专题18.54平行四边形动点问题（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知

专题18.54 平行四边形动点问题（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，直线，点Q是直线上的动点，点C和点D是直线上的定点，当点Q从左向右运动时，的面积将（ ）．
A．不变 B．变大 C．变小 D．无法确定
2．如图，在中，，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．不确定
3．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝6，E，F分别是边AC，BC上的动点，当四边形DEBF为平行四边形时，该四边形的面积是（　　）
A．3 B．6 C． D．81
4．如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
6．在菱形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E为AB边上一动点（点E不与点A，B重合），连接EO并延长交CD于点F，连接AF，CE，若四边形AECF一定不是矩形，则∠BAD应满足的条件是（　　）
A．0°＜∠BAD≤90° B．45°＜∠BAD≤135°
C．90°＜∠BAD＜180° D．0°＜∠BAD＜180°
7．如图，在菱形中，是线段上一动点（点不与点重合），当是等腰三角形时，的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
8．如图，正方形ABCD的边长为，点E，F分别是对角线AC的三等分点，点P是边AB上一动点，则PE+PF的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD中，E为BD上的一个动点（不与B重合），BE＜DE，连接CE并延长交DA延长线于点F．图中∠F与∠BAE相等的是（　　）
A．∠ABE B．∠BDC C．∠AEF D．∠AFE
10．如图，点A、B为定点，定直线，点P是l上一动点，点M、N分别为PA、PB的中点，对于下列各值：
①线段MN与AB的比值；
②的面积；
③的周长；
④直线MN、AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中随着点P的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②⑤ C．③⑤ D．①②④
二、填空题
11．如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为 ．
12．如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是 ．
13．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AB=6cm，AD=12cm，BC=15cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，当运动时间t= s时，PQCD，且PQ=CD．
14．如图，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边中线，点E是AB边上一动点，以EA，ED为边作平行四边形AEDF．
（1）AD的长为 ．
（2）EF的最小值为 ．
15．如图，在矩形中，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的长度是 ，的最小值是 ．
16．如图，长方形中，，．点为线段上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，为
17．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上 动点，连接PC，当PC＋的值最小时，线段PD的长是 ．
18．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→ 的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2021s时，点P的坐标为 ．
19．如图，在中，，，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为 ．
20．如图，在正方形ABCD中，，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE，FG，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为2，其中正确的结论是 ．（只填序号）
三、解答题
21．如图，在平行四边形ABCD中，点M是边AD上的点，连接MB，MC，点N为BC边上的动点，点E，F为MB，MC上的两点，连接NE，NF，且∠BNE＝∠CMD，∠BEN＝∠NFC．求证：四边形MENF为平行四边形．
22．如图，点O是内任意一点，G、D、E分别为、、的中点，F为上一动点，问四边形能否为平行四边形？若可以，指出F点位置，并给予证明．
23．如图，在矩形中，，，点P在边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．
(1)用含t的式子表示线段的长度：______cm，
(2)当时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．
(3)当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．
24．如图，已知，在中，，，，点和点是动点，分别从，出发，以相同的速度沿，边上运动．
(1)判断与的数量关系，并说明理由．
(2)若，请直接写出四边形的面积．
(3)如图，当点运动到点后，将改变方向沿着运动，此时，点在延长线上，过作于点，过点作交延长线于，求证：．
25．如图，矩形中，点是线段上一动点，为的中点，的延长线交于．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，从点出发，以/秒的速度向运动（不与重合），设点运动时间为秒；
①请用表示的长；
②求为何值时，四边形是菱形．
26．如图，在中，点F是的中点，点E是线段的延长线上的一动点，连接，过点C作，与线段的延长线交于点D，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，在点E的运动过程中，当______时，四边形是菱形．
27．如图，在中，点是边上的一个动点（点不与、两点重合），过点作直线，直线与的平分线相交于点，与（的外角）的平分线相交于点．
(1)与相等吗？为什么？
(2)探究：当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
(3)在（2）中当等于多少时，四边形为正方形（不要求说理由）
28．在中，点和点是直线上不重合的两个动点，，．
（1）如图①，求证：；
（2）由图①易得，请分别写出图②，图③中，，三者之间的数量关系，并选择一个关系进行证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，若，，则______．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据平行线间的距离处处相等，可知的高不变，再结合点C和点D是直线上的定点，易知底边CD的长也是不变的，由三角形面积公式判断的面积不变．
