4.5 函数的应用（二） 一课一练（含解析）

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4.5 函数的应用（二）一课一练
一、单选题
1．设，则函数的零点位于区间(　　)
A． B． C． D．
2．关于x的方程，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同实根；
其中假命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数 的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
4．函数 的一个零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
5．函数的零点所在的大致区间是（　　）
A．(1，2) B．(2，3) C． D．
二、多选题
6．我们知道：函数 关于 对称的充要条件是 .某同学针对上述结论进行探究，得到一个真命题：函数 关于 对称的充要条件是 .若函数 满足 ，且当 时， ，则（　　）
A．
B．当 时，
C．函数 的零点为3，-1
D． 的解集为
7．已知定义在上的函数满足对任意的实数，都有，且当时，，则（　　）
A．
B．在上单调递增
C．方程有5个不同的实根
D．函数的零点之和为4
8．对于一个函数，若存在两条距离为的直线和，使得在时恒成立，称函数在D内有一个宽度为的通道．则下列函数在内有一个宽度小于等于的通道的有（　　）
A．
B．
C．（表示不超过的最大整数）
D．
三、填空题
9．用二分法计算 的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：
那么方程 的一个近似根(精确到0.1)为　 　.
10．已知实数x，y满足 ，则 的最大值为　 　.
11．已知函数 ，关于x的方程 恰有5个不同实数解，则实数 　 　.
四、解答题
12．已知集合 .
（1）若 中有两个元素，求实数 的取值范围；
（2）若 中至多有一个元素，求实数 的取值范围.
13．已知函数 .
（1）当 时，求函数 在 上的值域；
（2）若函数 在实数集 上存在零点，求实数 的取值范围.
14．已知定a∈R，f（x）=log2（1+ax）．
（1）求f（x2）的值域；
（2）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集恰有一个元素，求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，对任意的t∈（ ，+∞），f（x2）在[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过4，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】单调递增，仅有一个零点．又，, 故函数的零点位于区间．
2．【答案】A
【解析】【解答】关于x的方程可化为（1）
或（－1＜x＜1)（2）
①当k=－2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根；
②当k=时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根；
③当k=0时，方程（1）的解为－1，+1，±，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根；
④当k=时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，
即原方程恰有8个不同的实根．
∴四个命题都是真命题．故选A。
【分析】中档题，通过讨论x的范围，将方程中的绝对值符号去掉，这是一般思路。而k实施分类讨论又是基于函数值域。
3．【答案】B
【解析】【解答】 ， ，
，
由零点存在性定理知，零点所在区间 上，
故答案为：B.
【分析】 由函数的解析式可得，，根据函数零点的判定定理可得函数零点所在的区间.
4．【答案】B
【解析】【解答】由题得 ，
，
所以
所以函数 的一个零点所在的区间是 .
故答案为：B
【分析】先求出 根据零点存在性定理得解.
5．【答案】B
【解析】【解答】依次将选项中的端点值代入函数判断函数值的正负，
所以函数的零点所在的大致区间是.
【分析】应用函数的零点存在定理可以判断零点所在的大致区间，但是判断不出零点的个数，还需借助函数的图象进行判断.
6．【答案】B,D
【解析】【解答】 ，则 关于 对称，所以 ，A不正确；
设 则 ， ，B符合题意；
当 时，令 可得， ，所以函数零点为 ，C不正确；
，
当 时， ，所以
当 时， ，函数单调递减，可得 ，所以 或 ，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据题意由函数图象对称的性质即可计算出函数的值，从而判断出选项A错误；由已知条件即可得出函数的解析式，从而判断出选项B正确；首先根据题意求出函数的零点，从而判断出选项C错误；根据题意由函数的单调性即可得到x的取值范围，由此判断出选项D正确，从而得出答案。
7．【答案】A,C,D
【解析】【解答】对于：由题意，当则，因为所以
所以，A符合题意；
对于：当，，易得在单调递减，B不符合题意；
对于：因为，所以或，
由解方程可知时，有3个根-1或1或3， 时，有2个根或2，
所以方程有5个根，C符合题意；
对于：函数零点，即为函数与函数的交点横坐标，
根据图像可以确定两个函数有4个交点，
因为和都关于对称，所以4个零点和为4，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据函数对称中心，求出，，可以判断选项A，B；解方程后可以判断选项C；画出函数图像，数形结合同时应用对称中心可以得到选项D.
