专题18.59平行四边形 全章复习与巩固 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题 18.59 平行四边形（全章复习与巩固）
（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．在平行四边形中，，，，则AC=（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形ABCD，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，AB=3，AD=5，则EF的长为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
3．如图，在中，，，是边的中点，是的中点，若，则的长是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． ， B．，
C． ， D． ，
5．如图，矩形中，，两条对角线所夹的钝角为，则对角线的长为(　　)
A．3 B．6 C． D．10
6．在中，，点P在边上，，，（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．如图，菱形的边的垂直平分线交于点，交于点，连接．当时，（　　）
A．15° B．30° C．40° D．50°
8．下列说法正确的个数有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形
②对角线相等的四边形是矩形
③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
④平行四边形不是中心对称图形
⑤顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形一定是菱形
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形是平行四边形，过点A作于点M，交于点E，过点C作于点N，交于点F，连接，若，点M为的中点，，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．平行四边形的两条对角线长分别为3和5，则其中一条长为整数的边可以是 ．
12．如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是 ．
13．如图，在中，平分，且于点，交于点E，，，那么的周长为 cm．
14．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，若AB＝8，AD＝4，则BD的长为 ．
15．如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，， ．
16．如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形，要使四边形是菱形，可添如条件 ．
17．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则 ．
18．如图，已知正方形中，边长为10cm，点在边上，cm．如果点在线段上以2 cm/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以cm/秒的速度由点向点运动，设运动的时间为秒，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，则 ．
三、解答题
19．如图，在平行四边形中，平分交于点E．若，求的面积．
20．如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．
(1)求证：四边形是平行四边形
(2)若，，求平行四边形的面积．
21．如图，已知，延长到E，使，连接，，，若．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
22．如图，已知垂直平分，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，求的长．
23．如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求的长．
24．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接．
(1)连接，求证：．
(2)求证：矩形是正方形．
(3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由直角三角形的性质可求BE=2，AE=，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点A作于，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．B
【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的概念可得，，由等角对等边得，，再由求出EF的长即可．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，
∴，，
∴，，
∵BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的概念，证明，是解答本题的关键．
3．D
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．
【详解】解：在中，，，，
，
是边的中点，是的中点，
是的中位线，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【详解】解：A、，，不能判定四边形为平行四边形；
B、，，不能判定四边形为平行四边形；
C、，，能判定四边形为平行四边形；
D、，，不能判定四边形为平行四边形；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
5．B
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据矩形的对角线互相平分可得．
【详解】解：在矩形中，，
∵两条对角线所夹的钝角为
，
是等边三角形，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质并判断出是等边三角形是解题的关键．
6．D
【分析】由勾股定理求出的长，若，则是的平分线，由可知；若时，证明，可得，进而可得答案．
【详解】解：在中，，，，
∴，
如图1，若，则是的平分线，
∵，
∴，故A选项错误；
如图2，若时，
∵，
∴，
∴，
∴，此时，故选项B，C错误，选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
7．B
【分析】连接，利用判定，从而得到，根据已知可得出的度数，从而得的度数．
【详解】如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
∵，
∴
∴
∵垂直平分，，
∴
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，菱形的性质，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，利用判定是关键．
8．B
【分析】①根据平行四边形的判定方法进行判断；②利用矩形的判定方法进行判断；③利用正方形的判定方法进行判断；④根据平行四边形的对称性进行判断；⑤利用中位线定理以及菱形的判定方法进行判断．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①正确；
对角线相等且平分的四边形是矩形，故②错误；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故③正确；
平行四边形是中心对称图形，故④错误；
顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形一定是菱形，故⑤正确；
综上，正确的有①③⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查（特殊）平行四边形的判定，以及平行四边形的对称性．熟练掌握（特殊）平行四边形的判定方法，是解题的关键．
9．A