【详解】解：∵，根据平行线间的距离处处相等，
∴点Q到的距离不变，即的高不变，
∵点C和点D是直线上的定点，
∴的底边CD的长也是不变的，
∴的面积不变．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形面积公式，熟练掌握平行线间的距离处处相等是解题关键．
2．B
【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得．
【详解】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．
3．C
【分析】由平行四边形的性质可得∠DEC=∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质可得AE=CE=DE，根据含30°的直角三角形的性质可求解AC的长，即可求得DE=CD=，利用四边形的面积公式可求解．
【详解】解：由题意得，当四边形DEBF为平行四边形时，BC∥DE，
∴∠DEC=∠ACB=90°，
∵AD=CD，
∴AE=CE=DE，
∵∠BAC=30°，AB=6，
∴BC=3，AC=9，
∴DE=CE=，
∴四边形DEBF的面积为：DE CE=，
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，含30° 角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，求解DE=CE=是解题的关键．
4．C
【分析】根据四边形APCQ是平行四边形得到AQ＝PC，再由垂线段最短得到：当PC⊥AB时AQ的值最小，根据面积求PC即可；
【详解】解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ＝PC，
由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小，
∵AB＝10，△ABC的面积是25，
∴PC＝5，
∴AQ＝5，
故选：C．
【点睛】此题利用三角形面积考查平行四边形相关知识点，难度一般，灵活运用是关键．
5．C
【分析】连接，由翻折可得，，，则，要求的值最小，即求的最小值，以此得出当点G与点B重合时，最小，设，则，，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：连接，
以翻折后，点与点重合，
，，，
四边形为矩形，，
，
，
当的最小时，最小，
由图可知，当点与点重合时，最小，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠问题、勾股定理，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是能找到点G与点B重合时，最小，这是解答本题的突破口．
6．A
【分析】根据四边形AECF一定不是矩形得到∠EAF≠90°，又点E不与A、B重合，∠EAF＜∠BAD，即可求得∠BAD应满足的条件．
【详解】解：如图所示，
∵ 四边形AECF一定不是矩形
∴ ∠EAF≠90°
∵点E不与A、B重合
∴∠EAF＜∠BAD
∴当时，，
故选：A
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质，得到∠EAF＜∠BAD是解答此题的关键．
7．C
【分析】在菱形ABCD中，，根据菱形的性质得到 ∠ABD=∠ABC=40°，再分三种情况讨论，当AE=BE时，当AB=BE时，当时，从而根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，，
，，，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE=BE，或AB=BE，或，
当AE=BE时，
∴∠ABE=∠BAE=40°，
∴；
当AB=BE时，
∴∠BAE=∠AEB=，
∴∠DAE=，
当时，与重合，不合题意舍去，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE=30°或60°，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握分类讨论是解题的关键．
8．D
【分析】作点E关于边所在直线的对称点，连接交于点P，此时有最小值，利用正方形的性质得出，再利用勾股定理求解．
【详解】解：作点E关于边所在直线的对称点，连接交于点P，
此时有最小值，
∵在正方形中，
∴，
∴，
∴，
∵点E，F分别是对角线的三等分点，
∴，
∴的最小值．
故选：D．
【点睛】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
9．D
【分析】根据平行线的性质可知，再根据正方形的性质证明即可证得，根据平行线的性质从而得出结论．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，证明是解题的关键．
10．C
【分析】求出AB长为定值，P到A B的距离为定值，再根据三角形的中位线即可判断①②④；根据运动得出PA + PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化，即可判断③⑤．
【详解】∵A、B为定点，
∴AB长为定值，
∵点M， N分别为PA，PB的中点，
∴MN =AB为定值，故①不正确；
∵点A，B为定点，定直线l// AB，
∴P到A B的距离为定值，
∴△PAB的面积为定值．
故②④不正确；
当P点移动时，PA + PB的长发生变化，
∴ PAB的周长发生变化，故③正确；
当P点移动时，∠APB发生变化，故⑤正确；
故选： C．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的应用，能熟记三角形的中位线定理是解此题的关键，用了运动观点的思想．
11．
【分析】如图所示，作点关于的对称点，且点在上，则，当在同一条直线上时，有最小值，证明四边形是平行四边形，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，
∵是等边三角形，，
∴，
∴点在上，
∴，则，当在同一条直线上时，有最小值，
∵点关于的对称点，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，即，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称—最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称—最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
12．
【分析】过点A作直线的对称点F，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，过点E作直线的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作直线的对称点F，连接，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，