8．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A选项，假设当时，存在两条距离为的直线和，
使得在时恒成立，即，
设，其中，
当时，.
若，则，且，不合乎题意；
若，当时，，
当时，，此时，
即不等式在不恒成立；
若，当时，，
当时，，此时，
即不等式在不恒成立，A不满足；
对于B选项，因为，则，故函数在上单调递减，
故，又当时，，
故存在直线、使得当时，，B满足；
对于C选项，设，则，得，
即，所以，存在直线与，使得，
且直线与间的距离为，C满足；
对于D选项，当时，.
所以，函数单调递减，则，
当时，，即.
当时，假设存在两条距离为的直线和，
使得在时恒成立，即，
若，则，且，不合乎题意；
若，，当时，，即，
即不等式在不恒成立；
若时，，当时，，即，
即不等式在不恒成立，D不满足.
故答案为：BC.
【分析】求出ABD选项中函数的值域，利用题中定义逐项判断即可；对于C选项，由取整函数的定义可得出，结合题中定义判断即可.
9．【答案】1.4
【解析】【解答】由表格可得：函数 的零点在 之间
又因为题中要求精确到0.1， 和 精确到小数点后面一位都是1.4符合要求.
故答案为：1.4.
【分析】 先由题中参考数据可得根在区间内，再利用1.4056和1.438精确到小数点后面一位都是1. .4符合要求可得答案.
10．【答案】
【解析】【解答】设 ，
消去 得 ，
即 ，
由 ，
解得 ，
则 的最大值为 .
故答案为：
【分析】利用换元法令 消去y，得出 ，结合判别式，即可得出 的最大值.
11．【答案】-1
【解析】【解答】由题意，函数 ，画出函数的图象，如图所示，
当 时，方程 有2个实数根；
当 时，方程 有3个实数根；
当 时，方程 有2个实数根；
当 时，方程 有4个实数根，
令 ，则关于 的方程 ，
转化为关于 的方程 有一个根为1，另外一个根为0或大于1，
令 ，可得 ，解得 或 ；
当 时，方程即为 ，此时 或 ，不合题意；
当 时，方程即为 ，此时 或 ，满足题意，
综上可得： .
故答案为：-1
【分析】根据题意作出函数图象，令 ，讨论t的不同取值对应的实根个数，且方程 转化为关于 的方程 有一个根为1，另外一个根为0或大于1，将t的值代入求解b值，讨论是否符合题意即可得解。
12．【答案】（1）解：由于 中有两个元素，
∴关于 的方程 有两个不等的实数根，
∴ ，且 ，即 ，且 .
故实数 的取值范围是 且 .
（2）解：当 时，方程为 ， ，集合 ；
当 时，若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 中只有一个元素，此时 ，
若关于 的方程 没有实数根，则 中没有元素，此时 .
综上可知，实数 的取值范围是 或 .
【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次方程根的情况，对判别式进行限制由此得到关于a的不等式，求解出a的取值范围。
(2)根据题意结合集合中元素的个数，由一元二次方程根的情况，对a分情况讨论，由此即可得到a的取值范围。
13．【答案】（1）解：当 时， ，
设 ， ，则 ， 在 递增，在 递减，
且 ， ， ，即
（2）解： ，即 ，
令 ，所以 有正根，设 的两根为
当 时，满足 即可，即 ，解得 ；
当 时， 符合；
当 时，且 ， 恒过 ，满足 ， 显然符合题意，
综上：实数 的取值范围
【解析】【分析】（1）设 ， ，则 ，令 ，再利用对勾函数的单调性求值即可；（2）令 ，由题意转化为 有正根，按 和 ， 讨论，求得 的取值范围.
