专题18.55平行四边形动点问题 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题18.55 平行四边形动点问题（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在中，，，， D为的中点，若动点E以每秒的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，点E运动t秒后，是直角三角形，则t的值为（　　）
A．2 B．0.5
C．2或3.5 D．2或0.5
2．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF所在直线为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝3，则AF的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图2是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（ ）
A．的值13 B．的周长为16
C．秒时，线段最短 D．的面积为12
4．如图，已知的边上有一动点P，连接OP，点Q为线段OP的中点，令点P从点A开始沿折线AB—BC运动到点C，则点Q运动经过的路线长为（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
6．如图，长方形中，，点是射线上一动点(不与重合)，将沿着所在的直线折叠得到，连接，若为直角三角形，则的长为（ ）
A．1 B．8 C．1或8 D．1或9
7．如图，已知在矩形中，，M为对角线上的一动点，于点E，于点接F，连接．若，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在菱形CDEF中，CD=6，∠DCF=120°，动点Q从点D出发以1个单位长度秒的速度沿DE方向向点E运动，同时动点P从点F出发沿FD方向向点D运动，它们同时到达目的地，则运动到多少秒时，QP=QO （ ）
A． B．3 C． 或 3 D．3或
9．如图，正方形的对角线相交于点，点为上一动点．连接，作交于点，已知，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
10．如图，四边形是边长为6的正方形，D点坐标为（4，－1），，直线过A、C两点，P是上一动点，当的值最大时，P点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积为18 cm，则△DEF的面积是 cm
12．如图，已知AB＝9，点E是线段AB上的动点，分别以AE、EB为底边在线段AB的同侧作等腰直角和，连接MN．设MN的中点为F，当点E从点A运动到点B时，则点F移动路径的长是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是 ．
14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为
15．在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为 ．
16．如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于 ．
17．在矩形中，，，点是直线一动点，若将沿折叠，使点落在点处，连结，若三点在同一条直线上，则 ．
18．已知，正方形的边长为10，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长，交于E，当点E与的中点F的距离为1时，则此时的长为 ．
三、解答题
19．在中，，，点P为边上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E．
(1)如图①，当点P为线段的中点时，求证：；
(2)如图②，当点P在线段上时，求证：．
20．如图在平面直角坐标系中，，，轴且，点从点出发，以1个单位长度的速度向点运动；点从点同时出发，以2个单位长度的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为秒．
(1)当四边形是平行四边形时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)当恰好垂直平分时，求的值．
21．如图，矩形的边，点E，F分别是边上的动点．把沿直线折叠，在同一平面上得到，点G为点A的对应点．
(1)当点F与点D重合时，求的最小值；
(2)当点G落在边上且距离B点处时，求长．
22．如图，平行四边形中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)①直接写出：当　 　时，四边形是菱形（不需要说明理由）；
②当　 　时，四边形是矩形，请说明理由．
23．如图，在矩形中，点是线段上一动点，点为的中点，的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若厘米，厘米，从点出发，以1厘米/秒的速度向运动（不与重合），设运动时间为秒，求为何值时，四边形是菱形？
24．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点M为线段DC上的动点，射线AM交BD于E交射线BC于F，过点C作CQ⊥CE，交AF于点Q，
(1)求证：∠QCF＝∠QFC；
(2)证明：△CMQ是等腰三角形．
(3)取DM的中点H，连结HQ，若HQ＝5，求出BF的长．
25．已知：在中，，是边上的中线，且，点是线段上一个动点（点不与点、重合），连接并延长交边于点，连接．
(1)如图①，若，求的长；
(2)如图②，当时，求证：；
(3)若是等腰三角形，求的长．
26．如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．
(1)求证：；
(2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
(3)当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
27．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连接．
(1)若点为的中点，求证：点为的中点；
(2)若点为的中点，，，求的长；
(3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】分当时，当时，再结合运动方向分两种情况求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
当时，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴，
点E从时，(秒)，
当时，如图所示：
∵，，D为的中点，
∴，
点E从时，(秒)，
故选：C．
【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，动点问题，理解题意，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
