4.2 指数函数 一课一练（含解析）

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4.2 指数函数一课一练
一、单选题
1．已知集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
2．设集合，，则MN=（　　）
A．{} B．{}
C．{} D．{}
3．函数 是指数函数，则 的值是（　　）
A．4 B．1或3 C．3 D．1
4．已知函数f（x）=ax﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标是（　　）
A．（0，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（1，1）
5．函数 且 图象一定过点
A． B． C． D．
6．函数y=ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（　　）
A．（1，4） B．（0，3） C．（4，1） D．（3，0）
7．已知数列 满足 ，若对于任意 都有 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
8．已知函数 ， 且 的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量 （单位：mg）随时间 （单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中， 与 成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 （ 为常数），则（　　）
A．当 时，
B．当 时，
C． 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到 以下
D． 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到 以下
三、填空题
10．函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，若点A在直线 上，其中 ， ，则mn的最大值为　 　.
11．已知函数 的图象恒过点M，则M的坐标为　 　.
12．在做好疫情防护工作时，常常用到酒精消毒.某人从盛有1L纯酒精的容器中倒出L，然后用水填满：再倒出L，又用水填满，连续进行5次操作，容器中的纯酒精还剩下多少　 　L.
四、解答题
13．已知集合 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求实数 的取值范围.
14．某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 与时间th之间的关系为 其中 表示初始废气中污染物数量，e是自然对数底数 经过5个小时后，经测试，消除了 的污染物．
（1）问：15小时后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少 需要花多长时间．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】 ， ，
.
故答案为：B.
【分析】根据题意首先由一元二次不等式的解法，求解出不等式的解集由此得出集合A，再由指数不等式结合指数函数的单调性即可求出不等式的解集，由此得出集合B，然后由交集的定义结合不等式即可得出答案。
2．【答案】A
【解析】【分析】由对数的性质得，，
，故，选A.
3．【答案】C
【解析】【解答】由题意 ，解得 ．
故答案为：C．
【分析】由已知利用指数函数的概念列式，即可求出a的值.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：已知函数f（x）=ax﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，
∴因为指数函数y=ax恒过点（0，1），
∴当x=1时，x﹣1=0，可得y=a0=1，
∴函数f（x）=ax﹣1恒过点（1，1），
故选D；
【分析】已知函数f（x）=ax﹣1（a＞0，且a≠1），根据指数函数的性质，把x=1代入即可求解；
5．【答案】C
【解析】【解答】∵f(x)=ax-3+1（a＞0，且a≠1），
∴当x-3=0，即x=3时，f(3)=a0+1=2，
∴函数f(x)=ax-3+1（a＞0，且a≠1）的图象一定过定点（3，2）.
故答案为：C.
【分析】由a0=1(a>0 且 可得函数图象一定过的点坐标 .
6．【答案】A
【解析】【解答】解：f（x）=ax﹣1+3的图象可以看作把f（x）=ax的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到，
且f（x）=ax一定过点（0，1），
则f（x）=ax﹣1+3应过点（1，4）
故选A．
【分析】通过图象的平移变换得到f（x）=ax﹣1+3与y=ax的关系，据y=ax的图象恒过（0，1）得到f（x）恒过（1，4）
7．【答案】C
【解析】【解答】由题意，对于任意的 都有 ，所以数列 为单调递减数列，
由 时， ，根据指数函数的性质，可知 ，且，
①当 时， 时， 单调递减，而 时， 单调递减，
所以 ，解得 ，所以 ；
②当 时， 时， 单调递增，不符合题意（舍去），
综上可知，实数 的取值范围是 ，
故答案为：C．
【分析】由题意得到数列 为单调递减数列，可知 ，且，分 和 两种情况讨论，即可求出实数 的取值范围.
8．【答案】C,D
【解析】【解答】由指数函数图象可知： ， A不符合题意，B不符合题意，D符合题意；
由 得： ，C符合题意.
故答案为：CD.
【分析】根据题意由已知条件结合指数函数的图象和性质，对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】A,D
【解析】【解答】解：当 时，设 ，则 ，故 ，即 ，故 正确；
当 时，把 代入 可得： ， ，即 ，故 错误；
令 ，即 ， ，解得 ，故 错误， 正确．
故答案为：AD．
【分析】 利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】
【解析】【解答】解：∵函数 （ 且 ）的图象恒过定点A， ，
点A在直线 上， ，
又 ， ， ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以mn的最大值为 ，
故答案为： .
【分析】首先把点的坐标代入到指数函数的解析式求出点A的坐标，再由点在直线上代入求出，整理结合基本不等式即可求出时，取得最大值即可。
11．【答案】(0,3)
【解析】【解答】因为 恒过定点 ，
又函数 是由 向上平移2个单位得到，
故 恒过定点(0,3).
故答案为：(0,3).
【分析】根据函数平移，结合指数函数恒过定点 即可求得.
12．【答案】或（写出其中的一个即可）.
【解析】【解答】第1次操作，L纯酒精，倒出L，剩余纯酒精L，用水填满至L，酒精浓度为；
第2次操作，L浓度为的酒精溶液，倒出L，剩余浓度为的溶液L，其中含有纯酒精L，用水填满至L，酒精浓度为；
第3次操作，L浓度为的酒精溶液，倒出L，剩余浓度为的溶液L，其中含有纯酒精L，用水填满至L，酒精浓度为；
第4次操作，L浓度为的酒精溶液，倒出L，剩余浓度为的溶液L，其中含有纯酒精L，用水填满至L，酒精浓度为；
第5次操作，L浓度为的酒精溶液，倒出L，剩余浓度为的溶液L，其中含有纯酒精L，用水填满至L，酒精浓度为.
故连续进行5次操作，容器中的纯酒精还剩下L.
故答案为：或（写出其中的一个即可）.
【分析】利用已知条件结合指数函数的模型，进而求出连续进行5次操作，容器中的纯酒精还剩下的纯酒精的容量。
13．【答案】（1）解：由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以
（2）解：由 ，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
【解析】【分析】(1)根据题意由指数函数的单调性即可求出x的取值范围，由此得到集合A，再由补集和并集的定义结合不等式即可得出答案。
(2)由已知条件即可得到，结合集合之间的关系对边界点进行限制，由此得到关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
14．【答案】（1）解：由题意得，
，
则 ，
故当 时，
,
．
故15个小时后还剩 的污染物
（2）解：由题意， ，
即 ，
即 ，
，即 ，
故污染物减少 需要花10小时．
【解析】【分析】(1)由题意得 ，从而可得 ，代入 即可求出答案；
(2)由题意得 ，利用(1)从而解得t的范围。
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