14．【答案】（1）解：f（x）=log2（1+ax），可得f（x2）=log2（1+ax2），当a≥0时，1+ax2≥1，即有log2（1+ax2）≥0；当a＜0时，0＜1+ax2＜1，即有log2（1+ax2）＜0；即有当a≥0时，f（x）的值域为[0，+∞）；
当a＜0时，f（x2）的值域为（-∞，0）
（2）解：由f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0得log2（1+ax）=log2[（a-4）x2+（2a-5）x]，
即1+ax=（a-4）x2+（2a-5）x＞0，①
则（a-4）x2+（a-5）x-1=0，
即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，
当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立；
当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立；
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x= ，
若x=-1是方程①的解，则1-a=-a+1＞0，即a＜1，
若x= 是方程①的解，则1+ = ＞0，即a＞4或a＜2，
则要使方程①有且仅有一个解，则a＞4或1≤a＜2．
综上，若方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集中恰好有一个元素，
则a的取值范围是1＜a≤2，或a＞4
（3）解：当a＞0时，对任意的t∈（ ，+∞），
f（x2）=log2（1+ax2），
设g（x）=log2（1+ax2），a＞0，
函数g（x）在区间[t，t+1]上单调递增，
由题意得g（t+1）-g（t）≤4，
即log2（1+at2+2at+a）-log2（1+at2）≤4，
即1+at2+2at+a≤16（1+at2），
即有a（15t2-2t-1）+15=a（3t-1）（5t+1）+15＞0恒成立，
综上可得a的范围是（0，+∞）．
【解析】【分析】（1）先由已知 可得f（x2）=log2（1+ax2）， 再分两种情况讨论a，即可求出 求f（x2）的值域 ；
（2）先把已知方程整理得到 （x+1）[（a-4）x-1]=0 ，再分三种情况讨论方程的根，即可求出a的范围；
（3）先构造函数g(x)，得到 g（x）在区间[t，t+1]上单调递增 ，再由题意得g（t+1）-g（t）≤4 恒成立，即可求出a的范围.
4.5 函数的应用（二）一课一练
一、单选题
1．设，则函数的零点位于区间(　　)
A． B． C． D．
2．关于x的方程，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同实根；
其中假命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数 的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
4．函数 的一个零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
5．函数的零点所在的大致区间是（　　）
A．(1，2) B．(2，3) C． D．
二、多选题
6．我们知道：函数 关于 对称的充要条件是 .某同学针对上述结论进行探究，得到一个真命题：函数 关于 对称的充要条件是 .若函数 满足 ，且当 时， ，则（　　）
A．
B．当 时，
C．函数 的零点为3，-1
D． 的解集为
7．已知定义在上的函数满足对任意的实数，都有，且当时，，则（　　）
A．
B．在上单调递增
C．方程有5个不同的实根
D．函数的零点之和为4
8．对于一个函数，若存在两条距离为的直线和，使得在时恒成立，称函数在D内有一个宽度为的通道．则下列函数在内有一个宽度小于等于的通道的有（　　）
A．
B．
C．（表示不超过的最大整数）
D．
三、填空题
9．用二分法计算 的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：
那么方程 的一个近似根(精确到0.1)为　 　.
10．已知实数x，y满足 ，则 的最大值为　 　.
11．已知函数 ，关于x的方程 恰有5个不同实数解，则实数 　 　.
四、解答题
12．已知集合 .
（1）若 中有两个元素，求实数 的取值范围；
（2）若 中至多有一个元素，求实数 的取值范围.
13．已知函数 .
（1）当 时，求函数 在 上的值域；
（2）若函数 在实数集 上存在零点，求实数 的取值范围.
