点到平面的距离为
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