专题18.58平行四边形 全章复习与巩固 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题 18.58 平行四边形（全章复习与巩固）
（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在中，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是(　　)
A． B． C． D．
3．已知矩形的两条对角线、相交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为( )
A． B． C． D．
5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）
A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
6．已知在菱形中，，，则菱形的面积为（ ）
A．160 B．80 C．40 D．96
7．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
8．已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的有（　　）
①当时，它是菱形；
②当时，它是菱形；
③当时，它是矩形；
④当时，它是正方形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，连接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则的度数为（　　）
A．50° B．60° C．80° D．90°
二、填空题
11．如图，在中，，，D是的中点，则 °．
12．已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为 ．
13．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．
14．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF=，则BD的长为 （结果保留很号）．
15．小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，是以菱形的对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ．
17．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °．
18．如图，以的三边为边在上方分别作等边、、．且点A在内部．给出以下结论：
①四边形是平行四边形；
②当时，四边形是矩形；
③当时，四边形是菱形；
④当，且时，四边形是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
三、解答题
19．如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．
(1)求证：∠ACB＝∠DFE；
(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．
20．如图，在中，交于点，点在上，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若求证：四边形是菱形．
21．如图，已知等边，于，，为线段上一点，且，连接，BF，于，连接．
（1）求证：；
（2）试说明与的位置关系和数量关系．
22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
23．在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得
(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
24．如图，在巾，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．

(1)当时，___________；
(2)探究与之间的数量关系，并给出证明；
(3)设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据平行四边形的性质，得出，再根据平行线的性质，得出，与题意联立方程组，解出即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴可得：，
解得：，
∴的度数为．
故选：B
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、解二元一次方程组，解本题的关键在得出．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解，
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，，，，
，故D正确；
平分，
，
，
，故C错误；
，
，故A正确；
，
，故B正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．A
【分析】根据矩形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示，
在矩形中，，，，
故B、C、D选项结论正确，
当四边形为菱形或正方形时，成立，
故结论不一定正确的是A选项，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，矩形的对边互相平行且相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等．
4．C
【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°
5．C
【详解】如图所示，
∵菱形的周长为8cm，
∴菱形的边长为2cm，
∵菱形的高为1cm，
∴sinB=
∴∠B=30°，
∴∠C=150°，
则该菱形两邻角度数比为5：1，
故选C．
6．D
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵在中， ，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
7．B
【详解】解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
8．B
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐一判断各项即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴当时，不能判断它是菱形（对边相等是平行四边形的性质），故①错误，
当时，它是菱形，故②正确，
当时，它是矩形，故③正确，
当时，它是矩形，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
9．B
【分析】连接，，根据点B与D关于对称，得出，从而得出，即最小值为值为的长，求出的长即可．
【详解】解：连接，，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴点B与D关于对称，
∴，
∴，
∴最小值为的长，
∵正方形的面积为12，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，
∴最小值为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质得出的长为的最小值．
10．C
【分析】由翻折的性质知∠BAE==50°，=AB，再由菱形的性质得∠BAD=120°，=AD，最后利用三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C=120°，
∴∠BAD=∠C=120°，AB=AD，
∵将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，
∴∠BAE==50°，=AB，
∴=100°，=AD，
∴=20°，
∴==（180°-20°）÷2=80°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出=20°是解题的关键．
11．36
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，则等边对等角求得．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵D为线段的中点，
∴，
∴，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
12．48
【分析】如图，先根据勾股定理求出，再由求解即可．
【详解】解：在矩形ABCD中，，，
∴在中，(cm)，
∴．
故答案为：48．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知上述知识．
13．3
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12厘米．
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6厘米．
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线．
∴EF=AB=3厘米．
故答案为：3
14．
【分析】连接AC交BD于H，证明△DCH≌△DCF，得出DH的长度，再根据菱形的性质得出BD的长度．
【详解】解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，
又∵∠ECM=30°，
∴∠DCF=50°，
∵DF⊥CM，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=40°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC=40°，
在△CDH和△CDF中，，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DH=DF=，
∴DB=2DH=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出∠HDC=∠FDC是这个题最关键的一点．
15．
【分析】判定△AB′D′是等腰直角三角形，即可得出AB′=AD，再根据AB′= AB，再计算即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠DAB=90°，
由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，
∴△AB′D′是等腰直角三角形，
∴AD=AD′= B′D′，
由勾股定理得AB′=AD，
又由操作二可知：AB′=AB，
∴AD=AB，
∴=，
∴A4纸的长AB与宽AD的比值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换的运用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．
【分析】根据菱形的性质和等腰三角形的性质，进行计算，即可得到答案．
【详解】解：如图：
∵点与点关于轴对称，
∴，，
是以菱形的对角线为边的等边三角形，，
，
，
在菱形中，，，
∴，，
∴，
在中，，∴，
∴
又∵，
∴
∴，
，
点的坐标是．
故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质和平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和平面直角坐标系．
17．135
【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∴∠2+∠BCP＝45°
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BCP＝45°
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP
∴∠BPC＝135°
故答案为：135．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
18．①②③④
【分析】对于结论①，由等边三角形的性质可得，，则；同理，由，得，由，即可得出四边形是平行四边形；对于结论②，当时，
，结合结论①，可知结论②正确；对于结论③，当时，，结合结论①，可知结论③正确；对于结论④，综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形，故结论④正确．
【详解】解析：①、是等边三角形，
，，，
，
，
，
同理由，得，
由，即可得出四边形是平行四边形，故结论①正确；
②当时，
，
由①知四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故结论②正确；
③由①知，，四边形是平行四边形，
当时，，
平行四边形是菱形，故结论③正确；
④综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形，
四边形是正方形，故结论④正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法，熟练掌握以上图形的判定方法是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)四边形BFEC是平行四边形
【分析】（1）证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，则BC∥EF，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵AF=CD，
∴AF ＋ CF = CD ＋ CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
△ABC≌△DEF（SSS）
（2）如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB=∠DFE，
∴BC EF，
又∶ BC = EF，
四边形BFEC是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行网边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出，，再根据，得出，即可证明结论；
（2）先证明，得出，证明四边形ABCD为菱形，得出，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形ABCD为菱形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．
21．（1）详见解析；（2），，理由详见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，，由“”可证，可得；
（2）由可得，进而可得，由即可证明是等边三角形，可得，由三角形中位线定理可得，．
【详解】（1）∵是等边三角形，
，，
∵，，
∴，，
∵，
，
，
，且，，
，
，
（2），.理由如下：
连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
是等边三角形，
∵，
，且，
，.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键．
22．（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE．
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD．
在△AFE和△DBE中，
∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE，
∴△AFE≌△DBE（AAS）
∴AF=BD．
∴AF=DC．
（2）四边形ADCF是菱形，证明如下：
∵AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=DC．
∴平行四边形ADCF是菱形．
23．(1)见解析
(2)；证明见解析
【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；
（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴．
（2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵，CM＝CB，
∴ 垂直平分BM，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，即，
∵，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先由折叠的性质可得，再由等腰三角形的性质可求解；
（2）首先由折叠的性质可得，，再由等腰三角形的性质可得，，最后根据角度关系即可求解；
（3）首先由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，最后根据面积和差关系可求解．
【详解】（1），，，
，
将沿折叠得到，
，
，
∴△ABE是等边三角形，
，
故答案为：60；
（2），理由如下：
将沿折叠得到，
，，
，，
，
，
，
；
（3）如图，连接，
，点是的中点，
，
，，
，，
，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质并能够灵活运用．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页