14．已知定a∈R，f（x）=log2（1+ax）．
（1）求f（x2）的值域；
（2）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集恰有一个元素，求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，对任意的t∈（ ，+∞），f（x2）在[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过4，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】单调递增，仅有一个零点．又，, 故函数的零点位于区间．
2．【答案】A
【解析】【解答】关于x的方程可化为（1）
或（－1＜x＜1)（2）
①当k=－2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根；
②当k=时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根；
③当k=0时，方程（1）的解为－1，+1，±，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根；
④当k=时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，
即原方程恰有8个不同的实根．
∴四个命题都是真命题．故选A。
【分析】中档题，通过讨论x的范围，将方程中的绝对值符号去掉，这是一般思路。而k实施分类讨论又是基于函数值域。
3．【答案】B
【解析】【解答】 ， ，
，
由零点存在性定理知，零点所在区间 上，
故答案为：B.
【分析】 由函数的解析式可得，，根据函数零点的判定定理可得函数零点所在的区间.
4．【答案】B
【解析】【解答】由题得 ，
，
所以
所以函数 的一个零点所在的区间是 .
故答案为：B
【分析】先求出 根据零点存在性定理得解.
5．【答案】B
【解析】【解答】依次将选项中的端点值代入函数判断函数值的正负，
所以函数的零点所在的大致区间是.
【分析】应用函数的零点存在定理可以判断零点所在的大致区间，但是判断不出零点的个数，还需借助函数的图象进行判断.
6．【答案】B,D
【解析】【解答】 ，则 关于 对称，所以 ，A不正确；
设 则 ， ，B符合题意；
当 时，令 可得， ，所以函数零点为 ，C不正确；
，
当 时， ，所以
当 时， ，函数单调递减，可得 ，所以 或 ，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据题意由函数图象对称的性质即可计算出函数的值，从而判断出选项A错误；由已知条件即可得出函数的解析式，从而判断出选项B正确；首先根据题意求出函数的零点，从而判断出选项C错误；根据题意由函数的单调性即可得到x的取值范围，由此判断出选项D正确，从而得出答案。
7．【答案】A,C,D
【解析】【解答】对于：由题意，当则，因为所以
所以，A符合题意；
对于：当，，易得在单调递减，B不符合题意；
对于：因为，所以或，
由解方程可知时，有3个根-1或1或3， 时，有2个根或2，
所以方程有5个根，C符合题意；
对于：函数零点，即为函数与函数的交点横坐标，
根据图像可以确定两个函数有4个交点，
因为和都关于对称，所以4个零点和为4，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据函数对称中心，求出，，可以判断选项A，B；解方程后可以判断选项C；画出函数图像，数形结合同时应用对称中心可以得到选项D.
8．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A选项，假设当时，存在两条距离为的直线和，
使得在时恒成立，即，
设，其中，
当时，.
若，则，且，不合乎题意；
若，当时，，
当时，，此时，
即不等式在不恒成立；
若，当时，，
当时，，此时，
即不等式在不恒成立，A不满足；
对于B选项，因为，则，故函数在上单调递减，
故，又当时，，
故存在直线、使得当时，，B满足；
对于C选项，设，则，得，
即，所以，存在直线与，使得，
且直线与间的距离为，C满足；
对于D选项，当时，.
所以，函数单调递减，则，
当时，，即.
当时，假设存在两条距离为的直线和，
使得在时恒成立，即，
若，则，且，不合乎题意；
若，，当时，，即，
即不等式在不恒成立；
若时，，当时，，即，
即不等式在不恒成立，D不满足.
故答案为：BC.
【分析】求出ABD选项中函数的值域，利用题中定义逐项判断即可；对于C选项，由取整函数的定义可得出，结合题中定义判断即可.
9．【答案】1.4
【解析】【解答】由表格可得：函数 的零点在 之间
又因为题中要求精确到0.1， 和 精确到小数点后面一位都是1.4符合要求.
故答案为：1.4.
【分析】 先由题中参考数据可得根在区间内，再利用1.4056和1.438精确到小数点后面一位都是1. .4符合要求可得答案.
10．【答案】
【解析】【解答】设 ，
消去 得 ，
即 ，
由 ，
解得 ，
则 的最大值为 .
故答案为：
【分析】利用换元法令 消去y，得出 ，结合判别式，即可得出 的最大值.