2．D
【分析】利用平行四边形的性质，折叠的性质，得到∠DEA=∠FEA=∠EAF，DE=EG，FH=FB，AD=AG，结合DE=FB，得到AF=EF，DE=EG=FH=FB，设DE=EG=FH=FB=x，则EF=AF=2x+GH=3+2x，过点G作GM⊥AF于点M，根据∠GAF＝45°，AD＝，得证AM=MG=3,MF=2x，GF=3+x，根据勾股定理计算x即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，分别以AE，CF所在直线为对称轴翻折△ADE，△BCF，
∴∠DEA=∠FEA=∠EAF，DE=EG，FH=FB，AD=AG，
∵DE=FB，
∴AF=EF，DE=EG=FH=FB，
设DE=EG=FH=FB=x，
∴EF=AF=2x+GH=3+2x．
过点G作GM⊥AF于点M，
∵∠GAF＝45°，AD＝，
∴AM=MG=3，MF=2x，GF=3+x，
根据勾股定理，得，
解得x=2（负根舍去），
AF=AM+MF=3+2x=7，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定是解题的关键．
3．C
【分析】根据图象上点的坐标和图象的特点，利用平行四边形的性质可以判断出答案．
【详解】解：∵P在BC上时，△ABP的面积为S随t的增大而增大，
∴根据点（5，6）可以得到BC=5，S=6，
∴A到BC的距离为，
当P在CD上时，S不变，
∴CD=8-5=3，
∴a=5+3+5=13， ABCD的周长为2×（5+3）=16， ABCD的面积，5×=12，
故A，B，D都不符合题意；
当AP⊥BC时，AP最短，根据勾股定理，
，故C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、平行四边形的性质，解决本题的关键是读懂图1与图2的对应关系．
4．B
【分析】如图所示，当点P在AB上运动时，连接OB，取OB中点E，连接QE，先根据A、B、C三点的坐标求出AC=2，BC=4，AC⊥BC，从而求出AB，再根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】：如图所示，当点P在AB上运动时，连接OB，取OB中点E，连接QE，
∵，
∴AC=2，BC=4，且AC⊥BC，
∴，
∵Q是OP的中点，
∴QE是△OPB的中位线，
∴，
∴当点P从A运动到B时，点Q从初始位置运动到E，
∴当点P在AB上运动时，点Q的运动路径长为，
同理当点P在BC上运动时，点Q的运动路径长为，
∴整个过程中，点Q的运动路径长为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
5．D
【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，可以得到当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP的值就是AQ的最小值，从而可以解答本题．
【详解】解：∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AQ＝PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵∠BAC＝45°，
，
设，
在Rt△APC中，AB＝AC＝8，
则，即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．D
【分析】根据题意，分为两种情况，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：①当点在线段上时，如图1所示：
，
，，三点共线，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图2所示：
，，，
，
设，则，
，
，
，解得，
，
综上所述，的值为1或9，
故答案为：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是根据题意正确进行分类讨论．
7．D
【分析】连接．设，则，根据勾股定理可列出关于x的等式，解出，即得出，．又易证四边形为矩形，得出，即当最小时，最小．再根据垂线段最短可知：当时，最小，即此时为边上的高，最后由等积法求出即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴设，则，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，即，
解得：（舍去负值），
∴，．
∵于点E，于点接F，
∴四边形为矩形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知：当时，最小，即此时为边上的高，
∵，
∴，即，
解得：．
∴最小值为．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识．正确作出辅助线是解题关键．
8．C
【分析】分点P与点O重合和不重合两种情况求解．
【详解】在菱形CDEF中，，，
在中，，
点P的运动速度为：．
①当点P与点O重合时，，此时，；
②如图：当时，过点Q作于H，
，
∵在中，，，
∴
，
，
解得：．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
9．A
【分析】已知四边形是正方形，，得到，，，，推出，结合，得到，可进一步证明，得到，进而得到，即可正确解答．
【详解】∵四边形是正方形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为1．
故选：A
【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10．B
【分析】根据正方形的性质，点E关于直线l的对称点E′的坐标为（1，1），连接DE′，与直线l的交点即为P点，此时的值最大，根据待定系数法求得直线PD解析式，然后与直线l的解析式联立，解方程组即可求得P的坐标．
【详解】解：∵四边形是边长为6的正方形，
∴AC垂直平分OB，直线l为y=-x+6，
∴点E关于直线l的对称点在OB上，
∵，B（6,6），
∴，
∴（1,1），
连接，与直线l的交点即为P点，此时的值最大，如图，
设直线PD解析式为：y=kx+b，
将D（4，-1），（1,1）代入解析式得：
，
解得，
∴直线PD解析式为：，
解，得，
∴当的值最大时，P点的坐标为（13，-7），
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、正方形的性质、解题的关键是学会利用对称，根据两点之间线段最短，解决最小值问题，根据三角形的两边之差小于第三边，确定最大值问题，属于中考常考题型．
11．4.5####
【分析】连接BE，根据△ABC的面积求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DEBC，得到△DEF的面积＝△DEB的面积，得出答案．
【详解】解：连接BE，
∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18 cm，