【分析】先根据正方形的性质、三角形的外角性质可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形的性质即可得．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
10．C
【分析】根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知；然后由全等三角形的判定定理推知；最后根据全等三角形的对应边相等知，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接交于点O，根据推知平行四边形是菱形，根据菱形的邻边相等知；然后结合已知条件证得，所以，从而证得是正三角形；最后在中，求得，利用等量代换求解即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴；
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∵M是的中点，，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
在中，，
又∵，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得 ABCD是菱形是解题的难点．
11．2或3##3或2
【分析】利用平行四边形的性质，三角形三边关系定理计算判断即可．
【详解】设四边形是平行四边形，对角线交点为O，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的边长为整数，
∴，
故答案为：2或3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
12．4
【分析】由于四边形是菱形，是对角线，根据，而，易证是等边三角形，从而可求的长．
【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵菱形的周长是16，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明是等边三角形．
13．4
【分析】先由等腰三角形的性质得，再证，然后由三角形中位线定理得，即可解决问题．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵于D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴的周长．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
14．
【分析】根据，，，可以得到的长，再根据平行四边形的性质，可以得到和的长，然后根据勾股定理即可求得的长．
【详解】四边形是平行四边形，
，
，，，
，，
，
作交的延长线于点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
15．3
【分析】由折叠可知，，再由，得到，即可得到，于是得到，设，则，，在中，由勾股定理求出的值，即可求解；
【详解】解：由折叠可知，，
，
，
，
，
，
．
设，则，，
在中，由勾股定理得：即，
解得：，
．
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识，此题难度不大．
16．（答案不唯一）
【分析】根据三角形的中位线定理，得到：，根据四边相等的四边形是菱形，可以得到当时，即可得到四边形是菱形．
【详解】解：∵E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，
∴，
∵四边相等的四边形是菱形，
∴当时，，
此时四边形是菱形；
∴可添加的条件为：；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，以及菱形的判定．熟练掌握三角形的中位线是第三边的一半，四边相等的四边形是菱形，是解题的关键．
17．
【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出是等腰三角形，从而求出的度数，进而求出的度数即可．
【详解】解： ∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，利用等边对等角求角的度数，是解题的关键．
18．2或
【分析】分两种情况：当时和当时，根据边对应相等，分别求出的值即可．
【详解】解：当时，
此时，
则有，，
此时，
当时，
此时，
则有，，
此时，
综上所述，的值为2或，
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质、正方形的性质，采用分类讨论的思想是解题的关键．
19．
【分析】延长，过点作于点K，根据平行四边形的性质和平行线的性质，结合角平分线定义证明，得出，根据三角形外角求出，根据直角三角形性质求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】解：延长，过点作于点K，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，三角形的外角，解题的关键是作出辅助线，求出，．
20．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到，由，，可证得四边形是平行四边形；
（2）首先过点作于，过点作于，由，平分，可求，的长度，进而可得平行四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴
∴四边形为平行四边形．
（2）过点作于，过点作于，
∵，平分，，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查平行四边形的判定及计算平行四边形的面积，含的直角三角形，添加辅助线构造含的直角三角形是解决问题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的判定定理证明；
（2）根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵，
∴．
∵矩形中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，根据全等三角形的判定和性质、平行线的性质得出，进而即可得证；
（2）证明根据是菱形，根据菱形的性质分析，设则，勾股定理求得，进而勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，
，
如图，设交于点，
设则
即
解得：，即，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据全等三角形的判定和平行四边形的判定分析．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；
（2）由菱形的性质可得，，，可求，，即可得出答案．
【详解】（1）解：证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
．
，
平行四边形是矩形，
．
．
平行四边形是菱形
（2）由（1）得：四边形是矩形，四边形是菱形，
，，，，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识；灵活运用有关性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)的值是定值，定值为4．
【分析】（1）根据正方形的性质以及边角边的关系证明即可得到结论；
（2）作出辅助线，得到，然后判断，得到，则有即可证明矩形是正方形；
（3）同（法判断出得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵点E是正方形对角线上的点，
∴，，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，作，
∴，
∵点E是正方形对角线上的点，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∴矩形是正方形；
（3）解：的值是定值，定值为4．
理由：∵四边形、都是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
答案第1页，共2页
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