11．【答案】-1
【解析】【解答】由题意，函数 ，画出函数的图象，如图所示，
当 时，方程 有2个实数根；
当 时，方程 有3个实数根；
当 时，方程 有2个实数根；
当 时，方程 有4个实数根，
令 ，则关于 的方程 ，
转化为关于 的方程 有一个根为1，另外一个根为0或大于1，
令 ，可得 ，解得 或 ；
当 时，方程即为 ，此时 或 ，不合题意；
当 时，方程即为 ，此时 或 ，满足题意，
综上可得： .
故答案为：-1
【分析】根据题意作出函数图象，令 ，讨论t的不同取值对应的实根个数，且方程 转化为关于 的方程 有一个根为1，另外一个根为0或大于1，将t的值代入求解b值，讨论是否符合题意即可得解。
12．【答案】（1）解：由于 中有两个元素，
∴关于 的方程 有两个不等的实数根，
∴ ，且 ，即 ，且 .
故实数 的取值范围是 且 .
（2）解：当 时，方程为 ， ，集合 ；
当 时，若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 中只有一个元素，此时 ，
若关于 的方程 没有实数根，则 中没有元素，此时 .
综上可知，实数 的取值范围是 或 .
【解析】【分析】(1)根据题意由一元二次方程根的情况，对判别式进行限制由此得到关于a的不等式，求解出a的取值范围。
(2)根据题意结合集合中元素的个数，由一元二次方程根的情况，对a分情况讨论，由此即可得到a的取值范围。
13．【答案】（1）解：当 时， ，
设 ， ，则 ， 在 递增，在 递减，
且 ， ， ，即
（2）解： ，即 ，
令 ，所以 有正根，设 的两根为
当 时，满足 即可，即 ，解得 ；
当 时， 符合；
当 时，且 ， 恒过 ，满足 ， 显然符合题意，
综上：实数 的取值范围
【解析】【分析】（1）设 ， ，则 ，令 ，再利用对勾函数的单调性求值即可；（2）令 ，由题意转化为 有正根，按 和 ， 讨论，求得 的取值范围.
14．【答案】（1）解：f（x）=log2（1+ax），可得f（x2）=log2（1+ax2），当a≥0时，1+ax2≥1，即有log2（1+ax2）≥0；当a＜0时，0＜1+ax2＜1，即有log2（1+ax2）＜0；即有当a≥0时，f（x）的值域为[0，+∞）；
当a＜0时，f（x2）的值域为（-∞，0）
（2）解：由f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0得log2（1+ax）=log2[（a-4）x2+（2a-5）x]，
即1+ax=（a-4）x2+（2a-5）x＞0，①
则（a-4）x2+（a-5）x-1=0，
即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，
当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立；
当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立；
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x= ，
若x=-1是方程①的解，则1-a=-a+1＞0，即a＜1，
若x= 是方程①的解，则1+ = ＞0，即a＞4或a＜2，
则要使方程①有且仅有一个解，则a＞4或1≤a＜2．
综上，若方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集中恰好有一个元素，
则a的取值范围是1＜a≤2，或a＞4
（3）解：当a＞0时，对任意的t∈（ ，+∞），
f（x2）=log2（1+ax2），
设g（x）=log2（1+ax2），a＞0，
函数g（x）在区间[t，t+1]上单调递增，
由题意得g（t+1）-g（t）≤4，
即log2（1+at2+2at+a）-log2（1+at2）≤4，
即1+at2+2at+a≤16（1+at2），
即有a（15t2-2t-1）+15=a（3t-1）（5t+1）+15＞0恒成立，
综上可得a的范围是（0，+∞）．
【解析】【分析】（1）先由已知 可得f（x2）=log2（1+ax2）， 再分两种情况讨论a，即可求出 求f（x2）的值域 ；
（2）先把已知方程整理得到 （x+1）[（a-4）x-1]=0 ，再分三种情况讨论方程的根，即可求出a的范围；
（3）先构造函数g(x)，得到 g（x）在区间[t，t+1]上单调递增 ，再由题意得g（t+1）-g（t）≤4 恒成立，即可求出a的范围.
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