∴△AEB的面积△ABC的面积＝9（cm），
∵点D是AB的中点，
∴△DEB的面积△AEB的面积＝4.5（cm），
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DEBC，
∴△DEF的面积＝△DEB的面积＝4.5（cm），
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、三角形的面积、三角形中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12．4.5####
【分析】如图，分别延长AM、BN交于点H，易证四边形MENH为平行四边形，根据平行四边形的性质可得MN与HE互相平分，可得 F正好为EH中点，即在E的运动过程中，F始终为EH的中点，所以F的运行轨迹为△HAB的中位线CD．由此即可求解．
【详解】如图，分别延长AM、BN交于点H，
∵在等腰直角和中，∠A=∠NEB=45°，
∴AHEN，
同理∠B=∠MEA=45°，
∴BHEM，
∴四边形MENH为平行四边形，
∴MN与HE互相平分．
∵F为MN的中点，
∴F正好为EH中点，即在E的运动过程中，F始终为EH的中点，
∴F的运行轨迹为△HAB的中位线CD．
∴CD=AB=4.5，即F的移动路径长为4.5．
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点F移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
13．(0,2)
【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由点C的坐标知点C在垂直于x轴的直线上，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解．
【详解】解：设点P（0，y），
∵PD=AP，点A（-3，0），
∴点D（3，2y），
∵点A（-3，0）、B（0，-4），四边形ABCD是平行四边形，
∴C（6，2y-4），
∴点C在x=6这条直线上运动，
∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，
即2y-4=0，
∴y=2，
∴点P（0，2）．
故答案为（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．3或
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3．
综上所述，BE的长为或3．
故答案为：或3．
【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质．
15．或7
【分析】由勾股定理求得，当在上时，是直角三角形，设，由翻折的性质和勾股定理求得；当在上时，是直角三角形，此时四边形是正方形，易得．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
， ，
当在上时，是直角三角形，如图1所示：
设，
由翻折的性质得：，
，
，
在中，
，
解得：，即，
；
当在上时，是直角三角形，如图2所示：
则，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
综上，的长为或7．
故答案为：或7．
【点睛】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、正方形的判定与性质，勾股定理等知识．注意分类讨论．
16．3
【分析】如图，过作交的延长线于点，根据平行四边形的性质，推出，从而得到，进而得到，根据，可知，当三点共线时，线段的和最小，利用所对的直角边是斜边的一半即可得解．
【详解】解：如图，过作交的延长线于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，线段的和最小，
∵，，
∴，
即：的最小值等于3；
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及含的直角三角形．通过添加辅助线，构造含的直角三角形，利用垂线段最短进行求解，是解题的关键．本题是胡不归模型，平时多归纳总结，可以快速解题．
17．1或9
【分析】根据折叠，得出相等的线段、角，由于在一条直线上，由勾股定理可以求出的长，设，在直角三角形中，由勾股定理列出方程进而求出结果．
【详解】解：如图1，当点在线段上时，
由折叠可得：，
在Rt中，由勾股定理得：
，
设，则，
在Rt中，由勾股定理得：
，
解得：，
即；
如图2，当点在的延长线上时，
由折叠得：，
，
，
在和中，
，
（AAS），
，
在Rt中，由勾股定理得：
，
，
综上所述：的长为1或9，
故答案为：1或9．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，设未知数，转化到一个三角形中，借助勾股定理列方程求解是解题的关键．
18．或
【分析】由“”可证，可得，分当点E在点F的下方和当点E在点F的上方情况讨论，由勾股定理可求解．
【详解】解：连接，
∵将沿折叠，
∴， ，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
当点E在点F的下方时，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
当点E在点F的上方时，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
综上所述：AP的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，根据题意可得是等腰直角三角形，再证明，即可；
（2）过点P作交于点F，可得，再结合平行四边形的性质可得，可得，再由勾股定理可得，即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵点P为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点P作交于点F，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用平行四边形的性质构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形：四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形，分别求解即可．
（3）利用线段垂直平分线的性质构建方程即可解决问题．
【详解】（1）∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴
（2）①当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴
②当四边形是等腰梯形时，，
此时，
∵，
∴，
∴，
∴
综上，或
（3）∵，
∴．
当垂直平分时，则，
∴，
解得