∵点A与点F关于直线对称，
∴，，则，
∴是等边三角形，
∵在中，，
∴，
过点E作直线的垂线，垂足为点G，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
13．4
【分析】根据，时，四边形为平行四边形，得出PQ=CD，PD=CQ，用t表示出PD、CQ即可列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意可知，AP=t，则，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴，
解得：，
即t=4s时，，且PQ=CD．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解一元一次方程，根据题意列出关于t的方程，是解题的关键．
14．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得BD=4，再利用勾股定理即可求解．
（2）设AD与EF的交点为O，过点O作OH⊥AB于H，利用平行四边形的性质可得，当OE最小时，即可得EF的最小值．
【详解】解：（1）∵等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边的中线，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）设AD与EF的交点为O，过点O作OH⊥AB于H，如图所示：
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴AO=OD，，
∴当OE最小时，此时EF最小，
∴OE⊥AB时，OE最小值为OH的长，
∴，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、垂线段最短，将EF的最小值转化为OE最小是解题的关键．
15．
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，再根据三角形的三边关系进而得出的最小值．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
∵是边的中点
∴
∴
由折叠得
∵
∴
∴
∴的最小值是
故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形的三边关系等相关知识点，理解三角形三边关系是解题的关键．
16．
【分析】假设为直角三角形，可得，设，则，，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，
与关于直线对称，，，当为直角三角形时，
∵，
∴点，，在同一条直线上，则有，，
∴设，则，，
∴，则，
∴，即，解方程得，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查长方形的性质与直角三角形的勾股定理得综合，掌握长方形的性质，勾股定理是解题的关键．
17．##
【分析】先过P作PE⊥BC于E，连接AP，根据△ABP≌△CBP可得AP=CP，当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，此时，PC+的值最小，再根据含30°角的直角三角形的性质进行计算，即可得到线段PD的长．
【详解】解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP，
由菱形ABCD，∠A=120°，
可得AB=CB=AD，∠ABP=∠CBP=∠ADP=30°，
∴△ABP≌△CBP，BP=2PE，
∴AP=CP，
∴PC+=AP+PE，
∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，
∴此时，PC+的值最小，AP⊥BC，
∵Rt△ABE中，AB=2，∠BAE=30°，
∴BE=1，AE=，
∴Rt△BEP中，∠PBE=30°，
∴PE=PB，，即，
∴PE=，
∴AP=，
∵∠ADP=30°，
∴Rt△ADP中，PD=2AP=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点
18．（-，-）
【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论．
【详解】解：∵A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），
∴AO=1，OB=，
∴AB==2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=2，
∴点P每运动8秒回到点A位置，
∴2021÷8=252…5，
∴点P移动到第2021秒时，落在CD的中点处，
∵C（-1，0），D（0，-），
∴此时点P（-，-），
故答案为（-，-）．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，根据题意得出点P运动一周所需的时间是解答此题的关键．
19．
【分析】过B作，在上截取，证明，推出，当A、D、F在同一直线上时，的最小值为的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过B作，在上截取，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
当A、D、F在同一直线上时，的最小值为的长，
延长到G，使，连接，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴四边形为正方形，且边长为2，
∴，，
∴，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．①②④
【分析】连接BE，交FG于点O，由题意得，即可得四边形EFBG为矩形，得，，即可得四边形ABCD为正方形，用SAS即可得，即可判断①；延长DE，交FG于M，交FB于点H，由（1）得，，根据题意和角之间的关系得，即可判断②，根据得，即可判断③，根据垂线段最短得当时，DE最小，根据勾股定理得，即可得FG的最小值为，即可判断即④，即可得．
【详解】解：如图所示，连接BE，交FG于点O，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形EFBG为矩形，
∴，，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∴，
即①正确；
延长DE，交FG于M，交FB于点H，
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即②正确；
∵，
∴，
即③错误，
∵E为对角线AC上的一个动点，
∴当时，DE最小，
∵，，
∴，
∴，
由①知，，
∴FG的最小值为，
即④正确，
综上，①②④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
21．证明见解析
【分析】只需要分别证明ENMC，NFMB，即可证明四边形MENF为平行四边形．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴∠MCB＝∠CMD，
∵∠BNE＝∠CMD，
∴∠BNE＝∠MCB，
∴ENMC，
∴∠NFC＝∠ENF，
∵∠BEN＝∠NFC，
∴∠BEN＝∠ENF，
∴NFMB，
∴四边形MENF为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
22．当应为的中点时，四边形为平行四边形，证明过程见详解．
【分析】要探究四边形能否为平行四边形，根据三角形的中位线定理，得，，结合平行四边形的判定方法，得应平行相等于，则应为的中点．
【详解】解：当应为的中点时，四边形为平行四边形．
理由如下：
如下图所示，连接GF、EF，
∵G、F分别是AC、BC中点，
∴GF∥AB，且GF=AB，
同理可得，DE∥AB，且DE=AB，
∴GF∥DE，且GF=DE，
∴四边形GDEF是平行四边形．
【点睛】此题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的判定．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
23．(1)
(2)2
(3)存在或使得以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形
【分析】（1）先根据题意求出，再由即可求出答案；
（2）根据矩形的性质得到，由此建立方程求解即可；
（3）利用平行四边形的性质得到，由此可建立方程或，解方程即．
【详解】（1）解；由题意得，
∴，
故答案为；；
（2）解：∵以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形，
∴，
∴，
解得，
故答案为：2；
（3）解；假设存在以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
∴或，
解得或，
∴存在或使得以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，正确根据题意列出方程求解是解题的关键．
24．(1)DM=DN，理由见解析
(2)1
(3)见解析
【分析】（1）连接CD，判定，即可得出DM=DN；
（2）依据，可得，再根据进行计算即可；
（3）依据CM=BN，∠CEM=∠F=90°，∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，即可得到，进而得出ME=NF．
【详解】（1）解：DM=DN，理由如下：
如图，连接CD，
∵∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB边上的中点，
∴CD=AD，∠DCN=45°=∠A，且，
又∵点M和点N的移动速度相等，
∴CN=AM，
∴，
∴DM=DN；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵点M和点N的移动速度相等，
∴AC+CM=BC+BN，
∵AC=BC，
∴CM=BN，
∵，，
∴∠CEM=∠F=90°，
又∵∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，
∴，
∴ME=NF．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题时证明是解决问题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用矩形的性质证明，根据证明，推出，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）①利用求解；②根据菱形的性质可知，用勾股定理解，得，解即可求出的值．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
．
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：①，，，
；
②当四边形是菱形时，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得．
即当时，四边形是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，列代数式，菱形的性质，勾股定理等知识点，难度不大，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法以及菱形的性质．
26．(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）证明得到，再由即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据，可以得到，若四边形是菱形，则，即可证明是等边三角形，由此即可得到答案；
【详解】（1）解：∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴当时，四边形是菱形，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定，菱形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知菱形的性质和平行四边形的判定是解题的关键
27．(1)相等，理由见详解
(2)是中点时，四边形是矩形，理由见详解
(3)时，四边形为正方形，理由见详解
【分析】（1）由平分，平分，可得，，再根据，可得，，即有，，则有，，问题得解；
（2）证明，且、互相平分，即可判断四边形是矩形，据此作答即可；
（3）根据对角线相互垂直的矩形是正方形作答即可．
【详解】（1），理由如下：
∵根据题意，有平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）是中点时，四边形是矩形，理由如下：
在（1）已证明，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，且、互相平分，
∴四边形是矩形；
（3）当时，四边形为正方形，理由如下：
在（2）中已证明四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，矩形的判定，正方形的判定等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键．
28．（1）见解析；（2）图②：，理由见解析；图③：，理由见解析；（3）或4．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明≌，得，由即可得出；
（2）图②，证明≌，得，根据线段的和得结论；
图③，证明≌，得，同理得出结论；
（3）分别代入图①和图②条件下的，计算即可．
【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴≌（AAS），
∴，
∴，即．
（2）图②：，理由是：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴≌（AAS），
∴，
∴．
图③：，理由是：
同理得：≌（AAS），
∴，
∴．
（3）图①，，
图②，，
∴或4．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，属于四边形综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
答案第1页，共2页
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