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形，线段垂直平分线的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，利用参数构建方程解决问题．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，点的运动路径是在以为圆心，长为半径的圆上，当、、三点共线时，最小，先求，则；
（2）由已知可求，由折叠性质，可知，设，则，，在中，由勾股定理可得，解方程得，则．
【详解】（1）解：当点与点重合时，只有点运动，
由折叠可知，，
点的运动路径是在以为圆心，长为半径的圆上，
当、、三点共线时，最小，
，，
，
，
的最小值为；
（2）点落在边上距离B点的处，，
，
由折叠性质，可知，
设，则，
，
在中，，
即，
解得，
．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)①4；②7，理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质先证明，进而证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形；
（2）①根据平行四边形的性质可得，因此只需要保证是等边三角形，即可证明，从而证明平行四边形是菱形，据此求解即可；②当cm时，平行四边形是矩形，过A作于M，可证明，得到，即可证明平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：①当时，四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
故答案为：4；
②当cm时，平行四边形是矩形，理由如下：
如图，过A作于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和△中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据是矩形，得出，，再根据点为的中点，得出，得出，即可证出；
（2）根据已知条件得出的度数，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出的值．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵（对顶角相等），
∴，
∴.
（2）解：由题意可知，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得即，
解得，
∴当时，四边形是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，菱形的性质，掌握知识点灵活运用是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)14
【分析】（1）由正方形的性质得出，进而证明得出由直角三角形的性质得出即可证明
（2）由正方形的性质得出，由直角三角形的性质得出得出，进而证明是等腰三角形；
（3）连接，由等腰三角形的性质得出进而证明是的中位线，由三角形中位线的性质求出，再利用勾股定理求出即可求出的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
（2）证明：∵四边形是正方形，
是等腰三角形；
（3）解：如图，连接，
∵H是的中点，
∴QH是的中位线，
，
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
25．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据直角三角形的性质，可得，从而得到是等边三角形，进而得到，可得到，再由勾股定理求出，即可求解；
（2）证明，可得，从而得到，再根据等腰三角形的判定，可得，即可；
（3）分三种情况讨论：当时；当时，过点D作于点M；当时，过点Q作于点E，即可．
【详解】（1）解：∵，是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时，，
∵，
∴，
∴，
此时点Q，B重合，不符合题意，舍去；
当时，如图，过点D作于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，过点Q作于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，二次根式的化简，全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)当点O运动到的中点时，四边形是矩形，见解析
(3)当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形，见解析
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出，，得出，同理得出，即可得出结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；
（3）当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形．由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，由平行线的性质得出，得出，即可证明．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴．
（2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形．
∵当点O运动到的中点时，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
由（1）可知，，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形．
（3）解：当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定定理；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
27．(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）由，推出，由，，推出，即可证明F点为的中点；
（2）延长到N，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（3）取的中点M，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当C、P、M共线时，的值最小，则可求出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∵，
∵，
∴，
∴F点为的中点；
（2）延长到，使得，连接，
∵，
∴．
∵点为的中点，
∴由（1）可知，
∵在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）取的中点M，连接，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴C、P、M共线时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页